3555:
2661:
1321:
2516:
2746:
2220:
1936:
3403:
3907:
3833:
3765:
2840:
3244:
3408:
1432:
4112:
3691:
2939:
2008:
3642:
2559:
241:
3335:
3098:
2308:
533:
1777:
751:
4038:
3396:
3021:
1160:
3055:
2785:
2407:
2339:
2144:
2113:
2082:
2039:
1843:
3159:
1568:
486:
449:
1697:
4150:
900:
3946:
3120:
2426:
195:
3588:
3291:
1804:
2962:
2376:
871:
2250:
1474:
1149:
3185:
2675:
3970:
2982:
2551:
1956:
1867:
1739:
1666:
1626:
1602:
1526:
1498:
1351:
1117:
1093:
1070:
1047:
1027:
1007:
987:
967:
940:
920:
845:
825:
802:
782:
715:
638:
3026:
Another useful structure theorem is that integral fractional ideals are generated by up to 2 elements. We call a fractional ideal which is a subset of
1640:, the situation is much simpler. In particular, every non-zero fractional ideal is invertible. In fact, this property characterizes Dedekind domains:
2158:
1872:
4449:
4400:
4353:
4272:
95:
3550:{\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}
2041:
is they are
Dedekind domains. Hence the theory of fractional ideals can be described for the rings of integers of number fields. In fact,
3844:
3770:
3702:
1533:
4426:
2793:
631:
583:
3190:
4480:
2944:
Also, because fractional ideals over a number field are all finitely generated we can clear denominators by multiplying by some
1706:
of fractional ideals by the subgroup of principal fractional ideals is an important invariant of a
Dedekind domain called the
4475:
1362:
624:
2342:
341:
4049:
2656:{\displaystyle I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}}
4160:. In other words, a divisorial ideal is a nonzero intersection of some nonempty set of fractional principal ideals.
4441:
3652:
2845:
1968:
101:
3593:
205:
4220:
3949:
3298:
1574:
3071:
2259:
4197:
1316:{\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}}
576:
500:
379:
329:
1744:
724:
3981:
3340:
2990:
4241:
4205:
388:
81:
1719:
545:
396:
347:
128:
3029:
2759:
2381:
2313:
2118:
2087:
2056:
2013:
1817:
3127:
1542:
462:
425:
2511:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0}
1671:
1644:
An integral domain is a
Dedekind domain if and only if every non-zero fractional ideal is invertible.
1529:
269:
143:
4120:
876:
672:
656:
551:
359:
310:
255:
149:
135:
63:
31:
4348:, Mathematics and its Applications, vol. 520, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 57–73,
3922:
3103:
178:
2753:
2042:
1962:
1958:
1811:
1537:
754:
564:
122:
50:
3566:
3249:
1782:
4445:
4422:
4396:
4349:
4278:
4268:
2148:
1707:
1505:
605:
402:
167:
108:
2947:
2348:
4410:
4388:
4236:
2741:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}
2253:
1846:
850:
611:
597:
411:
353:
316:
116:
89:
4459:
4363:
2228:
1447:
4455:
4418:
4359:
4194:
1637:
1605:
1125:
718:
668:
664:
373:
323:
161:
3164:
491:
1532:. Geometrically, this means an invertible fractional ideal can be interpreted as rank 1
4384:
3955:
2967:
2536:
2418:
1941:
1852:
1724:
1703:
1651:
1611:
1587:
1511:
1483:
1354:
1336:
1102:
1078:
1055:
1049:
1032:
1012:
992:
972:
952:
925:
905:
830:
810:
787:
767:
700:
417:
4469:
4209:
1438:
558:
454:
69:
4190:
2530:
590:
365:
261:
4337:
2310:. In some ways, the class number is a measure for how "far" the ring of integers
4224:
2667:
676:
652:
570:
281:
155:
37:
4341:
4187:
1442:
680:
335:
17:
4282:
2152:
is the group of fractional ideals modulo the principal fractional ideals, so
805:
295:
200:
4262:
4440:, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.),
3952:
of all principal fractional ideals containing a nonzero fractional ideal
2215:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}}
1931:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} }
1501:
289:
275:
2084:
of a number field, the group of fractional ideals forms a group denoted
173:
57:
4371:
2529:
One of the important structure theorems for fractional ideals of a
1504:. A (nonzero) fractional ideal is invertible if and only if it is
671:. In some sense, fractional ideals of an integral domain are like
3902:{\displaystyle IJ=({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}).}
3828:{\displaystyle J=(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}})}
3760:{\displaystyle I=(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}})}
2835:{\displaystyle {\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}}
679:
are allowed. In contexts where fractional ideals and ordinary
3239:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} }
1441:
with respect to the above product, where the identity is the
3197:
3036:
2810:
2766:
2724:
2491:
2474:
2439:
2388:
2320:
2284:
2201:
2182:
2165:
2125:
2094:
2063:
2020:
1879:
1824:
2115:
and the subgroup of principal fractional ideals is denoted
683:
are both under discussion, the latter are sometimes termed
4373:
922:
can be thought of as clearing out the denominators in
4123:
4052:
3984:
3958:
3925:
3847:
3773:
3705:
3655:
3596:
3569:
3406:
3343:
3301:
3252:
3193:
3167:
3130:
3106:
3074:
3032:
2993:
2970:
2950:
2848:
2796:
2762:
2678:
2562:
2539:
2429:
2384:
2351:
2316:
2262:
2231:
2161:
2121:
2090:
2059:
2016:
1971:
1944:
1875:
1855:
1820:
1785:
1747:
1727:
1674:
1654:
1614:
1590:
1545:
1514:
1486:
1450:
1365:
1339:
1163:
1128:
1105:
1081:
1058:
1035:
1015:
995:
975:
955:
928:
908:
879:
853:
833:
813:
790:
770:
727:
703:
503:
465:
428:
208:
181:
1648:
The set of fractional ideals over a
Dedekind domain
1353:
is uniquely determined and equal to the generalized
1427:{\displaystyle (R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}
4144:
4106:
4032:
3964:
3940:
3901:
3827:
3759:
3685:
3636:
3582:
3549:
3390:
3329:
3285:
3238:
3179:
3153:
3114:
3092:
3049:
3015:
2976:
2956:
2933:
2834:
2779:
2740:
2655:
2545:
2510:
2401:
2370:
2333:
2302:
2244:
2214:
2138:
2107:
2076:
2033:
2002:
1950:
1930:
1861:
1837:
1798:
1771:
1733:
1691:
1660:
1620:
1596:
1562:
1520:
1492:
1468:
1426:
1345:
1315:
1143:
1111:
1087:
1064:
1041:
1021:
1001:
981:
961:
934:
914:
894:
865:
839:
819:
796:
776:
745:
709:
527:
480:
443:
235:
189:
3398:. This is because if we multiply it out, we get
1437:The set of invertible fractional ideals form an
4107:{\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}
3686:{\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}
2934:{\displaystyle (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}}
2003:{\displaystyle 2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)}
667:and is particularly fruitful in the study of
632:
8:
4098:
4071:
3637:{\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}
2045:is the study of such groups of class rings.
1418:
1391:
1310:
1173:
236:{\displaystyle 0=\mathbb {Z} /1\mathbb {Z} }
3330:{\displaystyle K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}
3093:{\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }
2303:{\displaystyle h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|}
639:
625:
26:
4125:
4124:
4122:
4051:
3986:
3985:
3983:
3957:
3927:
3926:
3924:
3883:
3870:
3860:
3846:
3812:
3799:
3789:
3772:
3744:
3731:
3721:
3704:
3670:
3663:
3662:
3654:
3619:
3606:
3601:
3595:
3574:
3568:
3528:
3515:
3510:
3478:
3462:
3457:
3437:
3421:
3407:
3405:
3382:
3366:
3342:
3319:
3314:
3310:
3309:
3300:
3251:
3223:
3222:
3204:
3203:
3202:
3196:
3195:
3192:
3166:
3138:
3137:
3129:
3108:
3107:
3105:
3086:
3085:
3075:
3073:
3041:
3035:
3034:
3031:
3000:
2992:
2969:
2949:
2922:
2847:
2817:
2816:
2815:
2809:
2808:
2797:
2795:
2771:
2765:
2764:
2761:
2729:
2723:
2722:
2713:
2704:
2698:
2697:
2687:
2681:
2680:
2677:
2644:
2634:
2628:
2627:
2617:
2611:
2610:
2597:
2591:
2590:
2580:
2574:
2573:
2561:
2538:
2496:
2490:
2489:
2479:
2473:
2472:
2462:
2449:
2444:
2438:
2437:
2428:
2393:
2387:
2386:
2383:
2356:
2350:
2325:
2319:
2318:
2315:
2295:
2289:
2283:
2282:
2276:
2267:
2261:
2236:
2230:
2206:
2200:
2199:
2193:
2187:
2181:
2180:
2170:
2164:
2163:
2160:
2130:
2124:
2123:
2120:
2099:
2093:
2092:
2089:
2068:
2062:
2061:
2058:
2025:
2019:
2018:
2015:
1989:
1981:
1970:
1943:
1924:
1917:
1910:
1909:
1900:
1893:
1886:
1885:
1884:
1878:
1877:
1874:
1854:
1829:
1823:
1822:
1819:
1790:
1784:
1760:
1749:
1748:
1746:
1726:
1675:
1673:
1653:
1613:
1589:
1546:
1544:
1513:
1500:. The principal fractional ideals form a
1485:
1449:
1376:
1364:
1338:
1301:
1297:
1296:
1274:
1255:
1242:
1232:
1213:
1203:
1190:
1180:
1162:
1127:
1104:
1080:
1057:
1034:
1014:
994:
989:generated by a single nonzero element of
974:
954:
927:
907:
878:
852:
832:
812:
789:
769:
726:
702:
528:{\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}
516:
505:
504:
502:
472:
468:
467:
464:
435:
431:
430:
427:
229:
228:
220:
216:
215:
207:
183:
182:
180:
4307:
4295:
1772:{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}
746:{\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}
4319:
4253:
4033:{\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}
3391:{\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}
3016:{\displaystyle I={\frac {1}{\alpha }}J}
2525:Structure theorem for fractional ideals
1608:these are all the fractional ideals of
29:
4346:Non-Noetherian commutative ring theory
4219:An integral domain that satisfies the
2553:decomposes uniquely up to ordering as
4310:, Ch. VII, § 1, n. 7. Proposition 11.
4171:is a nonzero fractional ideal, then (
3693:we can multiply the fractional ideals
2413:Exact sequence for ideal class groups
1099:if there is another fractional ideal
7:
96:Free product of associative algebras
4393:Introduction to Commutative Algebra
2699:
2682:
2629:
2612:
2592:
2575:
2533:states that every fractional ideal
1333:In this case, the fractional ideal
942:, hence the name fractional ideal.
3050:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2780:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2521:associated to every number field.
2402:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2334:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2139:{\displaystyle {\mathcal {P}}_{K}}
2108:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}}
2077:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2034:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2010:. The key property of these rings
1838:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
847:such that there exists a non-zero
517:
25:
4223:on divisorial ideals is called a
3154:{\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}
1476:itself. This group is called the
584:Noncommutative algebraic geometry
3644:, our factorization makes sense.
1563:{\displaystyle {\text{Spec}}(R)}
663:is introduced in the context of
481:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
444:{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
1692:{\displaystyle {\text{Div}}(R)}
4145:{\displaystyle {\tilde {I}}=I}
4130:
4065:
4053:
4024:
4021:
4009:
4000:
3991:
3932:
3893:
3857:
3822:
3780:
3754:
3712:
3680:
3667:
3534:
3503:
3434:
3411:
3379:
3356:
3350:
3344:
3280:
3268:
3265:
3253:
3233:
3227:
3214:
3208:
3174:
3168:
3148:
3142:
2919:
2915:
2900:
2897:
2882:
2879:
2876:
2864:
2861:
2849:
2827:
2821:
2735:
2718:
2641:
2606:
2603:
2569:
2502:
2485:
2468:
2455:
2433:
2296:
2277:
1997:
1986:
1925:
1914:
1901:
1890:
1766:
1753:
1686:
1680:
1557:
1551:
1457:
1451:
1385:
1366:
1330:of the two fractional ideals.
522:
509:
1:
1584:is a fractional ideal and if
1052:it is an (integral) ideal of
895:{\displaystyle rI\subseteq R}
4436:Matsumura, Hideyuki (1989),
4344:; Chapman, Scott T. (eds.),
3941:{\displaystyle {\tilde {I}}}
3115:{\displaystyle \mathbb {Z} }
693:Definition and basic results
190:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4336:Barucci, Valentina (2000),
3100:is a fractional ideal over
2343:unique factorization domain
947:principal fractional ideals
342:Unique factorization domain
4497:
4442:Cambridge University Press
4221:ascending chain conditions
3583:{\displaystyle \zeta _{3}}
3337:we have the factorization
3286:{\displaystyle (2-i)(2+i)}
1799:{\displaystyle \zeta _{n}}
1478:group of fractional ideals
102:Tensor product of algebras
4261:Childress, Nancy (2009).
2053:For the ring of integers
1810:) there is an associated
1718:For the special case of
380:Formal power series ring
330:Integrally closed domain
4481:Algebraic number theory
4438:Commutative ring theory
4385:Atiyah, Michael Francis
4242:Dedekind-Kummer theorem
4206:discrete valuation ring
2957:{\displaystyle \alpha }
2371:{\displaystyle h_{K}=1}
2345:(UFD). This is because
389:Algebraic number theory
82:Total ring of fractions
4267:. New York: Springer.
4146:
4108:
4034:
3966:
3942:
3903:
3829:
3761:
3687:
3638:
3584:
3551:
3392:
3331:
3287:
3240:
3181:
3155:
3116:
3094:
3051:
3017:
2978:
2958:
2935:
2836:
2781:
2742:
2657:
2547:
2512:
2403:
2372:
2335:
2304:
2246:
2216:
2140:
2109:
2078:
2035:
2004:
1952:
1932:
1863:
1839:
1800:
1773:
1735:
1693:
1662:
1622:
1598:
1564:
1522:
1494:
1470:
1428:
1347:
1317:
1145:
1113:
1089:
1066:
1043:
1023:
1003:
983:
963:
936:
916:
896:
867:
866:{\displaystyle r\in R}
841:
821:
798:
778:
747:
711:
546:Noncommutative algebra
529:
482:
445:
397:Algebraic number field
348:Principal ideal domain
237:
191:
129:Frobenius endomorphism
4147:
4109:
4035:
3967:
3943:
3904:
3830:
3762:
3688:
3639:
3585:
3552:
3393:
3332:
3288:
3241:
3182:
3156:
3117:
3095:
3052:
3018:
2979:
2959:
2936:
2837:
2782:
2743:
2658:
2548:
2513:
2404:
2373:
2336:
2305:
2247:
2245:{\displaystyle h_{K}}
2225:and its class number
2217:
2141:
2110:
2079:
2049:Associated structures
2036:
2005:
1953:
1933:
1864:
1840:
1801:
1774:
1736:
1694:
1663:
1623:
1599:
1565:
1523:
1495:
1471:
1469:{\displaystyle (1)=R}
1429:
1348:
1318:
1146:
1114:
1090:
1067:
1044:
1024:
1009:. A fractional ideal
1004:
984:
964:
937:
917:
897:
868:
842:
822:
799:
779:
748:
712:
530:
483:
446:
238:
192:
4476:Ideals (ring theory)
4200:local domain). Then
4121:
4050:
3982:
3956:
3923:
3845:
3771:
3703:
3653:
3594:
3567:
3404:
3341:
3299:
3250:
3191:
3165:
3128:
3104:
3072:
3030:
2991:
2968:
2948:
2846:
2794:
2760:
2676:
2560:
2537:
2427:
2382:
2349:
2314:
2260:
2229:
2159:
2119:
2088:
2057:
2014:
1969:
1942:
1873:
1853:
1818:
1783:
1745:
1725:
1672:
1652:
1612:
1588:
1543:
1512:
1484:
1448:
1363:
1337:
1161:
1144:{\displaystyle IJ=R}
1126:
1103:
1079:
1056:
1033:
1013:
993:
973:
953:
926:
906:
877:
851:
831:
811:
788:
768:
725:
701:
552:Noncommutative rings
501:
463:
426:
270:Non-associative ring
206:
179:
136:Algebraic structures
4415:Commutative algebra
4208:if and only if the
3611:
3520:
3467:
3180:{\displaystyle (5)}
2454:
1075:A fractional ideal
657:commutative algebra
311:Commutative algebra
150:Associative algebra
32:Algebraic structure
4395:, Westview Press,
4264:Class field theory
4167:is divisorial and
4142:
4104:
4030:
3962:
3938:
3899:
3825:
3757:
3683:
3634:
3597:
3580:
3547:
3545:
3506:
3453:
3388:
3327:
3283:
3236:
3177:
3151:
3112:
3090:
3047:
3013:
2974:
2954:
2931:
2832:
2777:
2738:
2653:
2543:
2508:
2436:
2399:
2368:
2331:
2300:
2242:
2212:
2136:
2105:
2074:
2043:class field theory
2031:
2000:
1948:
1928:
1859:
1835:
1796:
1769:
1731:
1689:
1658:
1618:
1594:
1575:finitely generated
1560:
1518:
1490:
1466:
1424:
1343:
1313:
1141:
1109:
1085:
1062:
1039:
1019:
999:
979:
959:
932:
912:
892:
863:
837:
817:
794:
774:
755:field of fractions
743:
707:
565:Semiprimitive ring
525:
478:
441:
249:Related structures
233:
187:
123:Inner automorphism
109:Ring homomorphisms
4451:978-0-521-36764-6
4411:Bourbaki, Nicolas
4408:Chapter VII.1 of
4402:978-0-201-40751-8
4355:978-0-7923-6492-4
4274:978-0-387-72490-4
4198:integrally closed
4179:) is divisorial.
4133:
3994:
3965:{\displaystyle I}
3935:
3891:
3878:
3868:
3839:to get the ideal
3820:
3807:
3797:
3752:
3739:
3729:
3678:
3083:
3008:
2977:{\displaystyle J}
2805:
2716:
2546:{\displaystyle I}
2149:ideal class group
1992:
1984:
1951:{\displaystyle d}
1922:
1898:
1862:{\displaystyle K}
1734:{\displaystyle K}
1708:ideal class group
1678:
1661:{\displaystyle R}
1621:{\displaystyle R}
1597:{\displaystyle R}
1549:
1521:{\displaystyle R}
1493:{\displaystyle R}
1346:{\displaystyle J}
1112:{\displaystyle J}
1088:{\displaystyle I}
1065:{\displaystyle R}
1042:{\displaystyle R}
1022:{\displaystyle I}
1002:{\displaystyle K}
982:{\displaystyle K}
962:{\displaystyle R}
935:{\displaystyle I}
915:{\displaystyle r}
840:{\displaystyle K}
820:{\displaystyle I}
797:{\displaystyle R}
777:{\displaystyle R}
710:{\displaystyle R}
659:, the concept of
649:
648:
606:Geometric algebra
317:Commutative rings
168:Category of rings
16:(Redirected from
4488:
4462:
4431:
4417:(2nd ed.),
4405:
4379:
4378:
4370:Stein, William,
4366:
4323:
4317:
4311:
4305:
4299:
4293:
4287:
4286:
4258:
4237:Divisorial sheaf
4151:
4149:
4148:
4143:
4135:
4134:
4126:
4113:
4111:
4110:
4105:
4039:
4037:
4036:
4031:
3996:
3995:
3987:
3971:
3969:
3968:
3963:
3947:
3945:
3944:
3939:
3937:
3936:
3928:
3915:Divisorial ideal
3908:
3906:
3905:
3900:
3892:
3884:
3879:
3871:
3869:
3861:
3834:
3832:
3831:
3826:
3821:
3813:
3808:
3800:
3798:
3790:
3766:
3764:
3763:
3758:
3753:
3745:
3740:
3732:
3730:
3722:
3692:
3690:
3689:
3684:
3679:
3671:
3666:
3643:
3641:
3640:
3635:
3624:
3623:
3610:
3605:
3589:
3587:
3586:
3581:
3579:
3578:
3556:
3554:
3553:
3548:
3546:
3533:
3532:
3519:
3514:
3493:
3483:
3482:
3466:
3461:
3442:
3441:
3426:
3425:
3397:
3395:
3394:
3389:
3387:
3386:
3371:
3370:
3336:
3334:
3333:
3328:
3326:
3325:
3324:
3323:
3313:
3292:
3290:
3289:
3284:
3245:
3243:
3242:
3237:
3226:
3218:
3217:
3207:
3201:
3200:
3186:
3184:
3183:
3178:
3160:
3158:
3157:
3152:
3141:
3121:
3119:
3118:
3113:
3111:
3099:
3097:
3096:
3091:
3089:
3084:
3076:
3056:
3054:
3053:
3048:
3046:
3045:
3040:
3039:
3022:
3020:
3019:
3014:
3009:
3001:
2983:
2981:
2980:
2975:
2964:to get an ideal
2963:
2961:
2960:
2955:
2940:
2938:
2937:
2932:
2930:
2929:
2841:
2839:
2838:
2833:
2831:
2830:
2820:
2814:
2813:
2806:
2798:
2786:
2784:
2783:
2778:
2776:
2775:
2770:
2769:
2747:
2745:
2744:
2739:
2734:
2733:
2728:
2727:
2717:
2714:
2709:
2708:
2703:
2702:
2692:
2691:
2686:
2685:
2662:
2660:
2659:
2654:
2652:
2651:
2639:
2638:
2633:
2632:
2622:
2621:
2616:
2615:
2602:
2601:
2596:
2595:
2585:
2584:
2579:
2578:
2552:
2550:
2549:
2544:
2517:
2515:
2514:
2509:
2501:
2500:
2495:
2494:
2484:
2483:
2478:
2477:
2467:
2466:
2453:
2448:
2443:
2442:
2408:
2406:
2405:
2400:
2398:
2397:
2392:
2391:
2377:
2375:
2374:
2369:
2361:
2360:
2341:is from being a
2340:
2338:
2337:
2332:
2330:
2329:
2324:
2323:
2309:
2307:
2306:
2301:
2299:
2294:
2293:
2288:
2287:
2280:
2272:
2271:
2251:
2249:
2248:
2243:
2241:
2240:
2221:
2219:
2218:
2213:
2211:
2210:
2205:
2204:
2197:
2192:
2191:
2186:
2185:
2175:
2174:
2169:
2168:
2145:
2143:
2142:
2137:
2135:
2134:
2129:
2128:
2114:
2112:
2111:
2106:
2104:
2103:
2098:
2097:
2083:
2081:
2080:
2075:
2073:
2072:
2067:
2066:
2040:
2038:
2037:
2032:
2030:
2029:
2024:
2023:
2009:
2007:
2006:
2001:
1993:
1990:
1985:
1982:
1957:
1955:
1954:
1949:
1937:
1935:
1934:
1929:
1923:
1918:
1913:
1905:
1904:
1899:
1894:
1889:
1883:
1882:
1868:
1866:
1865:
1860:
1847:ring of integers
1844:
1842:
1841:
1836:
1834:
1833:
1828:
1827:
1805:
1803:
1802:
1797:
1795:
1794:
1778:
1776:
1775:
1770:
1765:
1764:
1752:
1740:
1738:
1737:
1732:
1698:
1696:
1695:
1690:
1679:
1676:
1667:
1665:
1664:
1659:
1638:Dedekind domains
1632:Dedekind domains
1627:
1625:
1624:
1619:
1603:
1601:
1600:
1595:
1569:
1567:
1566:
1561:
1550:
1547:
1527:
1525:
1524:
1519:
1499:
1497:
1496:
1491:
1475:
1473:
1472:
1467:
1433:
1431:
1430:
1425:
1381:
1380:
1352:
1350:
1349:
1344:
1322:
1320:
1319:
1314:
1309:
1308:
1300:
1279:
1278:
1260:
1259:
1247:
1246:
1237:
1236:
1218:
1217:
1208:
1207:
1195:
1194:
1185:
1184:
1150:
1148:
1147:
1142:
1118:
1116:
1115:
1110:
1094:
1092:
1091:
1086:
1071:
1069:
1068:
1063:
1048:
1046:
1045:
1040:
1029:is contained in
1028:
1026:
1025:
1020:
1008:
1006:
1005:
1000:
988:
986:
985:
980:
968:
966:
965:
960:
941:
939:
938:
933:
921:
919:
918:
913:
901:
899:
898:
893:
872:
870:
869:
864:
846:
844:
843:
838:
826:
824:
823:
818:
803:
801:
800:
795:
783:
781:
780:
775:
762:fractional ideal
752:
750:
749:
744:
716:
714:
713:
708:
669:Dedekind domains
665:integral domains
661:fractional ideal
655:, in particular
641:
634:
627:
612:Operator algebra
598:Clifford algebra
534:
532:
531:
526:
521:
520:
508:
487:
485:
484:
479:
477:
476:
471:
450:
448:
447:
442:
440:
439:
434:
412:Ring of integers
406:
403:Integers modulo
354:Euclidean domain
242:
240:
239:
234:
232:
224:
219:
196:
194:
193:
188:
186:
90:Product of rings
76:Fractional ideal
35:
27:
21:
4496:
4495:
4491:
4490:
4489:
4487:
4486:
4485:
4466:
4465:
4452:
4435:
4429:
4419:Springer Verlag
4409:
4403:
4389:Macdonald, I.G.
4383:
4376:
4369:
4356:
4335:
4332:
4327:
4326:
4318:
4314:
4306:
4302:
4294:
4290:
4275:
4260:
4259:
4255:
4250:
4233:
4216:is divisorial.
4119:
4118:
4048:
4047:
4043:where as above
3980:
3979:
3954:
3953:
3921:
3920:
3917:
3843:
3842:
3769:
3768:
3701:
3700:
3651:
3650:
3615:
3592:
3591:
3570:
3565:
3564:
3544:
3543:
3524:
3491:
3490:
3474:
3443:
3433:
3417:
3402:
3401:
3378:
3362:
3339:
3338:
3315:
3308:
3297:
3296:
3248:
3247:
3194:
3189:
3188:
3163:
3162:
3126:
3125:
3102:
3101:
3070:
3069:
3066:
3033:
3028:
3027:
2989:
2988:
2966:
2965:
2946:
2945:
2918:
2844:
2843:
2807:
2792:
2791:
2787:. For example,
2763:
2758:
2757:
2721:
2696:
2679:
2674:
2673:
2640:
2626:
2609:
2589:
2572:
2558:
2557:
2535:
2534:
2527:
2488:
2471:
2458:
2425:
2424:
2415:
2385:
2380:
2379:
2378:if and only if
2352:
2347:
2346:
2317:
2312:
2311:
2281:
2263:
2258:
2257:
2232:
2227:
2226:
2198:
2179:
2162:
2157:
2156:
2122:
2117:
2116:
2091:
2086:
2085:
2060:
2055:
2054:
2051:
2017:
2012:
2011:
1967:
1966:
1940:
1939:
1876:
1871:
1870:
1869:. For example,
1851:
1850:
1821:
1816:
1815:
1786:
1781:
1780:
1756:
1743:
1742:
1723:
1722:
1716:
1670:
1669:
1650:
1649:
1634:
1610:
1609:
1586:
1585:
1541:
1540:
1510:
1509:
1482:
1481:
1446:
1445:
1372:
1361:
1360:
1335:
1334:
1295:
1270:
1251:
1238:
1228:
1209:
1199:
1186:
1176:
1159:
1158:
1124:
1123:
1101:
1100:
1077:
1076:
1054:
1053:
1031:
1030:
1011:
1010:
991:
990:
971:
970:
969:-submodules of
951:
950:
924:
923:
904:
903:
875:
874:
849:
848:
829:
828:
809:
808:
786:
785:
766:
765:
723:
722:
719:integral domain
699:
698:
695:
686:integral ideals
645:
616:
615:
548:
538:
537:
512:
499:
498:
466:
461:
460:
429:
424:
423:
404:
374:Polynomial ring
324:Integral domain
313:
303:
302:
204:
203:
177:
176:
162:Involutive ring
47:
36:
30:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
4494:
4492:
4484:
4483:
4478:
4468:
4467:
4464:
4463:
4450:
4434:Chapter 11 of
4432:
4427:
4406:
4401:
4380:
4367:
4354:
4338:"Mori domains"
4331:
4328:
4325:
4324:
4312:
4300:
4288:
4273:
4252:
4251:
4249:
4246:
4245:
4244:
4239:
4232:
4229:
4141:
4138:
4132:
4129:
4115:
4114:
4103:
4100:
4097:
4094:
4091:
4088:
4085:
4082:
4079:
4076:
4073:
4070:
4067:
4064:
4061:
4058:
4055:
4041:
4040:
4029:
4026:
4023:
4020:
4017:
4014:
4011:
4008:
4005:
4002:
3999:
3993:
3990:
3975:Equivalently,
3961:
3934:
3931:
3916:
3913:
3912:
3911:
3910:
3909:
3898:
3895:
3890:
3887:
3882:
3877:
3874:
3867:
3864:
3859:
3856:
3853:
3850:
3837:
3836:
3835:
3824:
3819:
3816:
3811:
3806:
3803:
3796:
3793:
3788:
3785:
3782:
3779:
3776:
3756:
3751:
3748:
3743:
3738:
3735:
3728:
3725:
3720:
3717:
3714:
3711:
3708:
3695:
3694:
3682:
3677:
3674:
3669:
3665:
3661:
3658:
3646:
3645:
3633:
3630:
3627:
3622:
3618:
3614:
3609:
3604:
3600:
3577:
3573:
3560:
3559:
3558:
3557:
3542:
3539:
3536:
3531:
3527:
3523:
3518:
3513:
3509:
3505:
3502:
3499:
3496:
3494:
3492:
3489:
3486:
3481:
3477:
3473:
3470:
3465:
3460:
3456:
3452:
3449:
3446:
3444:
3440:
3436:
3432:
3429:
3424:
3420:
3416:
3413:
3410:
3409:
3385:
3381:
3377:
3374:
3369:
3365:
3361:
3358:
3355:
3352:
3349:
3346:
3322:
3318:
3312:
3307:
3304:
3293:
3282:
3279:
3276:
3273:
3270:
3267:
3264:
3261:
3258:
3255:
3235:
3232:
3229:
3225:
3221:
3216:
3213:
3210:
3206:
3199:
3176:
3173:
3170:
3150:
3147:
3144:
3140:
3136:
3133:
3122:
3110:
3088:
3082:
3079:
3065:
3062:
3044:
3038:
3024:
3023:
3012:
3007:
3004:
2999:
2996:
2973:
2953:
2942:
2941:
2928:
2925:
2921:
2917:
2914:
2911:
2908:
2905:
2902:
2899:
2896:
2893:
2890:
2887:
2884:
2881:
2878:
2875:
2872:
2869:
2866:
2863:
2860:
2857:
2854:
2851:
2829:
2826:
2823:
2819:
2812:
2804:
2801:
2774:
2768:
2750:
2749:
2737:
2732:
2726:
2720:
2712:
2707:
2701:
2695:
2690:
2684:
2664:
2663:
2650:
2647:
2643:
2637:
2631:
2625:
2620:
2614:
2608:
2605:
2600:
2594:
2588:
2583:
2577:
2571:
2568:
2565:
2542:
2526:
2523:
2519:
2518:
2507:
2504:
2499:
2493:
2487:
2482:
2476:
2470:
2465:
2461:
2457:
2452:
2447:
2441:
2435:
2432:
2419:exact sequence
2414:
2411:
2396:
2390:
2367:
2364:
2359:
2355:
2328:
2322:
2298:
2292:
2286:
2279:
2275:
2270:
2266:
2256:of the group,
2239:
2235:
2223:
2222:
2209:
2203:
2196:
2190:
2184:
2178:
2173:
2167:
2133:
2127:
2102:
2096:
2071:
2065:
2050:
2047:
2028:
2022:
1999:
1996:
1988:
1980:
1977:
1974:
1947:
1927:
1921:
1916:
1912:
1908:
1903:
1897:
1892:
1888:
1881:
1858:
1832:
1826:
1793:
1789:
1768:
1763:
1759:
1755:
1751:
1730:
1715:
1712:
1704:quotient group
1688:
1685:
1682:
1657:
1646:
1645:
1633:
1630:
1617:
1593:
1580:-submodule of
1559:
1556:
1553:
1517:
1489:
1465:
1462:
1459:
1456:
1453:
1435:
1434:
1423:
1420:
1417:
1414:
1411:
1408:
1405:
1402:
1399:
1396:
1393:
1390:
1387:
1384:
1379:
1375:
1371:
1368:
1355:ideal quotient
1342:
1324:
1323:
1312:
1307:
1304:
1299:
1294:
1291:
1288:
1285:
1282:
1277:
1273:
1269:
1266:
1263:
1258:
1254:
1250:
1245:
1241:
1235:
1231:
1227:
1224:
1221:
1216:
1212:
1206:
1202:
1198:
1193:
1189:
1183:
1179:
1175:
1172:
1169:
1166:
1152:
1151:
1140:
1137:
1134:
1131:
1108:
1084:
1061:
1050:if and only if
1038:
1018:
998:
978:
958:
931:
911:
902:. The element
891:
888:
885:
882:
862:
859:
856:
836:
816:
793:
773:
742:
739:
736:
733:
730:
706:
694:
691:
647:
646:
644:
643:
636:
629:
621:
618:
617:
609:
608:
580:
579:
573:
567:
561:
549:
544:
543:
540:
539:
536:
535:
524:
519:
515:
511:
507:
488:
475:
470:
451:
438:
433:
421:-adic integers
414:
408:
399:
385:
384:
383:
382:
376:
370:
369:
368:
356:
350:
344:
338:
332:
314:
309:
308:
305:
304:
301:
300:
299:
298:
286:
285:
284:
278:
266:
265:
264:
246:
245:
244:
243:
231:
227:
223:
218:
214:
211:
197:
185:
164:
158:
152:
146:
132:
131:
125:
119:
105:
104:
98:
92:
86:
85:
84:
78:
66:
60:
48:
46:Basic concepts
45:
44:
41:
40:
24:
18:Integral ideal
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
4493:
4482:
4479:
4477:
4474:
4473:
4471:
4461:
4457:
4453:
4447:
4443:
4439:
4433:
4430:
4428:3-540-64239-0
4424:
4420:
4416:
4412:
4407:
4404:
4398:
4394:
4390:
4386:
4382:Chapter 9 of
4381:
4375:
4374:
4368:
4365:
4361:
4357:
4351:
4347:
4343:
4339:
4334:
4333:
4329:
4321:
4316:
4313:
4309:
4308:Bourbaki 1998
4304:
4301:
4297:
4296:Bourbaki 1998
4292:
4289:
4284:
4280:
4276:
4270:
4266:
4265:
4257:
4254:
4247:
4243:
4240:
4238:
4235:
4234:
4230:
4228:
4226:
4222:
4217:
4215:
4211:
4210:maximal ideal
4207:
4203:
4199:
4196:
4192:
4189:
4185:
4180:
4178:
4174:
4170:
4166:
4161:
4159:
4155:
4139:
4136:
4127:
4101:
4095:
4092:
4089:
4086:
4083:
4080:
4077:
4074:
4068:
4062:
4059:
4056:
4046:
4045:
4044:
4027:
4018:
4015:
4012:
4006:
4003:
3997:
3988:
3978:
3977:
3976:
3973:
3959:
3951:
3929:
3914:
3896:
3888:
3885:
3880:
3875:
3872:
3865:
3862:
3854:
3851:
3848:
3841:
3840:
3838:
3817:
3814:
3809:
3804:
3801:
3794:
3791:
3786:
3783:
3777:
3774:
3749:
3746:
3741:
3736:
3733:
3726:
3723:
3718:
3715:
3709:
3706:
3699:
3698:
3697:
3696:
3675:
3672:
3659:
3656:
3648:
3647:
3631:
3628:
3625:
3620:
3616:
3612:
3607:
3602:
3598:
3575:
3571:
3562:
3561:
3540:
3537:
3529:
3525:
3521:
3516:
3511:
3507:
3500:
3497:
3495:
3487:
3484:
3479:
3475:
3471:
3468:
3463:
3458:
3454:
3450:
3447:
3445:
3438:
3430:
3427:
3422:
3418:
3414:
3400:
3399:
3383:
3375:
3372:
3367:
3363:
3359:
3353:
3347:
3320:
3316:
3305:
3302:
3294:
3277:
3274:
3271:
3262:
3259:
3256:
3230:
3219:
3211:
3171:
3145:
3134:
3131:
3123:
3080:
3077:
3068:
3067:
3063:
3061:
3059:
3042:
3010:
3005:
3002:
2997:
2994:
2987:
2986:
2985:
2971:
2951:
2926:
2923:
2912:
2909:
2906:
2903:
2894:
2891:
2888:
2885:
2873:
2870:
2867:
2858:
2855:
2852:
2824:
2802:
2799:
2790:
2789:
2788:
2772:
2755:
2730:
2710:
2705:
2693:
2688:
2672:
2671:
2670:
2669:
2648:
2645:
2635:
2623:
2618:
2598:
2586:
2581:
2566:
2563:
2556:
2555:
2554:
2540:
2532:
2524:
2522:
2505:
2497:
2480:
2463:
2459:
2450:
2445:
2430:
2423:
2422:
2421:
2420:
2412:
2410:
2394:
2365:
2362:
2357:
2353:
2344:
2326:
2290:
2273:
2268:
2264:
2255:
2237:
2233:
2207:
2194:
2188:
2176:
2171:
2155:
2154:
2153:
2151:
2150:
2131:
2100:
2069:
2048:
2046:
2044:
2026:
1994:
1978:
1975:
1972:
1964:
1960:
1945:
1919:
1906:
1895:
1856:
1848:
1830:
1813:
1809:
1791:
1787:
1761:
1757:
1728:
1721:
1720:number fields
1714:Number fields
1713:
1711:
1709:
1705:
1700:
1683:
1655:
1643:
1642:
1641:
1639:
1631:
1629:
1615:
1607:
1591:
1583:
1579:
1576:
1571:
1554:
1539:
1538:affine scheme
1535:
1534:vector bundle
1531:
1515:
1507:
1503:
1487:
1479:
1463:
1460:
1454:
1444:
1440:
1439:abelian group
1421:
1415:
1412:
1409:
1406:
1403:
1400:
1397:
1394:
1388:
1382:
1377:
1373:
1369:
1359:
1358:
1357:
1356:
1340:
1331:
1329:
1305:
1302:
1292:
1289:
1286:
1283:
1280:
1275:
1271:
1267:
1264:
1261:
1256:
1252:
1248:
1243:
1239:
1233:
1229:
1225:
1222:
1219:
1214:
1210:
1204:
1200:
1196:
1191:
1187:
1181:
1177:
1170:
1167:
1164:
1157:
1156:
1155:
1138:
1135:
1132:
1129:
1122:
1121:
1120:
1106:
1098:
1082:
1073:
1059:
1051:
1036:
1016:
996:
976:
956:
948:
943:
929:
909:
889:
886:
883:
880:
860:
857:
854:
834:
814:
807:
791:
771:
763:
758:
756:
740:
737:
734:
731:
728:
720:
704:
692:
690:
689:for clarity.
688:
687:
682:
678:
674:
670:
666:
662:
658:
654:
642:
637:
635:
630:
628:
623:
622:
620:
619:
614:
613:
607:
603:
602:
601:
600:
599:
594:
593:
592:
587:
586:
585:
578:
574:
572:
568:
566:
562:
560:
559:Division ring
556:
555:
554:
553:
547:
542:
541:
513:
497:
495:
489:
473:
459:
458:-adic numbers
457:
452:
436:
422:
420:
415:
413:
409:
407:
400:
398:
394:
393:
392:
391:
390:
381:
377:
375:
371:
367:
363:
362:
361:
357:
355:
351:
349:
345:
343:
339:
337:
333:
331:
327:
326:
325:
321:
320:
319:
318:
312:
307:
306:
297:
293:
292:
291:
287:
283:
279:
277:
273:
272:
271:
267:
263:
259:
258:
257:
253:
252:
251:
250:
225:
221:
212:
209:
202:
201:Terminal ring
198:
175:
171:
170:
169:
165:
163:
159:
157:
153:
151:
147:
145:
141:
140:
139:
138:
137:
130:
126:
124:
120:
118:
114:
113:
112:
111:
110:
103:
99:
97:
93:
91:
87:
83:
79:
77:
73:
72:
71:
70:Quotient ring
67:
65:
61:
59:
55:
54:
53:
52:
43:
42:
39:
34:→ Ring theory
33:
28:
19:
4437:
4414:
4392:
4372:
4345:
4320:Barucci 2000
4315:
4303:
4291:
4263:
4256:
4218:
4213:
4201:
4191:Krull domain
4183:
4181:
4176:
4172:
4168:
4164:
4162:
4157:
4153:
4116:
4042:
3974:
3950:intersection
3918:
3057:
3025:
2943:
2751:
2668:prime ideals
2665:
2531:number field
2528:
2520:
2417:There is an
2416:
2224:
2147:
2052:
1807:
1717:
1701:
1647:
1635:
1581:
1577:
1572:
1477:
1436:
1332:
1327:
1325:
1153:
1096:
1074:
946:
944:
761:
759:
696:
685:
684:
677:denominators
660:
650:
610:
596:
595:
591:Free algebra
589:
588:
582:
581:
550:
493:
455:
418:
387:
386:
366:Finite field
315:
262:Finite field
248:
247:
174:Initial ring
134:
133:
107:
106:
75:
49:
4342:Glaz, Sarah
4225:Mori domain
3948:denote the
2842:factors as
1959:square-free
1845:called the
1808:exp(2π i/n)
1668:is denoted
681:ring ideals
653:mathematics
571:Simple ring
282:Jordan ring
156:Graded ring
38:Ring theory
4470:Categories
4330:References
4195:Noetherian
4158:divisorial
4156:is called
3590:satisfies
3187:splits in
3161:the ideal
2409:is a UFD.
1606:noetherian
1506:projective
1443:unit ideal
1119:such that
1097:invertible
1095:is called
949:are those
873:such that
721:, and let
577:Commutator
336:GCD domain
4283:310352143
4193:(e.g., a
4131:~
4093:⊆
4078:∈
3992:~
3933:~
3873:−
3802:−
3742:−
3734:−
3673:−
3629:−
3617:ζ
3599:ζ
3572:ζ
3526:ζ
3508:ζ
3476:ζ
3455:ζ
3419:ζ
3364:ζ
3317:ζ
3260:−
3006:α
2952:α
2924:−
2907:−
2871:−
2711:∈
2646:−
2624:…
2587:…
2503:→
2486:→
2469:→
2464:∗
2456:→
2451:∗
2434:→
1991:mod
1963:congruent
1788:ζ
1758:ζ
1741:(such as
1536:over the
1413:⊆
1398:∈
1293:∈
1281:∈
1262:∈
1223:⋯
887:⊆
858:∈
806:submodule
738:
518:∞
296:Semifield
4413:(1998),
4391:(1994),
4298:, §VII.1
4231:See also
4175: :
3064:Examples
3058:integral
2984:. Hence
2754:spectrum
1814:denoted
1779:, where
1502:subgroup
290:Semiring
276:Lie ring
58:Subrings
4460:1011461
4364:1858157
2752:in the
2252:is the
1328:product
1326:is the
753:be its
492:Prüfer
94:•
4458:
4448:
4425:
4399:
4362:
4352:
4281:
4271:
3563:Since
2146:. The
1983:
1573:Every
1530:module
1508:as an
1154:where
784:is an
717:be an
675:where
673:ideals
144:Module
117:Kernel
4377:(PDF)
4340:, in
4248:Notes
4204:is a
4188:local
4186:be a
4152:then
2254:order
496:-ring
360:Field
256:Field
64:Ideal
51:Rings
4446:ISBN
4423:ISBN
4397:ISBN
4350:ISBN
4279:OCLC
4269:ISBN
4182:Let
3919:Let
3767:and
3649:For
3295:For
3124:For
2715:Spec
2666:for
1961:and
1938:for
1812:ring
1702:Its
1548:Spec
1303:>
945:The
735:Frac
697:Let
4212:of
4163:If
4117:If
3246:as
2756:of
1965:to
1849:of
1677:Div
1636:In
1604:is
1480:of
827:of
764:of
651:In
4472::
4456:MR
4454:,
4444:,
4421:,
4387:;
4360:MR
4358:,
4277:.
4227:.
3972:.
3876:23
3805:23
3737:23
3676:23
3060:.
2177::=
1806:=
1710:.
1699:.
1628:.
1570:.
1072:.
760:A
757:.
604:•
575:•
569:•
563:•
557:•
490:•
453:•
416:•
410:•
401:•
395:•
378:•
372:•
364:•
358:•
352:•
346:•
340:•
334:•
328:•
322:•
294:•
288:•
280:•
274:•
268:•
260:•
254:•
199:•
172:•
166:•
160:•
154:•
148:•
142:•
127:•
121:•
115:•
100:•
88:•
80:•
74:•
68:•
62:•
56:•
4322:.
4285:.
4214:R
4202:R
4184:R
4177:J
4173:I
4169:J
4165:I
4154:I
4140:I
4137:=
4128:I
4102:.
4099:}
4096:R
4090:I
4087:x
4084::
4081:K
4075:x
4072:{
4069:=
4066:)
4063:I
4060::
4057:R
4054:(
4028:,
4025:)
4022:)
4019:I
4016::
4013:R
4010:(
4007::
4004:R
4001:(
3998:=
3989:I
3960:I
3930:I
3897:.
3894:)
3889:2
3886:3
3881:+
3866:2
3863:1
3858:(
3855:=
3852:J
3849:I
3823:)
3818:2
3815:3
3810:+
3795:2
3792:1
3787:,
3784:4
3781:(
3778:=
3775:J
3755:)
3750:2
3747:1
3727:2
3724:1
3719:,
3716:2
3713:(
3710:=
3707:I
3681:)
3668:(
3664:Q
3660:=
3657:K
3632:1
3626:=
3621:3
3613:+
3608:2
3603:3
3576:3
3541:1
3538:+
3535:)
3530:3
3522:+
3517:2
3512:3
3504:(
3501:4
3498:=
3488:1
3485:+
3480:3
3472:4
3469:+
3464:2
3459:3
3451:4
3448:=
3439:2
3435:)
3431:1
3428:+
3423:3
3415:2
3412:(
3384:2
3380:)
3376:1
3373:+
3368:3
3360:2
3357:(
3354:=
3351:)
3348:3
3345:(
3321:3
3311:Q
3306:=
3303:K
3281:)
3278:i
3275:+
3272:2
3269:(
3266:)
3263:i
3257:2
3254:(
3234:]
3231:i
3228:[
3224:Z
3220:=
3215:)
3212:i
3209:(
3205:Q
3198:O
3175:)
3172:5
3169:(
3149:)
3146:i
3143:(
3139:Q
3135:=
3132:K
3109:Z
3087:Z
3081:4
3078:5
3043:K
3037:O
3011:J
3003:1
2998:=
2995:I
2972:J
2927:1
2920:)
2916:)
2913:i
2910:2
2904:1
2901:(
2898:)
2895:i
2892:2
2889:+
2886:1
2883:(
2880:(
2877:)
2874:i
2868:1
2865:(
2862:)
2859:i
2856:+
2853:1
2850:(
2828:)
2825:i
2822:(
2818:Q
2811:O
2803:5
2800:2
2773:K
2767:O
2748:.
2736:)
2731:K
2725:O
2719:(
2706:j
2700:q
2694:,
2689:i
2683:p
2649:1
2642:)
2636:m
2630:q
2619:1
2613:q
2607:(
2604:)
2599:n
2593:p
2582:1
2576:p
2570:(
2567:=
2564:I
2541:I
2506:0
2498:K
2492:C
2481:K
2475:I
2460:K
2446:K
2440:O
2431:0
2395:K
2389:O
2366:1
2363:=
2358:K
2354:h
2327:K
2321:O
2297:|
2291:K
2285:C
2278:|
2274:=
2269:K
2265:h
2238:K
2234:h
2208:K
2202:P
2195:/
2189:K
2183:I
2172:K
2166:C
2132:K
2126:P
2101:K
2095:I
2070:K
2064:O
2027:K
2021:O
1998:)
1995:4
1987:(
1979:3
1976:,
1973:2
1946:d
1926:]
1920:d
1915:[
1911:Z
1907:=
1902:)
1896:d
1891:(
1887:Q
1880:O
1857:K
1831:K
1825:O
1792:n
1767:)
1762:n
1754:(
1750:Q
1729:K
1687:)
1684:R
1681:(
1656:R
1616:R
1592:R
1582:K
1578:R
1558:)
1555:R
1552:(
1528:-
1516:R
1488:R
1464:R
1461:=
1458:)
1455:1
1452:(
1422:.
1419:}
1416:R
1410:I
1407:x
1404::
1401:K
1395:x
1392:{
1389:=
1386:)
1383:I
1378:K
1374::
1370:R
1367:(
1341:J
1311:}
1306:0
1298:Z
1290:n
1287:,
1284:J
1276:j
1272:b
1268:,
1265:I
1257:i
1253:a
1249::
1244:n
1240:b
1234:n
1230:a
1226:+
1220:+
1215:2
1211:b
1205:2
1201:a
1197:+
1192:1
1188:b
1182:1
1178:a
1174:{
1171:=
1168:J
1165:I
1139:R
1136:=
1133:J
1130:I
1107:J
1083:I
1060:R
1037:R
1017:I
997:K
977:K
957:R
930:I
910:r
890:R
884:I
881:r
861:R
855:r
835:K
815:I
804:-
792:R
772:R
741:R
732:=
729:K
705:R
640:e
633:t
626:v
523:)
514:p
510:(
506:Z
494:p
474:p
469:Q
456:p
437:p
432:Z
419:p
405:n
230:Z
226:1
222:/
217:Z
213:=
210:0
184:Z
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.