2562:
913:
1834:
2723:
1728:
1077:
745:
1436:
176:
654:
2445:
2335:
and the generalised
Whitehead products. The proof of this theorem uses a higher homotopy van Kampen type theorem for triadic homotopy groups, which requires a notion of the fundamental
2360:
362:
2479:
557:
255:
2291:
2333:
297:
2600:
2231:
2139:
1310:
480:
1200:
1346:
2177:
1268:
1881:
2471:
2085:
2047:
1592:
399:
2635:
1630:
1516:
1226:
991:
583:
506:
2774:
2009:
1977:
1945:
1913:
1152:
965:
436:
1542:
778:
1462:
1486:
1120:
1100:
3007:
2979:
2950:
2701:
2673:
2997:
1548:
for relative homotopy groups, whose proof requires development of techniques of a cubical higher homotopy groupoid of a filtered space.
786:
2814:
1739:
1638:
999:
667:
2967:
2938:
1365:
107:
588:
1489:
2721:(2004), "A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres",
2400:
2665:
2557:{\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}
3002:
661:
657:
2338:
302:
1082:
from relative homotopy groups to relative homology groups. The
Relative Hurewicz Theorem states that if both
511:
204:
2868:
198:
2801:, Contemporary Mathematics, vol. 96, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 39–57,
2236:
2296:
2859:
Brown, R.; Loday, J.-L. (1987), "Homotopical excision, and
Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces",
260:
2732:
2873:
2570:
2182:
2090:
2959:
1273:
916:
443:
1157:
2899:
2748:
1545:
1315:
99:
39:
2144:
1231:
1854:
2975:
2946:
2916:
2886:
2848:
2810:
2769:
2697:
2669:
920:
781:
368:
59:
2450:
2052:
2014:
1559:
378:
201:(with integer coefficients). It is given in the following way: choose a canonical generator
2908:
2878:
2840:
2802:
2740:
2605:
1609:
1495:
1205:
970:
933:
562:
485:
2824:
1982:
1950:
1918:
1886:
1125:
938:
409:
2971:
2942:
2820:
1465:
55:
47:
43:
1521:
757:
2736:
1444:
2931:
2831:
Brown, Ronald; Higgins, P. J. (1981), "Colimit theorems for relative homotopy groups",
2718:
2379:
1471:
1105:
1085:
190:
87:
75:
71:
2991:
2912:
2844:
2752:
2657:
17:
1352:
by induction, proving in turn the absolute version and the
Homotopy Addition Lemma.
2765:
2689:
2806:
748:
406:
31:
2882:
2897:
Brown, R.; Loday, J.-L. (1987), "Van Kampen theorems for diagrams of spaces",
2744:
2920:
2890:
2852:
2696:, Progress in Mathematics, vol. 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser,
2797:
Brown, Ronald (1989), "Triadic Van Kampen theorems and
Hurewicz theorems",
367:
The
Hurewicz theorem states cases in which the Hurewicz homomorphism is an
2772:(1952), "Espaces fibrés et groupes d'homotopie, II, Applications",
2374:
The
Hurewicz theorem for topological spaces can also be stated for
1733:
from triad homotopy groups to triad homology groups. Note that
2724:
Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
908:{\displaystyle {\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/\to H_{1}(X)}
664:
when the latter is at least 1. In addition, the
Hurewicz map
1829:{\displaystyle H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup (C(A\cup B))).}
27:
Gives a homomorphism from homotopy groups to homology groups
1723:{\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)}
656:
is an isomorphism. This implies, in particular, that the
1072:{\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)}
740:{\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}
2608:
2573:
2482:
2453:
2403:
2341:
2299:
2239:
2185:
2147:
2093:
2055:
2017:
1985:
1953:
1921:
1889:
1857:
1742:
1641:
1612:
1562:
1524:
1498:
1474:
1447:
1368:
1318:
1276:
1234:
1208:
1160:
1128:
1108:
1088:
1002:
973:
941:
789:
760:
670:
591:
565:
514:
488:
446:
412:
381:
305:
263:
207:
110:
1431:{\displaystyle \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n}(X\cup CA),}
171:{\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),}
649:{\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}
2930:
2629:
2594:
2556:
2465:
2439:
2354:
2327:
2285:
2225:
2171:
2133:
2079:
2041:
2003:
1971:
1939:
1907:
1875:
1828:
1722:
1624:
1586:
1544:), which itself is deduced from a higher homotopy
1536:
1510:
1480:
1456:
1430:
1355:This relative Hurewicz theorem is reformulated by
1340:
1304:
1262:
1220:
1194:
1146:
1114:
1094:
1071:
985:
959:
907:
772:
739:
648:
577:
551:
500:
474:
430:
393:
356:
291:
249:
170:
2440:{\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}
2861:Proceedings of the London Mathematical Society
2397:be a simply connected topological space with
70:The Hurewicz theorems are a key link between
8:
1839:The Triadic Hurewicz Theorem states that if
1356:
2872:
2775:Comptes rendus de l'Académie des Sciences
2607:
2572:
2547:
2546:
2531:
2520:
2519:
2501:
2490:
2489:
2481:
2452:
2427:
2426:
2408:
2402:
2346:
2340:
2304:
2298:
2244:
2238:
2190:
2184:
2146:
2098:
2092:
2054:
2016:
1984:
1952:
1920:
1888:
1856:
1781:
1747:
1741:
1693:
1659:
1646:
1640:
1611:
1561:
1523:
1497:
1473:
1446:
1401:
1373:
1367:
1349:
1323:
1317:
1281:
1275:
1239:
1233:
1207:
1165:
1159:
1127:
1107:
1087:
1048:
1020:
1007:
1001:
972:
940:
890:
865:
843:
831:
816:
803:
792:
791:
788:
759:
716:
688:
675:
669:
631:
609:
596:
590:
564:
522:
516:
515:
513:
487:
451:
445:
411:
380:
339:
323:
310:
304:
274:
262:
238:
225:
212:
206:
150:
128:
115:
109:
2355:{\displaystyle \operatorname {cat} ^{n}}
2011:-connected, respectively, and the triad
1488:. This statement is a special case of a
357:{\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}
2799:Algebraic topology (Evanston, IL, 1988)
2646:
780:, the Hurewicz homomorphism induces an
2933:An Introduction to Algebraic Topology
552:{\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0}
250:{\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}
58:, and generalizes earlier results of
7:
2652:
2650:
2833:Journal of Pure and Applied Algebra
2286:{\displaystyle \pi _{p+q-1}(X;A,B)}
1359:as a statement about the morphism
1348:. This is proved in, for example,
25:
2328:{\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}
919:of the first homotopy group (the
1492:, involving induced modules for
292:{\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}
257:, then a homotopy class of maps
2293:by factoring out the action of
1312:by factoring out the action of
923:) and the first homology group.
3008:Theorems in algebraic topology
2595:{\displaystyle 1\leq i\leq 2r}
2551:
2537:
2524:
2513:
2507:
2420:
2414:
2382:satisfying the Kan condition.
2322:
2310:
2280:
2262:
2226:{\displaystyle H_{p+q-1}(X;A)}
2220:
2208:
2134:{\displaystyle H_{k}(X;A,B)=0}
2122:
2104:
2074:
2056:
2036:
2018:
1998:
1986:
1966:
1954:
1934:
1922:
1902:
1890:
1820:
1817:
1814:
1802:
1796:
1787:
1771:
1753:
1717:
1699:
1686:
1683:
1665:
1581:
1563:
1422:
1407:
1394:
1391:
1379:
1335:
1329:
1299:
1287:
1257:
1245:
1183:
1171:
1141:
1129:
1122:are connected and the pair is
1066:
1054:
1041:
1038:
1026:
954:
942:
902:
896:
883:
880:
877:
871:
855:
849:
836:
828:
822:
797:
734:
728:
709:
706:
700:
643:
637:
624:
621:
615:
540:
534:
528:
463:
457:
425:
413:
351:
345:
329:
316:
286:
280:
244:
231:
162:
156:
143:
140:
134:
1:
2968:Graduate Texts in Mathematics
2939:Graduate Texts in Mathematics
1305:{\displaystyle \pi _{n}(X,A)}
475:{\displaystyle \pi _{i}(X)=0}
54:. The theorem is named after
2913:10.1016/0040-9383(87)90004-8
2845:10.1016/0022-4049(81)90080-3
1632:there exists a homomorphism
1490:homotopical excision theorem
1195:{\displaystyle H_{k}(X,A)=0}
993:there exists a homomorphism
2998:Theorems in homotopy theory
2964:Elements of Homotopy Theory
2567:induces an isomorphism for
1341:{\displaystyle \pi _{1}(A)}
3024:
2929:Rotman, Joseph J. (1988),
2694:Simplicial Homotopy Theory
2666:Cambridge University Press
2391:Rational Hurewicz theorem:
2172:{\displaystyle k<p+q-2}
1357:Brown & Higgins (1981)
1263:{\displaystyle H_{n}(X,A)}
2745:10.1017/s0305004103007114
2473:. Then the Hurewicz map
2386:Rational Hurewicz theorem
1883:are connected, the pairs
1876:{\displaystyle C=A\cap B}
66:Statement of the theorems
2945:(published 1998-07-22),
2883:10.1112/plms/s3-54.1.176
2807:10.1090/conm/096/1022673
1556:For any triad of spaces
662:homotopical connectivity
658:homological connectivity
2690:Jardine, John Frederick
2466:{\displaystyle i\leq r}
2080:{\displaystyle (p+q-2)}
2042:{\displaystyle (X;A,B)}
1587:{\displaystyle (X;A,B)}
585:, and the Hurewicz map
394:{\displaystyle n\geq 2}
50:via a map known as the
2631:
2630:{\displaystyle i=2r+1}
2596:
2558:
2467:
2441:
2370:Simplicial set version
2356:
2329:
2287:
2227:
2173:
2135:
2081:
2043:
2005:
1973:
1941:
1909:
1877:
1830:
1724:
1626:
1625:{\displaystyle k>2}
1588:
1538:
1512:
1511:{\displaystyle n>2}
1482:
1458:
1432:
1342:
1306:
1264:
1222:
1221:{\displaystyle k<n}
1196:
1148:
1116:
1096:
1073:
987:
986:{\displaystyle k>1}
961:
909:
774:
741:
650:
579:
578:{\displaystyle i<n}
553:
502:
501:{\displaystyle i<n}
476:
432:
395:
358:
293:
251:
172:
2632:
2602:and a surjection for
2597:
2559:
2468:
2442:
2357:
2330:
2288:
2228:
2174:
2136:
2082:
2044:
2006:
2004:{\displaystyle (q-1)}
1974:
1972:{\displaystyle (p-1)}
1942:
1940:{\displaystyle (B,C)}
1910:
1908:{\displaystyle (A,C)}
1878:
1831:
1725:
1627:
1589:
1539:
1513:
1483:
1459:
1433:
1343:
1307:
1265:
1223:
1197:
1149:
1147:{\displaystyle (n-1)}
1117:
1097:
1074:
988:
962:
960:{\displaystyle (X,A)}
910:
775:
742:
651:
580:
554:
503:
477:
433:
431:{\displaystyle (n-1)}
396:
359:
294:
252:
183:Hurewicz homomorphism
173:
94:and positive integer
52:Hurewicz homomorphism
38:is a basic result of
18:Hurewicz homomorphism
2960:Whitehead, George W.
2606:
2571:
2480:
2451:
2401:
2339:
2297:
2237:
2183:
2145:
2091:
2053:
2015:
1983:
1951:
1919:
1887:
1855:
1740:
1639:
1610:
1560:
1522:
1518:(crossed modules if
1496:
1472:
1445:
1366:
1316:
1274:
1232:
1206:
1158:
1126:
1106:
1086:
1000:
971:
939:
787:
758:
668:
589:
563:
512:
486:
444:
410:
379:
303:
261:
205:
108:
2737:2004MPCPS.136..617K
1537:{\displaystyle n=2}
773:{\displaystyle n=1}
2770:Serre, Jean-Pierre
2662:Algebraic Topology
2627:
2592:
2554:
2463:
2437:
2352:
2325:
2283:
2223:
2169:
2131:
2077:
2039:
2001:
1969:
1937:
1905:
1873:
1826:
1720:
1622:
1584:
1546:van Kampen theorem
1534:
1508:
1478:
1457:{\displaystyle CA}
1454:
1428:
1338:
1302:
1260:
1218:
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1144:
1112:
1092:
1069:
983:
957:
905:
770:
737:
646:
575:
549:
498:
472:
428:
391:
354:
289:
247:
168:
100:group homomorphism
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