2306:
3600:
1831:
3114:
2301:{\displaystyle {\begin{aligned}&&\cosh \xi &=\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \\&\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\xi }}}&={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}-{\frac {\tanh \eta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {\tanh \zeta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\cos \alpha \\&\Rightarrow &\tanh \xi &={\frac {\sqrt {-\tanh ^{2}\zeta -\tanh ^{2}\eta +2\tanh \eta \tanh \zeta \cos \alpha +\left(\tanh \eta \tanh \zeta \sin \alpha \right)^{2}}}{1-\tanh \eta \tanh \zeta \cos \alpha }}\end{aligned}}}
3595:{\displaystyle {\begin{aligned}&&\cosh \xi &=\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \\&\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}}}}}&={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {v/c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {u/c}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\cos \alpha \\&\Rightarrow &U&={\frac {\sqrt {-u^{2}-v^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right)^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\end{aligned}}}
2910:
845:
2381:
245:
2905:{\displaystyle {\begin{aligned}&&\left&=\left\\&&U^{2}&=U_{x}^{2}+U_{y}^{2},\ u^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2},\ \tan \alpha ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}\\&\Rightarrow &U&={\frac {\sqrt {-u^{2}-v^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right){}^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\end{aligned}}}
819:
65:
1695:
566:
1157:
553:
1265:
240:{\displaystyle A=\operatorname {arccos} {\frac {\cos \left(\alpha {\sqrt {-1}}\right)-\cos \left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\cos \left(\gamma {\sqrt {-1}}\right)}{\sin \left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\sin \left(\gamma {\sqrt {-1}}\right)}}}
1555:
425:
437:
4110:
4069:
1047:
3101:
3119:
2386:
1836:
814:{\displaystyle \cos \beta \,p\left({\frac {a}{r}}\right)p\left({\frac {s}{r}}\right)=q\left({\frac {a}{r}}\right)q\left({\frac {s}{r}}\right)-q\left({\frac {\lambda }{r}}\right),\quad \left}
1180:
1480:
950:
1039:, the following two rules hold. The first is an analogue of Euclidean law of cosines, expressing the length of one side in terms of the other two and the angle between the latter:
889:
1414:
1382:
1350:
4133:
1811:
1304:
2350:
2960:
258:
1037:
1008:
979:
1536:
918:
1175:
The second law has no
Euclidean analogue, since it expresses the fact that lengths of sides of a hyperbolic triangle are determined by the interior angles:
4055:
1690:{\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {a}{2k}}=\sinh ^{2}{\frac {b-c}{2k}}+\sinh {\frac {b}{k}}\sinh {\frac {c}{k}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}},}
3933:
Lobachevsky, N. (1898) . "Ăśber die
Anfangsgründe der Geometrie" [On the beginnings of geometry]. In Engel, F.; Stäckel, P. (eds.).
3620:
4028:
4002:
3923:
3822:
1152:{\displaystyle \cosh {\frac {a}{k}}=\cosh {\frac {b}{k}}\cosh {\frac {c}{k}}-\sinh {\frac {b}{k}}\sinh {\frac {c}{k}}\cos \alpha ,}
1538:
is small, and being solved for, the numerical precision of the standard form of the hyperbolic law of cosines will drop due to
548:{\displaystyle \cos a{\sqrt {k}}=\cos b{\sqrt {k}}\cdot \cos c{\sqrt {k}}+\sin b{\sqrt {k}}\cdot \sin c{\sqrt {k}}\cdot \cos A}
2968:
4155:
4160:
4020:
3906:
Houzel, Christian (1992). "The Birth of Non-Euclidean
Geometry". In Boi, L.; Flament, D.; Salanskis, J. M. (eds.).
4105:
2325:
41:
3911:
1543:
57:
33:
1427:
60:
can be related to spheres of imaginary radius, thus he arrived at the hyperbolic law of cosines in the form:
923:
37:
3953:
1387:
1270:
857:
1355:
1321:
4100:
3615:
892:
832:
250:
21:
17:
1260:{\displaystyle \cos \alpha =-\cos \beta \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cosh {\frac {a}{k}}.}
3944:
3837:
2329:
1820:
1707:
851:
1280:
4065:
4051:
4024:
3998:
3919:
3863:
3818:
1547:
828:
429:
2335:
20:, the "law of cosines" is a pair of theorems relating the sides and angles of triangles on a
3892:
2914:
It turns out that this result corresponds to the hyperbolic law of cosines - by identifying
4038:
2917:
4034:
3973:
3915:
1539:
1013:
984:
955:
558:
3934:
1513:
897:
4104:
4086:
844:
3969:
3864:"Intorno alle superficie le quali hanno costante il prodotto de due raggi di curvatura"
2373:
2361:
53:
25:
4139:
4149:
3897:
3880:
3852:
4068:(1909). "Ăśber die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie" [
3866:[About surfaces which have constant the product of two radii of curvature].
3610:
29:
1482:
this angle was later called "angle of parallelism" and
Lobachevsky noted it by "
4012:
420:{\displaystyle \cos A\sin b\sin c-\cos b\cos c=\cos a;\quad \rightarrow \left}
1318:
are "parallel", the first member equals 1; let us suppose in addition that
3854:
Non-Euclidean
Geometry: A Critical and Historical Study of Its Development
2963:
2357:
824:
3908:
1830–1930: A Century of
Geometry: Epistemology, History and Mathematics
4106:"Ăśber die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie"
4093:
The first elements of geometry. Reviewed and new added observations
4088:
Geometriae prima elementa. Recensuit et novas observationes adjecit
3842:
1269:
Houzel indicates that the hyperbolic law of cosines implies the
432:
gave it in relation to surfaces of constant negative curvature:
4111:
3954:"Beiträge zur Theorie der kürzesten Linien auf krummen Flächen"
2332:
for the x and y-directions as well as under an arbitrary angle
4070:
On the
Composition of Velocities in the Theory of Relativity
1700:
Relativistic velocity addition via hyperbolic law of cosines
3096:{\displaystyle {\scriptstyle \left(\left=\left\right)},}
4050:(in Hungarian). Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft.
2973:
1819:), and by using hyperbolic identities in terms of the
1753:
1735:
1717:
860:
3117:
2971:
2920:
2384:
2338:
1834:
1710:
1558:
1516:
1430:
1390:
1358:
1324:
1283:
1183:
1050:
1016:
987:
958:
926:
900:
569:
440:
261:
68:
4115:
Jahresbericht der
Deutschen Mathematiker-Vereinigung
3594:
3095:
2954:
2904:
2344:
2300:
1805:
1689:
1530:
1474:
1408:
1376:
1344:
1298:
1259:
1151:
1031:
1002:
973:
944:
912:
883:
813:
547:
419:
239:
3989:Pauli, Wolfgang (1981) . "Theory of Relativity".
1823:, the hyperbolic law of cosines can be written:
3958:Journal fĂĽr die reine und angewandte Mathematik
1275:
3978:Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften
3943:] (in German). Leipzig: Teubner. pp.
3881:"Non-Euclidean Geometry: A Re-interpretation"
2368:the velocity of another object or frame, and
1542:, for exactly the same reason it does in the
1273:in the case of an ideal hyperbolic triangle:
52:Describing relations of hyperbolic geometry,
40:. It can also be related to the relativistic
8:
3643:
4095:] (in Latin). Köln: Bachem. p. 66.
3717:
3769:
3896:
3841:
3565:
3556:
3542:
3514:
3479:
3466:
3456:
3414:
3404:
3398:
3382:
3376:
3365:
3355:
3349:
3333:
3327:
3313:
3303:
3297:
3285:
3274:
3264:
3258:
3246:
3228:
3218:
3212:
3200:
3118:
3116:
3016:
3000:
2984:
2972:
2970:
2919:
2875:
2866:
2852:
2850:
2821:
2787:
2774:
2764:
2734:
2724:
2718:
2694:
2689:
2676:
2671:
2658:
2642:
2637:
2624:
2619:
2602:
2578:
2566:
2557:
2539:
2529:
2523:
2515:
2509:
2502:
2487:
2475:
2466:
2446:
2439:
2416:
2400:
2385:
2383:
2337:
2250:
2164:
2145:
2135:
2083:
2059:
2044:
2020:
2002:
1986:
1971:
1955:
1933:
1917:
1835:
1833:
1752:
1734:
1716:
1709:
1674:
1665:
1651:
1635:
1603:
1594:
1572:
1563:
1557:
1520:
1515:
1458:
1429:
1389:
1357:
1334:
1323:
1282:
1244:
1182:
1127:
1111:
1092:
1076:
1057:
1049:
1015:
986:
957:
925:
899:
873:
864:
859:
776:
763:
756:
720:
707:
700:
677:
653:
632:
608:
587:
579:
568:
526:
507:
488:
469:
450:
439:
402:
383:
364:
260:
219:
190:
159:
130:
98:
81:
67:
3689:
3639:
1475:{\displaystyle 1=\sin \beta \cosh(a/k);}
4023:. §3.10 Hyperbolic triangles and trig.
3784:
3780:
3778:
3757:
3737:
3677:
3658:
3656:
3646:, §3.10 Hyperbolic triangles and trig;
3632:
3795:
3741:
3721:
3701:
3673:
3671:
3647:
1310:is rejected to infinity and the sides
945:{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
3662:
7:
3976:[The Theory of Relativity].
3745:
3725:
3705:
1825:
1041:
3834:The Hyperbolic Theory of Relativity
4140:Velocity Compositions and Rapidity
3817:(2nd ed.). London: Springer.
3621:History of Lorentz transformations
14:
823:The relation to relativity using
3616:Hyperbolic triangle trigonometry
1546:. The hyperbolic version of the
884:{\textstyle -{\frac {1}{k^{2}}}}
843:
4085:Taurinus, Franz Adolph (1826).
3991:Fundamental Theories of Physics
1550:can prove useful in this case:
1409:{\displaystyle \sin \gamma =1.}
694:
325:
3936:Zwei geometrische Abhandlungen
3441:
3195:
2749:
2114:
1912:
1466:
1452:
1377:{\displaystyle \cos \gamma =0}
1345:{\displaystyle \gamma =\pi /2}
850:Take a hyperbolic plane whose
803:
797:
747:
741:
353:
350:
326:
1:
3898:10.1016/0315-0860(79)90124-1
1506:Hyperbolic law of Haversines
4048:Geometria és határterületei
4015:; Szendröi, Balázs (2005).
3813:Anderson, James W. (2005).
3105:
1815:
1806:{\displaystyle \left=\left}
4177:
4021:Cambridge University Press
3644:Reid & Szendröi (2005)
2326:velocity addition formulas
1299:{\displaystyle \alpha =0,}
839:Hyperbolic laws of cosines
24:, analogous to the planar
3974:"Die Relativitätstheorie"
42:velocity addition formula
4136:, Math Wiki at TU Berlin
3912:Lecture Notes in Physics
3832:Barrett, J. F. (2019) .
1544:Spherical law of cosines
1306:that is when the vertex
249:which was also shown by
58:spherical law of cosines
56:showed in 1826 that the
34:spherical law of cosines
4074:Verh. Dtsch. Phys. Ges.
4046:Reiman, István (1999).
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3611:Hyperbolic law of sines
2345:{\displaystyle \alpha }
4134:Non Euclidean Geometry
3997:. Dover Publications.
3857:. Chicago: Open Court.
3596:
3097:
2956:
2906:
2346:
2302:
1807:
1691:
1532:
1503:
1476:
1410:
1378:
1346:
1300:
1261:
1153:
1033:
1004:
975:
946:
914:
885:
815:
549:
421:
241:
38:spherical trigonometry
4017:Geometry and Topology
3597:
3098:
2957:
2955:{\displaystyle \left}
2907:
2347:
2303:
1808:
1692:
1533:
1477:
1411:
1379:
1347:
1301:
1262:
1154:
1034:
1005:
976:
947:
915:
886:
816:
550:
422:
242:
3952:Minding, F. (1840).
3885:Historia Mathematica
3862:Codazzi, D. (1857).
3115:
2969:
2918:
2382:
2336:
1832:
1708:
1556:
1514:
1428:
1388:
1356:
1322:
1281:
1271:angle of parallelism
1181:
1048:
1032:{\displaystyle AB=c}
1014:
1003:{\displaystyle AC=b}
985:
974:{\displaystyle BC=a}
956:
924:
898:
858:
567:
438:
259:
66:
4156:Hyperbolic geometry
3868:Ann. Sci. Mat. Fis.
3851:Bonola, R. (1912).
3815:Hyperbolic Geometry
3109:) assume the form:
2699:
2681:
2647:
2629:
2324:In comparison, the
1531:{\displaystyle a/k}
913:{\displaystyle ABC}
893:hyperbolic triangle
251:Nikolai Lobachevsky
18:hyperbolic geometry
4161:Special relativity
3720:, pp. 21–65;
3718:Lobachevsky (1898)
3592:
3590:
3103:the equations in (
3093:
3088:
2962:with relativistic
2952:
2902:
2900:
2685:
2667:
2633:
2615:
2342:
2330:special relativity
2298:
2296:
1821:hyperbolic tangent
1803:
1762:
1744:
1726:
1687:
1528:
1472:
1406:
1374:
1342:
1296:
1257:
1149:
1029:
1000:
971:
942:
910:
881:
852:Gaussian curvature
811:
545:
417:
237:
4101:VariÄŤak, Vladimir
4057:978-963-237-012-5
3918:. pp. 3–21.
3914:. Vol. 402.
3879:Gray, J. (1979).
3770:Sommerfeld (1909)
3586:
3571:
3548:
3536:
3423:
3422:
3420:
3374:
3373:
3371:
3322:
3321:
3319:
3283:
3282:
3280:
3237:
3236:
3234:
3068:
3053:
3024:
3015:
3008:
2999:
2992:
2943:
2934:
2896:
2881:
2858:
2843:
2740:
2705:
2653:
2585:
2572:
2547:
2545:
2501:
2494:
2481:
2411:
2322:
2321:
2292:
2256:
2096:
2095:
2057:
2056:
2015:
2014:
1984:
1983:
1946:
1945:
1794:
1785:
1761:
1751:
1743:
1733:
1725:
1682:
1659:
1643:
1624:
1585:
1548:law of haversines
1252:
1173:
1172:
1135:
1119:
1100:
1084:
1065:
952:and side lengths
879:
829:Arnold Sommerfeld
789:
755:
733:
685:
661:
640:
616:
595:
531:
512:
493:
474:
455:
430:Ferdinand Minding
410:
398:
391:
379:
372:
346:
337:
235:
227:
198:
167:
138:
106:
4168:
4122:
4108:
4096:
4081:
4061:
4042:
4008:
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