1699:, and sometimes this requirement is included in the definition of a Hamiltonian group action. If the group is compact or semisimple, then the constant of integration can always be chosen to make the momentum map coadjoint equivariant. However, in general the coadjoint action must be modified to make the map equivariant (this is the case for example for the
5202:
5061:
407:
5307:
4827:
3674:
3133:
700:
5069:
1358:
3191:
1555:
2783:
3524:
1085:
2330:
3740:
3056:
2888:
2696:
4955:
4877:
4730:
4960:
2636:
4072:
1287:
1028:
935:
847:
2420:
2253:
1126:
739:
2489:
1439:
5207:
that sends a connection to its curvature is a moment map for the action of the gauge group on connections. In particular the moduli space of flat connections modulo gauge equivalence
2092:
4672:
2450:
2378:
1968:
2920:
1186:
3406:
3340:
1810:
1736:
1693:
332:
2733:
1997:
1888:
344:
4756:
1407:
985:
614:
456:
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4454:
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1832:
1485:
5210:
4029:
2838:
2522:
1610:
1244:
489:
3578:
3551:
3452:
4764:
4549:
1153:
4414:
872:
250:
136:
2146:
2050:
1779:
763:
3583:
3291:
3061:
2565:
2112:
4239:
2542:
1382:
960:
533:
431:
2602:
622:
4592:
4570:
4513:
4491:
4349:
4218:
4157:
4132:
3996:
3963:
3943:
3923:
3903:
3883:
3863:
3843:
3823:
3803:
3783:
3763:
3426:
3360:
3271:
3251:
3231:
3211:
3000:
2980:
2960:
2940:
2806:
2206:
2186:
2166:
2020:
1932:
1908:
1855:
1661:
1638:
1578:
1460:
1211:
894:
806:
784:
577:
555:
511:
300:
228:
206:
180:
158:
112:
5197:{\displaystyle \mu :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}}
1295:
3138:
1492:
5489:
5695:
5323:
2738:
938:
3457:
1033:
5554:
5529:
5507:
5466:
5448:
2258:
4353:
3679:
3005:
2843:
2645:
4882:
5690:
5348:
4835:
5056:{\displaystyle {\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}}
4689:
5685:
5397:
742:
2607:
4034:
1249:
993:
900:
812:
47:
4281:
2383:
2211:
1557:. The momentum map is uniquely defined up to an additive constant of integration (on each connected component).
1090:
708:
2455:
1412:
2055:
4609:
2425:
2335:
1941:
2893:
1999:. The six components of the momentum map are then the three angular momenta and the three linear momenta.
1158:
5328:
3365:
3299:
1784:
1710:
1667:
402:{\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }
306:
5473:
2115:
2705:
1973:
1864:
5625:
5578:
5393:
4735:
1388:
966:
583:
437:
256:
59:
5302:{\displaystyle \mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}}
4286:
5338:
55:
32:
4420:
4359:
4244:
4163:
4077:
1815:
1468:
5665:
5605:
5568:
4822:{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).}
4002:
2811:
2498:
1935:
1583:
1217:
465:
44:
5426:
3556:
3529:
3431:
5550:
5525:
5503:
5485:
5462:
5444:
5422:
5353:
4519:
3669:{\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{2}:=\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}}
3128:{\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {h}}^{*}}
1131:
184:
4399:
857:
235:
121:
5657:
5633:
5542:
5538:
5517:
5436:
5375:
is a misnomer and physically incorrect. It is an erroneous translation of the French notion
4675:
2492:
2121:
2025:
1858:
1834:, and the momentum map is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.
1749:
1704:
1696:
850:
748:
66:. It is an essential ingredient in various constructions of symplectic manifolds, including
5590:
3276:
2550:
2097:
695:{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}
5432:
4224:
2699:
2527:
1911:
1700:
1367:
945:
518:
416:
115:
2581:
62:
for the action. The momentum map generalizes the classical notions of linear and angular
5629:
5582:
5609:
5478:
5333:
4577:
4555:
4498:
4476:
4334:
4203:
4142:
4117:
3981:
3948:
3928:
3908:
3888:
3868:
3848:
3828:
3808:
3788:
3768:
3748:
3411:
3345:
3256:
3236:
3216:
3196:
2985:
2965:
2945:
2925:
2791:
2191:
2171:
2151:
2005:
1917:
1893:
1840:
1646:
1623:
1563:
1445:
1196:
879:
791:
769:
562:
540:
496:
285:
213:
191:
165:
143:
97:
83:
79:
5679:
5637:
5318:
1353:{\displaystyle \mathrm {d} (\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }
459:
3186:{\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}:{\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}
2570:
The facts mentioned below may be used to generate more examples of momentum maps.
17:
3945:
is also
Hamiltonian, with momentum map the composition of the inclusion map with
5454:
278:
28:
5613:
5524:, Progress in Mathematics, vol. 93 (Second revised ed.), Birkhäuser,
5343:
335:
3975:
51:
3526:
is
Hamiltonian, with momentum map the direct sum of the two momentum maps
1550:{\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }
63:
4330:
are both smooth manifolds. The quotient inherits a symplectic form from
5669:
2545:
5661:
5380:
2778:{\displaystyle {\mathcal {O}}(F)\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}
4352:; that is, there is a unique symplectic form on the quotient whose
5645:
5573:
3519:{\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\times \omega _{2})}
4031:
is
Hamiltonian, as defined above, with equivariant momentum map
1080:{\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =\mathrm {d} H_{\xi }}
2325:{\displaystyle g\cdot \eta :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta }
5502:. Progress in Mathematics. Vol. 222. Birkhauser Boston.
4758:
on a surface carries an infinite dimensional symplectic form
5401:
5294:
5243:
4974:
4841:
2744:
2711:
2651:
3735:{\displaystyle \pi _{i}:M_{1}\times M_{2}\rightarrow M_{i}}
628:
4456:. Thus, the quotient is a symplectic manifold, called the
3885:
is non-degenerate. This imparts a symplectic structure to
3051:{\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}\circ \Phi _{G}}
2883:{\displaystyle \Phi _{G}:M\rightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}
2691:{\displaystyle {\mathcal {O}}(F),F\in {\mathfrak {g}}^{*}}
5567:, Les cours du CIRM, vol. 1, EUDML, pp. 55–98,
4950:{\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(\mathrm {d} g)+g^{-1}Ag}
1616:
if it is symplectic and if there exists a momentum map.
4872:{\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)}
5213:
5072:
4963:
4885:
4838:
4767:
4738:
4692:
4678:
with compatible symplectic structures on the strata.
4612:
4580:
4558:
4522:
4501:
4479:
4423:
4402:
4362:
4337:
4289:
4247:
4227:
4206:
4166:
4145:
4120:
4080:
4037:
4005:
3984:
3951:
3931:
3911:
3891:
3871:
3851:
3831:
3811:
3791:
3771:
3751:
3682:
3586:
3559:
3532:
3460:
3434:
3414:
3368:
3348:
3302:
3279:
3259:
3239:
3219:
3199:
3141:
3064:
3008:
2988:
2968:
2948:
2928:
2896:
2846:
2814:
2794:
2741:
2708:
2702:. Then there exists a unique symplectic structure on
2648:
2610:
2584:
2553:
2530:
2501:
2458:
2428:
2386:
2338:
2261:
2214:
2194:
2174:
2154:
2124:
2100:
2058:
2028:
2008:
1976:
1944:
1920:
1896:
1867:
1843:
1818:
1787:
1752:
1713:
1670:
1649:
1626:
1586:
1566:
1495:
1471:
1448:
1415:
1391:
1370:
1298:
1252:
1220:
1199:
1161:
1134:
1093:
1036:
996:
969:
948:
903:
882:
860:
815:
794:
772:
751:
711:
625:
586:
565:
543:
521:
499:
468:
440:
419:
347:
309:
288:
259:
238:
216:
194:
168:
146:
124:
100:
4725:{\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})}
3845:
such that the restriction of the symplectic form on
2922:be a Lie group homomorphism, inducing an action of
5477:
5421:, Maîtrises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970.
5301:
5196:
5055:
4949:
4871:
4821:
4750:
4724:
4666:
4586:
4564:
4543:
4507:
4485:
4448:
4408:
4387:
4343:
4322:
4272:
4233:
4212:
4191:
4151:
4126:
4105:
4074:. From the Hamiltonian condition, it follows that
4066:
4023:
3990:
3957:
3937:
3917:
3897:
3877:
3857:
3837:
3817:
3797:
3777:
3757:
3734:
3668:
3572:
3545:
3518:
3446:
3420:
3400:
3354:
3334:
3285:
3265:
3245:
3225:
3205:
3185:
3127:
3050:
2994:
2974:
2954:
2934:
2914:
2882:
2832:
2800:
2777:
2727:
2690:
2630:
2596:
2559:
2536:
2516:
2483:
2444:
2414:
2372:
2324:
2247:
2200:
2180:
2160:
2140:
2106:
2086:
2044:
2014:
1991:
1962:
1926:
1914:generated by rotations and translations. That is,
1902:
1882:
1849:
1826:
1804:
1773:
1746:In the case of a Hamiltonian action of the circle
1730:
1687:
1655:
1632:
1604:
1572:
1549:
1479:
1454:
1433:
1401:
1376:
1352:
1281:
1238:
1205:
1180:
1147:
1120:
1079:
1022:
979:
954:
929:
888:
866:
841:
800:
778:
757:
733:
694:
608:
571:
549:
527:
505:
483:
450:
425:
401:
326:
294:
269:
244:
222:
200:
174:
152:
130:
106:
5614:"Reduction of symplectic manifolds with symmetry"
5591:"Propriétés de convexité de l'application moment"
5286:
5285:
4622:
4621:
4532:
4531:
4602:does not act freely (but still properly), then (
4461:
3002:is also Hamiltonian, with momentum map given by
5549:(Second ed.), Cambridge University Press,
2631:{\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}}
5392:The vector field ρ(ξ) is called sometimes the
4603:
4067:{\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}
2052:be its cotangent bundle, with projection map
1282:{\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}
1023:{\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}
930:{\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}
842:{\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}
8:
5646:"Stratified symplectic spaces and reduction"
5498:Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. (2004).
4780:
4768:
1619:A momentum map is often also required to be
1544:
1523:
1508:
1496:
1428:
1416:
1319:
1307:
897:acts by symplectomorphisms, it follows that
361:
348:
1030:is not just closed but also exact, so that
5565:Moment maps and geometric invariant theory
5151:
5147:
5063:via the integration pairing. Then the map
2415:{\displaystyle -\iota _{\rho (\xi )}\tau }
2248:{\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \tau )}
1121:{\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbb {R} }
734:{\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}
5572:
5293:
5292:
5287:
5280:
5271:
5270:
5255:
5242:
5241:
5236:
5218:
5212:
5169:
5158:
5131:
5130:
5115:
5099:
5098:
5083:
5071:
5047:
5037:
5036:
5021:
5005:
5004:
4989:
4973:
4972:
4964:
4962:
4932:
4914:
4902:
4884:
4849:
4840:
4839:
4837:
4796:
4790:
4766:
4737:
4713:
4712:
4697:
4691:
4674:is a stratified symplectic space, i.e. a
4656:
4638:
4623:
4616:
4611:
4579:
4557:
4533:
4526:
4521:
4500:
4478:
4428:
4422:
4401:
4367:
4361:
4336:
4312:
4294:
4288:
4252:
4246:
4226:
4205:
4171:
4165:
4144:
4119:
4085:
4079:
4058:
4052:
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4036:
4004:
3983:
3950:
3930:
3910:
3890:
3870:
3850:
3830:
3810:
3790:
3770:
3750:
3726:
3713:
3700:
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3650:
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3413:
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3347:
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2611:
2609:
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2500:
2484:{\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau }
2463:
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1414:
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1128:. If this holds, then one may choose the
1114:
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311:
308:
287:
261:
260:
258:
237:
215:
193:
167:
145:
123:
99:
5402:Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977
4551:. Its dimension equals the dimension of
2087:{\displaystyle \pi :T^{*}N\rightarrow N}
1738:, as first described by Souriau (1970).
5644:Sjamaar, Reyer; Lerman, Eugene (1991),
5500:Momentum maps and Hamiltonian reduction
5365:
4667:{\displaystyle M/\!\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}
2445:{\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}
514:describing the infinitesimal action of
3428:-manifold. Then the natural action of
3233:). A case of special interest is when
2373:{\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N}
1963:{\displaystyle \operatorname {SO} (3)}
5522:Torus actions on symplectic manifolds
5461:, Oxford Science Publications, 1998.
5443:, Oxford Science Publications, 1990.
4732:of connections on the trivial bundle
3905:in a natural way. Then the action of
7:
5600:, Séminaire Bourbaki, 145–146: 63–87
5400:generated by ξ. See, for instance, (
5324:Quantization commutes with reduction
2915:{\displaystyle \psi :H\rightarrow G}
1181:{\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}
5459:Introduction to Symplectic Topology
5272:
5132:
5100:
5038:
5006:
4879:acts on connections by conjugation
4714:
4053:
3401:{\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}
3335:{\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}
3178:
3168:
3114:
3097:
2890:a momentum map for the action, and
2869:
2764:
2677:
2623:
2613:
2437:
1837:Another classical case occurs when
1805:{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
1791:
1731:{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
1717:
1688:{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
1674:
1394:
1268:
972:
720:
443:
386:
370:
327:{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
313:
262:
5309:is given by symplectic reduction.
5264:
5252:
5159:
5124:
5112:
5092:
5080:
5030:
5018:
4998:
4986:
4915:
4857:
4791:
4739:
4706:
4694:
3561:
3534:
3146:
3069:
3039:
3013:
2848:
2235:
1300:
1063:
639:
633:
25:
5476:; DeWitt-Morette, Cécile (1977),
5419:Structure des systèmes dynamiques
2728:{\displaystyle {\mathcal {O}}(F)}
2380:is Hamiltonian with momentum map
1580:-action on a symplectic manifold
412:the pairing between the two. Any
5547:Symplectic techniques in physics
3213:denotes the identity element of
2604:be Lie groups with Lie algebras
1992:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
1934:is a six-dimensional group, the
1883:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
5618:Reports on Mathematical Physics
5480:Analysis, Manifolds and Physics
5143:
4751:{\displaystyle \Sigma \times G}
1402:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
980:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
609:{\displaystyle \rho (\xi )_{x}}
451:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
270:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5441:The Geometry of Four-Manifolds
5396:relative to the action of the
5277:
5261:
5233:
5227:
5191:
5179:
5148:
5137:
5121:
5108:
5105:
5089:
5044:
5027:
5011:
4995:
4979:
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4911:
4866:
4854:
4813:
4801:
4719:
4703:
4653:
4647:
4443:
4437:
4382:
4376:
4323:{\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}
4309:
4303:
4267:
4261:
4186:
4180:
4100:
4094:
4047:
4018:
4006:
3719:
3513:
3461:
3395:
3369:
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3303:
3173:
3154:
3142:
3108:
3077:
3065:
3021:
3009:
2906:
2863:
2827:
2815:
2758:
2755:
2749:
2722:
2716:
2662:
2656:
2574:Some facts about momentum maps
2524:, the infinitesimal action of
2511:
2505:
2473:
2467:
2404:
2398:
2310:
2291:
2285:
2274:
2242:
2215:
2078:
1957:
1951:
1768:
1762:
1703:). The modification is by a 1-
1599:
1587:
1535:
1529:
1517:
1511:
1342:
1336:
1322:
1304:
1262:
1233:
1221:
1165:
1110:
1051:
1045:
1011:
1005:
918:
912:
830:
824:
725:
680:
671:
597:
590:
478:
472:
391:
43:) is a tool associated with a
1:
4682:Flat connections on a surface
4573:minus twice the dimension of
3974:Suppose that the action of a
2808:act on a symplectic manifold
2022:be a smooth manifold and let
1812:is naturally identified with
187:(that is, the action of each
5638:10.1016/0034-4877(74)90021-4
5383:for the history of the name.
4462:Marsden & Weinstein 1974
4449:{\displaystyle \mu ^{-1}(0)}
4388:{\displaystyle \mu ^{-1}(0)}
4273:{\displaystyle \mu ^{-1}(0)}
4192:{\displaystyle \mu ^{-1}(0)}
4160:acts freely and properly on
4106:{\displaystyle \mu ^{-1}(0)}
1827:{\displaystyle \mathbb {R} }
1707:on the group with values in
1480:{\displaystyle \mathbb {R} }
536:. To be precise, at a point
5696:Group actions (mathematics)
5349:Kostant's convexity theorem
4024:{\displaystyle (M,\omega )}
3999:on the symplectic manifold
3742:denotes the projection map.
2833:{\displaystyle (M,\omega )}
2517:{\displaystyle \rho (\xi )}
2208:on the symplectic manifold
1605:{\displaystyle (M,\omega )}
1239:{\displaystyle (M,\omega )}
484:{\displaystyle \rho (\xi )}
139:. Suppose that a Lie group
5712:
5589:Bruguières, Alain (1987),
5381:this mathoverflow question
4458:Marsden–Weinstein quotient
4395:equals the restriction of
853:of this vector field with
4604:Sjamaar & Lerman 1991
3573:{\displaystyle \Phi _{H}}
3546:{\displaystyle \Phi _{G}}
3447:{\displaystyle G\times H}
1742:Examples of momentum maps
39:(or, by false etymology,
5563:Woodward, Chris (2010),
4544:{\displaystyle M/\!\!/G}
2735:such that inclusion map
2188:. The induced action of
1148:{\displaystyle H_{\xi }}
5484:, Amsterdam: Elsevier,
4409:{\displaystyle \omega }
1781:, the Lie algebra dual
867:{\displaystyle \omega }
245:{\displaystyle \omega }
131:{\displaystyle \omega }
78:, discussed below, and
5474:Choquet-Bruhat, Yvonne
5398:one-parameter subgroup
5303:
5198:
5057:
4951:
4873:
4823:
4752:
4726:
4668:
4588:
4566:
4545:
4509:
4487:
4450:
4410:
4389:
4345:
4324:
4274:
4235:
4221:is a regular value of
4214:
4193:
4153:
4128:
4107:
4068:
4025:
3992:
3959:
3939:
3919:
3899:
3879:
3859:
3839:
3819:
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3779:
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3574:
3547:
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3448:
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3356:
3336:
3287:
3267:
3247:
3227:
3207:
3187:
3129:
3052:
2996:
2976:
2956:
2936:
2916:
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2834:
2802:
2779:
2729:
2692:
2632:
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2561:
2538:
2518:
2485:
2446:
2416:
2374:
2326:
2249:
2202:
2182:
2162:
2142:
2141:{\displaystyle T^{*}N}
2108:
2088:
2046:
2045:{\displaystyle T^{*}N}
2016:
1993:
1964:
1928:
1904:
1884:
1851:
1828:
1806:
1775:
1774:{\displaystyle G=U(1)}
1732:
1689:
1657:
1634:
1606:
1574:
1551:
1481:
1456:
1435:
1403:
1378:
1354:
1283:
1240:
1207:
1182:
1149:
1122:
1081:
1024:
981:
956:
931:
890:
868:
843:
802:
780:
759:
758:{\displaystyle \cdot }
735:
696:
610:
573:
551:
529:
507:
485:
452:
427:
403:
328:
296:
271:
246:
224:
202:
176:
154:
132:
108:
5691:Hamiltonian mechanics
5650:Annals of Mathematics
5457:and Dietmar Salamon,
5304:
5199:
5058:
4952:
4874:
4824:
4753:
4727:
4669:
4589:
4567:
4546:
4510:
4488:
4451:
4411:
4390:
4346:
4325:
4275:
4236:
4215:
4194:
4154:
4129:
4108:
4069:
4026:
3993:
3960:
3940:
3920:
3900:
3880:
3860:
3840:
3820:
3800:
3780:
3760:
3737:
3671:
3575:
3548:
3521:
3449:
3423:
3403:
3357:
3337:
3293:is the inclusion map.
3288:
3286:{\displaystyle \psi }
3268:
3253:is a Lie subgroup of
3248:
3228:
3208:
3188:
3130:
3053:
2997:
2977:
2962:. Then the action of
2957:
2937:
2917:
2885:
2835:
2803:
2780:
2730:
2693:
2633:
2599:
2562:
2560:{\displaystyle \tau }
2539:
2519:
2486:
2447:
2417:
2375:
2327:
2250:
2203:
2183:
2163:
2143:
2109:
2107:{\displaystyle \tau }
2089:
2047:
2017:
1994:
1965:
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1905:
1885:
1852:
1829:
1807:
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1733:
1690:
1658:
1635:
1607:
1575:
1552:
1482:
1457:
1441:is the function from
1436:
1404:
1379:
1355:
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247:
225:
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177:
155:
133:
109:
5394:Killing vector field
5211:
5070:
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4883:
4836:
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4610:
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4556:
4520:
4499:
4477:
4470:symplectic reduction
4421:
4400:
4360:
4335:
4287:
4245:
4234:{\displaystyle \mu }
4225:
4204:
4164:
4143:
4118:
4078:
4035:
4003:
3982:
3970:Symplectic quotients
3949:
3929:
3909:
3889:
3869:
3849:
3829:
3809:
3789:
3769:
3749:
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