757:
716:
827:
7767:
7998:
1352:
5258:
8150:
5956:
7148:
Integrating factors can be extended to any order, though the form of the equation needed to apply them gets more and more specific as order increases, making them less useful for orders 3 and above. The general idea is to differentiate the function
3992:
3550:
2169:
1822:
involves a logarithm. Firstly, we only need one integrating factor to solve the equation, not all possible ones; secondly, such constants and absolute values will cancel out even if included. For absolute values, this can be seen by writing
1618:
2314:
3018:
1193:
5382:
3363:
2028:, and a logarithm in the antiderivative only appears when the original function involved a logarithm or a reciprocal (neither of which are defined for 0), such an interval will be the interval of validity of our solution.
1462:
6886:
7314:
7418:
1208:
3241:
8415:
5473:
4383:
4152:
8306:
6725:
6516:
4805:
The method of integrating factors for first order equations can be naturally extended to second order equations as well. The main goal in solving first order equations was to find an integrating factor
3108:
7514:
6028:
4678:
4462:
4543:
6194:
4615:
1893:
6271:
1032:
2576:
7138:
7047:
6956:
2837:
6595:
3833:
5701:
5766:
4220:
3709:
1740:, called the "integrating factor", which we can multiply through our differential equation in order to bring the left-hand side under a common derivative. For the canonical first-order
6108:
4047:
2643:
2708:
5071:
4961:
4727:
3653:
2237:
3759:
1913:
7778:
6387:
2506:
2378:
4891:
1706:
3841:
1788:
1072:
8237:
8195:
3401:
1991:
4772:
4265:
786:
7479:
5571:
4307:
697:
6760:
6331:
5530:
5606:
3592:
2026:
7179:
6306:
1492:
438:
5505:
4990:
4833:
4079:
2740:
2440:
2411:
2095:
2087:
2058:
1946:
1820:
1738:
5079:
956:
An integrating factor is any expression that a differential equation is multiplied by to facilitate integration. For example, the nonlinear second order equation
5774:
7498:
7438:
7337:
7218:
7198:
6618:
6407:
5626:
5010:
4795:
3386:
3131:
2864:
1507:
8009:
181:
1080:
3249:
1363:
8488:
312:
2243:
1347:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).}
353:
243:
2871:
690:
145:
851:
729:
564:
218:
3138:
8317:
3556:
887:
869:
808:
743:
239:
191:
6768:
6626:
5266:
7762:{\displaystyle (M(x)y)'''=M(x)\left(y'''+3p(x)y''+\left(3p(x)^{2}+3p'(x)\right)y'+\left(p(x)^{3}+3p(x)p'(x)+p''(x)\right)y\right)}
7226:
307:
226:
201:
3029:
4318:
4087:
683:
7342:
6415:
618:
343:
3392:
1644:
917:
261:
171:
1793:
Note that it is not necessary to include the arbitrary constant in the integral, or absolute values in case the integral of
358:
6119:
186:
176:
1826:
4630:
4391:
1741:
633:
484:
387:
274:
196:
4470:
962:
842:
769:
6204:
A slightly less obvious application of second order integrating factors involves the following differential equation:
5398:
319:
234:
4551:
779:
773:
765:
524:
8245:
7058:
6967:
5967:
913:
392:
6527:
3766:
495:
638:
473:
5706:
4163:
2512:
790:
6039:
2748:
1198:
To integrate, note that both sides of the equation may be expressed as derivatives by going backwards with the
489:
397:
4000:
2582:
551:
2649:
8426:
7993:{\displaystyle \left(y'''+3p(x)y''+(3p(x)^{2}+3p'(x)\right)y'+\left(p(x)^{3}+3p(x)p'(x)+p''(x)\right)y=h(x)}
5631:
5015:
2381:
1498:
735:
569:
559:
507:
348:
4689:
3665:
3600:
8431:
6897:
3987:{\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}}
3717:
1898:
1628:
921:
909:
382:
6276:
At first glance, this is clearly not in the form needed for second order integrating factors. We have a
6210:
628:
613:
502:
445:
427:
266:
22:
4896:
1747:
2175:
925:
514:
450:
423:
6336:
2450:
2322:
2060:
be the integrating factor of a first order linear differential equation such that multiplication by
837:
4838:
3545:{\displaystyle y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}}
1653:
546:
531:
432:
296:
135:
102:
93:
1040:
8451:
8446:
8200:
929:
541:
419:
8158:
7220:
th order differential equation and combine like terms. This will yield an equation in the form
1951:
4738:
4231:
7443:
5535:
4276:
1624:
653:
598:
377:
112:
6733:
2164:{\displaystyle M(x){\underset {\text{non-integrable expression}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}}
5576:
5253:{\displaystyle (M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)}
3562:
1996:
663:
648:
7152:
6279:
5951:{\displaystyle e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0}
1470:
5481:
4966:
4809:
4055:
2716:
2416:
2387:
2063:
2034:
1922:
1796:
1714:
603:
519:
46:
658:
6311:
5510:
7483:
7423:
7322:
7203:
7183:
6603:
6392:
5611:
4995:
4780:
3371:
3116:
2849:
1613:{\displaystyle \int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t}
937:
623:
608:
414:
402:
121:
8465:
8145:{\displaystyle y'''+3x^{2}y''+\left(3x^{4}+6x\right)y'+\left(x^{6}+6x^{3}+2\right)y=0}
2846:
in reverse, we see that the left-hand side can be expressed as a single derivative in
8482:
8441:
7500:
times, dividing by the integrating factor on both sides to achieve the final result.
4621:
1916:
8436:
2843:
933:
643:
593:
479:
107:
1188:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.}
3358:{\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C}
941:
901:
51:
1457:{\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.}
1199:
668:
8470:
2089:
transforms a non-integrable expression into an integrable derivative, then:
409:
130:
73:
63:
2309:{\displaystyle \underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{integrable derivative}}}
7440:
times, one can multiply all terms by the integrating factor and integrate
1632:
3391:
Moving the exponential to the right-hand side, the general solution to
945:
912:
that is chosen to facilitate the solving of a given equation involving
84:
79:
68:
5263:
This implies that a second order equation must be exactly in the form
3013:{\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)}
1497:
This form may be more useful, depending on application. Performing a
6521:
and from the
Pythagorean identity relating cotangent and cosecant,
8311:
Integrating thrice and dividing by the integrating factor yields
3236:{\displaystyle Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx}
8410:{\displaystyle y={\frac {c_{1}x^{2}+c_{2}x+c_{3}}{e^{x^{3}/3}}}}
5478:
can be solved exactly with integrating factors. The appropriate
3594:
and the general solution to
Ordinary Differential Equation is:
820:
750:
709:
6881:{\displaystyle \sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)}
6720:{\displaystyle e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)}
5377:{\displaystyle y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)}
5012:. For second order linear differential equations, if we want
4312:
The same result may be achieved using the following approach
7309:{\displaystyle M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)}
924:
when multiplying through by an integrating factor allows an
4801:
Solving second order linear ordinary differential equations
1631:. This same method is used to solve the period of a simple
5703:, so we will multiply all terms by the integrating factor
3103:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)}
1639:
Solving first order linear ordinary differential equations
4378:{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}
4147:{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}
7413:{\displaystyle F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)}
6511:{\displaystyle p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)}
4225:
By integrating both sides with respect to x we obtain
1043:
8320:
8248:
8203:
8161:
8012:
7781:
7517:
7486:
7446:
7426:
7345:
7325:
7229:
7206:
7186:
7155:
7061:
6970:
6900:
6771:
6736:
6629:
6606:
6600:
so we actually do have the required term in front of
6530:
6418:
6395:
6339:
6314:
6282:
6213:
6189:{\displaystyle y={\frac {c_{1}x+c_{2}}{e^{x^{2}/2}}}}
6122:
6042:
5970:
5777:
5709:
5634:
5614:
5579:
5538:
5513:
5484:
5401:
5269:
5082:
5018:
4998:
4969:
4963:, after which subsequent integration and division by
4899:
4841:
4812:
4783:
4741:
4692:
4633:
4554:
4473:
4394:
4321:
4279:
4234:
4166:
4090:
4058:
4003:
3844:
3769:
3720:
3668:
3603:
3565:
3404:
3374:
3252:
3141:
3119:
3032:
2874:
2852:
2751:
2719:
2652:
2585:
2515:
2453:
2419:
2390:
2325:
2246:
2178:
2098:
2066:
2037:
1999:
1954:
1925:
1901:
1829:
1799:
1750:
1717:
1656:
1510:
1473:
1366:
1211:
1083:
965:
1888:{\displaystyle |f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)}
8409:
8300:
8231:
8189:
8144:
7992:
7761:
7492:
7473:
7432:
7412:
7331:
7308:
7212:
7192:
7173:
7132:
7052:Finally, dividing by the integrating factor gives
7041:
6950:
6880:
6754:
6719:
6612:
6589:
6510:
6401:
6381:
6325:
6300:
6265:
6188:
6102:
6022:
5950:
5760:
5695:
5620:
5600:
5565:
5524:
5499:
5467:
5376:
5252:
5065:
5004:
4984:
4955:
4885:
4827:
4789:
4766:
4721:
4673:{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}
4672:
4609:
4537:
4457:{\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}
4456:
4377:
4301:
4259:
4214:
4146:
4073:
4041:
3986:
3827:
3753:
3703:
3647:
3586:
3544:
3380:
3357:
3235:
3125:
3102:
3012:
2858:
2831:
2734:
2702:
2637:
2570:
2500:
2434:
2405:
2372:
2308:
2231:
2163:
2081:
2052:
2020:
1985:
1940:
1907:
1887:
1814:
1782:
1732:
1700:
1612:
1486:
1456:
1346:
1187:
1066:
1026:
7508:A third order usage of integrating factors gives
7349:
7245:
4538:{\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}
1027:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}
5468:{\displaystyle y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0}
3659:for example, consider the differential equation
778:but its sources remain unclear because it lacks
7144:Solving nth order linear differential equations
4610:{\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}
3023:We use this fact to simplify our expression to
8301:{\displaystyle \left(e^{x^{3}/3}y\right)'''=0}
7772:thus requiring our equation to be in the form
7133:{\displaystyle y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1}
7042:{\displaystyle \sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}}
6023:{\displaystyle \left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0}
1711:The basic idea is to find some function, say
691:
8:
6590:{\displaystyle \cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1}
3828:{\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}}
16:Technique for solving differential equations
1919:, which will be constant on an interval if
1643:Integrating factors are useful for solving
744:Learn how and when to remove these messages
8003:For example in the differential equation
6113:Dividing by the integrating factor gives:
5761:{\displaystyle e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}}
5384:for the integrating factor to be usable.
4215:{\displaystyle {\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0}
2571:{\displaystyle P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}}
2319:Going from step 2 to step 3 requires that
944:becomes the integrating factor that makes
698:
684:
164:
39:
18:
8395:
8389:
8384:
8373:
8357:
8344:
8334:
8327:
8319:
8270:
8264:
8259:
8247:
8219:
8213:
8208:
8202:
8181:
8160:
8116:
8100:
8060:
8031:
8011:
7906:
7843:
7780:
7685:
7622:
7516:
7485:
7445:
7425:
7393:
7344:
7324:
7289:
7228:
7205:
7185:
7154:
7103:
7072:
7060:
7033:
7017:
6969:
6899:
6770:
6735:
6669:
6653:
6634:
6628:
6605:
6560:
6535:
6529:
6490:
6465:
6432:
6417:
6394:
6353:
6338:
6313:
6281:
6212:
6174:
6168:
6163:
6152:
6136:
6129:
6121:
6103:{\displaystyle e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}}
6094:
6078:
6058:
6052:
6047:
6041:
5992:
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5969:
5908:
5880:
5874:
5869:
5832:
5826:
5821:
5793:
5787:
5782:
5776:
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5613:
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3667:
3636:
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3033:
3031:
2974:
2873:
2851:
2832:{\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)}
2750:
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1010:
991:
973:
966:
964:
888:Learn how and when to remove this message
870:Learn how and when to remove this message
809:Learn how and when to remove this message
4042:{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}
2638:{\displaystyle \int P(x)\,dx=\ln M(x)+c}
932:(which can then be integrated to give a
5392:For example, the differential equation
5073:to work as an integrating factor, then
4157:The above equation can be rewritten as
3113:Integrating both sides with respect to
2703:{\displaystyle M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}}
1744:shown above, the integrating factor is
579:
330:
252:
210:
153:
120:
92:
42:
28:
21:
5696:{\displaystyle p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1}
5066:{\displaystyle M(x)=e^{\int p(x)\,dx}}
7420:that is gotten after differentiating
5628:term, we see that we do in fact have
4722:{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C,}
3704:{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}
3648:{\displaystyle y=Ce^{-\int P(x)\,dx}}
7:
6951:{\displaystyle (\sin(x)y)''=\sin(x)}
3754:{\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}
1908:{\displaystyle \operatorname {sgn} }
146:List of named differential equations
7339:th order equation matches the form
219:Dependent and independent variables
6266:{\displaystyle y''+2\cot(x)y'-y=1}
1647:that can be expressed in the form
847:Bad formatting/Layout of article'.
14:
6620:and can use integrating factors.
4956:{\displaystyle (M(x)y)'=M(x)h(x)}
3557:homogeneous differential equation
1783:{\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}}
725:This article has multiple issues.
5961:which can be rearranged to give
5507:can be deduced by examining the
2232:{\displaystyle M(x)y'+M(x)P(x)y}
936:). This is especially useful in
825:
755:
714:
354:Carathéodory's existence theorem
8489:Ordinary differential equations
8197:, so our integrating factor is
2382:separable differential equation
1645:ordinary differential equations
918:ordinary differential equations
916:. It is commonly used to solve
733:or discuss these issues on the
8171:
8165:
7987:
7981:
7964:
7958:
7944:
7938:
7927:
7921:
7903:
7896:
7869:
7863:
7840:
7833:
7824:
7810:
7804:
7743:
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7723:
7717:
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7700:
7682:
7675:
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7619:
7612:
7587:
7581:
7556:
7550:
7537:
7530:
7524:
7518:
7468:
7462:
7456:
7450:
7400:
7394:
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7290:
7239:
7233:
7165:
7159:
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7115:
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7087:
7007:
7001:
6983:
6977:
6945:
6939:
6923:
6916:
6910:
6901:
6875:
6869:
6854:
6848:
6828:
6822:
6813:
6807:
6784:
6778:
6749:
6743:
6714:
6708:
6694:
6691:
6685:
6676:
6650:
6644:
6575:
6569:
6550:
6544:
6505:
6499:
6480:
6474:
6455:
6449:
6429:
6422:
6382:{\displaystyle p(x)^{2}+p'(x)}
6376:
6370:
6350:
6343:
6295:
6289:
6240:
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5665:
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3575:
3569:
3530:
3524:
3480:
3474:
3460:
3454:
3431:
3425:
3393:Ordinary Differential Equation
3325:
3319:
3305:
3299:
3270:
3264:
3215:
3209:
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3186:
3162:
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3056:
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2878:
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2525:
2519:
2501:{\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}
2495:
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2394:
2373:{\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}
2367:
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2347:
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2114:
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2102:
2076:
2070:
2047:
2041:
2009:
2003:
1979:
1975:
1969:
1962:
1935:
1929:
1882:
1876:
1864:
1858:
1848:
1844:
1838:
1831:
1809:
1803:
1768:
1762:
1727:
1721:
1695:
1689:
1677:
1671:
1539:
1533:
1525:
1519:
441: / Integral solutions
1:
4886:{\displaystyle y'+p(x)y=h(x)}
3714:We can see that in this case
1701:{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}
1067:{\textstyle {\frac {dy}{dt}}}
1742:linear differential equation
845:. The specific problem is: '
485:Exponential response formula
231:Coupled / Decoupled
8232:{\displaystyle e^{x^{3}/3}}
8505:
8190:{\displaystyle p(x)=x^{2}}
4052:Multiplying both sides by
2713:To verify, multiplying by
1986:{\displaystyle \ln |f(x)|}
1627:solution which involves a
1074:as an integrating factor:
920:, but is also used within
841:to meet Knowledge (XXG)'s
6730:Multiplying each term by
6033:Integrating twice yields
4767:{\displaystyle y=Cx^{2}.}
4260:{\displaystyle x^{-2}y=C}
2157:non-integrable expression
619:Józef Maria Hoene-Wroński
565:Undetermined coefficients
474:Method of characteristics
359:Cauchy–Kowalevski theorem
7474:{\displaystyle h(x)M(x)}
6961:Integrating twice gives
5566:{\displaystyle 2p(x)=2x}
4302:{\displaystyle y=Cx^{2}}
2384:, whose solution yields
764:This article includes a
344:Picard–Lindelöf theorem
338:Existence and uniqueness
8427:Variation of parameters
6755:{\displaystyle \sin(x)}
2447:
1499:separation of variables
948:an exact differential.
793:more precise citations.
570:Variation of parameters
560:Separation of variables
349:Peano existence theorem
8432:Differential equations
8411:
8302:
8233:
8191:
8146:
7994:
7763:
7494:
7475:
7434:
7414:
7333:
7310:
7214:
7194:
7175:
7134:
7043:
6952:
6882:
6756:
6721:
6614:
6591:
6512:
6403:
6383:
6327:
6302:
6267:
6190:
6104:
6024:
5952:
5762:
5697:
5622:
5608:. After examining the
5602:
5601:{\displaystyle p(x)=x}
5567:
5526:
5501:
5469:
5378:
5254:
5067:
5006:
4986:
4957:
4887:
4835:such that multiplying
4829:
4791:
4768:
4723:
4674:
4611:
4539:
4458:
4379:
4303:
4261:
4216:
4148:
4075:
4043:
3988:
3829:
3755:
3705:
3649:
3588:
3587:{\displaystyle Q(x)=0}
3546:
3382:
3359:
3237:
3127:
3104:
3014:
2860:
2833:
2736:
2704:
2639:
2572:
2502:
2436:
2407:
2374:
2310:
2233:
2165:
2083:
2054:
2022:
2021:{\displaystyle f(x)=0}
1987:
1942:
1909:
1889:
1816:
1784:
1734:
1702:
1629:nonelementary integral
1614:
1488:
1458:
1348:
1189:
1068:
1028:
922:multivariable calculus
639:Carl David Tolmé Runge
182:Differential-algebraic
23:Differential equations
8412:
8303:
8239:. Rearranging gives
8234:
8192:
8147:
7995:
7764:
7495:
7476:
7435:
7415:
7334:
7311:
7215:
7195:
7176:
7174:{\displaystyle M(x)y}
7135:
7044:
6953:
6883:
6757:
6722:
6615:
6592:
6513:
6404:
6384:
6328:
6303:
6301:{\displaystyle 2p(x)}
6268:
6191:
6105:
6025:
5953:
5763:
5698:
5623:
5603:
5568:
5527:
5502:
5470:
5379:
5255:
5068:
5007:
4987:
4958:
4888:
4830:
4792:
4769:
4724:
4675:
4612:
4540:
4459:
4380:
4304:
4262:
4217:
4149:
4076:
4044:
3989:
3830:
3756:
3706:
3650:
3589:
3547:
3383:
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3105:
3015:
2861:
2834:
2737:
2705:
2640:
2573:
2503:
2437:
2408:
2375:
2311:
2302:integrable derivative
2234:
2166:
2084:
2055:
2023:
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1703:
1615:
1489:
1487:{\displaystyle C_{0}}
1459:
1349:
1190:
1069:
1029:
629:Augustin-Louis Cauchy
614:Joseph-Louis Lagrange
446:Numerical integration
428:Exponential stability
291:Relation to processes
8466:"Integrating Factor"
8464:Munkhammar, Joakim,
8318:
8246:
8201:
8159:
8010:
7779:
7515:
7484:
7444:
7424:
7343:
7323:
7227:
7204:
7184:
7153:
7059:
6968:
6898:
6891:which rearranged is
6769:
6734:
6627:
6604:
6528:
6416:
6393:
6337:
6312:
6280:
6211:
6120:
6040:
5968:
5775:
5707:
5632:
5612:
5577:
5536:
5532:term. In this case,
5511:
5500:{\displaystyle p(x)}
5482:
5399:
5267:
5080:
5016:
4996:
4985:{\displaystyle M(x)}
4967:
4897:
4839:
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