1863:
834:
174:
470:
1289:
2602:
2023:
1757:
2968:
1193:
2823:
1591:
1071:
3052:
1423:
955:
897:
559:
234:
2355:
2401:
368:
2868:
2232:
2754:
673:
499:
263:
3201:
1763:
1666:
595:
340:
71:
2296:
2071:
637:
734:
2991:
2648:
2192:
1342:
1312:
742:
82:
2674:
1620:
376:
2149:
1481:
1114:
1517:
1371:
1449:
1199:
2441:
2421:
2252:
2114:
2094:
1894:
1640:
1094:
983:
693:
2462:
1902:
1674:
2891:
3254:
3218:
1122:
3057:
an equivalent form of the prime number theorem. Littlewood developed a simpler proof, still based on this
Tauberian theorem, in 1971.
3282:
3126:
3095:
2762:
2121:
2685:
1525:
994:
3203:. However, then more complicated additional assumptions on the convergence of the Laplace–Stieltjes transform are required. See
270:
962:
3335:
3003:
2873:
This came historically before the Hardy–Littlewood
Tauberian theorem, but can be proved as a simple application of it.
2676:, but the partial sums of its coefficients are 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ... and are not asymptotic to any linear function.
1376:
3371:
3330:
2117:
914:
3081:
845:
507:
185:
2456:
The theorem can fail without the condition that the coefficients are non-negative. For example, the function
2301:
3297:
Karamata, J. (December 1930). "Über die Hardy-Littlewoodschen
Umkehrungen des Abelschen Stetigkeitssatzes".
2691:
1487:
74:
2360:
3325:
2994:
17:
345:
3347:
3150:
2882:
33:
1858:{\displaystyle F(t)\sim {\frac {1}{\Gamma (\rho +1)}}t^{\rho }L(t),\quad {\text{as}}\ t\to \infty .}
695:. The theorem is sometimes quoted in another equivalent formulation (through the change of variable
2834:
2197:
2709:
642:
478:
242:
3174:
1645:
986:
567:
312:
281:
43:
2257:
2034:
829:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}}\ {\text{as}}\ y\downarrow 0}
600:
169:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}}\ {\text{as}}\ y\downarrow 0}
698:
465:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\sim {\frac {1}{1-x}}\ {\text{as}}\ x\uparrow 1.}
3344:
3278:
3250:
3214:
3122:
3091:
2976:
2703:
2610:
2154:
958:
274:
25:
1321:
1297:
3306:
2699:
2653:
1599:
1284:{\displaystyle F(t)\sim {\frac {C}{\Gamma (\rho +1)}}t^{\rho },\ {\text{as}}\ t\to \infty .}
289:
3228:
3158:
2127:
1454:
1099:
3224:
3210:
3154:
1493:
1347:
1428:
3142:
2426:
2406:
2237:
2099:
2079:
1879:
1625:
1315:
1079:
968:
678:
293:
37:
3365:
3085:
2695:
2597:{\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{2}(1-x)}}=1-x+2x^{2}-2x^{3}+3x^{4}-3x^{5}+\cdots }
269:
formulation of the theorem relates in an analogous manner the asymptotics of the
3242:
3114:
908:
564:
The theorem is sometimes quoted in equivalent forms, where instead of requiring
285:
29:
2074:
2018:{\displaystyle \lim _{x\to 1}(1-x)\sum a_{n}x^{n}g(x^{n})=\int _{0}^{1}g(t)dt}
3352:
3171:
Bounded variation is only required locally: on every bounded subinterval of
1752:{\displaystyle \omega (s)\sim s^{-\rho }L(s^{-1}),\quad {\text{as}}\ s\to 0}
1116:
is a non-negative real number, then the following statements are equivalent
2963:{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\Lambda (n)e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}},}
2029:
266:
3310:
3247:
Ramanujan: Twelve
Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work
2124:
and a little extra fudging) and using the fact that the coefficients
1188:{\displaystyle \omega (s)\sim Cs^{-\rho },\quad {\rm {{as\ }s\to 0}}}
3147:
An introduction to probability theory and its applications. Vol. II
2120:
by approximating it by polynomials from above and below (using the
1486:
A slight improvement is possible. According to the definition of a
907:
The following more general formulation is from Feller. Consider a
1318:. One obtains the theorem for series as a special case by taking
1876:
found a short proof of the theorem by considering the functions
2443:, from which the Hardy–Littlewood theorem follows immediately.
2818:{\displaystyle \sum a_{n}x^{n}\to s\ {\text{as}}\ x\uparrow 1}
1586:{\displaystyle {\frac {L(tx)}{L(x)}}\to 1,\quad x\to \infty }
1066:{\displaystyle \omega (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dF(t).}
3209:. Springer Series in Soviet Mathematics. Berlin, New York:
40:. In this form, the theorem asserts that if the sequence
1076:
The theorem relates the asymptotics of ω with those of
2881:
In 1915 Hardy and
Littlewood developed a proof of the
1380:
3177:
3006:
2979:
2894:
2837:
2765:
2712:
2656:
2613:
2465:
2429:
2409:
2363:
2304:
2260:
2240:
2200:
2157:
2130:
2102:
2082:
2037:
1905:
1882:
1766:
1677:
1648:
1628:
1602:
1528:
1496:
1457:
1431:
1379:
1350:
1324:
1300:
1202:
1125:
1102:
1082:
997:
971:
917:
848:
745:
701:
681:
645:
603:
570:
510:
481:
379:
348:
315:
245:
188:
85:
46:
3195:
3046:
2985:
2962:
2862:
2817:
2748:
2668:
2642:
2596:
2435:
2415:
2395:
2349:
2290:
2246:
2226:
2186:
2151:are positive. In particular the function given by
2143:
2108:
2088:
2065:
2017:
1888:
1857:
1751:
1660:
1634:
1614:
1585:
1511:
1475:
1443:
1417:
1365:
1336:
1306:
1283:
1187:
1108:
1088:
1065:
977:
949:
891:
828:
728:
687:
667:
631:
589:
553:
493:
464:
362:
334:
257:
228:
168:
65:
3090:(2nd ed.). Oxford: Oxford University Press.
3047:{\displaystyle \sum _{n\leq x}\Lambda (n)\sim x,}
1418:{\displaystyle \textstyle {\sum _{k=0}^{n}a_{k}}}
3207:Pseudodifferential operators and spectral theory
1907:
1668:. Then the following statements are equivalent
1373:to be a piecewise constant function with value
2885:based on their Tauberian theorem; they proved
2679:
1642:be a function slowly varying at infinity and
950:{\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }
309:This formulation is from Titchmarsh. Suppose
179:then there is also an asymptotic equivalence
8:
3268:
3266:
3076:
3074:
3072:
3070:
2073:have this property, and therefore so do all
892:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.}
554:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.}
2680:Littlewood's extension of Tauber's theorem
2254:otherwise has this property. But then for
273:of a function with the asymptotics of its
229:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n}
3176:
3011:
3005:
2978:
2947:
2932:
2910:
2899:
2893:
2845:
2836:
2798:
2783:
2773:
2764:
2735:
2717:
2711:
2655:
2617:
2612:
2582:
2566:
2550:
2534:
2488:
2466:
2464:
2428:
2408:
2387:
2368:
2362:
2338:
2322:
2312:
2303:
2278:
2271:
2259:
2239:
2204:
2199:
2176:
2156:
2135:
2129:
2101:
2081:
2057:
2036:
1991:
1986:
1970:
1954:
1944:
1910:
1904:
1881:
1835:
1813:
1782:
1765:
1732:
1716:
1697:
1676:
1647:
1627:
1601:
1529:
1527:
1495:
1456:
1430:
1407:
1397:
1386:
1381:
1378:
1349:
1323:
1299:
1261:
1249:
1218:
1201:
1163:
1162:
1161:
1148:
1124:
1101:
1081:
1044:
1032:
1022:
1017:
996:
970:
943:
942:
916:
874:
864:
853:
847:
809:
796:
781:
771:
761:
750:
744:
720:
711:
700:
680:
650:
644:
608:
602:
575:
569:
536:
526:
515:
509:
480:
445:
424:
415:
405:
395:
384:
378:
356:
355:
347:
320:
314:
244:
214:
204:
193:
187:
149:
136:
121:
111:
101:
90:
84:
51:
45:
1873:
3109:
3107:
3066:
2350:{\displaystyle \sum a_{n}x^{n}g(x^{n})}
3275:The Development of Prime Number Theory
3249:. Providence: AMS Chelsea Publishing.
2706:. Littlewood showed the following: If
2096:. This can be extended to a function
7:
3348:"Hardy-Littlewood Tauberian Theorem"
2396:{\displaystyle a_{0}+\cdots +a_{N}}
2028:An easy calculation shows that all
296:gave a new and much simpler proof.
3187:
3023:
2980:
2916:
2911:
1849:
1788:
1580:
1301:
1275:
1224:
1174:
1167:
1164:
1023:
933:
762:
488:
396:
252:
102:
22:Hardy–Littlewood Tauberian theorem
14:
2122:Weierstrass approximation theorem
363:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
1519:is slow varying at infinity iff
271:cumulative distribution function
3121:. Providence, RI: AMS Chelsea.
1834:
1731:
1573:
1160:
3273:Narkiewicz, Władysław (2000).
3190:
3178:
3032:
3026:
2925:
2919:
2809:
2789:
2743:
2729:
2686:Littlewood's Tauberian theorem
2660:
2637:
2625:
2506:
2494:
2485:
2472:
2344:
2331:
2167:
2161:
2047:
2041:
2006:
2000:
1976:
1963:
1934:
1922:
1914:
1846:
1828:
1822:
1803:
1791:
1776:
1770:
1743:
1725:
1709:
1687:
1681:
1577:
1564:
1558:
1552:
1544:
1535:
1506:
1500:
1360:
1354:
1272:
1239:
1227:
1212:
1206:
1177:
1135:
1129:
1057:
1051:
1007:
1001:
939:
936:
924:
820:
626:
620:
485:
456:
249:
160:
1:
2863:{\displaystyle \sum a_{n}=s.}
2227:{\displaystyle 1/e<t<1}
3149:. Second edition. New York:
2749:{\displaystyle a_{n}=O(1/n)}
668:{\displaystyle a_{n}\geq -K}
494:{\displaystyle n\to \infty }
258:{\displaystyle n\to \infty }
36:with the asymptotics of its
3331:Encyclopedia of Mathematics
3277:. Berlin: Springer-Verlag.
3196:{\displaystyle [0,\infty )}
1661:{\displaystyle \rho \geq 0}
963:Laplace–Stieltjes transform
590:{\displaystyle a_{n}\geq 0}
335:{\displaystyle a_{n}\geq 0}
66:{\displaystyle a_{n}\geq 0}
3388:
2683:
2291:{\displaystyle x=e^{-1/N}}
2066:{\displaystyle g(x)=x^{k}}
632:{\displaystyle a_{n}=O(1)}
3299:Mathematische Zeitschrift
2452:Non-positive coefficients
1096:in the following way. If
729:{\displaystyle x=1/e^{y}}
73:is such that there is an
32:of the partial sums of a
2986:{\displaystyle \Lambda }
2643:{\displaystyle 1/4(1-x)}
2187:{\displaystyle g(t)=1/t}
300:Statement of the theorem
3087:The Theory of Functions
2694:proved an extension of
1488:slowly varying function
1337:{\displaystyle \rho =1}
1307:{\displaystyle \Gamma }
3205:Shubin, M. A. (1987).
3197:
3048:
2987:
2964:
2915:
2864:
2819:
2750:
2670:
2669:{\displaystyle x\to 1}
2644:
2598:
2437:
2417:
2397:
2351:
2292:
2248:
2228:
2188:
2145:
2110:
2090:
2067:
2019:
1890:
1859:
1753:
1662:
1636:
1616:
1615:{\displaystyle t>0}
1587:
1513:
1477:
1445:
1419:
1402:
1367:
1338:
1308:
1285:
1189:
1110:
1090:
1067:
979:
951:
893:
869:
830:
766:
730:
689:
669:
633:
591:
555:
531:
495:
466:
400:
364:
336:
259:
230:
209:
170:
106:
75:asymptotic equivalence
67:
3198:
3151:John Wiley & Sons
3049:
2995:von Mangoldt function
2988:
2965:
2895:
2865:
2820:
2751:
2671:
2645:
2599:
2438:
2418:
2398:
2352:
2293:
2249:
2229:
2189:
2146:
2144:{\displaystyle a_{n}}
2111:
2091:
2068:
2020:
1891:
1868:
1860:
1754:
1663:
1637:
1617:
1588:
1514:
1478:
1476:{\displaystyle t=n+1}
1446:
1420:
1382:
1368:
1339:
1309:
1286:
1190:
1111:
1109:{\displaystyle \rho }
1091:
1068:
980:
952:
894:
849:
831:
746:
731:
690:
670:
634:
592:
556:
511:
496:
467:
380:
365:
337:
260:
231:
189:
171:
86:
68:
18:mathematical analysis
3326:"Tauberian theorems"
3175:
3004:
2997:, and then conclude
2977:
2892:
2883:prime number theorem
2877:Prime number theorem
2835:
2763:
2710:
2654:
2611:
2463:
2427:
2407:
2403:and the integral of
2361:
2302:
2258:
2238:
2198:
2155:
2128:
2100:
2080:
2035:
1903:
1880:
1764:
1675:
1646:
1626:
1600:
1526:
1512:{\displaystyle L(x)}
1494:
1455:
1429:
1377:
1366:{\displaystyle F(t)}
1348:
1322:
1298:
1200:
1123:
1100:
1080:
995:
969:
915:
903:Integral formulation
846:
743:
699:
679:
643:
601:
568:
508:
479:
377:
346:
313:
243:
186:
83:
44:
2116:with simple (step)
1996:
1444:{\displaystyle t=n}
1027:
3372:Tauberian theorems
3345:Weisstein, Eric W.
3311:10.1007/BF01194636
3193:
3044:
3022:
2983:
2960:
2860:
2815:
2746:
2666:
2640:
2594:
2433:
2413:
2393:
2347:
2288:
2244:
2224:
2184:
2141:
2106:
2086:
2063:
2015:
1982:
1921:
1886:
1855:
1749:
1658:
1632:
1612:
1583:
1509:
1473:
1441:
1415:
1414:
1363:
1334:
1304:
1281:
1185:
1106:
1086:
1063:
1013:
987:Stieltjes integral
985:is defined by the
975:
947:
889:
826:
726:
685:
675:for some constant
665:
629:
587:
551:
491:
462:
360:
332:
305:Series formulation
255:
226:
166:
63:
3256:978-0-8218-2023-0
3220:978-3-540-13621-7
3082:Titchmarsh, E. C.
3007:
2955:
2805:
2801:
2797:
2607:is asymptotic to
2510:
2436:{\displaystyle 1}
2416:{\displaystyle g}
2247:{\displaystyle 0}
2109:{\displaystyle g}
2089:{\displaystyle g}
1906:
1889:{\displaystyle g}
1842:
1838:
1807:
1739:
1735:
1635:{\displaystyle L}
1562:
1268:
1264:
1260:
1243:
1172:
1089:{\displaystyle F}
978:{\displaystyle F}
959:bounded variation
911:-valued function
816:
812:
808:
804:
688:{\displaystyle K}
639:, or we require
452:
448:
444:
440:
275:Laplace transform
156:
152:
148:
144:
26:Tauberian theorem
3379:
3358:
3357:
3339:
3314:
3289:
3288:
3270:
3261:
3260:
3239:
3233:
3232:
3202:
3200:
3199:
3194:
3169:
3163:
3162:
3139:
3133:
3132:
3119:Divergent Series
3111:
3102:
3101:
3078:
3053:
3051:
3050:
3045:
3021:
2992:
2990:
2989:
2984:
2969:
2967:
2966:
2961:
2956:
2948:
2943:
2942:
2914:
2909:
2869:
2867:
2866:
2861:
2850:
2849:
2824:
2822:
2821:
2816:
2803:
2802:
2799:
2795:
2788:
2787:
2778:
2777:
2755:
2753:
2752:
2747:
2739:
2722:
2721:
2675:
2673:
2672:
2667:
2649:
2647:
2646:
2641:
2621:
2603:
2601:
2600:
2595:
2587:
2586:
2571:
2570:
2555:
2554:
2539:
2538:
2511:
2509:
2493:
2492:
2467:
2442:
2440:
2439:
2434:
2422:
2420:
2419:
2414:
2402:
2400:
2399:
2394:
2392:
2391:
2373:
2372:
2356:
2354:
2353:
2348:
2343:
2342:
2327:
2326:
2317:
2316:
2297:
2295:
2294:
2289:
2287:
2286:
2282:
2253:
2251:
2250:
2245:
2233:
2231:
2230:
2225:
2208:
2193:
2191:
2190:
2185:
2180:
2150:
2148:
2147:
2142:
2140:
2139:
2115:
2113:
2112:
2107:
2095:
2093:
2092:
2087:
2072:
2070:
2069:
2064:
2062:
2061:
2024:
2022:
2021:
2016:
1995:
1990:
1975:
1974:
1959:
1958:
1949:
1948:
1920:
1895:
1893:
1892:
1887:
1869:Karamata's proof
1864:
1862:
1861:
1856:
1840:
1839:
1836:
1818:
1817:
1808:
1806:
1783:
1758:
1756:
1755:
1750:
1737:
1736:
1733:
1724:
1723:
1705:
1704:
1667:
1665:
1664:
1659:
1641:
1639:
1638:
1633:
1621:
1619:
1618:
1613:
1592:
1590:
1589:
1584:
1563:
1561:
1547:
1530:
1518:
1516:
1515:
1510:
1482:
1480:
1479:
1474:
1450:
1448:
1447:
1442:
1424:
1422:
1421:
1416:
1413:
1412:
1411:
1401:
1396:
1372:
1370:
1369:
1364:
1343:
1341:
1340:
1335:
1313:
1311:
1310:
1305:
1290:
1288:
1287:
1282:
1266:
1265:
1262:
1258:
1254:
1253:
1244:
1242:
1219:
1194:
1192:
1191:
1186:
1184:
1183:
1173:
1170:
1156:
1155:
1115:
1113:
1112:
1107:
1095:
1093:
1092:
1087:
1072:
1070:
1069:
1064:
1043:
1042:
1026:
1021:
984:
982:
981:
976:
956:
954:
953:
948:
946:
898:
896:
895:
890:
879:
878:
868:
863:
835:
833:
832:
827:
814:
813:
810:
806:
805:
797:
792:
791:
776:
775:
765:
760:
735:
733:
732:
727:
725:
724:
715:
694:
692:
691:
686:
674:
672:
671:
666:
655:
654:
638:
636:
635:
630:
613:
612:
596:
594:
593:
588:
580:
579:
560:
558:
557:
552:
541:
540:
530:
525:
500:
498:
497:
492:
471:
469:
468:
463:
450:
449:
446:
442:
441:
439:
425:
420:
419:
410:
409:
399:
394:
369:
367:
366:
361:
359:
341:
339:
338:
333:
325:
324:
290:J. E. Littlewood
280:The theorem was
264:
262:
261:
256:
235:
233:
232:
227:
219:
218:
208:
203:
175:
173:
172:
167:
154:
153:
150:
146:
145:
137:
132:
131:
116:
115:
105:
100:
72:
70:
69:
64:
56:
55:
3387:
3386:
3382:
3381:
3380:
3378:
3377:
3376:
3362:
3361:
3343:
3342:
3324:
3321:
3296:
3293:
3292:
3285:
3272:
3271:
3264:
3257:
3241:
3240:
3236:
3221:
3211:Springer-Verlag
3204:
3173:
3172:
3170:
3166:
3143:Feller, William
3141:
3140:
3136:
3129:
3113:
3112:
3105:
3098:
3080:
3079:
3068:
3063:
3002:
3001:
2975:
2974:
2928:
2890:
2889:
2879:
2841:
2833:
2832:
2779:
2769:
2761:
2760:
2756:, and we have
2713:
2708:
2707:
2688:
2682:
2652:
2651:
2609:
2608:
2578:
2562:
2546:
2530:
2484:
2471:
2461:
2460:
2454:
2449:
2425:
2424:
2405:
2404:
2383:
2364:
2359:
2358:
2334:
2318:
2308:
2300:
2299:
2267:
2256:
2255:
2236:
2235:
2196:
2195:
2153:
2152:
2131:
2126:
2125:
2118:discontinuities
2098:
2097:
2078:
2077:
2053:
2033:
2032:
1966:
1950:
1940:
1901:
1900:
1878:
1877:
1874:Karamata (1930)
1871:
1809:
1787:
1762:
1761:
1712:
1693:
1673:
1672:
1644:
1643:
1624:
1623:
1598:
1597:
1548:
1531:
1524:
1523:
1492:
1491:
1453:
1452:
1427:
1426:
1403:
1375:
1374:
1346:
1345:
1320:
1319:
1296:
1295:
1245:
1223:
1198:
1197:
1144:
1121:
1120:
1098:
1097:
1078:
1077:
1028:
993:
992:
967:
966:
913:
912:
905:
870:
844:
843:
777:
767:
741:
740:
716:
697:
696:
677:
676:
646:
641:
640:
604:
599:
598:
571:
566:
565:
532:
506:
505:
477:
476:
429:
411:
401:
375:
374:
344:
343:
316:
311:
310:
307:
302:
241:
240:
210:
184:
183:
117:
107:
81:
80:
47:
42:
41:
12:
11:
5:
3385:
3383:
3375:
3374:
3364:
3363:
3360:
3359:
3340:
3320:
3319:External links
3317:
3316:
3315:
3305:(1): 319–320.
3291:
3290:
3283:
3262:
3255:
3234:
3219:
3192:
3189:
3186:
3183:
3180:
3164:
3134:
3127:
3103:
3096:
3065:
3064:
3062:
3059:
3055:
3054:
3043:
3040:
3037:
3034:
3031:
3028:
3025:
3020:
3017:
3014:
3010:
2982:
2971:
2970:
2959:
2954:
2951:
2946:
2941:
2938:
2935:
2931:
2927:
2924:
2921:
2918:
2913:
2908:
2905:
2902:
2898:
2878:
2875:
2871:
2870:
2859:
2856:
2853:
2848:
2844:
2840:
2826:
2825:
2814:
2811:
2808:
2794:
2791:
2786:
2782:
2776:
2772:
2768:
2745:
2742:
2738:
2734:
2731:
2728:
2725:
2720:
2716:
2704:Abel's theorem
2684:Main article:
2681:
2678:
2665:
2662:
2659:
2639:
2636:
2633:
2630:
2627:
2624:
2620:
2616:
2605:
2604:
2593:
2590:
2585:
2581:
2577:
2574:
2569:
2565:
2561:
2558:
2553:
2549:
2545:
2542:
2537:
2533:
2529:
2526:
2523:
2520:
2517:
2514:
2508:
2505:
2502:
2499:
2496:
2491:
2487:
2483:
2480:
2477:
2474:
2470:
2453:
2450:
2448:
2445:
2432:
2412:
2390:
2386:
2382:
2379:
2376:
2371:
2367:
2346:
2341:
2337:
2333:
2330:
2325:
2321:
2315:
2311:
2307:
2285:
2281:
2277:
2274:
2270:
2266:
2263:
2243:
2223:
2220:
2217:
2214:
2211:
2207:
2203:
2183:
2179:
2175:
2172:
2169:
2166:
2163:
2160:
2138:
2134:
2105:
2085:
2060:
2056:
2052:
2049:
2046:
2043:
2040:
2026:
2025:
2014:
2011:
2008:
2005:
2002:
1999:
1994:
1989:
1985:
1981:
1978:
1973:
1969:
1965:
1962:
1957:
1953:
1947:
1943:
1939:
1936:
1933:
1930:
1927:
1924:
1919:
1916:
1913:
1909:
1885:
1870:
1867:
1866:
1865:
1854:
1851:
1848:
1845:
1833:
1830:
1827:
1824:
1821:
1816:
1812:
1805:
1802:
1799:
1796:
1793:
1790:
1786:
1781:
1778:
1775:
1772:
1769:
1759:
1748:
1745:
1742:
1730:
1727:
1722:
1719:
1715:
1711:
1708:
1703:
1700:
1696:
1692:
1689:
1686:
1683:
1680:
1657:
1654:
1651:
1631:
1611:
1608:
1605:
1594:
1593:
1582:
1579:
1576:
1572:
1569:
1566:
1560:
1557:
1554:
1551:
1546:
1543:
1540:
1537:
1534:
1508:
1505:
1502:
1499:
1472:
1469:
1466:
1463:
1460:
1440:
1437:
1434:
1410:
1406:
1400:
1395:
1392:
1389:
1385:
1362:
1359:
1356:
1353:
1333:
1330:
1327:
1316:Gamma function
1303:
1292:
1291:
1280:
1277:
1274:
1271:
1257:
1252:
1248:
1241:
1238:
1235:
1232:
1229:
1226:
1222:
1217:
1214:
1211:
1208:
1205:
1195:
1182:
1179:
1176:
1169:
1166:
1159:
1154:
1151:
1147:
1143:
1140:
1137:
1134:
1131:
1128:
1105:
1085:
1074:
1073:
1062:
1059:
1056:
1053:
1050:
1047:
1041:
1038:
1035:
1031:
1025:
1020:
1016:
1012:
1009:
1006:
1003:
1000:
974:
945:
941:
938:
935:
932:
929:
926:
923:
920:
904:
901:
900:
899:
888:
885:
882:
877:
873:
867:
862:
859:
856:
852:
837:
836:
825:
822:
819:
803:
800:
795:
790:
787:
784:
780:
774:
770:
764:
759:
756:
753:
749:
723:
719:
714:
710:
707:
704:
684:
664:
661:
658:
653:
649:
628:
625:
622:
619:
616:
611:
607:
586:
583:
578:
574:
562:
561:
550:
547:
544:
539:
535:
529:
524:
521:
518:
514:
490:
487:
484:
473:
472:
461:
458:
455:
438:
435:
432:
428:
423:
418:
414:
408:
404:
398:
393:
390:
387:
383:
370:, and we have
358:
354:
351:
331:
328:
323:
319:
306:
303:
301:
298:
294:Jovan Karamata
254:
251:
248:
237:
236:
225:
222:
217:
213:
207:
202:
199:
196:
192:
177:
176:
165:
162:
159:
143:
140:
135:
130:
127:
124:
120:
114:
110:
104:
99:
96:
93:
89:
62:
59:
54:
50:
38:Abel summation
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
3384:
3373:
3370:
3369:
3367:
3355:
3354:
3349:
3346:
3341:
3337:
3333:
3332:
3327:
3323:
3322:
3318:
3312:
3308:
3304:
3301:(in German).
3300:
3295:
3294:
3286:
3284:3-540-66289-8
3280:
3276:
3269:
3267:
3263:
3258:
3252:
3248:
3244:
3238:
3235:
3230:
3226:
3222:
3216:
3212:
3208:
3184:
3181:
3168:
3165:
3160:
3156:
3152:
3148:
3144:
3138:
3135:
3130:
3128:0-8284-0334-1
3124:
3120:
3116:
3110:
3108:
3104:
3099:
3097:0-19-853349-7
3093:
3089:
3088:
3083:
3077:
3075:
3073:
3071:
3067:
3060:
3058:
3041:
3038:
3035:
3029:
3018:
3015:
3012:
3008:
3000:
2999:
2998:
2996:
2957:
2952:
2949:
2944:
2939:
2936:
2933:
2929:
2922:
2906:
2903:
2900:
2896:
2888:
2887:
2886:
2884:
2876:
2874:
2857:
2854:
2851:
2846:
2842:
2838:
2831:
2830:
2829:
2812:
2806:
2792:
2784:
2780:
2774:
2770:
2766:
2759:
2758:
2757:
2740:
2736:
2732:
2726:
2723:
2718:
2714:
2705:
2701:
2697:
2693:
2687:
2677:
2663:
2657:
2634:
2631:
2628:
2622:
2618:
2614:
2591:
2588:
2583:
2579:
2575:
2572:
2567:
2563:
2559:
2556:
2551:
2547:
2543:
2540:
2535:
2531:
2527:
2524:
2521:
2518:
2515:
2512:
2503:
2500:
2497:
2489:
2481:
2478:
2475:
2468:
2459:
2458:
2457:
2451:
2446:
2444:
2430:
2410:
2388:
2384:
2380:
2377:
2374:
2369:
2365:
2339:
2335:
2328:
2323:
2319:
2313:
2309:
2305:
2283:
2279:
2275:
2272:
2268:
2264:
2261:
2241:
2221:
2218:
2215:
2212:
2209:
2205:
2201:
2181:
2177:
2173:
2170:
2164:
2158:
2136:
2132:
2123:
2119:
2103:
2083:
2076:
2058:
2054:
2050:
2044:
2038:
2031:
2012:
2009:
2003:
1997:
1992:
1987:
1983:
1979:
1971:
1967:
1960:
1955:
1951:
1945:
1941:
1937:
1931:
1928:
1925:
1917:
1911:
1899:
1898:
1897:
1883:
1875:
1852:
1843:
1831:
1825:
1819:
1814:
1810:
1800:
1797:
1794:
1784:
1779:
1773:
1767:
1760:
1746:
1740:
1728:
1720:
1717:
1713:
1706:
1701:
1698:
1694:
1690:
1684:
1678:
1671:
1670:
1669:
1655:
1652:
1649:
1629:
1609:
1606:
1603:
1574:
1570:
1567:
1555:
1549:
1541:
1538:
1532:
1522:
1521:
1520:
1503:
1497:
1489:
1484:
1470:
1467:
1464:
1461:
1458:
1438:
1435:
1432:
1408:
1404:
1398:
1393:
1390:
1387:
1383:
1357:
1351:
1331:
1328:
1325:
1317:
1278:
1269:
1255:
1250:
1246:
1236:
1233:
1230:
1220:
1215:
1209:
1203:
1196:
1180:
1157:
1152:
1149:
1145:
1141:
1138:
1132:
1126:
1119:
1118:
1117:
1103:
1083:
1060:
1054:
1048:
1045:
1039:
1036:
1033:
1029:
1018:
1014:
1010:
1004:
998:
991:
990:
989:
988:
972:
964:
960:
930:
927:
921:
918:
910:
902:
886:
883:
880:
875:
871:
865:
860:
857:
854:
850:
842:
841:
840:
823:
817:
801:
798:
793:
788:
785:
782:
778:
772:
768:
757:
754:
751:
747:
739:
738:
737:
721:
717:
712:
708:
705:
702:
682:
662:
659:
656:
651:
647:
623:
617:
614:
609:
605:
597:, we require
584:
581:
576:
572:
548:
545:
542:
537:
533:
527:
522:
519:
516:
512:
504:
503:
502:
482:
459:
453:
436:
433:
430:
426:
421:
416:
412:
406:
402:
391:
388:
385:
381:
373:
372:
371:
352:
349:
329:
326:
321:
317:
304:
299:
297:
295:
291:
287:
283:
278:
276:
272:
268:
246:
223:
220:
215:
211:
205:
200:
197:
194:
190:
182:
181:
180:
163:
157:
141:
138:
133:
128:
125:
122:
118:
112:
108:
97:
94:
91:
87:
79:
78:
77:
76:
60:
57:
52:
48:
39:
35:
31:
28:relating the
27:
23:
19:
3351:
3329:
3302:
3298:
3274:
3246:
3243:Hardy, G. H.
3237:
3206:
3167:
3146:
3137:
3118:
3115:Hardy, G. H.
3086:
3056:
2972:
2880:
2872:
2827:
2689:
2606:
2455:
2027:
1872:
1595:
1485:
1314:denotes the
1293:
1075:
906:
838:
563:
474:
308:
279:
238:
178:
21:
15:
2075:polynomials
292:. In 1930,
286:G. H. Hardy
284:in 1914 by
30:asymptotics
2692:Littlewood
1896:such that
1596:for every
3353:MathWorld
3336:EMS Press
3245:(1999) .
3188:∞
3117:(1991) .
3036:∼
3024:Λ
3016:≤
3009:∑
2981:Λ
2945:∼
2934:−
2917:Λ
2912:∞
2897:∑
2839:∑
2810:↑
2790:→
2767:∑
2661:→
2632:−
2592:⋯
2573:−
2541:−
2519:−
2501:−
2378:⋯
2306:∑
2298:the sum
2273:−
2030:monomials
1984:∫
1938:∑
1929:−
1915:→
1850:∞
1847:→
1815:ρ
1795:ρ
1789:Γ
1780:∼
1744:→
1718:−
1702:ρ
1699:−
1691:∼
1679:ω
1653:≥
1650:ρ
1581:∞
1578:→
1565:→
1384:∑
1326:ρ
1302:Γ
1276:∞
1273:→
1251:ρ
1231:ρ
1225:Γ
1216:∼
1178:→
1153:ρ
1150:−
1139:∼
1127:ω
1104:ρ
1034:−
1024:∞
1015:∫
999:ω
940:→
934:∞
881:∼
851:∑
821:↓
794:∼
783:−
763:∞
748:∑
660:−
657:≥
582:≥
543:∼
513:∑
489:∞
486:→
457:↑
434:−
422:∼
397:∞
382:∑
353:∈
327:≥
253:∞
250:→
221:∼
191:∑
161:↓
134:∼
123:−
103:∞
88:∑
58:≥
3366:Category
3145:(1971).
3084:(1939).
2700:converse
2690:In 1911
2447:Examples
1425:between
736:). If,
501:we have
475:Then as
342:for all
267:integral
3338:, 2001
3229:0883081
3159:0270403
2993:is the
961:. The
265:. The
3281:
3253:
3227:
3217:
3157:
3125:
3094:
2973:where
2804:
2796:
2696:Tauber
1841:
1738:
1622:. Let
1267:
1259:
1171:
815:
807:
451:
443:
282:proved
155:
147:
34:series
20:, the
3061:Notes
2828:then
1294:Here
839:then
24:is a
3279:ISBN
3251:ISBN
3215:ISBN
3123:ISBN
3092:ISBN
2234:and
2219:<
2213:<
1607:>
1451:and
1344:and
909:real
288:and
3307:doi
2702:of
2698:'s
2650:as
2423:is
2357:is
2194:if
1908:lim
965:of
957:of
239:as
16:In
3368::
3350:.
3334:,
3328:,
3303:32
3265:^
3225:MR
3223:.
3213:.
3155:MR
3153:.
3106:^
3069:^
2800:as
1837:as
1734:as
1490:,
1483:.
1263:as
811:as
460:1.
447:as
277:.
151:as
3356:.
3313:.
3309::
3287:.
3259:.
3231:.
3191:)
3185:,
3182:0
3179:[
3161:.
3131:.
3100:.
3042:,
3039:x
3033:)
3030:n
3027:(
3019:x
3013:n
2958:,
2953:y
2950:1
2940:y
2937:n
2930:e
2926:)
2923:n
2920:(
2907:2
2904:=
2901:n
2858:.
2855:s
2852:=
2847:n
2843:a
2813:1
2807:x
2793:s
2785:n
2781:x
2775:n
2771:a
2744:)
2741:n
2737:/
2733:1
2730:(
2727:O
2724:=
2719:n
2715:a
2664:1
2658:x
2638:)
2635:x
2629:1
2626:(
2623:4
2619:/
2615:1
2589:+
2584:5
2580:x
2576:3
2568:4
2564:x
2560:3
2557:+
2552:3
2548:x
2544:2
2536:2
2532:x
2528:2
2525:+
2522:x
2516:1
2513:=
2507:)
2504:x
2498:1
2495:(
2490:2
2486:)
2482:x
2479:+
2476:1
2473:(
2469:1
2431:1
2411:g
2389:N
2385:a
2381:+
2375:+
2370:0
2366:a
2345:)
2340:n
2336:x
2332:(
2329:g
2324:n
2320:x
2314:n
2310:a
2284:N
2280:/
2276:1
2269:e
2265:=
2262:x
2242:0
2222:1
2216:t
2210:e
2206:/
2202:1
2182:t
2178:/
2174:1
2171:=
2168:)
2165:t
2162:(
2159:g
2137:n
2133:a
2104:g
2084:g
2059:k
2055:x
2051:=
2048:)
2045:x
2042:(
2039:g
2013:t
2010:d
2007:)
2004:t
2001:(
1998:g
1993:1
1988:0
1980:=
1977:)
1972:n
1968:x
1964:(
1961:g
1956:n
1952:x
1946:n
1942:a
1935:)
1932:x
1926:1
1923:(
1918:1
1912:x
1884:g
1853:.
1844:t
1832:,
1829:)
1826:t
1823:(
1820:L
1811:t
1804:)
1801:1
1798:+
1792:(
1785:1
1777:)
1774:t
1771:(
1768:F
1747:0
1741:s
1729:,
1726:)
1721:1
1714:s
1710:(
1707:L
1695:s
1688:)
1685:s
1682:(
1656:0
1630:L
1610:0
1604:t
1575:x
1571:,
1568:1
1559:)
1556:x
1553:(
1550:L
1545:)
1542:x
1539:t
1536:(
1533:L
1507:)
1504:x
1501:(
1498:L
1471:1
1468:+
1465:n
1462:=
1459:t
1439:n
1436:=
1433:t
1409:k
1405:a
1399:n
1394:0
1391:=
1388:k
1361:)
1358:t
1355:(
1352:F
1332:1
1329:=
1279:.
1270:t
1256:,
1247:t
1240:)
1237:1
1234:+
1228:(
1221:C
1213:)
1210:t
1207:(
1204:F
1181:0
1175:s
1168:s
1165:a
1158:,
1146:s
1142:C
1136:)
1133:s
1130:(
1084:F
1061:.
1058:)
1055:t
1052:(
1049:F
1046:d
1040:t
1037:s
1030:e
1019:0
1011:=
1008:)
1005:s
1002:(
973:F
944:R
937:)
931:,
928:0
925:[
922::
919:F
887:.
884:n
876:k
872:a
866:n
861:0
858:=
855:k
824:0
818:y
802:y
799:1
789:y
786:n
779:e
773:n
769:a
758:0
755:=
752:n
722:y
718:e
713:/
709:1
706:=
703:x
683:K
663:K
652:n
648:a
627:)
624:1
621:(
618:O
615:=
610:n
606:a
585:0
577:n
573:a
549:.
546:n
538:k
534:a
528:n
523:0
520:=
517:k
483:n
454:x
437:x
431:1
427:1
417:n
413:x
407:n
403:a
392:0
389:=
386:n
357:N
350:n
330:0
322:n
318:a
247:n
224:n
216:k
212:a
206:n
201:0
198:=
195:k
164:0
158:y
142:y
139:1
129:y
126:n
119:e
113:n
109:a
98:0
95:=
92:n
61:0
53:n
49:a
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.