952:
536:
947:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}&={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi }{\sqrt{5\,\phi ^{6}}}}+{\frac {5}{2}}\ln(5)-{\sqrt {5}}\ln(\phi )\right)\\&=1.3227792531223888567\dots \end{aligned}}}
3695:
4004:
101:
3493:
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1005:
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3856:
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3515:
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4007:
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2855:
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2520:
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3851:
3841:
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2040:
2030:
2020:
1403:
1385:
1284:
1274:
1264:
2860:
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4028:
3103:
2648:
2269:
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2050:
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2035:
2012:
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1294:
1289:
1279:
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1216:
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1108:
206:
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3179:
2965:
2875:
2749:
2724:
2633:
2623:
2235:
2217:
2137:
1474:
1451:
1376:
186:
in base 10 of a heptagonal number can only be 1, 4, 7 or 9. Five times a heptagonal number, plus 1 equals a
457:
3618:
3565:
3474:
2744:
2618:
2249:
2025:
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3260:
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2638:
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3325:
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3005:
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2315:
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2060:
1967:
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1695:
1670:
1645:
1548:
1304:
1016:
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3443:
2739:
2350:
120:
116:
112:
1573:
178:
The parity of heptagonal numbers follows the pattern odd-odd-even-even. Like
3590:
3068:
2995:
2987:
2792:
2706:
1824:
1528:
159:, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, … (sequence
3538:
3169:
25:
3507:
3174:
2833:
1208:
1180:"Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers"
1027:, meaning the number of terms in the sequence up to and including
99:
3511:
3460:
3424:
3388:
3352:
3312:
2937:
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1888:
1822:
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1712:
1616:
1577:
1212:
161:
446:{\displaystyle H_{m}-H_{n}={\frac {(5(m+n)-3)(m-n)}{2}}}
974:
3887:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
3877:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
1111:
1047:
966:
539:
460:
362:
281:
209:
199:
The heptagonal numbers have several notable formulas:
41:
3955:
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2758:
2715:
2692:
2569:
2257:
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2136:
2069:
2011:
2002:
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1526:
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1487:
1460:
1422:
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1375:
1313:
1255:
1246:
1151:
1091:{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {40x+9}}+3}{10}},}
1090:
999:
946:
510:
445:
347:
266:
88:
1000:{\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
32:-th heptagonal number is given by the formula
3523:
1589:
1224:
8:
3970:Hypergeometric function of a matrix argument
89:{\displaystyle H_{n}={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}
3826:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
3800:
3732:
3555:
3530:
3516:
3508:
3457:
3421:
3385:
3349:
3309:
2983:
2948:
2934:
2823:
2566:
2549:
2464:
2419:
2296:
2254:
2142:
2008:
1999:
1986:
1933:
1890:Possessing a specific set of other numbers
1885:
1819:
1771:
1709:
1613:
1596:
1582:
1574:
1533:
1493:
1381:
1252:
1231:
1217:
1209:
348:{\displaystyle H_{m-n}=H_{m}+H_{n}-5mn+3n}
3882:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
1128:
1118:
1110:
1057:
1054:
1046:
1023:one can calculate the heptagonal root of
983:
973:
965:
897:
869:
858:
851:
846:
836:
821:
797:
786:
776:
752:
744:
741:
724:
713:
703:
679:
671:
668:
640:
628:
617:
612:
602:
565:
559:
548:
540:
538:
502:
468:
459:
389:
380:
367:
361:
318:
305:
286:
280:
246:
233:
214:
208:
65:
55:
46:
40:
1152:{\displaystyle x={\frac {5n^{2}-3n}{2}}}
1171:
530:of the heptagonal numbers is given by:
267:{\displaystyle H_{m+n}=H_{m}+H_{n}+5mn}
108:The first few heptagonal numbers are:
511:{\displaystyle 40H_{n}+9=(10n-3)^{2}}
7:
3847:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
560:
104:The first five heptagonal numbers.
14:
3965:Generalized hypergeometric series
24:that is constructed by combining
4003:
4002:
3975:Lauricella hypergeometric series
3693:
3491:
3099:Perfect digit-to-digit invariant
3985:Riemann's differential equation
1101:which is obtained by using the
916:
910:
891:
885:
662:
656:
589:
574:
499:
483:
434:
422:
419:
410:
398:
392:
1:
3980:Modular hypergeometric series
3821:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
1938:Expressible via specific sums
1409:Centered dodecahedral numbers
1159:for its unique positive root
1414:Centered icosahedral numbers
1394:Centered tetrahedral numbers
3990:Theta hypergeometric series
3027:Multiplicative digital root
1404:Centered octahedral numbers
1285:Centered heptagonal numbers
1275:Centered pentagonal numbers
1265:Centered triangular numbers
155:, 286, 342, 403, 469, 540,
4045:
3872:Infinite arithmetic series
3816:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
3811:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
1509:Squared triangular numbers
1300:Centered decagonal numbers
1295:Centered nonagonal numbers
1290:Centered octagonal numbers
1280:Centered hexagonal numbers
3998:
3691:
3487:
3470:
3456:
3434:
3420:
3398:
3384:
3362:
3348:
3321:
3308:
3104:Perfect digital invariant
2947:
2933:
2841:
2822:
2679:Superior highly composite
2565:
2548:
2476:
2463:
2431:
2418:
2306:
2295:
1998:
1985:
1943:
1932:
1895:
1884:
1832:
1818:
1781:
1770:
1723:
1708:
1626:
1612:
28:with ascending size. The
2717:Euler's totient function
2501:Euler–Jacobi pseudoprime
1776:Other polynomial numbers
1475:Square pyramidal numbers
1452:Stella octangula numbers
1038:is given by the formula
3703:Properties of sequences
2531:Somer–Lucas pseudoprime
2521:Lucas–Carmichael number
2356:Lazy caterer's sequence
1270:Centered square numbers
1034:The heptagonal root of
3566:Arithmetic progression
2406:Wedderburn–Etherington
1806:Lucky numbers of Euler
1153:
1092:
1001:
948:
564:
528:sum of the reciprocals
512:
447:
349:
268:
105:
90:
3957:Hypergeometric series
3571:Geometric progression
2694:Prime omega functions
2511:Frobenius pseudoprime
2301:Combinatorial numbers
2170:Centered dodecahedral
1963:Primary pseudoperfect
1399:Centered cube numbers
1154:
1093:
1002:
949:
935:1.3227792531223888567
544:
513:
448:
350:
269:
194:Additional properties
103:
91:
3937:Trigonometric series
3729:Properties of series
3576:Harmonic progression
3153:-composition related
2953:Arithmetic functions
2555:Arithmetic functions
2491:Elliptic pseudoprime
2175:Centered icosahedral
2155:Centered tetrahedral
1442:Dodecahedral numbers
1109:
1045:
964:
537:
458:
360:
279:
207:
39:
3917:Formal power series
3079:Kaprekar's constant
2599:Colossally abundant
2486:Catalan pseudoprime
2386:Schröder–Hipparchus
2165:Centered octahedral
2041:Centered heptagonal
2031:Centered pentagonal
2021:Centered triangular
1621:and related numbers
1559:8-hypercube numbers
1554:7-hypercube numbers
1549:6-hypercube numbers
1544:5-hypercube numbers
1514:Tesseractic numbers
1470:Tetrahedral numbers
1447:Icosahedral numbers
1363:Dodecagonal numbers
3715:Monotonic function
3634:Fibonacci sequence
3497:Mathematics portal
3439:Aronson's sequence
3185:Smarandache–Wellin
2942:-dependent numbers
2649:Primitive abundant
2536:Strong pseudoprime
2526:Perrin pseudoprime
2506:Fermat pseudoprime
2446:Wolstenholme prime
2270:Squared triangular
2056:Centered decagonal
2051:Centered nonagonal
2046:Centered octagonal
2036:Centered hexagonal
1437:Octahedral numbers
1343:Heptagonal numbers
1333:Pentagonal numbers
1323:Triangular numbers
1149:
1088:
1015:In analogy to the
997:
995:
944:
942:
526:A formula for the
522:Sum of reciprocals
508:
443:
345:
264:
106:
86:
4016:
4015:
3947:Generating series
3895:
3894:
3867:1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
3862:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
3857:1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
3852:1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
3842:1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
3792:
3791:
3720:Periodic sequence
3689:
3688:
3674:Triangular number
3664:Pentagonal number
3644:Heptagonal number
3629:Complete sequence
3551:Integer sequences
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