2870:
2505:
35:
2865:{\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}}
2074:
6579:
3763:
4081:
1579:
157:, or more generally their characteristic classes in (co)homology or algebraic analogues thereof. The classical Riemann–Roch theorem does this for curves and line bundles, whereas the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem generalises this to vector bundles over manifolds. The Grothendieck–Riemann–Roch theorem sets both theorems in a relative situation of a
3542:
4503:
3897:
944:
2069:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}}
3908:
1138:
3758:{\displaystyle \mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))}
4378:
5665:
2410:
5444:
4836:
3039:
2972:
4290:
5037:
3534:
5741:, whereas Grothendieck saw it as a theorem about a morphism between varieties. By finding the right generalization, the proof became simpler while the conclusion became more general. In short, Grothendieck applied a strong
2474:
3369:
1407:
A version of
Riemann–Roch theorem for oriented cohomology theories was proven by Ivan Panin and Alexander Smirnov. It is concerned with multiplicative operations between algebraic oriented cohomology theories (such as
728:
5559:
3774:
810:
4076:{\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}
352:
4753:
1014:
996:. Thus the theorem gives a precise measure for the lack of commutativity of taking the push forwards in the above senses and the Chern character and shows that the needed correction factors depend on
4939:
4383:
2510:
1584:
3087:
4195:
1376:
509:
3443:
5295:
3305:
2346:
5224:
4120:
580:
5737:
The significance of
Grothendieck's approach rests on several points. First, Grothendieck changed the statement itself: the theorem was, at the time, understood to be a theorem about a
3269:
798:
2198:
One of the advantages of the
Grothendieck–Riemann–Roch formula is it can be interpreted as a relative version of the Hirzebruch–Riemann–Roch formula. For example, a smooth morphism
6148:
5808:
399:
2145:
4370:
5330:
6044:
982:
4568:
2274:
2228:
547:
2905:
6605:
4528:
3195:
3141:
2250:
1220:
5325:
4498:{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}}
3222:
3168:
3114:
6194:
1256:
256:
6002:
5705:
5163:
5106:
4313:
1571:
5567:
1449:
1291:
1168:
4339:
1539:
6539:
4143:
2351:
603:
5130:
5070:
4648:
4628:
4608:
4588:
3463:
2494:
2310:
2188:
2168:
1509:
1489:
1469:
4764:
5449:
2977:
2910:
4206:
6102:
Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de
Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics
6359:
4947:
4570:
have a description using the
Grothendieck–Riemann–Roch formula as well, showing another non-trivial case where the formula holds. For a smooth variety
3468:
2415:
6399:
1397:
119:
86:
3314:
6610:
5766:
3892:{\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},}
939:{\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).}
617:
90:
6129:
5935:
266:
is canonically isomorphic to the
Grothendieck group of bounded complexes of finite-rank vector bundles. Using this isomorphism, consider the
1491:(defined as the degree of its determinant; or equivalently the degree of its first Chern class) on a smooth projective curve over a field
1386:
284:
6514:
6504:
6489:
6409:
6549:
196:
wrote up and published
Grothendieck's proof in 1958. Later, Grothendieck and his collaborators simplified and generalized the proof.
6283:
6206:
6564:
6113:
1412:). The Grothendieck-Riemann-Roch is a particular case of this result, and the Chern character comes up naturally in this setting.
1327:
Generalisations of the theorem can be made to the non-smooth case by considering an appropriate generalisation of the combination
1133:{\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),}
4656:
177:
76:
1379:
6559:
6554:
6529:
4848:
6384:
6352:
6186:
5785:
A. Grothendieck. Classes de faisceaux et théorème de
Riemann–Roch (1957). Published in SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.
6379:
6494:
6109:
3044:
6519:
4151:
1330:
443:
6544:
6524:
6305:
3374:
5235:
3274:
2315:
5171:
5073:
2281:
3308:
6615:
6583:
6345:
4089:
552:
6534:
127:
94:
6424:
6389:
5109:
3227:
743:
6444:
212:
135:
360:
6459:
6093:
5715:
2085:
185:
58:
6484:
5746:
4344:
184:
analogues of the
Grothendieck–Riemann–Roch theorem can be proved using the index theorem for families.
6007:
2230:
has fibers which are all equi-dimensional (and isomorphic as topological spaces when base changing to
953:
6246:
5731:
734:
162:
142:
4541:
2255:
2201:
520:
6509:
6419:
6404:
2878:
1409:
216:
170:
115:
4511:
3173:
3119:
2233:
1512:
1177:
6429:
6236:
5915:
5754:
5750:
5723:
5303:
3200:
3146:
3092:
1301:
220:
154:
107:
48:
17:
5660:{\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)}
6499:
6439:
6279:
6202:
6167:
6143:
6125:
6067:
5931:
5799:
5738:
5719:
5671:
1390:
1225:
225:
193:
5974:
5677:
5135:
5078:
4298:
1544:
6434:
6414:
6368:
6299:
6271:
6220:
6157:
6117:
6089:
6057:
5923:
5817:
1428:
434:
181:
123:
6216:
6179:
5831:
2405:{\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}
1269:
1146:
34:
6479:
6454:
6224:
6212:
6198:
6175:
5873:
5827:
5742:
5439:{\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))}
1263:
515:
422:
267:
259:
4318:
1518:
6250:
4831:{\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0}
4125:
585:
6469:
6464:
6331:
5115:
5055:
4633:
4613:
4593:
4573:
3448:
3034:{\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}
2967:{\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}
2479:
2295:
2173:
2153:
1494:
1474:
1454:
1005:
989:
430:
418:
263:
5734:
to understand it. The final published paper was in effect the Borel–Serre exposition.
4285:{\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),}
6599:
5911:
2277:
271:
209:
166:
165:) and changes the theorem from a statement about a single bundle, to one applying to
150:
5803:
6449:
6320:
6309:
6139:
5869:
5795:
5727:
189:
5032:{\displaystyle 1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})}
6275:
5971:"The projectivity of the moduli space of stable curves, III: The line bundles on
5927:
3529:{\displaystyle \omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}
6474:
6097:
131:
103:
6062:
2469:{\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}}
5718:'s version of the Riemann–Roch theorem was originally conveyed in a letter to
5300:
corresponding to the marked points. Since each fiber has the canonical bundle
1316:
985:
146:
6171:
6071:
3364:{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}
5052:
Grothendieck–Riemann–Roch can be used in proving that a coarse moduli space
414:
402:
176:
The theorem has been very influential, not least for the development of the
6327:
5970:
5112:. This can be accomplished by looking at canonically associated sheaves on
1293:
is simply a vector bundle, known as the tangent bundle along the fibers of
6258:
5855:
549:
between smooth quasi-projective schemes and a bounded complex of sheaves
158:
2252:). This fact is useful in moduli-theory when considering a moduli space
1004:
only. In fact, since the Todd genus is functorial and multiplicative in
723:{\displaystyle f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)}
6162:
6121:
5822:
5554:{\displaystyle \chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).}
275:
6259:"Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties"
5856:"Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties"
6337:
6316:
6241:
1573:
a point, then the
Grothendieck–Riemann–Roch formula can be read as
5132:
and studying the degree of associated line bundles. For instance,
2280:
used this formula to deduce relationships of the Chow ring on the
347:{\displaystyle \mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),}
6341:
5916:"Towards an Enumerative Geometry of the Moduli Space of Curves"
39:
Grothendieck's comment on the Grothendieck–Riemann–Roch theorem
6319:"how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on
3271:
of the smooth locus using Grothendieck–Riemann–Roch. Because
1307:, the Grothendieck–Riemann–Roch theorem has been extended by
5015:
4992:
4966:
4868:
4811:
4794:
4777:
4676:
4351:
4047:
4028:
3989:
3970:
3868:
3840:
3814:
3732:
3713:
3671:
3652:
3598:
3579:
3508:
3482:
3408:
3382:
3346:
3323:
3282:
3247:
3064:
3014:
2990:
2947:
2923:
2796:
2772:
2703:
2679:
2616:
2592:
2546:
2522:
2445:
2423:
2387:
2365:
2323:
2261:
1086:
1042:
899:
838:
560:
6197:. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York:
5108:, admits an embedding into a projective space, hence is a
4748:{\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)!}
1404:
is a point and the field is the field of complex numbers.
1008:, we can rewrite the Grothendieck–Riemann–Roch formula as
188:
gave a first proof in a 1957 manuscript, later published.
6233:
On the Riemann-Roch formula without projective hypothesis
4508:
which can be deduced by analyzing the Chern character of
4934:{\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)!}
808:
6010:
5977:
5680:
5570:
5452:
5333:
5306:
5238:
5174:
5138:
5118:
5081:
5058:
4950:
4851:
4767:
4659:
4636:
4616:
4596:
4576:
4544:
4514:
4381:
4347:
4321:
4301:
4209:
4154:
4128:
4122:
can then be reduced even further. In even dimensions
4092:
3911:
3777:
3545:
3471:
3451:
3377:
3317:
3277:
3230:
3203:
3176:
3149:
3122:
3095:
3047:
2980:
2913:
2881:
2508:
2482:
2418:
2354:
2318:
2298:
2258:
2236:
2204:
2176:
2156:
2150:
This formula also holds for coherent sheaves of rank
2088:
1582:
1547:
1521:
1497:
1477:
1457:
1431:
1333:
1272:
1228:
1180:
1149:
1017:
956:
813:
746:
620:
588:
555:
523:
446:
363:
287:
228:
5722:
around 1956–1957. It was made public at the initial
126:, which is itself a generalisation of the classical
2974:is the relative dualizing sheaf. Note the fiber of
82:
72:
64:
54:
44:
6038:
5996:
5699:
5659:
5553:
5438:
5319:
5289:
5218:
5157:
5124:
5100:
5064:
5031:
4933:
4830:
4747:
4642:
4622:
4602:
4582:
4562:
4522:
4497:
4364:
4333:
4307:
4284:
4189:
4137:
4114:
4075:
3891:
3757:
3528:
3457:
3437:
3363:
3299:
3263:
3216:
3189:
3162:
3135:
3108:
3082:{\displaystyle \in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}
3081:
3033:
2966:
2899:
2864:
2488:
2468:
2404:
2340:
2304:
2276:parameterizing smooth proper spaces. For example,
2268:
2244:
2222:
2182:
2162:
2139:
2068:
1565:
1533:
1503:
1483:
1463:
1443:
1370:
1285:
1250:
1214:
1162:
1132:
976:
938:
792:
722:
597:
574:
541:
503:
393:
346:
250:
4190:{\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.}
1389:extends the Grothendieck–Riemann–Roch theorem to
6308:"Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on
6195:Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
5362:
1371:{\displaystyle \mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)}
504:{\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).}
3438:{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=}
6112:(in French). Vol. 225. Berlin; New York:
5753:, as discussed above, which paved the way for
5290:{\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}}
3300:{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}
2341:{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}
1308:
6353:
6149:Bulletin de la Société Mathématique de France
5809:Bulletin de la Société Mathématique de France
5219:{\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}}
8:
6395:Grothendieck–Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
3116:. He was able to find relations between the
1560:
1554:
27:
4115:{\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )}
2496:and one marked point. Then, he defines the
575:{\displaystyle {{\mathcal {F}}^{\bullet }}}
433:, the latter group maps to the topological
6360:
6346:
6338:
1378:and to the non-proper case by considering
33:
26:
6606:Topological methods of algebraic geometry
6540:Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
6266:"The Grothendieck Riemann–Roch theorem".
6240:
6161:
6061:
6024:
6013:
6012:
6009:
5982:
5976:
5821:
5685:
5679:
5640:
5629:
5619:
5608:
5575:
5569:
5531:
5522:
5510:
5505:
5492:
5487:
5468:
5457:
5451:
5416:
5407:
5395:
5390:
5377:
5368:
5338:
5332:
5311:
5305:
5275:
5256:
5243:
5237:
5204:
5185:
5173:
5143:
5137:
5117:
5086:
5080:
5057:
5020:
5014:
5013:
4997:
4991:
4990:
4971:
4965:
4964:
4949:
4898:
4873:
4867:
4866:
4856:
4850:
4816:
4810:
4809:
4799:
4793:
4792:
4782:
4776:
4775:
4766:
4706:
4681:
4675:
4674:
4664:
4658:
4635:
4615:
4595:
4575:
4543:
4516:
4515:
4513:
4480:
4475:
4469:
4455:
4450:
4444:
4431:
4417:
4403:
4390:
4382:
4380:
4356:
4350:
4349:
4346:
4320:
4300:
4264:
4247:
4237:
4236:
4227:
4214:
4208:
4172:
4164:
4163:
4155:
4153:
4127:
4105:
4104:
4093:
4091:
4058:
4046:
4044:
4043:
4038:
4027:
4025:
4024:
4023:
4010:
4005:
3988:
3986:
3985:
3980:
3969:
3967:
3966:
3965:
3953:
3944:
3924:
3923:
3912:
3910:
3874:
3873:
3867:
3866:
3850:
3839:
3837:
3836:
3830:
3824:
3813:
3811:
3810:
3808:
3803:
3794:
3784:
3779:
3776:
3743:
3731:
3729:
3728:
3723:
3712:
3710:
3709:
3708:
3695:
3687:
3670:
3668:
3667:
3662:
3651:
3649:
3648:
3647:
3632:
3623:
3597:
3595:
3594:
3589:
3578:
3576:
3575:
3574:
3561:
3546:
3544:
3518:
3507:
3505:
3504:
3498:
3492:
3481:
3479:
3478:
3476:
3470:
3450:
3424:
3418:
3407:
3405:
3404:
3391:
3381:
3379:
3376:
3355:
3345:
3343:
3333:
3322:
3320:
3319:
3316:
3291:
3281:
3279:
3276:
3264:{\displaystyle A^{*}({\mathcal {M}}_{g})}
3252:
3246:
3245:
3235:
3229:
3208:
3202:
3181:
3175:
3154:
3148:
3127:
3121:
3100:
3094:
3073:
3063:
3061:
3046:
3023:
3013:
3011:
3005:
2999:
2989:
2987:
2985:
2979:
2956:
2946:
2944:
2938:
2932:
2922:
2920:
2918:
2912:
2880:
2851:
2850:
2841:
2824:
2805:
2795:
2793:
2787:
2781:
2771:
2769:
2767:
2754:
2739:
2738:
2719:
2712:
2702:
2700:
2694:
2688:
2678:
2676:
2674:
2661:
2644:
2625:
2615:
2613:
2607:
2601:
2591:
2589:
2587:
2574:
2555:
2545:
2543:
2537:
2531:
2521:
2519:
2517:
2509:
2507:
2481:
2454:
2444:
2442:
2432:
2422:
2420:
2417:
2396:
2386:
2384:
2374:
2364:
2362:
2353:
2332:
2322:
2320:
2317:
2297:
2260:
2259:
2257:
2238:
2237:
2235:
2203:
2175:
2155:
2087:
2013:
2000:
1985:
1961:
1948:
1922:
1909:
1894:
1870:
1851:
1822:
1809:
1794:
1761:
1739:
1708:
1691:
1682:
1653:
1625:
1602:
1587:
1583:
1581:
1546:
1520:
1496:
1476:
1456:
1430:
1351:
1334:
1332:
1277:
1271:
1233:
1227:
1194:
1179:
1154:
1148:
1115:
1100:
1091:
1085:
1084:
1072:
1063:
1047:
1041:
1040:
1033:
1018:
1016:
957:
955:
913:
904:
898:
897:
885:
876:
852:
843:
837:
836:
829:
814:
812:
793:{\displaystyle f_{*}\colon A(X)\to A(Y),}
751:
745:
705:
683:
670:
660:
650:
625:
619:
587:
565:
559:
558:
556:
554:
522:
491:
490:
451:
445:
384:
383:
368:
362:
334:
333:
303:
288:
286:
233:
227:
6257:Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2000).
6231:Navarro, Alberto; Navarro, José (2017),
5854:Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2002).
5327:, there are the associated line bundles
5074:moduli space of pointed algebraic curves
4315:is a class on the boundary. In the case
1400:is (essentially) the special case where
6146:(1958), "Le théorème de Riemann–Roch",
5778:
3465:. He uses Grothendieck–Riemann–Roch on
3311:, he considered a covering by a scheme
2476:is the moduli stack of curves of genus
161:between two manifolds (or more general
6300:The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem
6004:, and a proof of the projectivity of
394:{\displaystyle A_{d}(X,\mathbb {Q} )}
7:
5964:
5962:
5906:
5904:
5749:. Moreover, Grothendieck introduced
5730:subsequently organized a seminar at
2140:{\displaystyle \chi (C,E)=d+n(1-g).}
5048:Quasi-projectivity of moduli spaces
6505:Riemannian connection on a surface
6410:Measurable Riemann mapping theorem
5572:
5335:
4365:{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}
4097:
4094:
4020:
3916:
3913:
3705:
3691:
3688:
3636:
3633:
3550:
3547:
1712:
1709:
1695:
1692:
1591:
1588:
1355:
1352:
1338:
1335:
1104:
1101:
1076:
1073:
1022:
1019:
961:
958:
917:
914:
889:
886:
856:
853:
818:
815:
292:
289:
141:Riemann–Roch type theorems relate
25:
3224:(corollary 6.2) on the chow ring
1170:is the relative tangent sheaf of
609:Grothendieck–Riemann–Roch theorem
112:Grothendieck–Riemann–Roch theorem
91:Riemann–Roch theorem for surfaces
28:Grothendieck–Riemann–Roch theorem
18:Grothendieck–Riemann–Roch formula
6578:
6577:
6330:"Chern class of ideal sheaf" on
6039:{\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}}
5674:, hence the coarse moduli space
5369:
3780:
2282:moduli space of algebraic curves
977:{\displaystyle \mathrm {td} (X)}
118:. It is a generalisation of the
6490:Riemann's differential equation
6400:Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
5969:Knudsen, Finn F. (1983-12-01).
5767:Kawasaki's Riemann–Roch formula
4758:Using the short exact sequence
1398:Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
1387:arithmetic Riemann–Roch theorem
1380:cohomology with compact support
219:. Under these assumptions, the
120:Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
87:Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
6611:Theorems in algebraic geometry
6515:Riemann–Hilbert correspondence
6385:Generalized Riemann hypothesis
6018:
5844:SGA 6, Springer-Verlag (1971).
5647:
5641:
5593:
5587:
5545:
5498:
5475:
5469:
5433:
5430:
5383:
5365:
5356:
5350:
5268:
5197:
5026:
5009:
5003:
4986:
4977:
4960:
4928:
4922:
4916:
4904:
4895:
4885:
4879:
4862:
4822:
4805:
4788:
4771:
4742:
4736:
4730:
4718:
4703:
4693:
4687:
4670:
4563:{\displaystyle f\colon Y\to X}
4554:
4276:
4257:
4241:
4233:
4169:
4160:
4109:
4101:
4067:
4064:
4051:
4032:
4016:
4001:
3993:
3974:
3958:
3950:
3928:
3920:
3879:
3859:
3844:
3818:
3800:
3752:
3749:
3736:
3717:
3701:
3683:
3675:
3656:
3640:
3629:
3613:
3610:
3602:
3583:
3567:
3554:
3512:
3486:
3432:
3412:
3400:
3339:
3327:
3258:
3241:
3054:
3048:
2855:
2847:
2813:
2760:
2731:
2667:
2633:
2580:
2380:
2312:curves (and no marked points)
2292:For the moduli stack of genus
2269:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
2223:{\displaystyle f\colon X\to Y}
2214:
2131:
2119:
2104:
2092:
2056:
2044:
2022:
2019:
2006:
1993:
1979:
1973:
1967:
1954:
1931:
1928:
1915:
1902:
1888:
1882:
1876:
1857:
1834:
1831:
1828:
1815:
1802:
1788:
1779:
1776:
1773:
1767:
1748:
1745:
1725:
1722:
1716:
1705:
1699:
1688:
1671:
1659:
1643:
1631:
1611:
1595:
1435:
1365:
1359:
1348:
1342:
1245:
1239:
1209:
1200:
1124:
1121:
1108:
1097:
1080:
1069:
1053:
1026:
971:
965:
930:
927:
921:
910:
893:
882:
866:
860:
849:
822:
784:
778:
772:
769:
763:
717:
711:
698:
695:
689:
647:
637:
542:{\displaystyle f\colon X\to Y}
533:
495:
481:
467:
461:
388:
374:
338:
324:
318:
315:
309:
245:
239:
1:
6550:Riemann–Siegel theta function
5804:"Le théorème de Riemann-Roch"
2900:{\displaystyle 1\leq l\leq g}
1515:for line bundles. If we take
1323:Generalising and specialising
6565:Riemann–von Mangoldt formula
6276:10.1017/CBO9781139062046.016
6110:Lecture Notes in Mathematics
5928:10.1007/978-1-4757-9286-7_12
5745:approach to a hard piece of
4523:{\displaystyle \mathbb {E} }
3386:
3350:
3286:
3190:{\displaystyle \lambda _{i}}
3136:{\displaystyle \lambda _{i}}
3089:this is the dualizing sheaf
3068:
3018:
2994:
2951:
2927:
2800:
2776:
2707:
2683:
2620:
2596:
2550:
2526:
2449:
2427:
2391:
2369:
2327:
2245:{\displaystyle \mathbb {C} }
1319:between two smooth schemes.
1309:Navarro & Navarro (2017)
1215:{\displaystyle TX-f^{*}(TY)}
611:relates the pushforward map
114:is a far-reaching result on
5320:{\displaystyle \omega _{C}}
3217:{\displaystyle \kappa _{i}}
3163:{\displaystyle \kappa _{i}}
3109:{\displaystyle \omega _{C}}
2348:there is a universal curve
270:(a rational combination of
178:Atiyah–Singer index theorem
77:Atiyah–Singer index theorem
6632:
6560:Riemann–Stieltjes integral
6555:Riemann–Silberstein vector
6530:Riemann–Liouville integral
6270:. 2016. pp. 481–510.
6063:10.7146/math.scand.a-12002
4944:for the ideal sheaf since
6573:
6495:Riemann's minimal surface
6375:
5165:has the family of curves
1511:has a formula similar to
1421:Vector bundles on a curve
1174:, defined as the element
32:
6520:Riemann–Hilbert problems
6425:Riemann curvature tensor
6390:Grand Riemann hypothesis
6380:Cauchy–Riemann equations
6050:Mathematica Scandinavica
5110:quasi-projective variety
4372:there are the relations
4341:and on the smooth locus
1251:{\displaystyle K_{0}(X)}
251:{\displaystyle K_{0}(X)}
136:compact Riemann surfaces
6445:Riemann mapping theorem
5997:{\displaystyle M_{g,n}}
5920:Arithmetic and Geometry
5883:, see 4.2.10 and 4.2.11
5700:{\displaystyle M_{g,n}}
5158:{\displaystyle M_{g,n}}
5101:{\displaystyle M_{g,n}}
4650:, there is the formula
4308:{\displaystyle \delta }
3902:this gives the formula
1566:{\displaystyle Y=\{*\}}
1311:to the situation where
213:quasi-projective scheme
6545:Riemann–Siegel formula
6525:Riemann–Lebesgue lemma
6460:Riemann series theorem
6094:Alexandre Grothendieck
6040:
5998:
5716:Alexander Grothendieck
5701:
5661:
5624:
5555:
5440:
5321:
5291:
5220:
5159:
5126:
5102:
5066:
5033:
4935:
4832:
4749:
4644:
4624:
4604:
4584:
4564:
4524:
4499:
4366:
4335:
4309:
4286:
4200:Also, on dimension 1,
4191:
4139:
4116:
4077:
3893:
3759:
3530:
3459:
3445:for some finite group
3439:
3365:
3301:
3265:
3218:
3191:
3164:
3137:
3110:
3083:
3035:
2968:
2901:
2866:
2490:
2470:
2406:
2342:
2306:
2270:
2246:
2224:
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2164:
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