2317:
1424:
2312:{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(f)&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {sinc} (Lf)+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f-1/L))+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f+1/L))\\&={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf-1))}{\pi (Lf-1)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf+1))}{\pi (Lf+1)}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf-1}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf+1}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\left({\frac {1}{Lf}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1-Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1+Lf}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{Lf(1-Lf)(1+Lf)}}={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}.\end{aligned}}}
20:
742:
357:
103:
1266:
666:
3633:
1410:
352:{\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.}
3380:
From the expression immediately above, it is easy to see that only 3 of the N DFT coefficients are non-zero. And from the other expression, it is apparent that all are real-valued. These properties are appealing for real-time applications that require both windowed and non-windowed (rectangularly
2828:
977:
1039:
424:
1283:
2903:) Hann window. Since the truncated sample has value zero, it is clear from the Fourier series definition that the DTFTs are equivalent. However, the approach followed above results in a significantly different-looking, but equivalent, 3-term expression
3580:
Hann appears to be the inventor of a certain data smoothing procedure, now called "hanning" ... or "Hann smoothing" ... Essentially, it is a three-term moving average (running mean) with unequal weights (1/4, 1/2,
2367:
3631:, Carlin,Joe; Collins,Terry & Hays,Peter et al., "Wideband communication intercept and direction finding device using hyperchannelization", published 1999-12-10, issued 2005-05-24
1261:{\displaystyle w_{0}(x)={\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{-i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)\right),}
799:
661:{\displaystyle \left.{\begin{aligned}w=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}
3311:
1405:{\displaystyle {\tfrac {1}{L}}\operatorname {rect} (x/L)\quad {\stackrel {\text{Fourier transform}}{\longleftrightarrow }}\quad \operatorname {sinc} (Lf)\triangleq {\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}.}
2372:
1429:
432:
2893:
1028:
791:
3355:
92:
3714:
The correct name of this window is 'Hann.' The term 'Hanning' is used in this report to reflect conventional usage. The derived term 'Hann'd' is also widely used.
2356:
695:
393:
3378:
715:
413:
61:
2358:
length, time-shifted sequence is defined by a
Fourier series, which also has a 3-term equivalent that is derived similarly to the Fourier transform derivation
19:
3393:
The function is named in honor of von Hann, who used the three-term weighted average smoothing technique on meteorological data. However, the term
2823:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left.\end{aligned}}}
972:{\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}}
3604:
3567:
749:
Hann window. Bottom: Its discrete-time
Fourier transform (DTFT) and the 3 non-zero values of its discrete Fourier transform (DFT).
2912:
2329:
3599:. Stanford University. Center for Computer Research in Music and Acoustics., Stanford University. Department of Music. : W3K.
3519:
3667:
are determined by taking into account the parallels 5° away on either side. Thus, for example, for latitude 60° we have ½.
3729:; Tukey, J. W. (1958). "The measurement of power spectra from the point of view of communications engineering — Part I".
3381:
windowed) transforms, because the windowed transforms can be efficiently derived from the non-windowed transforms by
3639:
3849:
3428:
3382:
364:
741:
718:
2836:
3695:
3594:
3628:
3764:
3433:
1272:
3774:
3700:
3658:
988:
994:
3778:
3746:
3610:
3600:
3563:
3525:
3515:
760:
754:
3811:
3738:
3705:
3555:
3402:
3323:
2896:
746:
3768:
3418:
3406:
66:
36:
32:
2335:
674:
370:
3652:
3554:, Geophysical Monograph Series, vol. 75, American Geophysical Union, pp. 1–7,
3401:
was used to mean applying the Hann window to it. The confusion arose from the similar
3360:
3742:
3726:
700:
398:
134:
46:
3843:
3770:
The measurement of power spectra from the point of view of communications engineering
3547:
3830:
3681:"On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform"
3680:
3640:
https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf
3423:
3815:
3397:
function is also conventionally used, derived from the paper in which the term
3750:
3614:
3529:
3834:
3709:
3559:
3548:"Some aspects of Julius von Hann's contribution to modern climatology"
3799:
3320:-length DFT of the window function samples the DTFT at frequencies
3552:
Interactions
Between Global Climate Subsystems: The Legacy of Hann
740:
18:
3782:
3804:
IEEE Transactions on
Acoustics, Speech, and Signal Processing
2918:
2377:
429:
3306:{\displaystyle {\mathcal {F}}\{w\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left.}
23:
Hann function (left), and its frequency response (right)
3275:
3234:
3174:
3150:
3109:
3046:
2984:
2788:
2747:
2696:
2672:
2631:
2580:
2506:
2095:
2059:
1933:
1877:
1735:
1658:
1605:
1545:
1492:
1459:
1288:
1186:
1121:
1083:
1066:
608:
552:
519:
472:
367:, the function is sampled symmetrically (with spacing
222:
170:
155:
138:
3363:
3326:
2915:
2839:
2370:
2338:
1427:
1286:
1042:
997:
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763:
703:
677:
427:
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373:
106:
69:
49:
3372:
3349:
3305:
2887:
2822:
2350:
2311:
1404:
1260:
1022:
971:
785:
709:
689:
660:
407:
387:
351:
86:
55:
3800:"Some Windows with Very Good Sidelobe Behavior"
3773:. New York : Dover Publications. pp.
16:Mathematical function used in signal processing
8:
2938:
2923:
2882:
2840:
2397:
2382:
1271:which is a linear combination of modulated
31:is named after the Austrian meteorologist
3699:
3362:
3336:
3325:
3274:
3233:
3206:
3196:
3189:
3173:
3149:
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3081:
3071:
3061:
3045:
2995:
2983:
2948:
2917:
2916:
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2838:
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2746:
2707:
2695:
2671:
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2591:
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2505:
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2411:
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2375:
2371:
2369:
2337:
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2280:
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2106:
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2070:
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2040:
2000:
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1932:
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1876:
1838:
1818:
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1436:
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1426:
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1323:
1311:
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1239:
1217:
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1171:
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1136:
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250:
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169:
154:
137:
133:
111:
105:
73:
68:
48:
3593:Smith, Julius O. (Julius Orion) (2011).
3541:
3539:
3767:; Tukey, John W. (John Wilder) (1959).
3502:
3444:
2888:{\displaystyle \{w,\ 0\leq n\leq N-1\}}
3550:, in McBean, G.A.; Hantel, M. (eds.),
3510:Essenwanger, O. M. (Oskar M.) (1986).
7:
3743:10.1002/j.1538-7305.1958.tb03874.x
14:
3731:The Bell System Technical Journal
3596:Spectral audio signal processing
3512:Elements of statistical analysis
3798:Nuttall, Albert H. (Feb 1981).
3679:Harris, Fredric J. (Jan 1978).
2330:Discrete-time Fourier transform
1339:
1322:
719:§ Hann and Hamming windows
639:
310:
272:
3289:
3286:
3265:
3259:
3248:
3245:
3224:
3215:
3164:
3161:
3140:
3134:
3123:
3120:
3099:
3090:
3036:
3027:
3016:
3004:
2973:
2961:
2935:
2929:
2852:
2846:
2802:
2799:
2778:
2772:
2761:
2758:
2737:
2734:
2722:
2716:
2686:
2683:
2662:
2656:
2645:
2642:
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2606:
2600:
2570:
2561:
2550:
2544:
2532:
2526:
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2253:
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2210:
2207:
2192:
2163:
2151:
2021:
2009:
1965:
1953:
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1897:
1859:
1847:
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1761:
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1702:
1699:
1684:
1678:
1637:
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1588:
1568:
1562:
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1535:
1515:
1509:
1485:
1476:
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1442:
1382:
1370:
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1346:
1327:
1319:
1305:
1247:
1233:
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1165:
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1100:
1059:
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1014:
1008:
963:
934:
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905:
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813:
780:
774:
503:
483:
444:
438:
123:
117:
1:
3765:Blackman, R. B. (Ralph Beebe)
991:to expand the cosine term in
3475:
3463:
3451:
43:. The function, with length
3487:
721:) It is also known as the
3866:
3816:10.1109/TASSP.1981.1163506
3429:Raised cosine distribution
717:can be even or odd. (see
3651:von Hann, Julius (1903).
1023:{\displaystyle w_{0}(x),}
365:digital signal processing
786:{\displaystyle w_{0}(x)}
3796:
3710:10.1109/PROC.1978.10837
3688:Proceedings of the IEEE
3654:Handbook of Climatology
2833:The truncated sequence
671:which is a sequence of
3546:Kahlig, Peter (1993),
3374:
3357:for integer values of
3351:
3350:{\displaystyle f=k/N,}
3307:
2889:
2824:
2427:
2352:
2313:
1415:Transforming each term
1406:
1262:
1024:
973:
787:
750:
711:
691:
662:
409:
389:
353:
88:
57:
24:
3657:. Macmillan. p.
3638:, also available at
3629:US patent 6898235
3375:
3352:
3308:
2890:
2825:
2407:
2353:
2314:
1407:
1263:
1025:
974:
788:
744:
712:
692:
663:
410:
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354:
89:
58:
22:
3434:Raised-cosine filter
3361:
3324:
2913:
2837:
2368:
2336:
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1284:
1040:
995:
800:
761:
723:raised cosine window
701:
675:
425:
399:
371:
104:
87:{\displaystyle 1/L,}
67:
47:
2351:{\displaystyle N+1}
2324:Discrete transforms
1273:rectangular windows
690:{\displaystyle N+1}
388:{\displaystyle L/N}
3663:The figures under
3560:10.1029/gm075p0001
3373:{\displaystyle k.}
3370:
3347:
3303:
3284:
3243:
3183:
3159:
3118:
3055:
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2818:
2797:
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2705:
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2348:
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2307:
2104:
2068:
1942:
1886:
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1614:
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1258:
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1075:
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969:
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707:
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179:
164:
147:
84:
53:
25:
3850:Signal processing
3293:
3283:
3242:
3182:
3168:
3158:
3117:
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1500:
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1336:
1334:
1333:Fourier transform
1296:
1194:
1129:
1091:
1074:
983:
967:
891:
833:
755:Fourier transform
737:Fourier transform
710:{\displaystyle N}
621:
568:
527:
480:
408:{\displaystyle 1}
263:
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178:
163:
146:
56:{\displaystyle L}
3857:
3819:
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3786:
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3754:
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3632:
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3618:
3590:
3584:
3583:
3577:
3576:
3543:
3534:
3533:
3507:
3491:
3485:
3479:
3473:
3467:
3461:
3455:
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