1421:
492:
1850:
2402:
1416:{\displaystyle {\begin{aligned}~&=~\,~~;\\~&=~\;+\;\;-\;\,~~;\\~&=~1-~~;\\~&=~{\Bigl |}\,\;-\;\,{\Bigr |}~~;\\\;+\;~&=~\;+\;~~;\\~&=~\,~~;\\~&=~\prod _{m}\,~~;\\~&=~\min {\Bigl \{}\;1\,,\,\sum _{m}\,\;{\Bigr \}}=1\;-\;\prod _{m}\,~~;\\\#{\Bigl \{}\;m\,{\Big |}\,P(k,m)\;{\Bigr \}}~&=~\sum _{m}\,~~.\end{aligned}}}
1442:
2002:
3411:
132:
2846:
497:
57:
in that statement. This function is defined to take the value 1 for the values of the variables for which the statement is true, and takes the value 0 otherwise. It is generally denoted by putting the statement inside square brackets:
3239:
1845:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\in A}f(k)+\sum _{k\in B}f(k)&=\sum _{k}f(k)\,+\sum _{k}f(k)\,\\&=\sum _{k}f(k)\,(+)\\&=\sum _{k}f(k)\,(+)\\&=\sum _{k\in A\cup B}f(k)\ +\sum _{k\in A\cap B}f(k).\end{aligned}}}
2647:
2538:
1997:
1430:
The notation allows moving boundary conditions of summations (or integrals) as a separate factor into the summand, freeing up space around the summation operator, but more importantly allowing it to be manipulated algebraically.
427:, though restricted to single relational operators enclosed in parentheses, while the generalisation to arbitrary statements, notational restriction to square brackets, and applications to summation, was advocated by
2397:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}\,\sum _{k=1}^{j}f(j,k)&=\sum _{j,k}f(j,k)\,\,\\&=\sum _{j,k}f(j,k)\,\\&=\sum _{j,k}f(j,k)\,\,\\&=\sum _{k=1}^{n}\,\sum _{j=k}^{n}f(j,k).\end{aligned}}}
4135:
3251:
3246:
3125:
2007:
1447:
3648:
61:
3723:
2717:
3966:
3105:
3010:
2972:
306:
246:
3120:
487:
3570:
2908:
2550:
3806:
3490:
2430:
3046:
4211:
4011:
2712:
3886:
414:
385:
335:
172:
3743:
2934:
192:
4173:
4043:
1862:
3976:
4048:
3581:
3653:
2855:
Many common functions, especially those with a natural piecewise definition, may be expressed in terms of the
Iverson bracket. The
3897:
4420:
4275:
3051:
4362:
4253:
as well as other unusual forms of bracketing marks available in the publisher's typeface, accompanied by a marginal note.
3575:
439:
There is a direct correspondence between arithmetic on
Iverson brackets, logic, and set operations. For instance, let
2412:
3495:
2862:
3755:
3418:
424:
4176:
3811:
3406:{\displaystyle {\begin{aligned}|x|&=x-x\\&=x(-)\\&=x\cdot \operatorname {sgn}(x).\end{aligned}}}
3110:
3817:
127:{\displaystyle ={\begin{cases}1&{\text{if }}P{\text{ is true;}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
3415:
The comparison functions max and min (returning the larger or smaller of two arguments) may be written as
142:
50:
2977:
2939:
2547:
Another use of the
Iverson bracket is to simplify equations with special cases. For example, the formula
251:
2841:{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n{\Big (}\varphi (n)+{\Big )}}
197:
4400:
4344:
4271:
450:
82:
3015:
4371:
4284:
2913:
420:
135:
28:
3891:
4182:
3982:
4367:
4279:
2688:
46:
4262:
4267:
4243:
2856:
390:
348:
311:
148:
32:
3234:{\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=,\\\operatorname {sgn}(x)&=-,\end{aligned}}}
2859:
notation is a specific case of
Iverson notation when the condition is equality. That is,
4395:
4339:
3728:
2919:
2642:{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)}
177:
4140:
4016:
2533:{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{i=1}^{n},\qquad {\text{for }}n\in \mathbb {N} ^{+}.}
1992:{\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}
4414:
4387:
4331:
3749:
3114:
54:
4391:
4335:
428:
1439:
We mechanically derive a well-known sum manipulation rule using
Iverson brackets:
20:
2714:
is defined), a correction term involving the
Iverson bracket may be added:
4308:
3117:, and absolute value function are also easily expressed in this notation:
2420:
145:
without restriction on the summation index. That is, for any property
4375:
4130:{\displaystyle \left(1-0^{0^{-x}}\right)\left(1-0^{0^{x-a}}\right)}
3048:, is an Iverson bracket with set membership as its condition:
3745:
of summation is understood to range over all the integers.
120:
134:
In other words, the
Iverson bracket of a statement is the
431:
to avoid ambiguity in parenthesized logical expressions.
3894:
has the property (and can be defined by recurrence as)
3814:
of the reals is equivalent to the following identity:
1865:
730:
138:
of the set of values for which the statement is true.
4185:
4143:
4051:
4019:
3985:
3900:
3820:
3758:
3731:
3656:
3584:
3498:
3421:
3249:
3123:
3054:
3018:
2980:
2942:
2922:
2865:
2720:
2691:
2681:. To get an identity valid for all positive integers
2553:
2433:
2005:
1445:
495:
453:
393:
351:
314:
254:
200:
180:
151:
64:
4366:, Volume 99, Number 5, May 1992, pp. 403–422. (
4205:
4167:
4129:
4037:
4005:
3960:
3880:
3800:
3737:
3717:
3643:{\displaystyle \lfloor x\rfloor =\sum _{n}n\cdot }
3642:
3564:
3484:
3405:
3233:
3099:
3040:
3004:
2966:
2928:
2902:
2840:
2706:
2641:
2532:
2415:that counts the number of positive integers up to
2396:
1991:
1844:
1415:
481:
408:
379:
329:
300:
240:
186:
166:
126:
3718:{\displaystyle \lceil x\rceil =\sum _{n}n\cdot ,}
2833:
2796:
2774:
2773:
2607:
2606:
1345:
1318:
1306:
1231:
1177:
798:
762:
4235:In addition to the now-standard square brackets
3499:
3422:
2745:
2578:
2473:
1172:
35:, which is the Iverson bracket of the statement
337:does not need to be defined for the values of
8:
4179:, those quantities are equal where defined:
3663:
3657:
3591:
3585:
1342:
1311:
1246:
1242:
1228:
1182:
895:
891:
837:
833:
783:
779:
627:
623:
611:
607:
419:The notation was originally introduced by
4195:
4190:
4184:
4142:
4108:
4103:
4072:
4067:
4050:
4018:
3995:
3990:
3984:
3909:
3905:
3899:
3819:
3757:
3730:
3673:
3655:
3601:
3583:
3497:
3420:
3262:
3254:
3250:
3248:
3124:
3122:
3061:
3056:
3053:
3023:
3017:
2987:
2982:
2979:
2949:
2944:
2941:
2921:
2870:
2864:
2832:
2831:
2795:
2794:
2781:
2725:
2719:
2690:
2614:
2558:
2552:
2521:
2517:
2516:
2504:
2464:
2453:
2432:
2363:
2352:
2347:
2341:
2330:
2294:
2272:
2242:
2200:
2170:
2134:
2112:
2082:
2047:
2036:
2031:
2025:
2014:
2006:
2004:
1965:
1954:
1944:
1933:
1902:
1891:
1881:
1870:
1864:
1805:
1765:
1699:
1681:
1627:
1609:
1579:
1561:
1538:
1520:
1485:
1454:
1446:
1444:
1396:
1377:
1373:
1367:
1344:
1343:
1323:
1317:
1316:
1315:
1305:
1304:
1284:
1265:
1261:
1257:
1251:
1230:
1229:
1224:
1205:
1201:
1195:
1190:
1186:
1176:
1175:
1155:
1136:
1126:
1122:
1102:
1083:
1079:
1073:
1052:
1033:
1023:
1019:
999:
989:
985:
981:
971:
951:
935:
915:
899:
887:
871:
851:
841:
829:
819:
797:
796:
795:
791:
787:
775:
771:
767:
761:
760:
743:
733:
732:
731:
729:
725:
705:
701:
675:
671:
667:
647:
643:
639:
635:
631:
619:
615:
603:
599:
579:
569:
549:
545:
541:
537:
533:
513:
503:
496:
494:
464:
452:
392:
387:must evaluate to 0 regardless of whether
368:
367:
350:
313:
259:
253:
205:
199:
179:
150:
112:
98:
90:
77:
63:
3961:{\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)\ =\ .}
4360:Donald Knuth, "Two Notes on Notation",
4296:
4013:to represent what now would be written
3971:Formulation in terms of usual functions
489:any property of integers; then we have
4356:
4354:
4302:
4300:
3100:{\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)=.}
341:for which the Iverson bracket equals
194:, one can rewrite the restricted sum
31:, is a notation that generalises the
7:
4246:brackets have also been used, e.g.
3005:{\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)}
2967:{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)}
369:
301:{\displaystyle \sum _{k}f(k)\cdot }
2726:
2559:
1301:
1262:
1123:
1020:
668:
241:{\displaystyle \sum _{k:P(k)}f(k)}
14:
4045:; he also used variants, such as
141:The Iverson bracket allows using
3057:
2983:
2945:
2543:Simplification of special cases
2503:
482:{\displaystyle P(k_{1},\dots )}
4270:in computer programming: many
4227:, and is undefined otherwise.
4162:
4144:
4032:
4020:
3952:
3940:
3928:
3922:
3910:
3869:
3857:
3851:
3839:
3833:
3821:
3792:
3780:
3768:
3762:
3709:
3685:
3637:
3613:
3565:{\displaystyle \min(x,y)=x+y.}
3556:
3544:
3535:
3523:
3514:
3502:
3479:
3467:
3458:
3446:
3437:
3425:
3393:
3387:
3362:
3359:
3347:
3341:
3329:
3326:
3310:
3298:
3289:
3277:
3263:
3255:
3221:
3209:
3203:
3191:
3181:
3175:
3159:
3147:
3137:
3131:
3091:
3079:
3073:
3067:
3035:
3029:
2999:
2993:
2961:
2955:
2903:{\displaystyle \delta _{ij}=.}
2894:
2882:
2828:
2816:
2810:
2804:
2760:
2748:
2701:
2695:
2636:
2630:
2593:
2581:
2497:
2488:
2476:
2470:
2443:
2437:
2384:
2372:
2313:
2295:
2291:
2273:
2269:
2257:
2225:
2201:
2197:
2185:
2153:
2135:
2131:
2113:
2109:
2097:
2068:
2056:
1986:
1974:
1923:
1911:
1832:
1826:
1792:
1786:
1748:
1745:
1727:
1721:
1703:
1700:
1696:
1690:
1664:
1661:
1649:
1643:
1631:
1628:
1624:
1618:
1592:
1580:
1576:
1570:
1551:
1539:
1535:
1529:
1506:
1500:
1475:
1469:
1397:
1393:
1381:
1374:
1339:
1327:
1285:
1281:
1269:
1258:
1225:
1221:
1209:
1202:
1156:
1152:
1140:
1119:
1103:
1099:
1087:
1080:
1053:
1049:
1037:
1016:
1000:
986:
982:
968:
952:
932:
916:
896:
888:
868:
852:
838:
830:
816:
792:
784:
776:
768:
744:
722:
706:
698:
676:
664:
648:
640:
636:
628:
620:
612:
604:
596:
580:
566:
550:
542:
538:
530:
514:
500:
476:
457:
403:
397:
374:
364:
361:
355:
324:
318:
295:
292:
286:
280:
274:
268:
235:
229:
221:
215:
161:
155:
71:
65:
1:
4363:American Mathematical Monthly
4239:and the original parentheses
3801:{\displaystyle R(x)=x\cdot .}
3485:{\displaystyle \max(x,y)=x+y}
3041:{\displaystyle \chi _{A}(x)}
2685:(i.e., all values for which
1999:is likewise easily derived:
423:in his programming language
4307:Kenneth E. Iverson (1962).
3576:floor and ceiling functions
4437:
4404:, Section 4.9: Phi and Mu.
4278:quantities to be used as
4206:{\displaystyle 0^{0^{x}}}
4006:{\displaystyle 0^{0^{x}}}
308:. With this convention,
248:in the unrestricted form
4348:, Section 2.1: Notation.
2707:{\displaystyle \phi (n)}
2413:Euler's totient function
3977:Guglielmo dalla Sommaja
3111:Heaviside step function
4310:A Programming Language
4207:
4169:
4131:
4039:
4007:
3962:
3882:
3802:
3739:
3719:
3644:
3566:
3486:
3407:
3235:
3101:
3042:
3006:
2968:
2930:
2904:
2842:
2708:
2643:
2534:
2469:
2398:
2368:
2346:
2052:
2030:
1993:
1970:
1949:
1907:
1886:
1846:
1417:
483:
410:
381:
331:
302:
242:
188:
168:
143:capital-sigma notation
128:
4421:Mathematical notation
4231:Notational variations
4208:
4170:
4132:
4040:
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