1380:
1085:
3399:
2374:
1953:
1248:
2914:
3506:
1207:
962:
3020:
1146:
1513:
657:
2009:
235:
3451:
819:
2577:
412:
3261:
2087:
555:
2516:
124:
2194:
1788:
2674:
2270:
2717:
1236:
2850:
1605:
3538:
3167:
3052:
277:
326:
2230:
1670:
881:
2811:
2635:
2117:
1412:
3213:
3098:
2780:
1899:
3574:
2470:
1436:
760:
954:
690:
585:
2434:
2414:
2144:
1735:
740:
350:
147:
492:
3732:
924:
713:
3594:
3284:
3187:
3138:
3118:
3072:
2945:
2737:
2608:
1851:
1645:
1625:
1553:
1533:
901:
859:
839:
455:
435:
1824:
3292:
2279:
1904:
1375:{\displaystyle H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} /\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\varphi )\beta \rangle .}
2861:
1080:{\displaystyle H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\varphi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
3716:
3456:
1151:
3805:
2953:
2233:
1096:
1452:
2587:
A very general notion of the Hopf invariant can be defined, but it requires a certain amount of homotopy theoretic groundwork:
596:
1958:
163:
3410:
765:
3890:
2524:
366:
3885:
3221:
2037:
505:
2475:
2638:
80:
2149:
1740:
3906:
2273:
2644:
2238:
2682:
2381:
1215:
3759:
2819:
2377:
3851:
3750:
1558:
3514:
3143:
3028:
243:
3661:
2020:
288:
3880:
3764:
2199:
1016:
1650:
864:
3777:
3726:
3630:
2920:
2789:
2613:
2095:
2031:
1388:
35:
3192:
3077:
2746:
1860:
3868:
3712:
3689:
3543:
2783:
2439:
1827:
1673:
1421:
745:
357:
353:
66:
3849:
Hopf, Heinz (1931), "Ăśber die
Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche",
2011:
sending a direction on the sphere to the subspace it spans. It is a theorem, proved first by
3860:
3814:
3769:
3679:
3669:
3622:
933:
665:
564:
3826:
3789:
3613:
Serre, Jean-Pierre (September 1953). "Groupes D'Homotopie Et
Classes De Groupes Abeliens".
2419:
2387:
2122:
1679:
1212:
For dimensional reasons, all cup-products between those classes must be trivial apart from
718:
335:
132:
3822:
3785:
468:
3665:
3540:-equivariant group of maps. There exists also an unstable version of the Hopf invariant
3394:{\displaystyle h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).}
906:
695:
3834:
3800:
3684:
3649:
3579:
3269:
3172:
3123:
3103:
3057:
2930:
2782:
is any pointed space (as it is implicitly in the previous section), and if we take the
2722:
2593:
2016:
1836:
1630:
1610:
1538:
1518:
886:
844:
824:
558:
440:
420:
283:
154:
1793:
3900:
3838:
2369:{\displaystyle d(\varphi ^{*}\omega _{n})=\varphi ^{*}(d\omega _{n})=\varphi ^{*}0=0}
927:
3511:
but under the direct limit it becomes the advertised element of the stable homotopy
588:
329:
17:
3796:
3745:
2090:
2034:
has proposed the following integral formula for the Hopf invariant. Given a map
2012:
1948:{\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} }
31:
926:
and zero everywhere else. Cellular (co-)homology is the (co-)homology of this
62:
3872:
3818:
3100:. Here "stable" means "stable under suspension", i.e. the direct limit over
150:
3693:
3674:
71:
47:
43:
3864:
3781:
3634:
3140:, if you will) of the ordinary, equivariant homotopy groups; and the
3773:
3626:
3286:
the identity, then the Hopf invariant is defined by the following:
465:
even), there is one more bit of infinite cyclic homotopy in degree
3748:(1960), "On the non-existence of elements of Hopf invariant one",
2909:{\displaystyle F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y}
930:, and since all boundary homomorphisms must be zero (recall that
3501:{\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y,}
1202:{\displaystyle H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .}
3015:{\displaystyle h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}},}
1141:{\displaystyle H^{n}(C_{\varphi })=\langle \alpha \rangle }
1073:
1508:{\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} }
652:{\displaystyle C_{\varphi }=S^{n}\cup _{\varphi }D^{2n},}
2004:{\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}}
230:{\displaystyle \eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}}
2023:, that these are the only maps with Hopf invariant 1.
3582:
3546:
3517:
3459:
3446:{\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X}
3413:
3295:
3272:
3224:
3195:
3175:
3146:
3126:
3106:
3080:
3060:
3031:
2956:
2933:
2864:
2822:
2792:
2749:
2725:
2685:
2647:
2616:
2596:
2527:
2478:
2442:
2422:
2390:
2282:
2241:
2202:
2152:
2125:
2098:
2040:
1961:
1907:
1863:
1839:
1796:
1743:
1682:
1653:
1633:
1613:
1561:
1541:
1521:
1455:
1424:
1391:
1251:
1218:
1154:
1099:
965:
936:
909:
889:
867:
847:
827:
814:{\displaystyle C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\varphi })}
768:
748:
721:
698:
668:
599:
567:
508:
471:
443:
423:
369:
338:
291:
246:
166:
135:
83:
3576:, for which one must keep track of the vector space
2572:{\displaystyle \int _{S^{2n-1}}\eta \wedge d\eta .}
407:{\displaystyle \pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} }
3650:"An Expression of Hopf's Invariant as an Integral"
3588:
3568:
3532:
3500:
3445:
3393:
3278:
3255:
3207:
3181:
3161:
3132:
3112:
3092:
3066:
3046:
3014:
2939:
2908:
2844:
2805:
2774:
2731:
2711:
2668:
2629:
2602:
2571:
2510:
2464:
2428:
2408:
2368:
2264:
2224:
2188:
2138:
2111:
2081:
2003:
1947:
1893:
1845:
1818:
1782:
1729:
1664:
1639:
1619:
1599:
1547:
1527:
1507:
1430:
1406:
1374:
1230:
1201:
1140:
1090:Denote the generators of the cohomology groups by
1079:
948:
918:
895:
875:
853:
833:
813:
754:
734:
707:
684:
651:
579:
549:
486:
449:
429:
406:
344:
320:
271:
229:
141:
118:
3256:{\displaystyle \Delta _{X}\colon X\to X\wedge X}
2082:{\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}
550:{\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}
153:to the constant map, by using the fact that the
3654:Proceedings of the National Academy of Sciences
2511:{\displaystyle d\eta =\varphi ^{*}\omega _{n}}
1901:, corresponding to the real division algebras
8:
2991:
2972:
1366:
1306:
1193:
1187:
1135:
1129:
27:Homotopy invariant of maps between n-spheres
3803:(1966), "K-Theory and the Hopf Invariant",
461:. However, for an even-dimensional sphere (
119:{\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2},}
3731:: CS1 maint: location missing publisher (
2189:{\displaystyle \int _{S^{n}}\omega _{n}=1}
1783:{\displaystyle i_{n}\colon S^{n}\to S^{n}}
3763:
3683:
3673:
3581:
3551:
3545:
3524:
3520:
3519:
3516:
3477:
3464:
3458:
3431:
3418:
3412:
3364:
3339:
3294:
3271:
3229:
3223:
3194:
3174:
3153:
3149:
3148:
3145:
3125:
3105:
3079:
3059:
3054:-equivariant homotopy group of maps from
3038:
3034:
3033:
3030:
3001:
2997:
2996:
2994:
2955:
2932:
2894:
2875:
2863:
2827:
2821:
2797:
2791:
2763:
2748:
2724:
2703:
2690:
2684:
2660:
2656:
2655:
2646:
2621:
2615:
2595:
2537:
2532:
2526:
2502:
2492:
2477:
2447:
2441:
2421:
2389:
2351:
2335:
2319:
2303:
2293:
2281:
2256:
2246:
2240:
2210:
2201:
2174:
2162:
2157:
2151:
2130:
2124:
2103:
2097:
2073:
2051:
2039:
1995:
1991:
1988:
1987:
1974:
1970:
1969:
1960:
1941:
1940:
1933:
1932:
1925:
1924:
1917:
1916:
1909:
1908:
1906:
1862:
1838:
1812:
1808:
1804:
1800:
1795:
1774:
1761:
1748:
1742:
1709:
1696:
1681:
1658:
1657:
1652:
1632:
1612:
1588:
1566:
1560:
1540:
1520:
1501:
1500:
1488:
1466:
1454:
1423:
1390:
1301:
1282:
1281:
1269:
1256:
1250:
1217:
1175:
1159:
1153:
1117:
1104:
1098:
1062:
1020:
1019:
1011:
999:
986:
971:
970:
964:
935:
908:
888:
869:
868:
866:
846:
826:
802:
789:
774:
773:
767:
747:
726:
720:
697:
673:
667:
637:
627:
617:
604:
598:
566:
541:
519:
507:
470:
442:
422:
400:
399:
387:
374:
368:
337:
309:
296:
290:
263:
245:
221:
196:
171:
165:
134:
107:
94:
82:
3709:Differential forms in algebraic topology
3605:
3189:and the flipping of the two factors on
2919:be a stable map, i.e. stable under the
2813:, then we can form the wedge products
2669:{\displaystyle V\cong \mathbb {R} ^{k}}
2518:. The Hopf invariant is then given by
2265:{\displaystyle \varphi ^{*}\omega _{n}}
3724:
3266:denote the canonical diagonal map and
2712:{\displaystyle V^{\infty }\cong S^{k}}
1955:, respectively, and to the fibration
1231:{\displaystyle \alpha \smile \alpha }
7:
2845:{\displaystyle V^{\infty }\wedge X.}
3707:Bott, Raoul; Tu, Loring W (1982).
3648:Whitehead, J. H. C. (1 May 1947).
3478:
3465:
3432:
3419:
3404:This map is initially a map from
3361:
3336:
3226:
2895:
2876:
2828:
2798:
2691:
2622:
1600:{\displaystyle \pi _{2n-1}(S^{n})}
981:
978:
975:
972:
784:
781:
778:
775:
46:invariant of certain maps between
25:
3169:-action is the trivial action on
2925:(stable) geometric Hopf invariant
1676:of identity maps equals 2, i. e.
821:are just freely generated on the
3806:Quarterly Journal of Mathematics
3533:{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
3162:{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
3047:{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
2015:, and subsequently by Adams and
272:{\displaystyle x\neq y\in S^{2}}
2583:Generalisations for stable maps
417:for an odd-dimensional sphere (
321:{\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}
3839:"The geometric Hopf invariant"
3563:
3557:
3385:
3373:
3370:
3351:
3345:
3326:
3323:
3311:
3305:
3299:
3241:
2966:
2960:
2887:
2769:
2750:
2403:
2391:
2341:
2325:
2309:
2286:
2225:{\displaystyle d\omega _{n}=0}
2066:
1983:
1980:
1965:
1813:
1797:
1767:
1718:
1715:
1689:
1686:
1594:
1581:
1497:
1494:
1481:
1401:
1395:
1360:
1354:
1298:
1286:
1275:
1262:
1181:
1168:
1123:
1110:
1005:
992:
808:
795:
715:-dimensional disc attached to
534:
393:
380:
315:
302:
211:
205:
186:
180:
100:
1:
1672:. Moreover, the image of the
1665:{\displaystyle 2\mathbb {Z} }
876:{\displaystyle \mathbb {Z} }
762:. The cellular chain groups
282:It was later shown that the
3886:Encyclopedia of Mathematics
2806:{\displaystyle V^{\infty }}
2630:{\displaystyle V^{\infty }}
2112:{\displaystyle \omega _{n}}
1407:{\displaystyle h(\varphi )}
3923:
2639:one-point compactification
2610:denote a vector space and
2027:Whitehead integral formula
3615:The Annals of Mathematics
3208:{\displaystyle Y\wedge Y}
3093:{\displaystyle Y\wedge Y}
3025:an element of the stable
2775:{\displaystyle (X,x_{0})}
1894:{\displaystyle n=1,2,4,8}
3879:Shokurov, A.V. (2001) ,
3569:{\displaystyle h_{V}(F)}
2465:{\displaystyle S^{2n-1}}
2274:closed differential form
1790:is the identity map and
1431:{\displaystyle \varphi }
755:{\displaystyle \varphi }
587:). Then we can form the
149:is essential, i.e., not
2786:to be the basepoint of
2382:exact differential form
1515:is a homomorphism. If
240:is equal to 1, for any
3590:
3570:
3534:
3502:
3447:
3395:
3280:
3257:
3209:
3183:
3163:
3134:
3114:
3094:
3068:
3048:
3016:
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