3763:
3339:
3378:
2988:
3758:{\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha (t)+\alpha (t)\int _{a}^{t}\beta (s)\exp \left(\int _{s}^{t}\beta (r)dr\right)ds\\&\leq \alpha (t)+\alpha (t){\biggl (}{-}\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I.\end{aligned}}}
3334:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s.\end{aligned}}}
6609:
2661:
8651:
1428:
8344:
6298:
7784:
7358:
4831:
2058:
7055:
6313:
5210:
2408:
2435:
2892:
7999:
5447:
8415:
5781:
6078:
5007:
4449:
2192:
5604:
1146:
8123:
1886:
6089:
7569:
6779:
925:
735:
7170:
5228:
times. This is done in Claim 1 using mathematical induction. In Claim 2 we rewrite the measure of a simplex in a convenient form, using the permutation invariance of product measures. In the third step we pass to the limit
4135:
4291:
4669:
1897:
4008:
7159:
1635:
7538:
6604:{\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t)=\int _{[a,t)}u(s)\underbrace {\int _{(s,t)}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q)} _{=\,\mu ^{\otimes n+1}(A_{n+1}(s,t))}\,\mu (\mathrm {d} s)=R_{n+1}(t),\qquad t\in I.}
544:
6869:
5030:
2256:
2656:{\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I,}
1036:
2754:
7817:
8105:
5260:
8646:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\to \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\qquad {\text{as }}n\to \infty }
3383:
2993:
5615:
5917:
5864:
4872:
4310:
632:
2081:
1423:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {u(t)}{v(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-v'(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-\beta (t)\,v(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}\leq 0,\qquad t\in I^{\circ },}
5458:
2980:
8339:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\leq \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}}
6293:{\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t):=\int _{[a,t)}{\biggl (}\int _{[a,q)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s){\biggr )}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q),\qquad t\in I.}
7779:{\displaystyle I_{s,t}^{n}\subset \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\cup \bigcup _{1\leq i<j\leq n}\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\},}
1777:
376:
6660:
1477:
1109:
826:
2734:
1135:
1074:
790:
764:
278:
258:
81:(1877–1932). Grönwall is the Swedish spelling of his name, but he spelled his name as Gronwall in his scientific publications after emigrating to the United States.
232:
7353:{\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\mu ^{\otimes n}(A_{n,\sigma }(s,t))\leq \mu ^{\otimes n}{\bigl (}I_{s,t}^{n}{\bigr )}={\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}.}
2924:
2699:
640:
8114:
4826:{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}
1517:
1497:
948:
810:
567:
456:
436:
416:
396:
342:
322:
298:
133:
4025:
200:
173:
4195:
2053:{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}
8909:
3912:
7066:
1525:
8904:
7435:
7050:{\displaystyle A_{n,\sigma }(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{\sigma (1)}<s_{\sigma (2)}<\cdots <s_{\sigma (n)}\}.}
5205:{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\alpha (t)\int _{a}^{t}\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s=\alpha (t)\exp(c(t-a)),\qquad t\in I.}
2403:{\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}
8914:
2887:{\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}
7994:{\displaystyle |R_{n}(t)|\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{a,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}
464:
5442:{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+R_{n}(t)}
8850:
8821:
8036:
956:
55:
2426:
71:
8675:
51:
104:
8663:
5776:{\displaystyle A_{n}(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}\},\qquad n\geq 1,}
6073:{\displaystyle R_{n}(t)\leq \int _{[a,t)}\alpha (s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+{\tilde {R}}_{n}(t)}
47:. There are two forms of the lemma, a differential form and an integral form. For the latter there are several variants.
5002:{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\int _{a}^{t}\alpha (s)\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}
8899:
8709:(1919), "Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations",
5802:
4444:{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\,\mu (\mathrm {d} s)}
8770:
8683:, for a version of Gronwall's lemma that gives upper and lower bounds to the norm of the state transition matrix.
63:
4624:
is locally finite. Compared to the one given below, their proof does not discuss the behaviour of the remainder
2187:{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}
8706:
78:
5222:
The proof is divided into three steps. The idea is to substitute the assumed integral inequality into itself
36:
5599:{\displaystyle R_{n}(t):=\int _{[a,t)}u(s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I,}
4606:
The version given in the textbook by S. Ethier and T. Kurtz. makes the stronger assumptions that
575:
5875:
3891:
3780:
1655:
136:
40:
8711:
2929:
67:
8883:
8842:
2422:
301:
1881:{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad \forall t\in I,}
7548:
6304:
3842:
349:
6774:{\displaystyle \mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}}
920:{\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}
8736:
8686:
146:
59:
3858:
354:
1436:
1079:
8846:
8817:
8689:. A similar inequality to Gronwall's lemma that is used for differential equations with delay.
44:
8864:
8795:
8779:
8728:
8720:
8680:
4556:
2704:
1114:
1044:
775:
743:
263:
237:
8860:
8791:
8748:
3344:
Substituting this result into the assumed integral inequality gives Grönwall's inequality.
730:{\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}
205:
8868:
8856:
8799:
8787:
8761:
8744:
8732:
2900:
2675:
97:
4130:{\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}
2672:
and the exponential are non-negative, this gives an upper estimate for the derivative of
4286:{\displaystyle \int _{[a,t)}|\alpha (s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,}
50:
Grönwall's inequality is an important tool to obtain various estimates in the theory of
4546:
1502:
1482:
933:
795:
552:
441:
421:
401:
381:
327:
307:
283:
118:
8893:
4560:
1138:
1479:
is non-positive and the function is bounded above by its value at the initial point
2414:
8783:
4003:{\displaystyle \int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,}
84:
The inequality was first proven by Grönwall in 1919 (the integral form below with
8765:
7154:{\displaystyle \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\subset I_{s,t}^{n}.}
4660:
with respect to
Lebesgue measure, then Grönwall's inequality can be rewritten as
1630:{\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a),\qquad t\in I,}
6840:
20:
8879:
7544:
2418:
345:
107:. Other variants and generalizations can be found in Pachpatte, B.G. (1998).
5886:
4509:
The integral in Grönwall's inequality is allowed to give the value infinity.
3784:
2666:
where we used the assumed integral inequality for the upper estimate. Since
1659:
140:
8375:
to derive the above variant of Grönwall's inequality for the function
103:
A nonlinear generalization of the Grönwall–Bellman inequality is known as
7533:{\displaystyle \{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}}
2229:
For a version of Grönwall's inequality which doesn't need continuity of
8740:
5793:
4618:
is bounded on bounded intervals, but doesn't assume that the measure
8724:
5235:
to infinity to derive the desired variant of Grönwall's inequality.
35:) allows one to bound a function that is known to satisfy a certain
539:{\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}
8371:
is non-negative, then it suffices to insert these results into
2926:
from the first step, and then this inequality and the property
1746:
is integrable on every closed and bounded subinterval of
8766:"The stability of solutions of linear differential equations"
8100:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(t)=0,\qquad t\in I.}
5905:: Inserting the assumed integral inequality for the function
1031:{\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),\qquad t\in I^{\circ },}
569:
is bounded by the solution of the corresponding differential
8878:
This article incorporates material from
Gronwall's lemma on
6820:, the claim is true by our definitions. Therefore, consider
5885:
this is just the assumed integral inequality, because the
7363:
Since they all have the same measure with respect to the
4524:
is non-negative, then Grönwall's inequality implies that
2220:
Compared to the differential form, differentiability of
7060:
These sets are disjoint for different permutations and
2205:
There are no assumptions on the signs of the functions
772:
There are no assumptions on the signs of the functions
8372:
7808:
6615:
4494:
There are no continuity assumptions on the functions
100:
proved a slightly more general integral form in 1943.
8418:
8126:
8039:
7820:
7572:
7438:
7173:
7069:
6872:
6663:
6316:
6092:
5920:
5805:
5618:
5461:
5263:
5033:
4875:
4672:
4313:
4198:
4028:
3915:
3381:
3372:, and the fundamental theorem of calculus imply that
2991:
2932:
2903:
2757:
2707:
2678:
2438:
2259:
2084:
1900:
1780:
1528:
1505:
1485:
1439:
1149:
1117:
1082:
1047:
959:
936:
829:
798:
778:
746:
643:
578:
555:
467:
444:
424:
404:
384:
357:
330:
310:
286:
266:
240:
208:
176:
149:
121:
43:
by the solution of the corresponding differential or
8814:
Inequalities for differential and integral equations
8406:
8110:
7804:
8839:Markov Processes, Characterization and Convergence
8645:
8338:
8099:
7993:
7778:
7532:
7352:
7153:
7049:
6773:
6603:
6292:
6072:
5858:
5775:
5598:
5441:
5204:
5001:
4825:
4443:
4285:
4129:
4002:
3757:
3333:
2974:
2918:
2886:
2728:
2693:
2655:
2402:
2186:
2052:
1880:
1629:
1511:
1491:
1471:
1422:
1129:
1103:
1068:
1030:
942:
919:
804:
784:
758:
729:
626:
561:
538:
450:
430:
410:
390:
370:
336:
316:
292:
272:
252:
226:
194:
167:
127:
6207:
6148:
4793:
4750:
3730:
3687:
3629:
3621:
3614:
3571:
3553:
3311:
3176:
3102:
3059:
2868:
2820:
2632:
2585:
2560:
2461:
2331:
2283:
2163:
2120:
2021:
1978:
896:
853:
722:
679:
8884:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
8041:
5859:{\displaystyle \mu ^{\otimes 0}(A_{0}(s,t)):=1.}
8117:of the exponential function imply the estimate
8837:Ethier, Steward N.; Kurtz, Thomas G. (1986),
8623:
8591:
8558:
8525:
8331:
8299:
8266:
8233:
7891:
7858:
7336:
7303:
7293:
7265:
6749:
6716:
5127:
5102:
4969:
4944:
4418:
4386:
1740:are continuous and that the negative part of
8:
7770:
7682:
7527:
7439:
7041:
6907:
6307:to interchange the two integrals, we obtain
5754:
5647:
3857:be a continuous non-negative measure on the
458:) and satisfies the differential inequality
5015:If, in addition, the non-negative function
3353:is non-decreasing, then part (a), the fact
3769:Integral form with locally finite measures
8629:
8622:
8621:
8606:
8590:
8589:
8563:
8557:
8556:
8540:
8524:
8523:
8520:
8508:
8497:
8466:
8450:
8434:
8423:
8417:
8330:
8329:
8314:
8298:
8297:
8271:
8265:
8264:
8248:
8232:
8231:
8228:
8216:
8205:
8174:
8158:
8142:
8131:
8125:
8060:
8044:
8038:
8024:. Hence, the integrability assumption on
7964:
7957:
7952:
7935:
7917:
7896:
7890:
7889:
7873:
7857:
7856:
7853:
7845:
7830:
7821:
7819:
7764:
7751:
7738:
7727:
7711:
7692:
7658:
7624:
7612:
7601:
7588:
7577:
7571:
7521:
7508:
7495:
7484:
7468:
7449:
7437:
7341:
7335:
7334:
7318:
7302:
7301:
7292:
7291:
7285:
7274:
7264:
7263:
7254:
7217:
7201:
7189:
7178:
7172:
7142:
7131:
7097:
7085:
7074:
7068:
7026:
6998:
6976:
6963:
6952:
6936:
6917:
6877:
6871:
6754:
6748:
6747:
6731:
6715:
6714:
6711:
6684:
6668:
6662:
6564:
6546:
6539:
6507:
6485:
6480:
6476:
6459:
6452:
6428:
6412:
6390:
6383:
6352:
6330:
6319:
6318:
6315:
6263:
6256:
6232:
6216:
6206:
6205:
6194:
6187:
6157:
6147:
6146:
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6106:
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6091:
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6021:
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5810:
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3720:
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2320:
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2118:
2083:
2026:
2020:
2019:
2011:
2010:
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1987:
1977:
1976:
1940:
1935:
1899:
1851:
1850:
1820:
1815:
1779:
1722:be real-valued functions defined on
1564:
1529:
1527:
1504:
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309:
285:
265:
239:
207:
175:
148:
120:
8698:
8656:and the integrability of the function
2736:, integration of this inequality from
2241:, see the version in the next section.
1644:Integral form for continuous functions
627:{\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t)}
7:
2226:is not needed for the integral form.
1433:Thus the derivative of the function
4545:is essential for the result. For a
8640:
8051:
7965:
7391:, the claimed inequality follows.
6547:
6460:
6264:
6195:
6029:
5570:
5407:
5134:
4976:
4800:
4784:
4431:
4264:
4251:
4101:
4019:satisfies the integral inequality
3981:
3968:
3884:(this is certainly satisfied when
3721:
3605:
3317:
3300:
3253:
3214:
3093:
3037:
2975:{\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}}
2874:
2859:
2623:
2526:
2377:
2322:
2154:
2066:(b) If, in addition, the function
2027:
2012:
1863:
1852:
887:
713:
159:
14:
8910:Stochastic differential equations
8666:to derive Grönwall's inequality.
5244:Claim 1: Iterating the inequality
1768:satisfies the integral inequality
56:stochastic differential equations
7551:its measure with respect to the
4845:is non-negative and the density
4304:satisfies Grönwall's inequality
1640:which is Grönwall's inequality.
8905:Ordinary differential equations
8628:
8084:
7978:
6629:Claim 2: Measure of the simplex
6588:
6277:
5760:
5583:
5189:
4986:
4810:
4612:is a non-negative constant and
4270:
4114:
3987:
3738:
2640:
2429:, we obtain for the derivative
2427:fundamental theorem of calculus
2387:
2171:
2037:
1862:
1614:
1400:
1008:
904:
516:
58:. In particular, it provides a
8882:, which is licensed under the
8676:Stochastic Gronwall inequality
8637:
8618:
8599:
8580:
8552:
8533:
8487:
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8459:
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8307:
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8241:
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8192:
8180:
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8048:
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7961:
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7936:
7930:
7918:
7885:
7866:
7846:
7842:
7836:
7822:
7793:Proof of Grönwall's inequality
7789:the claimed equality follows.
7717:
7685:
7648:
7636:
7474:
7442:
7415:. Then, for different indices
7330:
7311:
7244:
7241:
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4222:
4216:
4204:
4180:is integrable with respect to
4108:
4097:
4090:
4084:
4076:
4064:
4053:
4047:
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4032:
3975:
3964:
3956:
3952:
3946:
3939:
3933:
3921:
3900:is integrable with respect to
3716:
3710:
3676:
3670:
3600:
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2761:
2717:
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2613:
2574:
2568:
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2547:
2521:
2515:
2509:
2503:
2479:
2473:
2453:
2447:
2372:
2366:
2360:
2354:
2317:
2311:
2269:
2263:
2149:
2143:
2109:
2103:
2094:
2088:
2007:
2001:
1967:
1961:
1955:
1949:
1925:
1919:
1910:
1904:
1847:
1841:
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1829:
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1799:
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1784:
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1602:
1590:
1584:
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1570:
1555:
1549:
1541:
1535:
1466:
1460:
1449:
1443:
1385:
1379:
1364:
1358:
1351:
1345:
1338:
1332:
1323:
1317:
1310:
1304:
1284:
1278:
1263:
1257:
1250:
1244:
1230:
1224:
1217:
1211:
1191:
1185:
1177:
1171:
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1086:
1057:
1051:
1002:
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989:
983:
974:
968:
882:
876:
839:
833:
708:
702:
668:
662:
653:
647:
621:
615:
608:
602:
593:
587:
510:
504:
497:
491:
482:
476:
221:
209:
189:
177:
162:
150:
1:
8816:. San Diego: Academic Press.
8784:10.1215/s0012-7094-43-01059-2
8664:dominated convergence theorem
7807:implies for the remainder of
7547:, hence by an application of
168:{\displaystyle [a,\infty )}
33:Grönwall–Bellman inequality
8931:
8915:Probabilistic inequalities
7792:
371:{\displaystyle I^{\circ }}
62:that can be used to prove
7797:For every natural number
6850:}. For every permutation
6633:For every natural number
5911:into the remainder gives
5248:For every natural number
4857:is bounded by a constant
4518:is the zero function and
4473:denotes to open interval
1472:{\displaystyle u(t)/v(t)}
1104:{\displaystyle v(t)>0}
105:Bihari–LaSalle inequality
8812:Pachpatte, B.G. (1998).
2897:Using the definition of
2421:, the derivative of the
8365:. If the function
6639:including zero and all
5021:is non-decreasing, then
2072:is non-decreasing, then
1762:is non-negative and if
418:without the end points
72:Picard–Lindelöf theorem
8647:
8519:
8445:
8340:
8227:
8153:
8101:
8004:By assumption we have
7995:
7780:
7534:
7375:, and since there are
7354:
7155:
7051:
6839:denote the set of all
6784:with equality in case
6775:
6605:
6305:Fubini–Tonelli theorem
6294:
6074:
5876:mathematical induction
5860:
5777:
5600:
5443:
5354:
5206:
5003:
4827:
4445:
4287:
4131:
4004:
3892:locally finite measure
3759:
3335:
2976:
2920:
2888:
2730:
2729:{\displaystyle v(a)=0}
2695:
2657:
2404:
2188:
2054:
1882:
1631:
1513:
1493:
1473:
1424:
1131:
1130:{\displaystyle t\in I}
1105:
1070:
1069:{\displaystyle v(a)=1}
1032:
944:
921:
806:
786:
785:{\displaystyle \beta }
760:
759:{\displaystyle t\in I}
731:
628:
563:
540:
452:
432:
412:
392:
372:
338:
318:
294:
274:
273:{\displaystyle \beta }
254:
253:{\displaystyle a<b}
228:
196:
169:
129:
8843:John Wiley & Sons
8648:
8493:
8419:
8341:
8201:
8127:
8115:series representation
8102:
7996:
7781:
7535:
7382:permutations in
7355:
7156:
7052:
6776:
6606:
6295:
6075:
5861:
5778:
5601:
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