2917:
2570:
2724:
6172:
The fact that the Moore–Penrose inverse provides consistency with respect to rotations (which are orthonormal transformations) explains its widespread use in physics and other applications in which
Euclidean distances must be preserved. The UC inverse, by contrast, is applicable when system behavior
2379:
5791:
5385:
2912:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.}
5193:
3923:
3797:
2565:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}
4383:
6037:
4251:
4676:
1780:
6166:
4554:
4042:
144:
1911:
1844:
54:
but not necessarily all of them. The purpose of constructing a generalized inverse of a matrix is to obtain a matrix that can serve as an inverse in some sense for a wider class of matrices than
5699:
5293:
5112:
185:
1602:
1318:
3641:
3602:
3564:
3364:
3329:
3172:
3137:
4913:
5911:
2250:
5119:
2338:
685:
367:
4156:
4099:
2997:
1525:
1462:
1241:
1178:
229:
5800:
In practical applications it is necessary to identify the class of matrix transformations that must be preserved by a generalized inverse. For example, the Moore–Penrose inverse,
5059:
2173:
1720:
3522:
3291:
6073:
5018:
3679:
3483:
3444:
3405:
3252:
3213:
3091:
5944:
4966:
1969:
5538:
4587:
548:
4738:
2608:
1655:
1488:
1423:
1371:
1204:
1139:
946:
900:
829:
643:
480:
325:
6578:
5692:
5628:
5570:
5499:
597:
5828:
1940:
1051:
1021:
867:
722:
5226:
2068:
1629:
1345:
4791:
3975:
783:
754:
276:
5654:
5596:
4429:
417:
5467:
5447:
5427:
5407:
5286:
5266:
5246:
4986:
4937:
4835:
4815:
4696:
4607:
4492:
4472:
4449:
4403:
4291:
4271:
4176:
4119:
4062:
3943:
3840:
3817:
3714:
3037:
3017:
2960:
2940:
2708:
2688:
2668:
2648:
2628:
2358:
2293:
2270:
2123:
2101:
2041:
2017:
1993:
1549:
1397:
1265:
1113:
1075:
986:
966:
920:
803:
617:
571:
500:
437:
391:
299:
91:
4612:
3845:
3719:
3531:
in a semigroup (or ring) has an inverse, the inverse must be the only generalized inverse of this element, like the elements 1, 5, 7, and 11 in the ring
4497:
4296:
2360:, some generalised inverses, such as the Drazin inverse and the Moore–Penrose inverse, are unique, while others are not necessarily uniquely defined.
5956:
6518:
6472:
6442:
6419:
4184:
1726:
6089:
6491:
6634:
3984:
99:
1850:
1786:
6173:
is expected to be invariant with respect to the choice of units on different state variables, e.g., miles versus kilometers.
5946:
satisfies the following definition of consistency with respect to similarity transformations involving a nonsingular matrix
6075:
satisfies the following definition of consistency with respect to transformations involving nonsingular diagonal matrices
5198:
6464:
6182:
5076:
4750:
244:
149:
5065:
has full column rank, the bracketed expression in this equation is the zero matrix and so the solution is unique.
1672:
1554:
1270:
20:
3611:
3572:
3534:
3334:
3299:
3142:
3107:
19:"Pseudoinverse" redirects here. For the Moore–Penrose inverse, sometimes referred to as "the pseudoinverse", see
4843:
6537:
5844:
2178:
1662:
5830:
satisfies the following definition of consistency with respect to transformations involving unitary matrices
2298:
648:
330:
5786:{\displaystyle A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}
5380:{\displaystyle A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}
4124:
4067:
2965:
1493:
1428:
1209:
1144:
190:
5023:
2128:
1684:
59:
6456:
6399:
3489:
3258:
6046:
4991:
3646:
3450:
3411:
3372:
3219:
3180:
3058:
5920:
4942:
3604:, any element is a generalized inverse of 0, however, 2 has no generalized inverse, since there is no
1945:
5504:
71:
63:
4559:
6554:
5188:{\displaystyle A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\operatorname {T} }}
3978:
3094:
508:
6510:
4701:
2578:
1634:
1467:
1402:
1350:
1183:
1118:
925:
879:
808:
622:
446:
304:
6629:
6514:
6487:
6468:
6438:
6415:
6187:
1089:
440:
55:
5659:
5601:
5543:
5472:
576:
6608:
6587:
6546:
6407:
5803:
1919:
1026:
991:
837:
692:
6570:
5204:
2046:
1607:
1323:
6571:"A Generalized Matrix Inverse that is Consistent with Respect to Diagonal Transformations"
6566:
4767:
3951:
1373:
759:
730:
252:
51:
5633:
5575:
4408:
396:
6599:
Zheng, Bing; Bapat, Ravindra (2004). "Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation".
6503:
6431:
6395:
5452:
5432:
5412:
5392:
5271:
5251:
5231:
4971:
4922:
4820:
4800:
4681:
4592:
4477:
4457:
4434:
4388:
4276:
4256:
4161:
4104:
4047:
3928:
3825:
3802:
3699:
3098:
3022:
3002:
2945:
2925:
2693:
2673:
2653:
2633:
2613:
2343:
2278:
2255:
2108:
2086:
2026:
2002:
1978:
1667:
1534:
1382:
1250:
1098:
1060:
971:
951:
905:
788:
602:
556:
485:
422:
376:
284:
76:
6612:
1678:
Some generalized inverses are defined and classified based on the
Penrose conditions:
6623:
3918:{\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }}
3792:{\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}}
3694:
2079:
370:
4753:
has any solutions, and if so to give all of them. If any solutions exist for the
4378:{\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}
2075:
27:
6452:
231:
A generalized inverse exists for an arbitrary matrix, and when a matrix has a
6032:{\displaystyle \left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}}
67:
5073:
The generalized inverses of matrices can be characterized as follows. Let
6591:
6558:
31:
4246:{\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}
4671:{\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}
6550:
2812:
2670:
satisfy
Penrose conditions (1) and (2), but not (3) or (4). Hence,
2467:
6411:
1775:{\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}
6161:{\displaystyle (DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}}
4549:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},}
16:
Algebraic element satisfying some of the criteria of an inverse
4037:{\displaystyle G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}}
660:
342:
139:{\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}}
4749:
Any generalized inverse can be used to determine whether a
2175:
of the
Penrose conditions listed above. Relations, such as
1906:{\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,}
599:), or square and singular. Then we need a right candidate
1995:. If it satisfies the first two conditions, then it is a
1839:{\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }}
2252:, can be established between these different classes of
2019:. If it satisfies all four conditions, then it is the
5724:
5318:
5137:
4627:
4512:
4324:
4202:
3296:
The generalized inverses of the element 4 in the ring
3104:
The generalized inverses of the element 3 in the ring
2739:
2394:
6092:
6049:
5959:
5923:
5847:
5806:
5702:
5662:
5636:
5604:
5578:
5546:
5507:
5475:
5455:
5435:
5415:
5395:
5296:
5274:
5254:
5234:
5207:
5122:
5079:
5026:
4994:
4974:
4945:
4925:
4846:
4823:
4803:
4770:
4704:
4684:
4615:
4595:
4562:
4500:
4480:
4460:
4437:
4411:
4391:
4299:
4279:
4259:
4187:
4164:
4127:
4107:
4070:
4050:
3987:
3954:
3931:
3848:
3828:
3805:
3722:
3702:
3649:
3614:
3575:
3537:
3492:
3453:
3414:
3375:
3337:
3302:
3261:
3222:
3183:
3145:
3110:
3061:
3025:
3005:
2968:
2948:
2928:
2727:
2696:
2676:
2656:
2636:
2616:
2581:
2382:
2346:
2301:
2281:
2258:
2181:
2131:
2111:
2089:
2049:
2029:
2005:
1981:
1948:
1922:
1853:
1789:
1729:
1687:
1637:
1610:
1557:
1537:
1496:
1470:
1431:
1405:
1385:
1353:
1326:
1273:
1253:
1212:
1186:
1147:
1121:
1101:
1063:
1029:
994:
974:
954:
928:
908:
882:
840:
811:
791:
762:
733:
695:
651:
625:
605:
579:
559:
511:
488:
449:
425:
399:
379:
333:
307:
287:
255:
193:
152:
102:
79:
6505:
Generalized
Inverse of Matrices and its Applications
5449:
for matrix of this form is a generalized inverse of
3689:
The following characterizations are easy to verify:
70:. This article describes generalized inverses of a
482:will be the solution of the system. Note that, if
6535:James, M. (June 1978). "The generalised inverse".
6502:
6430:
6314:
6217:
6160:
6067:
6031:
5938:
5905:
5822:
5785:
5686:
5648:
5622:
5590:
5564:
5532:
5493:
5461:
5441:
5421:
5401:
5379:
5280:
5260:
5240:
5220:
5187:
5106:
5053:
5012:
4980:
4960:
4931:
4907:
4829:
4809:
4785:
4732:
4690:
4670:
4601:
4581:
4548:
4486:
4466:
4443:
4423:
4397:
4377:
4285:
4265:
4245:
4170:
4150:
4113:
4093:
4056:
4036:
3969:
3937:
3917:
3834:
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3791:
3708:
3673:
3635:
3596:
3558:
3516:
3477:
3438:
3399:
3358:
3323:
3285:
3246:
3207:
3166:
3131:
3085:
3031:
3011:
2991:
2954:
2934:
2911:
2702:
2682:
2662:
2642:
2630:is singular and has no regular inverse. However,
2622:
2602:
2564:
2352:
2332:
2287:
2264:
2244:
2167:
2117:
2095:
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2035:
2011:
1987:
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1934:
1905:
1838:
1774:
1714:
1649:
1623:
1596:
1543:
1519:
1482:
1456:
1417:
1391:
1365:
1339:
1312:
1259:
1235:
1198:
1172:
1133:
1107:
1069:
1045:
1015:
980:
960:
940:
914:
894:
861:
823:
797:
777:
748:
716:
679:
637:
611:
591:
565:
542:
494:
474:
431:
411:
385:
361:
319:
293:
270:
235:, this inverse is its unique generalized inverse.
223:
179:
138:
85:
6501:Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971).
6579:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications
2582:
1085:Important types of generalized inverse include:
5656:. In particular, the pseudoinverse is given by
6484:Advanced Robotics: Redundancy and Optimization
6433:Generalized Inverses of Linear Transformations
6429:Campbell, Stephen L.; Meyer, Carl D. (1991).
6404:Generalized Inverses: Theory and Applications
6326:
5107:{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
180:{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
58:. Generalized inverses can be defined in any
8:
6509:. New York: John Wiley & Sons. pp.
5617:
5605:
5559:
5547:
5488:
5476:
2162:
2138:
1971:satisfies the first condition, then it is a
1597:{\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{m}}
1313:{\displaystyle AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{n}}
3636:{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
3597:{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
3559:{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
3359:{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
3324:{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
3167:{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
3132:{\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }
4908:{\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\leftw}
6149:
6138:
6137:
6124:
6110:
6109:
6091:
6055:
6054:
6048:
6020:
6009:
6008:
5991:
5990:
5976:
5958:
5929:
5928:
5922:
5906:{\displaystyle (UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}}
5897:
5887:
5877:
5864:
5846:
5811:
5805:
5774:
5736:
5731:
5719:
5707:
5701:
5661:
5635:
5603:
5577:
5545:
5521:
5506:
5474:
5454:
5434:
5414:
5394:
5368:
5330:
5325:
5313:
5301:
5295:
5273:
5253:
5233:
5212:
5206:
5179:
5144:
5132:
5121:
5092:
5088:
5087:
5078:
5035:
5034:
5025:
5000:
4999:
4993:
4973:
4951:
4950:
4944:
4924:
4887:
4886:
4858:
4857:
4845:
4837:of constants, all solutions are given by
4822:
4802:
4769:
4718:
4703:
4683:
4634:
4622:
4614:
4594:
4567:
4561:
4507:
4499:
4479:
4459:
4436:
4410:
4390:
4366:
4331:
4319:
4310:
4298:
4278:
4258:
4209:
4197:
4186:
4163:
4139:
4133:
4132:
4126:
4106:
4082:
4076:
4075:
4069:
4049:
4025:
4019:
4018:
4005:
3999:
3998:
3986:
3953:
3930:
3909:
3896:
3882:
3860:
3854:
3853:
3847:
3827:
3804:
3780:
3769:
3750:
3734:
3728:
3727:
3721:
3701:
3648:
3629:
3628:
3620:
3616:
3615:
3613:
3590:
3589:
3581:
3577:
3576:
3574:
3552:
3551:
3543:
3539:
3538:
3536:
3491:
3452:
3413:
3374:
3352:
3351:
3343:
3339:
3338:
3336:
3317:
3316:
3308:
3304:
3303:
3301:
3260:
3221:
3182:
3160:
3159:
3151:
3147:
3146:
3144:
3125:
3124:
3116:
3112:
3111:
3109:
3060:
3024:
3004:
2980:
2974:
2973:
2967:
2947:
2927:
2888:
2873:
2859:
2847:
2830:
2818:
2807:
2795:
2789:
2788:
2734:
2726:
2695:
2675:
2655:
2635:
2615:
2580:
2519:
2504:
2485:
2473:
2462:
2389:
2381:
2345:
2321:
2307:
2306:
2300:
2295:is non-singular, any generalized inverse
2280:
2257:
2245:{\displaystyle A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}}
2236:
2211:
2186:
2180:
2130:
2110:
2088:
2054:
2048:
2028:
2004:
1980:
1954:
1953:
1947:
1926:
1924:
1921:
1890:
1889:
1876:
1862:
1861:
1852:
1829:
1828:
1812:
1801:
1800:
1788:
1765:
1764:
1750:
1749:
1735:
1734:
1728:
1696:
1695:
1686:
1636:
1615:
1609:
1588:
1569:
1563:
1562:
1556:
1536:
1508:
1502:
1501:
1495:
1469:
1433:
1432:
1430:
1404:
1384:
1352:
1331:
1325:
1304:
1288:
1282:
1281:
1272:
1252:
1224:
1218:
1217:
1211:
1185:
1149:
1148:
1146:
1120:
1100:
1062:
1034:
1028:
993:
973:
953:
927:
907:
881:
839:
810:
790:
761:
732:
694:
659:
658:
650:
624:
604:
578:
558:
519:
510:
487:
460:
448:
424:
398:
378:
341:
340:
332:
306:
286:
254:
202:
201:
192:
165:
161:
160:
151:
124:
120:
119:
108:
107:
101:
78:
6406:(2nd ed.). New York, NY: Springer.
6350:
6302:
6290:
6273:
6261:
6249:
6234:
2340:and is therefore unique. For a singular
2125:as an inverse that satisfies the subset
6374:
6199:
5020:is a solution, that is, if and only if
3331:are 1, 4, 7, and 10, since in the ring
3051:is a generalized inverse of an element
2333:{\displaystyle A^{\mathrm {g} }=A^{-1}}
968:is said to be a generalized inverse of
680:{\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}
362:{\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}
5630:-inverses are exactly those for which
5572:-inverses are exactly those for which
5501:-inverses are exactly those for which
3822:A left inverse of a non-square matrix
3101:function in any ring is a semigroup).
3043:Inverse of other semigroups (or rings)
2690:is a reflexive generalized inverse of
6362:
6338:
5796:Transformation consistency properties
4151:{\displaystyle B_{\mathrm {L} }^{-1}}
4094:{\displaystyle C_{\mathrm {R} }^{-1}}
2992:{\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}
1520:{\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}}
1457:{\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=m}
1236:{\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}
1173:{\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=n}
224:{\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A.}
146:is a generalized inverse of a matrix
7:
6286:
6284:
6282:
6245:
6243:
6230:
6228:
6226:
6213:
6211:
6209:
6207:
6205:
6203:
5054:{\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}
3139:are 3, 7, and 11, since in the ring
2168:{\displaystyle I\subset \{1,2,3,4\}}
1715:{\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}
6601:Applied Mathematics and Computation
5201:. Then for any generalized inverse
4919:parametric on the arbitrary vector
756:is a solution of the linear system
6139:
6111:
6056:
6043:The unit-consistent (UC) inverse,
6010:
5992:
5930:
5775:
5728:
5518:
5369:
5322:
5180:
5141:
5036:
5001:
4952:
4888:
4859:
4134:
4077:
4020:
4000:
3855:
3729:
3517:{\displaystyle 4\cdot 10\cdot 4=4}
3286:{\displaystyle 3\cdot 11\cdot 3=3}
2975:
2962:has no regular inverse. However,
2790:
2308:
1955:
1891:
1863:
1830:
1802:
1766:
1751:
1736:
1697:
1564:
1503:
1283:
1219:
785:. Equivalently, we need a matrix
203:
109:
14:
6068:{\displaystyle A^{\mathrm {U} },}
5013:{\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}
4988:. Solutions exist if and only if
4589:is the non-singular submatrix of
4494:. Without loss of generality, let
3674:{\displaystyle 2\cdot b\cdot 2=2}
3478:{\displaystyle 4\cdot 7\cdot 4=4}
3439:{\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=4}
3400:{\displaystyle 4\cdot 1\cdot 4=4}
3247:{\displaystyle 3\cdot 7\cdot 3=3}
3208:{\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=3}
3086:{\displaystyle a\cdot b\cdot a=a}
5939:{\displaystyle A^{\mathrm {D} }}
5069:Generalized inverses of matrices
4961:{\displaystyle A^{\mathrm {g} }}
2082:. It is convenient to define an
2074:, after the pioneering works by
1964:{\displaystyle A^{\mathrm {g} }}
1942:denotes conjugate transpose. If
1092:(right inverse or left inverse)
5533:{\displaystyle Z=Y\Sigma _{1}X}
2783:
2455:
232:
50:that has some properties of an
6315:Ben-Israel & Greville 2003
6218:Ben-Israel & Greville 2003
6106:
6093:
5861:
5848:
4968:is any generalized inverse of
4253:for any non-singular matrices
2591:
2585:
2224:
2212:
2199:
2187:
1873:
1854:
1809:
1790:
1445:
1439:
1161:
1155:
1095:Right inverse: If the matrix
671:
665:
353:
347:
66:multiplication, that is, in a
1:
6613:10.1016/S0096-3003(03)00786-0
4582:{\displaystyle B_{r\times r}}
4385:is a generalized inverse of
2369:Reflexive generalized inverse
1997:reflexive generalized inverse
1379:Left inverse: If the matrix
6482:Nakamura, Yoshihiko (1991).
5199:singular-value decomposition
4678:is a generalized inverse of
543:{\displaystyle AA^{-1}A=A.}
6653:
6465:Cambridge University Press
6400:Greville, Thomas Nall Eden
6183:Block matrix pseudoinverse
5389:Conversely, any choice of
4751:system of linear equations
4733:{\displaystyle E=DB^{-1}C}
18:
6327:Campbell & Meyer 1991
2603:{\displaystyle \det(A)=0}
1650:{\displaystyle m\times m}
1483:{\displaystyle m\times n}
1418:{\displaystyle n\times m}
1366:{\displaystyle n\times n}
1199:{\displaystyle m\times n}
1134:{\displaystyle n\times m}
941:{\displaystyle n\times m}
895:{\displaystyle m\times n}
824:{\displaystyle m\times n}
638:{\displaystyle m\times n}
475:{\displaystyle x=A^{-1}y}
320:{\displaystyle n\times m}
6635:Mathematical terminology
6538:The Mathematical Gazette
6305:, pp. 20, 28, 50–51
872:Hence we can define the
5687:{\displaystyle X=Y=Z=0}
5623:{\displaystyle \{1,4\}}
5565:{\displaystyle \{1,3\}}
5494:{\displaystyle \{1,2\}}
5228:, there exist matrices
4817:of unknowns and vector
3093:, in any semigroup (or
1464:, then there exists an
1180:, then there exists an
592:{\displaystyle n\neq m}
6457:Johnson, Charles Royal
6162:
6069:
6033:
5940:
5907:
5824:
5823:{\displaystyle A^{+},}
5787:
5688:
5650:
5624:
5592:
5566:
5534:
5495:
5463:
5443:
5423:
5403:
5381:
5282:
5262:
5242:
5222:
5189:
5108:
5055:
5014:
4982:
4962:
4933:
4909:
4831:
4811:
4787:
4734:
4692:
4672:
4603:
4583:
4550:
4488:
4468:
4445:
4425:
4399:
4379:
4287:
4267:
4247:
4172:
4152:
4115:
4101:is a right inverse of
4095:
4058:
4038:
3971:
3939:
3919:
3836:
3813:
3793:
3710:
3675:
3637:
3598:
3560:
3518:
3479:
3440:
3401:
3360:
3325:
3287:
3248:
3209:
3168:
3133:
3087:
3033:
3013:
2999:is a right inverse of
2993:
2956:
2936:
2913:
2704:
2684:
2664:
2644:
2624:
2604:
2566:
2354:
2334:
2289:
2266:
2246:
2169:
2119:
2097:
2070:and also known as the
2064:
2043:, which is denoted by
2037:
2013:
1989:
1965:
1936:
1935:{\displaystyle {}^{*}}
1907:
1840:
1776:
1716:
1651:
1625:
1598:
1545:
1521:
1484:
1458:
1419:
1393:
1367:
1341:
1314:
1261:
1237:
1200:
1174:
1135:
1109:
1071:
1047:
1046:{\displaystyle A^{-1}}
1017:
1016:{\displaystyle AGA=A.}
982:
962:
942:
916:
896:
876:as follows: Given an
863:
862:{\displaystyle AGA=A.}
825:
799:
779:
750:
718:
717:{\displaystyle AGy=y.}
681:
639:
613:
593:
567:
544:
496:
476:
433:
413:
387:
363:
321:
295:
272:
225:
181:
140:
87:
60:mathematical structure
6163:
6070:
6034:
5941:
5908:
5825:
5788:
5689:
5651:
5625:
5593:
5567:
5535:
5496:
5464:
5444:
5424:
5404:
5382:
5283:
5263:
5243:
5223:
5221:{\displaystyle A^{g}}
5190:
5109:
5056:
5015:
4983:
4963:
4934:
4910:
4832:
4812:
4788:
4735:
4693:
4673:
4604:
4584:
4551:
4489:
4469:
4446:
4426:
4400:
4380:
4288:
4268:
4248:
4173:
4153:
4116:
4096:
4059:
4039:
3972:
3945:has full column rank.
3940:
3920:
3837:
3814:
3794:
3711:
3693:A right inverse of a
3676:
3638:
3599:
3561:
3519:
3480:
3441:
3402:
3361:
3326:
3288:
3249:
3210:
3169:
3134:
3088:
3039:has no left inverse.
3034:
3014:
2994:
2957:
2937:
2914:
2705:
2685:
2665:
2645:
2625:
2605:
2567:
2355:
2335:
2290:
2267:
2247:
2170:
2120:
2098:
2072:Moore–Penrose inverse
2065:
2063:{\displaystyle A^{+}}
2038:
2014:
1990:
1966:
1937:
1908:
1841:
1777:
1717:
1673:Moore–Penrose inverse
1652:
1626:
1624:{\displaystyle I_{m}}
1599:
1546:
1522:
1485:
1459:
1420:
1394:
1368:
1342:
1340:{\displaystyle I_{n}}
1315:
1262:
1238:
1201:
1175:
1136:
1110:
1072:
1048:
1018:
983:
963:
943:
917:
897:
864:
826:
800:
780:
751:
719:
682:
640:
614:
594:
568:
545:
502:is nonsingular, then
497:
477:
434:
414:
388:
364:
322:
296:
273:
226:
182:
141:
88:
30:, and in particular,
21:Moore–Penrose inverse
6303:Rao & Mitra 1971
6291:Rao & Mitra 1971
6274:Rao & Mitra 1971
6262:Rao & Mitra 1971
6250:Rao & Mitra 1971
6090:
6047:
5957:
5921:
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1090:One-sided inverse
1077:by some authors.
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