6368:
6754:
6069:
6939:
725:
5246:
1211:
6363:{\displaystyle \sum _{x}\tan x=ix-\psi _{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-x\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+x\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C}
6510:
3885:
5440:
5581:
5060:
4940:
7077:
6016:
1857:
7607:
5865:
5723:
3653:
2560:
591:
6502:
2754:
6808:
1457:
5068:
2393:
578:, although it was originally developed for the reverse process of writing an integral as an indefinite sum plus correction terms. As usual with indefinite sums and indefinite integrals, it is valid up to an arbitrary choice of the
4356:
7290:
995:
6749:{\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sinc} x=\operatorname {sinc} (x-1)\left({\frac {1}{2}}+(x-1)\left(\ln(2)+{\frac {\psi ({\frac {x-1}{2}})+\psi ({\frac {1-x}{2}})}{2}}-{\frac {\psi (x-1)+\psi (1-x)}{2}}\right)\right)+C}
949:
1645:
4496:
4231:
3713:
551:
5304:
5448:
1301:
4948:
4828:
7428:
6952:
5873:
4815:
1664:
4575:
3070:
2154:
7166:
4722:
428:
3507:
2228:
1527:
7478:
182:
7635:
6790:
2883:
2065:
2002:
4637:
3134:
1935:
311:
3403:
3219:
982:
5731:
5589:
3520:
2401:
820:
788:
3306:
756:
239:
3697:
7816:
6376:
857:
7329:
6056:
5286:
2988:
2571:
83:
6934:{\displaystyle \sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C}
3922:
4045:
4074:
3955:
864:
7465:
3438:
3245:
110:
53:
7899:(note that he uses a slightly alternative definition of fractional sum in his work, i.e. inverse to backwards difference, hence 1 as the lower limit in his formula)
4013:
3986:
3355:
2935:
2811:
720:{\displaystyle \sum _{x}=\int {}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{12}}\Delta +{\frac {1}{24}}\Delta ^{2}-{\frac {19}{720}}\Delta ^{3}+{\frac {3}{160}}\Delta ^{4}-\cdots }
5241:{\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C}
4125:
7783:
7763:
7743:
7723:
4102:
3328:
2906:
2782:
1325:
2253:
4238:
7174:
1206:{\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}\left(0\right)+C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}(0)}{k!}}(x)_{k}+C}
3255:
This is a list of indefinite sums of various functions. Not every function has an indefinite sum that can be expressed in terms of elementary functions.
7986:
S. P. Polyakov. Indefinite summation of rational functions with additional minimization of the summable part. Programmirovanie, 2008, Vol. 34, No. 2.
1535:
7912:
4366:
4153:
3880:{\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\begin{cases}-\zeta (-a,x+1)+C_{1},&{\text{if }}a\neq -1\\\psi (x+1)+C_{2},&{\text{if }}a=-1\end{cases}}}
984:
of the left hand side is called a Cauchy number of the first kind, although this name sometimes applies to the
Gregory coefficients themselves.
8018:
444:
5435:{\displaystyle \sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }
5576:{\displaystyle \sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }
5055:{\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C}
4935:{\displaystyle \sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C}
3247:
operator. It is related to the forward antidifference operator using the fundamental theorem of discrete calculus described earlier.
7970:
7834:
1220:
7072:{\displaystyle \sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C}
6011:{\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}
7342:
7975:
7892:
1852:{\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C}
8023:
4730:
8003:
7856:
3080:
Some authors use the phrase "indefinite sum" to describe a sum in which the numerical value of the upper limit is not given:
4509:
2996:
2076:
7090:
4650:
8008:
1656:
375:
8013:
7965:"Difference Equations: An Introduction with Applications", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001,
7602:{\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)=\ln _{a}{\frac {(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C}
4140:
3446:
2165:
1473:
7612:
126:
7332:
356:) with period 1. Therefore, each indefinite sum actually represents a family of functions. However, due to the
6763:
2819:
2013:
1950:
4586:
579:
7949:
7829:"Handbook of discrete and combinatorial mathematics", Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999,
7692:
Introduction to difference equations, with illustrative examples from economics, psychology, and sociology
5860:{\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }
5718:{\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }
3648:{\displaystyle \sum _{x}{\frac {1}{x^{a}}}={\frac {(-1)^{a+1}\psi ^{(a+1)}(x)}{a!}}+C,\,a\in \mathbb {Z} }
3512:
3086:
2555:{\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)}
1880:
1317:
247:
4144:
4132:
4077:
3925:
3362:
3153:
956:
7976:
Markus MĂĽller. How to Add a Non-Integer Number of Terms, and How to
Produce Unusual Infinite Summations
7909:
7890:
Markus MĂĽller. How to Add a Non-Integer Number of Terms, and How to
Produce Unusual Infinite Summations
7851:
793:
6497:{\displaystyle \sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}
761:
3266:
2749:{\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)}
823:
732:
357:
3745:
3660:
190:
7788:
7630:
4081:
3225:
829:
575:
571:
113:
90:
7299:
6025:
5255:
2940:
58:
7625:
4136:
3892:
3700:
2242:
4018:
4050:
7966:
7830:
7468:
3931:
1304:
361:
17:
7690:
7437:
3410:
3230:
95:
7865:
7664:
3958:
583:
7877:
7700:
7676:
3991:
3964:
3333:
31:
7990:"Finite-Difference Equations And Simulations", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968
7916:
7896:
7873:
7696:
7672:
4128:
2911:
2787:
1452:{\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B_{n}(x)+C\,,}
86:
7933:
4107:
2388:{\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)}
7768:
7748:
7728:
7708:
4351:{\displaystyle \sum _{x}x^{a}=\int _{0}^{x}-a\zeta (1-a,u+1)du+C,{\text{ if }}a\neq -1}
4087:
3313:
2891:
2767:
7285:{\displaystyle \sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C}
586:
avoids cluttering the formula with repeated copies of the function to be operated on:
7997:
7889:
6793:
369:
1462:
Faulhaber's formula provides that the right-hand side of the equation converges.
944:{\displaystyle {\frac {{\mathcal {C}}_{n}}{n!}}=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx}
758:
represents an operator that divides the given function by two. The coefficients
7869:
7985:
7655:
Man, Yiu-Kwong (1993), "On computing closed forms for indefinite summations",
1640:{\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x)\right)+C.}
117:
4491:{\displaystyle \sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C}
7981:
Markus
Mueller, Dierk Schleicher. Fractional Sums and Euler-like Identities
7668:
4226:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a)}
6059:
5289:
438:
Indefinite sums can be used to calculate definite sums with the formula:
546:{\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}
7980:
7854:; Sprugnoli, Renzo; Verri, M. Cecilia (2006), "The Cauchy numbers",
3224:
which is called the telescoping equation. It is the inverse of the
7695:, Wiley, New York, and Chapman & Hall, London, p. 41,
7923:, Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133–149.
1296:{\displaystyle (x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}}
963:
873:
7423:{\displaystyle \sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C}
3873:
826:, also called Laplace numbers. The coefficient in the term
7950:
Algorithms for
Nonlinear Higher Order Difference Equations
3330:
can be factored out, leaving 1, with the alternative form
4810:{\displaystyle \sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(x!a^{x})+C}
1871:
in indefinite sum is fixed from the following condition.
7636:
List of derivatives and integrals in alternative calculi
324:) is a solution of this functional equation for a given
4145:
Hurwitz zeta function#Special cases and generalizations
112:. It relates to the forward difference operator as the
801:
769:
737:
193:
34:
7791:
7771:
7751:
7731:
7725:
is a function whose first difference is the function
7711:
7481:
7440:
7345:
7302:
7177:
7093:
6955:
6811:
6766:
6513:
6379:
6072:
6028:
5876:
5734:
5592:
5451:
5307:
5258:
5071:
4951:
4831:
4733:
4653:
4589:
4570:{\displaystyle \sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C}
4512:
4369:
4241:
4156:
4110:
4090:
4053:
4021:
3994:
3967:
3934:
3895:
3716:
3663:
3523:
3449:
3413:
3365:
3336:
3316:
3269:
3233:
3156:
3089:
3065:{\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C}
2999:
2943:
2914:
2894:
2822:
2790:
2770:
2574:
2404:
2256:
2168:
2149:{\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}
2079:
2016:
1953:
1883:
1667:
1538:
1476:
1328:
1223:
998:
959:
867:
832:
796:
764:
735:
594:
447:
378:
250:
129:
98:
61:
368:. This unique solution can be represented by formal
7161:{\displaystyle \sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C}
4717:{\displaystyle \sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}(x!)+C}
7810:
7777:
7757:
7737:
7717:
7601:
7459:
7422:
7323:
7284:
7160:
7071:
6945:Antidifferences of inverse trigonometric functions
6933:
6784:
6748:
6496:
6362:
6050:
6010:
5859:
5717:
5575:
5434:
5280:
5240:
5054:
4934:
4809:
4716:
4631:
4569:
4490:
4350:
4225:
4119:
4096:
4068:
4039:
4007:
3980:
3949:
3916:
3879:
3691:
3647:
3501:
3432:
3397:
3349:
3322:
3300:
3239:
3213:
3128:
3064:
2982:
2929:
2900:
2877:
2805:
2776:
2748:
2554:
2387:
2222:
2148:
2059:
1996:
1929:
1851:
1639:
1521:
1451:
1295:
1205:
976:
943:
851:
814:
782:
750:
719:
574:plus correction terms obtained from iterating the
545:
422:
305:
233:
176:
104:
77:
47:
1061:
1048:
928:
915:
423:{\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}}
3502:{\displaystyle \sum _{x}x={\frac {x(x+1)}{2}}+C}
2223:{\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}
1478:
6801:Antidifferences of inverse hyperbolic functions
570:allows the indefinite sum to be written as the
364:expansion is unique up to an additive constant
1522:{\displaystyle \lim _{x\to {+\infty }}f(x)=0,}
4015:are constants which would normally be set to
8:
7940:, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.
3515:can be used. For negative integer exponents,
2070:Alternatively, Ramanujan's sum can be used:
177:{\displaystyle \Delta \sum _{x}f(x)=f(x)\,.}
5297:Antidifferences of trigonometric functions
822:, etc., appearing in this formula are the
7796:
7790:
7770:
7750:
7730:
7710:
7584:
7540:
7530:
7521:
7496:
7486:
7480:
7451:
7439:
7388:
7375:
7366:
7350:
7344:
7301:
7240:
7216:
7182:
7176:
7098:
7092:
7043:
7016:
7001:
6981:
6960:
6954:
6903:
6872:
6855:
6835:
6825:
6816:
6810:
6765:
6682:
6652:
6622:
6613:
6562:
6518:
6512:
6479:
6472:
6471:
6467:
6432:
6427:
6417:
6384:
6378:
6334:
6293:
6252:
6205:
6177:
6166:
6135:
6113:
6108:
6077:
6071:
6033:
6027:
5993:
5986:
5985:
5981:
5955:
5930:
5925:
5911:
5881:
5875:
5844:
5843:
5839:
5838:
5780:
5767:
5749:
5739:
5733:
5702:
5701:
5697:
5696:
5638:
5625:
5607:
5597:
5591:
5557:
5556:
5552:
5531:
5497:
5477:
5456:
5450:
5416:
5415:
5411:
5381:
5356:
5336:
5312:
5306:
5263:
5257:
5201:
5182:
5177:
5163:
5135:
5116:
5111:
5097:
5076:
5070:
5031:
4997:
4977:
4956:
4950:
4902:
4877:
4857:
4836:
4830:
4792:
4770:
4748:
4738:
4732:
4687:
4668:
4658:
4652:
4617:
4604:
4594:
4588:
4542:
4536:
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4461:
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4368:
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4246:
4240:
4157:
4155:
4109:
4089:
4052:
4020:
3999:
3993:
3972:
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3933:
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3842:
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3715:
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3454:
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2021:
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97:
66:
60:
39:
33:
6785:{\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}
4643:Antidifferences of logarithmic functions
4502:Antidifferences of exponential functions
4084:respectively. By replacing the variable
729:In this formula, for instance, the term
434:Fundamental theorem of discrete calculus
7647:
4821:Antidifferences of hyperbolic functions
2878:{\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}
2060:{\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)\,dx=0}
1997:{\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)\,dx=0}
7921:Ramanujan's Theory of Divergent Series
4632:{\displaystyle \sum _{x}2^{x}=2^{x}+C}
3139:In this case a closed form expression
7846:
7844:
7842:
3259:Antidifferences of rational functions
372:form of the antidifference operator:
7:
7083:Antidifferences of special functions
3129:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k).}
1930:{\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}
306:{\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)\,.}
7793:
7303:
7243:
7228:
7188:
7031:
7004:
6889:
6858:
6178:
4163:
4159:
3398:{\displaystyle \sum _{x}x^{0}=\ x}
3234:
3214:{\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1)}
2731:
2608:
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1246:
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977:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}
919:
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380:
130:
99:
63:
14:
815:{\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}}
7820:; reprinted by Dover Books, 1986
783:{\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}}
7765:is called an indefinite sum of
7657:Journal of Symbolic Computation
4233:, another form can be obtained:
4131:. For the relation between the
3511:For positive integer exponents
3301:{\displaystyle \sum _{x}a=ax+C}
3147:) for the sum is a solution of
2247:Indefinite summation by parts:
751:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
234:{\textstyle \sum _{x}f(x)=F(x)}
7581:
7568:
7559:
7555:
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3692:{\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}
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1400:
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500:
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254:
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222:
213:
207:
167:
161:
152:
146:
1:
7811:{\displaystyle \Delta ^{-1}y}
2908:is an antiperiod of function
2565:Definite summation by parts:
852:{\displaystyle \Delta ^{n-1}}
8019:Linear operators in calculus
7938:Algorithms Seminar 2001–2002
7324:{\displaystyle \Gamma (s,x)}
6051:{\displaystyle \psi _{q}(x)}
5281:{\displaystyle \psi _{q}(x)}
3407:For the sum below, remember
2983:{\displaystyle f(x+T)=-f(x)}
1944:is fixed from the condition
360:, the solution equal to its
348:) for any periodic function
78:{\displaystyle \Delta ^{-1}}
24:operator (also known as the
4141:Balanced polygamma function
4129:Generalized harmonic number
3917:{\displaystyle \zeta (s,a)}
1863:Choice of the constant term
91:forward difference operator
8040:
7870:10.1016/j.disc.2006.03.065
7613:super-exponential function
4040:{\displaystyle \zeta (-a)}
2240:
1654:
1315:
7689:Goldberg, Samuel (1958),
7333:incomplete gamma function
4082:Euler–Mascheroni constant
4069:{\displaystyle \zeta (s)}
568:Laplace summation formula
562:Laplace summation formula
3950:{\displaystyle \psi (z)}
2784:is a period of function
7460:{\displaystyle (x)_{a}}
3433:{\displaystyle x=x^{1}}
3251:List of indefinite sums
3240:{\displaystyle \nabla }
1657:Euler–Maclaurin formula
1651:Euler–Maclaurin formula
1465:
1311:
987:
580:constant of integration
105:{\displaystyle \Delta }
8024:Non-Newtonian calculus
7812:
7779:
7759:
7739:
7719:
7669:10.1006/jsco.1993.1053
7603:
7461:
7424:
7325:
7286:
7162:
7073:
6935:
6786:
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6364:
6182:
6052:
6012:
5861:
5719:
5577:
5436:
5282:
5242:
5056:
4936:
4811:
4718:
4633:
4571:
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4352:
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4041:
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3951:
3918:
3881:
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3110:
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2778:
2750:
2712:
2595:
2556:
2389:
2224:
2189:
2150:
2100:
2061:
1998:
1931:
1853:
1774:
1641:
1584:
1523:
1453:
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1297:
1207:
1132:
1044:
978:
945:
853:
816:
784:
752:
721:
547:
468:
424:
307:
235:
178:
106:
79:
49:
48:{\textstyle \sum _{x}}
28:operator), denoted by
8004:Mathematical analysis
7934:Ramanujan's Summation
7910:Ramanujan's Notebooks
7813:
7780:
7760:
7740:
7720:
7604:
7462:
7425:
7326:
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7074:
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6787:
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6053:
6013:
5862:
5720:
5578:
5437:
5283:
5243:
5057:
4937:
4812:
4719:
4634:
4572:
4493:
4353:
4228:
4122:
4099:
4078:Riemann zeta function
4071:
4042:
4010:
4008:{\displaystyle C_{2}}
3983:
3981:{\displaystyle C_{1}}
3952:
3926:Hurwitz zeta function
3919:
3882:
3694:
3650:
3504:
3435:
3400:
3357:. From that, we have:
3352:
3350:{\displaystyle x^{0}}
3325:
3303:
3242:
3216:
3131:
3090:
3067:
2985:
2932:
2903:
2880:
2808:
2779:
2751:
2692:
2575:
2557:
2390:
2225:
2169:
2151:
2080:
2062:
1999:
1932:
1854:
1754:
1642:
1564:
1524:
1454:
1354:
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1208:
1112:
1024:
979:
946:
854:
817:
785:
753:
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548:
448:
425:
308:
236:
179:
107:
80:
50:
7857:Discrete Mathematics
7789:
7769:
7749:
7729:
7709:
7479:
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4239:
4154:
4139:functions, refer to
4108:
4088:
4051:
4019:
3992:
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2912:
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2820:
2806:{\displaystyle f(x)}
2788:
2768:
2572:
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2254:
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2014:
1951:
1881:
1665:
1536:
1474:
1326:
1221:
996:
957:
953:where the numerator
865:
830:
824:Gregory coefficients
794:
762:
733:
592:
445:
376:
248:
191:
187:More explicitly, if
127:
96:
59:
32:
8009:Mathematical tables
7631:Time scale calculus
4279:
4127:, this becomes the
3513:Faulhaber's formula
3226:backward difference
2031:
1968:
1867:Often the constant
1707:
1318:Faulhaber's formula
1312:Faulhaber's formula
911:
576:difference operator
572:indefinite integral
114:indefinite integral
8014:Finite differences
7915:2006-10-12 at the
7895:2011-06-17 at the
7852:Merlini, Donatella
7808:
7775:
7755:
7735:
7715:
7626:Indefinite product
7599:
7491:
7457:
7420:
7355:
7321:
7282:
7187:
7158:
7103:
7069:
6965:
6931:
6821:
6792:is the normalized
6782:
6746:
6523:
6494:
6389:
6360:
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