281:
273:
1514:
461:
1290:
128:
between them. The Z-matrix gives no information about the behaviour of the network when the currents at any port are not balanced in this way (should this be possible), nor does it give any information about the voltage between terminals not belonging to the same port. Typically, it is intended that
1694:
263:
measured between the two terminals. The Z-parameters are also known as the open circuit parameters because they are measured or calculated by applying current to one port and determining the resulting voltages at all the ports while the undriven ports are terminated into open circuits.
1302:
763:
614:
302:
1110:
2227:
1948:
871:
1589:
2712:
2457:
1083:
976:
1509:{\displaystyle {\begin{aligned}S&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}\\&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})\\\end{aligned}}}
2823:
2331:
2094:
2021:
3330:
2589:
2523:
3192:
3129:
3250:
3066:
1307:
1115:
1746:
622:
473:
1815:
1574:
2961:
2909:
2992:
2940:
2888:
2857:
456:{\displaystyle {\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}}
1546:
202:
174:
238:
1285:{\displaystyle {\begin{aligned}Z&={\sqrt {z}}(1_{\!N}+S)(1_{\!N}-S)^{-1}{\sqrt {z}}\\&={\sqrt {z}}(1_{\!N}-S)^{-1}(1_{\!N}+S){\sqrt {z}}\\\end{aligned}}}
2102:
1823:
1689:{\displaystyle {\sqrt {z}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {z_{01}}}&\\&{\sqrt {z_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {z_{0N}}}\end{pmatrix}}}
778:
2597:
2342:
994:
887:
3589:
3570:
3542:
3448:
296:
is probably the most common. In this case the relationship between the port currents, port voltages and the Z-parameter matrix is given by:
61:) response of non-linear networks. They are members of a family of similar parameters used in electronic engineering, other examples being:
2723:
2238:
3517:
3490:
285:
207:
For all ports the voltages may be defined in terms of the Z-parameter matrix and the currents by the following matrix equation:
2029:
1956:
129:
each external connection to the network is between the terminals of just one port, so that these limitations are appropriate.
3630:
3261:
2531:
2465:
3137:
3074:
2336:
The two-port S-parameters may be obtained from the equivalent two-port Z-parameters by means of the following expressions
3200:
3016:
3640:
1701:
3635:
280:
1749:
758:{\displaystyle Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}
609:{\displaystyle Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}
259:
and functions of frequency. For a one-port network, the Z-matrix reduces to a single element, being the ordinary
272:
1581:
132:
For a generic multi-port network definition, it is assumed that each of the ports is allocated an integer
121:
39:
35:
1767:
3610:
3605:
113:
108:
A Z-parameter matrix describes the behaviour of any linear electrical network that can be regarded as a
43:
260:
252:
1753:
1555:
50:
2945:
2893:
3585:
3566:
3538:
3513:
3486:
3444:
2966:
2914:
2862:
2831:
1523:
179:
151:
3615:
293:
213:
97:
78:
1577:
1549:
148:, the associated Z-parameter definition is in terms of the port current and port voltage,
124:
carrying equal and opposite currents into and out-of the network, and having a particular
3354:
Any square matrix commutes with itself and with the identity matrix, and if two matrices
3436:
3007:
256:
3624:
3510:
Electromagnetics, microwave circuit and antenna design for communications engineering
2222:{\displaystyle Z_{22}={((1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}
1943:{\displaystyle Z_{11}={((1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}
58:
89:
3003:
1101:
96:=0, where x=1,2 refer to input and output currents flowing through the ports (of a
74:
66:
62:
54:
1764:
In the special case of a two-port network, with the same characteristic impedance
866:{\displaystyle Z_{nm}={V_{n} \over I_{m}}{\bigg |}_{I_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}
3336:
2707:{\displaystyle S_{22}={(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}-Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}
2452:{\displaystyle S_{11}={(Z_{11}-Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}
109:
1078:{\displaystyle Z_{\text{out}}=Z_{22}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{11}+Z_{S}}}}
1752:. In these expressions the matrices represented by the bracketed factors
971:{\displaystyle Z_{\text{in}}=Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{22}+Z_{L}}}}
70:
3006:
to Z-parameters is much simpler, as the Z-parameter matrix is just the
125:
47:
2818:{\displaystyle \Delta =(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21}\,}
279:
271:
255:
notation. In general the elements of the Z-parameter matrix are
3580:
Simon Ramo; John R. Whinnery; Theodore Van Duzer (1994-02-09).
3533:
Simon Ramo; John R. Whinnery; Theodore Van Duzer (1994-02-09).
2326:{\displaystyle \Delta _{S}=(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}\,}
251:
matrix the elements of which can be indexed using conventional
276:
The equivalent circuit for Z-parameters of a two-port network.
2828:
The above expressions will generally use complex numbers for
2089:{\displaystyle Z_{21}={2S_{21} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}
2016:{\displaystyle Z_{12}={2S_{12} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}
1756:
and so, as shown above, may be written in either order.
1748:
is the corresponding diagonal matrix of square roots of
3325:{\displaystyle \Delta _{Y}=Y_{11}Y_{22}-Y_{12}Y_{21}\,}
881:
The input impedance of a two-port network is given by:
1608:
1092:
is the impedance of the source connected to port one.
418:
354:
311:
3264:
3203:
3140:
3077:
3019:
2969:
2948:
2917:
2896:
2865:
2834:
2726:
2600:
2584:{\displaystyle S_{21}={2Z_{0}Z_{21} \over \Delta }\,}
2534:
2518:{\displaystyle S_{12}={2Z_{0}Z_{12} \over \Delta }\,}
2468:
2345:
2241:
2105:
2032:
1959:
1826:
1770:
1704:
1592:
1558:
1526:
1305:
1113:
997:
890:
781:
625:
476:
305:
216:
182:
154:
3187:{\displaystyle Z_{21}={-Y_{21} \over \Delta _{Y}}\,}
3124:{\displaystyle Z_{12}={-Y_{12} \over \Delta _{Y}}\,}
985:
is the impedance of the load connected to port two.
3245:{\displaystyle Z_{22}={Y_{11} \over \Delta _{Y}}\,}
3061:{\displaystyle Z_{11}={Y_{22} \over \Delta _{Y}}\,}
46:engineering to describe the electrical behavior of
3324:
3244:
3186:
3123:
3060:
2986:
2955:
2934:
2903:
2882:
2851:
2817:
2706:
2583:
2517:
2451:
2325:
2221:
2088:
2015:
1942:
1809:
1740:
1688:
1568:
1540:
1508:
1284:
1077:
970:
865:
757:
608:
455:
232:
196:
168:
1532:
1493:
1445:
1387:
1349:
1256:
1223:
1166:
1143:
1100:The Z-parameters of a network are related to its
825:
731:
666:
582:
517:
16:Set of properties used in electrical engineering
1817:at each port, the above expressions reduce to
1741:{\displaystyle {\sqrt {y}}=({\sqrt {z}})^{-1}}
3582:Fields and Waves in Communication Electronics
3535:Fields and Waves in Communication Electronics
988:Similarly, the output impedance is given by:
284:The equivalent circuit for Z-parameters of a
8:
3472:David M. Pozar, 2005 (op. cit); pp 183-186.
3463:David M. Pozar, 2005 (op. cit); pp 170-174.
3010:of the Y-parameter matrix. For a two-port:
3485:, Pitman Publishing Ltd., 1985; pp 33-72,
3321:
3315:
3305:
3292:
3282:
3269:
3263:
3241:
3233:
3223:
3217:
3208:
3202:
3183:
3175:
3164:
3154:
3145:
3139:
3120:
3112:
3101:
3091:
3082:
3076:
3057:
3049:
3039:
3033:
3024:
3018:
2983:
2974:
2968:
2952:
2947:
2931:
2922:
2916:
2900:
2895:
2879:
2870:
2864:
2848:
2839:
2833:
2814:
2808:
2798:
2782:
2769:
2753:
2740:
2725:
2692:
2682:
2666:
2653:
2637:
2624:
2614:
2605:
2599:
2580:
2568:
2558:
2548:
2539:
2533:
2514:
2502:
2492:
2482:
2473:
2467:
2437:
2427:
2411:
2398:
2382:
2369:
2359:
2350:
2344:
2322:
2316:
2306:
2290:
2268:
2246:
2240:
2218:
2212:
2200:
2186:
2176:
2160:
2138:
2119:
2110:
2104:
2085:
2079:
2067:
2056:
2046:
2037:
2031:
2012:
2006:
1994:
1983:
1973:
1964:
1958:
1939:
1933:
1921:
1907:
1897:
1881:
1859:
1840:
1831:
1825:
1801:
1788:
1775:
1769:
1729:
1718:
1705:
1703:
1667:
1661:
1637:
1631:
1617:
1611:
1603:
1593:
1591:
1559:
1557:
1531:
1525:
1492:
1484:
1477:
1467:
1455:
1444:
1436:
1429:
1419:
1397:
1386:
1378:
1371:
1361:
1348:
1340:
1333:
1323:
1306:
1304:
1271:
1255:
1239:
1222:
1208:
1191:
1182:
1165:
1142:
1128:
1114:
1112:
1066:
1053:
1041:
1031:
1024:
1015:
1002:
996:
959:
946:
934:
924:
917:
908:
895:
889:
847:
835:
830:
824:
823:
814:
804:
798:
786:
780:
741:
736:
730:
729:
720:
710:
704:
695:
676:
671:
665:
664:
655:
645:
639:
630:
624:
592:
587:
581:
580:
571:
561:
555:
546:
527:
522:
516:
515:
506:
496:
490:
481:
475:
439:
425:
413:
399:
387:
373:
361:
349:
332:
318:
306:
304:
229:
215:
193:
187:
181:
165:
159:
153:
3503:
3501:
3499:
3428:
3347:
1584:at each port as its non-zero elements,
144:is the total number of ports. For port
53:. They are also used to describe the
7:
2911:can become 0 for specific values of
1810:{\displaystyle z_{01}=z_{02}=Z_{0}}
3266:
3230:
3172:
3109:
3046:
2949:
2897:
2727:
2699:
2575:
2509:
2444:
2243:
2197:
2064:
1991:
1918:
14:
86:open-circuit impedance parameters
3483:Advanced Electrical Engineering
690:
541:
292:The Z-parameter matrix for the
84:Z-parameters are also known as
2788:
2762:
2759:
2733:
2672:
2646:
2643:
2617:
2417:
2391:
2388:
2362:
2296:
2277:
2274:
2255:
2192:
2166:
2147:
2144:
2125:
2122:
1913:
1887:
1868:
1865:
1846:
1843:
1726:
1715:
1580:having the square root of the
1499:
1464:
1452:
1416:
1394:
1358:
1355:
1320:
1268:
1248:
1236:
1215:
1179:
1158:
1155:
1135:
1:
3561:David M. Pozar (2004-02-05).
3512:. Artech House. p. 420.
2994:may lead to a division by 0.
120:in this context is a pair of
88:as they are calculated under
100:in this case) respectively.
3537:. Wiley. pp. 537–541.
3443:. Wiley. pp. 170–174.
3339:of the Y-parameter matrix.
1569:{\displaystyle {\sqrt {z}}}
768:For the general case of an
3657:
1750:characteristic admittances
2956:{\displaystyle \Delta \,}
2904:{\displaystyle \Delta \,}
2890:. Note that the value of
34:) are properties used in
2998:Relation to Y-parameters
2987:{\displaystyle S_{ij}\,}
2935:{\displaystyle Z_{ij}\,}
2883:{\displaystyle Z_{ij}\,}
2852:{\displaystyle S_{ij}\,}
1582:characteristic impedance
1096:Relation to S-parameters
2963:in the calculations of
1541:{\displaystyle 1_{\!N}}
197:{\displaystyle V_{n}\,}
169:{\displaystyle I_{n}\,}
3508:Russer, Peter (2003).
3326:
3246:
3188:
3125:
3062:
2988:
2957:
2936:
2905:
2884:
2853:
2819:
2708:
2585:
2519:
2453:
2327:
2223:
2090:
2017:
1944:
1811:
1742:
1690:
1570:
1542:
1510:
1286:
1079:
972:
867:
759:
610:
457:
289:
277:
234:
233:{\displaystyle V=ZI\,}
198:
170:
104:The Z-parameter matrix
40:electronic engineering
36:electrical engineering
3631:Electrical parameters
3611:Admittance parameters
3606:Scattering parameters
3563:Microwave Engineering
3441:Microwave Engineering
3327:
3247:
3189:
3126:
3063:
2989:
2958:
2937:
2906:
2885:
2854:
2820:
2709:
2586:
2520:
2454:
2328:
2224:
2091:
2018:
1945:
1812:
1743:
1691:
1571:
1543:
1511:
1287:
1080:
973:
868:
760:
611:
458:
283:
275:
235:
199:
171:
44:communication systems
3366:commute, then so do
3262:
3201:
3138:
3075:
3017:
2967:
2946:
2915:
2894:
2863:
2832:
2724:
2598:
2532:
2466:
2343:
2239:
2103:
2030:
1957:
1824:
1768:
1702:
1590:
1556:
1524:
1303:
1111:
995:
888:
779:
623:
474:
303:
214:
180:
152:
122:electrical terminals
26:(the elements of an
20:Impedance parameters
2942:so the division by
877:Impedance relations
92:conditions. i.e., I
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