79:
were formal consequences of a small number of axioms. These axioms hold in many cases completely unrelated to the original context, and therefore the formal consequences also hold. The six operations formalism has since been shown to apply to contexts such as
1172:
1285:
1777:
532:. Finally, when working with abelian sheaves, there is a tensor product functor ⊗ and an internal Hom functor, and these are adjoint. The six operations are the corresponding functors on the derived category:
1056:
840:
924:
1417:
2168:
2080:
1992:
1904:
1511:
1681:
1062:
1178:
657:
1552:
611:
591:
530:
492:
457:
430:
374:
347:
316:
289:
248:
216:
184:
152:
1687:
2339:
955:
1312:
2370:
221:
189:
93:
756:
846:
2086:
1998:
1910:
1822:
2418:
2189:
2184:
2423:
2283:
Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2005). "The six operations for sheaves on Artin stacks I: Finite coefficients".
1436:
1625:
39:
2413:
157:
2259:
125:
97:
55:
89:
85:
51:
43:
2301:
Les six opérations de
Grothendieck et le formalisme des cycles Ă©vanescents dans le monde motivique
1167:{\displaystyle \operatorname {RHom} _{Y}(Rf_{!}M,N)\to Rf_{*}\operatorname {RHom} _{X}(M,f^{!}N),}
17:
2345:
2317:
2284:
2249:
1280:{\displaystyle f^{!}\operatorname {RHom} _{Y}(M,N)\to \operatorname {RHom} _{X}(Lf^{*}M,f^{!}N).}
113:
2366:
2335:
2399:
What (if anything) unifies stable homotopy theory and
Grothendieck's six functors formalism?
2327:
2299:
2179:
632:
495:
403:
1537:
596:
576:
508:
470:
435:
408:
352:
325:
294:
267:
226:
194:
162:
130:
2199:
2194:
1534:
are the units of the tensor product operations (which vary depending on which category of
319:
117:
2238:
2220:
2263:
1422:
where the first two maps are the counit and unit, respectively of the adjunctions. If
253:
2407:
2349:
258:
71:. The basic insight was that many of the elementary facts relating cohomology on
31:
2386:
2331:
683:
1772:{\displaystyle D_{X}(M\otimes D_{X}(M'))\to \operatorname {RHom} (M,M'),}
1051:{\displaystyle (Rf_{!}M)\otimes _{Y}N\to Rf_{!}(M\otimes _{X}Lf^{*}N),}
376:. Similarly, internal tensor product is left adjoint to internal Hom.
109:
2289:
2254:
2398:
2322:
1306:, then there is a distinguished triangle in the derived category:
2390:
1412:{\displaystyle Rj_{!}j^{!}\to 1\to Ri_{*}i^{*}\to Rj_{!}j^{!},}
2359:
Le formalisme des six opérations de
Grothendieck pour les D
835:{\displaystyle Lg^{*}\circ Rf_{!}\to Rf'_{!}\circ Lg'^{*},}
919:{\displaystyle Rg'_{*}\circ f'^{!}\to f^{!}\circ Rg_{*}.}
750:, respectively, then there exist natural isomorphisms:
621:. In SGA 4 III, Grothendieck and Artin proved that if
2089:
2001:
1913:
1825:
1690:
1628:
1540:
1439:
1315:
1181:
1065:
958:
849:
759:
635:
599:
579:
511:
473:
438:
411:
355:
328:
297:
270:
229:
197:
165:
133:
573:
Suppose that we restrict ourselves to a category of
2312:Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019).
2163:{\displaystyle D_{Y}(f_{*}M)\cong f_{!}(D_{X}(M)).}
2075:{\displaystyle D_{Y}(f_{!}M)\cong f_{*}(D_{X}(M)),}
1987:{\displaystyle D_{X}(f^{!}N)\cong f^{*}(D_{Y}(N)),}
1899:{\displaystyle D_{X}(f^{*}N)\cong f^{!}(D_{Y}(N)),}
1579:is an invertible object in the derived category on
2365:. Travaux en Cours. Vol. 35. Paris: Hermann.
2162:
2074:
1986:
1898:
1771:
1675:
1546:
1505:
1411:
1279:
1166:
1050:
918:
834:
651:
605:
585:
524:
486:
451:
424:
402:induces several functors. Specifically, it gives
368:
341:
310:
283:
242:
210:
178:
146:
933:is separated and of finite type, for any objects
1554:-adic torsion sheaves is under consideration).
2239:"Isomorphisms between left and right adjoints"
494:of direct image with proper support. In the
50:. It originally sprang from the relations in
8:
1430:are regular, then there is an isomorphism:
2221:"An introduction to six-functor formalism"
2321:
2288:
2253:
2139:
2126:
2107:
2094:
2088:
2051:
2038:
2019:
2006:
2000:
1963:
1950:
1931:
1918:
1912:
1875:
1862:
1843:
1830:
1824:
1808:are objects in the derived categories of
1714:
1695:
1689:
1652:
1639:
1627:
1539:
1494:
1484:
1444:
1438:
1391:
1381:
1365:
1355:
1333:
1323:
1314:
1262:
1246:
1227:
1196:
1186:
1180:
1149:
1127:
1117:
1089:
1070:
1064:
1033:
1020:
1004:
985:
969:
957:
907:
891:
877:
857:
848:
822:
799:
783:
767:
758:
643:
634:
598:
578:
516:
510:
478:
472:
443:
437:
416:
410:
360:
354:
333:
327:
302:
296:
275:
269:
234:
228:
202:
196:
170:
164:
138:
132:
2314:Triangulated categories of mixed motives
1506:{\displaystyle 1_{Z}(-c)\to i^{!}1_{S},}
398:be a morphism of schemes. The morphism
2211:
1816:, then there are natural isomorphisms:
874:
819:
222:proper (or extraordinary) inverse image
2316:. Springer Monographs in Mathematics.
190:proper (or extraordinary) direct image
112:. Usually these are functors between
1676:{\displaystyle M\to D_{X}(D_{X}(M)),}
697:is separated and of finite type. If
459:between the categories of sheaves on
7:
2237:Fausk, H.; P. Hu; J. P. May (2003).
949:, there exist natural isomorphisms:
613:is coprime to the characteristic of
1615:′ in the derived category on
734:′ denote the base changes of
711:is another morphism of schemes, if
116:and so are actually left and right
1302:with complementary open immersion
686:and denotes a shift in degree by
380:Six operations in Ă©tale cohomology
94:locally compact topological spaces
25:
18:Grothendieck's six operations
625:is smooth of relative dimension
27:Formalism in homological algebra
1782:are isomorphisms. Finally, if
2154:
2151:
2145:
2132:
2116:
2100:
2066:
2063:
2057:
2044:
2028:
2012:
1978:
1975:
1969:
1956:
1940:
1924:
1890:
1887:
1881:
1868:
1852:
1836:
1763:
1746:
1737:
1734:
1731:
1720:
1701:
1667:
1664:
1658:
1645:
1632:
1477:
1474:
1462:
1459:
1450:
1403:
1397:
1371:
1345:
1339:
1271:
1236:
1220:
1217:
1205:
1158:
1136:
1107:
1104:
1079:
1042:
1010:
994:
978:
959:
884:
789:
54:that arise from a morphism of
1:
693:. Furthermore, suppose that
593:-adic torsion sheaves, where
36:Grothendieck's six operations
945:in the derived category of
937:in the derived category of
718:denotes the base change of
467:, and it gives the functor
2440:
2357:Mebkhout, Zoghman (1989).
2190:Image functors for sheaves
2185:Grothendieck local duality
2332:10.1007/978-3-030-33242-6
2219:Gallauer, Martin (2021).
1294:is a closed immersion of
505:admits a right adjoint
108:The operations are six
2164:
2076:
1988:
1900:
1773:
1677:
1619:, the canonical maps:
1548:
1507:
1413:
1281:
1168:
1052:
920:
836:
653:
652:{\displaystyle Lf^{*}}
607:
587:
526:
488:
453:
426:
370:
343:
312:
285:
244:
212:
180:
148:
40:Alexander Grothendieck
2165:
2077:
1989:
1901:
1774:
1678:
1607:. Then, for objects
1549:
1547:{\displaystyle \ell }
1508:
1414:
1282:
1169:
1053:
921:
837:
654:
608:
606:{\displaystyle \ell }
588:
586:{\displaystyle \ell }
527:
525:{\displaystyle f^{!}}
489:
487:{\displaystyle f_{!}}
454:
452:{\displaystyle f_{*}}
427:
425:{\displaystyle f^{*}}
371:
369:{\displaystyle f^{!}}
344:
342:{\displaystyle f_{!}}
313:
311:{\displaystyle f_{*}}
286:
284:{\displaystyle f^{*}}
245:
243:{\displaystyle f^{!}}
213:
211:{\displaystyle f_{!}}
181:
179:{\displaystyle f^{*}}
149:
147:{\displaystyle f_{*}}
48:six-functor formalism
2087:
1999:
1911:
1823:
1688:
1626:
1538:
1437:
1313:
1179:
1063:
956:
929:Again assuming that
847:
757:
633:
597:
577:
509:
471:
436:
409:
353:
326:
295:
268:
227:
195:
163:
131:
46:, also known as the
42:, is a formalism in
2419:Homological algebra
2264:2002math......6079F
2246:Theory Appl. Categ.
865:
807:
86:algebraic varieties
44:homological algebra
2363:-modules cohérents
2160:
2072:
1984:
1896:
1769:
1673:
1596:to be the functor
1544:
1503:
1409:
1277:
1164:
1048:
916:
853:
832:
795:
649:
603:
583:
522:
484:
449:
422:
366:
339:
308:
281:
240:
208:
176:
144:
114:derived categories
2341:978-3-030-33241-9
1800:-schemes, and if
1796:is a morphism of
659:is isomorphic to
16:(Redirected from
2431:
2424:Duality theories
2376:
2353:
2325:
2308:
2306:
2294:
2292:
2275:
2274:
2272:
2270:
2257:
2243:
2234:
2228:
2227:
2225:
2216:
2180:Coherent duality
2169:
2167:
2166:
2161:
2144:
2143:
2131:
2130:
2112:
2111:
2099:
2098:
2081:
2079:
2078:
2073:
2056:
2055:
2043:
2042:
2024:
2023:
2011:
2010:
1993:
1991:
1990:
1985:
1968:
1967:
1955:
1954:
1936:
1935:
1923:
1922:
1905:
1903:
1902:
1897:
1880:
1879:
1867:
1866:
1848:
1847:
1835:
1834:
1795:
1778:
1776:
1775:
1770:
1762:
1730:
1719:
1718:
1700:
1699:
1682:
1680:
1679:
1674:
1657:
1656:
1644:
1643:
1606:
1586:
1583:with respect to
1574:
1553:
1551:
1550:
1545:
1533:
1524:
1512:
1510:
1509:
1504:
1499:
1498:
1489:
1488:
1449:
1448:
1418:
1416:
1415:
1410:
1396:
1395:
1386:
1385:
1370:
1369:
1360:
1359:
1338:
1337:
1328:
1327:
1286:
1284:
1283:
1278:
1267:
1266:
1251:
1250:
1232:
1231:
1201:
1200:
1191:
1190:
1173:
1171:
1170:
1165:
1154:
1153:
1132:
1131:
1122:
1121:
1094:
1093:
1075:
1074:
1057:
1055:
1054:
1049:
1038:
1037:
1025:
1024:
1009:
1008:
990:
989:
974:
973:
925:
923:
922:
917:
912:
911:
896:
895:
883:
882:
881:
861:
841:
839:
838:
833:
828:
827:
826:
803:
788:
787:
772:
771:
717:
710:
706:′ →
692:
677:
669:
658:
656:
655:
650:
648:
647:
612:
610:
609:
604:
592:
590:
589:
584:
569:
565:
561:
555:
546:
537:
531:
529:
528:
523:
521:
520:
496:derived category
493:
491:
490:
485:
483:
482:
458:
456:
455:
450:
448:
447:
431:
429:
428:
423:
421:
420:
404:adjoint functors
397:
375:
373:
372:
367:
365:
364:
348:
346:
345:
340:
338:
337:
317:
315:
314:
309:
307:
306:
290:
288:
287:
282:
280:
279:
249:
247:
246:
241:
239:
238:
217:
215:
214:
209:
207:
206:
185:
183:
182:
177:
175:
174:
153:
151:
150:
145:
143:
142:
118:derived functors
70:
52:Ă©tale cohomology
21:
2439:
2438:
2434:
2433:
2432:
2430:
2429:
2428:
2404:
2403:
2383:
2373:
2362:
2356:
2342:
2311:
2304:
2298:Ayoub, Joseph.
2297:
2282:
2279:
2278:
2268:
2266:
2241:
2236:
2235:
2231:
2223:
2218:
2217:
2213:
2208:
2200:Change of rings
2195:Verdier duality
2176:
2135:
2122:
2103:
2090:
2085:
2084:
2047:
2034:
2015:
2002:
1997:
1996:
1959:
1946:
1927:
1914:
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