43:
6966:
6573:
7093:
5188:
6579:
147:
6240:
7397:
126:. That is, instead of fitting a single, high-degree polynomial to all of the values at once, spline interpolation fits low-degree polynomials to small subsets of the values, for example, fitting nine cubic polynomials between each of the pairs of ten points, instead of fitting a single degree-nine polynomial to all of them. Spline interpolation is often preferred over
1154:
4789:
6961:{\displaystyle q'''_{n-1}(x_{n-1})=q'''_{n}(x_{n-1})\Rightarrow {\frac {1}{\Delta x_{n-1}^{2}}}k_{n-2}+\left({\frac {1}{\Delta x_{n-1}^{2}}}-{\frac {1}{\Delta x_{n}^{2}}}\right)k_{n-1}-{\frac {1}{\Delta x_{n}^{2}}}k_{n}=2\left({\frac {\Delta y_{n-1}}{\Delta x_{n-1}^{3}}}-{\frac {\Delta y_{n}}{\Delta x_{n}^{3}}}\right),}
6568:{\displaystyle q'''_{1}(x_{1})=q'''_{2}(x_{1})\Rightarrow {\frac {1}{\Delta x_{1}^{2}}}k_{0}+\left({\frac {1}{\Delta x_{1}^{2}}}-{\frac {1}{\Delta x_{2}^{2}}}\right)k_{1}-{\frac {1}{\Delta x_{2}^{2}}}k_{2}=2\left({\frac {\Delta y_{1}}{\Delta x_{1}^{3}}}-{\frac {\Delta y_{2}}{\Delta x_{2}^{3}}}\right),}
7162:
2412:
3203:
6136:
5720:
8200:
5183:{\displaystyle {\frac {k_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}+\left({\frac {1}{x_{i}-x_{i-1}}}+{\frac {1}{x_{i+1}-x_{i}}}\right)2k_{i}+{\frac {k_{i+1}}{x_{i+1}-x_{i}}}=3\left({\frac {y_{i}-y_{i-1}}{{(x_{i}-x_{i-1})}^{2}}}+{\frac {y_{i+1}-y_{i}}{{(x_{i+1}-x_{i})}^{2}}}\right)}
5908:
5491:
2970:
882:
to be continuous everywhere, including at the knots. Each successive polynomial must have equal values (which are equal to the y-value of the corresponding datapoint), derivatives, and second derivatives at their joining knots, which is to say that
5260:
For the elastic rulers being the model for the spline interpolation, one has that to the left of the left-most "knot" and to the right of the right-most "knot" the ruler can move freely and will therefore take the form of a straight line with
150:
Interpolation with cubic splines between eight points. Hand-drawn technical drawings for shipbuilding are a historical example of spline interpolation; drawings were constructed using flexible rulers that were bent to follow pre-defined
3877:
889:
7714:
7392:{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}k_{0}\\k_{1}\\k_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{bmatrix}}}
4591:
1620:
1524:
3335:
3664:
3540:
7082:
728:
1252:
6212:
There exist other end conditions, "clamped spline", which specifies the slope at the ends of the spline, and the popular "not-a-knot spline", which requires that the third derivative is also continuous at the
2197:
8958:
8730:
8304:
8016:
8844:
8613:
8482:
4217:
4351:
5931:
3985:
2983:
2748:
2515:
2630:
8022:
1405:
1332:
9221:"Contributions to the Problem of Approximation of Equidistant Data by Analytic Functions:Part B.—On the Problem of Osculatory Interpolation. A Second Class of Analytic Approximation Formulae"
7912:
7846:
7780:
7600:
7534:
7468:
9194:"Contributions to the Problem of Approximation of Equidistant Data by Analytic Functions:Part A.—On the Problem of Smoothing or Graduation. A First Class of Analytic Approximation Formulae"
5733:
5497:
8390:
4671:
4442:
2826:
2155:
2097:
5295:
7151:
399:
2039:
1986:
489:
1877:
1831:
1756:
1710:
880:
781:
601:
555:
445:
299:
253:
1439:
341:
9033:
8997:
1664:
855:
756:
643:
2818:
2791:
1931:
1904:
2187:
1785:
810:
1149:{\displaystyle {\begin{cases}q_{i}(x_{i})=q_{i+1}(x_{i})=y_{i}\\q'_{i}(x_{i})=q'_{i+1}(x_{i})\\q''_{i}(x_{i})=q''_{i+1}(x_{i})\end{cases}}\qquad 1\leq i\leq n-1.}
207:
3722:
1159:
This can only be achieved if polynomials of degree 3 (cubic polynomials) or higher are used. The classical approach is to use polynomials of exactly degree 3 —
830:
509:
7606:
9285:
4465:
6974:
2407:{\displaystyle q(x)={\big (}1-t(x){\big )}\,y_{1}+t(x)\,y_{2}+t(x){\big (}1-t(x){\big )}{\Big (}{\big (}1-t(x){\big )}\,a+t(x)\,b{\Big )},}
9065:
3226:
8850:
8619:
8206:
7918:
3563:
3439:
832:. To make the spline take a shape that minimizes the bending (under the constraint of passing through all knots), we will define both
8736:
8505:
9172:
86:
64:
8401:
4100:
4240:
6131:{\displaystyle {\frac {1}{x_{n}-x_{n-1}}}k_{n-1}+{\frac {2}{x_{n}-x_{n-1}}}k_{n}=3{\frac {y_{n}-y_{n-1}}{(x_{n}-x_{n-1})^{2}}}.}
3198:{\displaystyle q'={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}+(1-2t){\frac {a(1-t)+bt}{x_{2}-x_{1}}}+t(1-t){\frac {b-a}{x_{2}-x_{1}}},}
651:
9330:
3906:
1529:
9268:
9080:
9070:
8195:{\displaystyle b_{2}=3\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{{(x_{1}-x_{0})}^{2}}}+{\frac {y_{2}-y_{1}}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}\right),}
2653:
2438:
2538:
134:
can be made small even when using low-degree polynomials for the spline. Spline interpolation also avoids the problem of
9075:
9263:
7852:
7786:
7720:
7540:
7474:
7408:
5903:{\displaystyle {\frac {2}{x_{1}-x_{0}}}k_{0}+{\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}k_{1}=3{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}},}
5715:{\displaystyle q''_{n}(x_{n})=-2{\frac {3(y_{n}-y_{n-1})-(2k_{n}+k_{n-1})(x_{n}-x_{n-1})}{{(x_{n}-x_{n-1})}^{2}}}=0,}
1451:
1173:
9085:
9090:
8315:
127:
57:
51:
9300:
2965:{\displaystyle q'={\frac {dq}{dx}}={\frac {dq}{dt}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {dq}{dt}}{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}.}
1337:
1264:
183:
We wish to model similar kinds of curves using a set of mathematical equations. Assume we have a sequence of
5486:{\displaystyle q''_{1}(x_{0})=2{\frac {3(y_{1}-y_{0})-(k_{1}+2k_{0})(x_{1}-x_{0})}{{(x_{1}-x_{0})}^{2}}}=0,}
9335:
9258:
9055:
4614:
4385:
68:
9286:
Paper which explains step by step how cubic spline interpolation is done, but only for equidistant knots.
9275:
7103:
346:
135:
2103:
2045:
9060:
1992:
1939:
123:
31:
898:
450:
9110:
1836:
1790:
1715:
1669:
560:
514:
404:
258:
212:
131:
9253:
Cubic Spline
Interpolation Online Calculation and Visualization Tool (with JavaScript source code)
138:, in which oscillation can occur between points when interpolating using high-degree polynomials.
7154:
104:
304:
9295:
9168:
9105:
9002:
8966:
1633:
173:
9310:
9280:
9232:
9205:
9143:
9095:
7092:
613:
4754: − 1, then the resulting function will even have a continuous second derivative.
2796:
2769:
1909:
1882:
1410:
9252:
3872:{\displaystyle q_{i}=(1-t)\,y_{i-1}+t\,y_{i}+t(1-t){\big (}(1-t)\,a_{i}+t\,b_{i}{\big )},}
2163:
1761:
786:
860:
761:
186:
9306:
TinySpline:Open source C-library for splines which implements cubic spline interpolation
835:
736:
9100:
7709:{\displaystyle a_{22}=2\left({\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}\right),}
815:
494:
9324:
9148:
9131:
112:
17:
9315:
9050:
1160:
177:
157:
100:
119:
607:
116:
9305:
8963:
In the figure, the spline function consisting of the two cubic polynomials
4586:{\displaystyle k_{i}=q_{i}'(x_{i})=q_{i+1}'(x_{i}),\qquad i=1,\dots ,n-1,}
162:
146:
9316:
Cubic
Interpolation:Open source C#-library for cubic spline interpolation
9311:
SciPy Spline
Interpolation:a Python package that implements interpolation
6234:
points. For the "not-a-knot" spline, the additional equations will read:
9237:
9220:
9210:
9193:
7077:{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\ \Delta y_{i}=y_{i}-y_{i-1}}
9290:
4072:
polynomials together define a differentiable function in the interval
9301:
Information about spline interpolation (including code in
Fortran 77)
7091:
165:
145:
3330:{\displaystyle q''=2{\frac {b-2a+(a-b)3t}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}.}
1758:. To do this, we will consider just a single piece of the curve,
168:
that were bent to pass through a number of predefined points, or
8953:{\displaystyle b_{2}=-k_{2}(x_{2}-x_{1})+(y_{2}-y_{1})=-1.6875.}
8725:{\displaystyle b_{1}=-k_{1}(x_{1}-x_{0})+(y_{1}-y_{0})=-0.3750,}
8299:{\displaystyle b_{3}=3{\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}.}
8011:{\displaystyle b_{1}=3{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}},}
3659:{\displaystyle q''(x_{2})=2{\frac {a-2b}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}.}
3535:{\displaystyle q''(x_{1})=2{\frac {b-2a}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}},}
8839:{\displaystyle a_{2}=k_{1}(x_{2}-x_{1})-(y_{2}-y_{1})=-3.3750,}
8608:{\displaystyle a_{1}=k_{0}(x_{1}-x_{0})-(y_{1}-y_{0})=-0.1875,}
7096:
Interpolation with cubic "natural" splines between three points
36:
8477:{\displaystyle k_{0}=-0.6875,\ k_{1}=-0.1250,\ k_{2}=1.5625,}
4212:{\displaystyle a_{i}=k_{i-1}(x_{i}-x_{i-1})-(y_{i}-y_{i-1}),}
9281:
Lectures on the theory and practice of spline interpolation
4346:{\displaystyle b_{i}=-k_{i}(x_{i}-x_{i-1})+(y_{i}-y_{i-1})}
1120:
2820:? To derive these critical values, we must consider that
723:{\displaystyle \kappa ={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}},}
180:
and construction by hand, as illustrated in the figure.
7340:
7283:
7171:
3917:
9167:(10th ed.). Cengage Learning. pp. 142–157.
9132:"Optimal Error Bounds for Cubic Spline Interpolation"
9005:
8969:
8853:
8739:
8622:
8508:
8404:
8318:
8209:
8025:
7921:
7855:
7789:
7723:
7609:
7543:
7477:
7411:
7165:
7106:
6977:
6582:
6243:
5934:
5736:
5500:
5298:
4792:
4617:
4468:
4388:
4243:
4103:
3980:{\displaystyle t={\tfrac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}}
3909:
3725:
3566:
3442:
3229:
2986:
2829:
2799:
2772:
2656:
2541:
2441:
2200:
2166:
2106:
2048:
1995:
1942:
1912:
1885:
1839:
1793:
1764:
1718:
1672:
1636:
1615:{\displaystyle q'''_{n-1}(x_{n-1})=q'''_{n}(x_{n-1})}
1532:
1454:
1413:
1340:
1267:
1176:
892:
863:
838:
818:
789:
764:
739:
654:
616:
563:
517:
497:
453:
407:
349:
307:
261:
215:
189:
2743:{\displaystyle b=-k_{2}(x_{2}-x_{1})+(y_{2}-y_{1}).}
2510:{\displaystyle t(x)={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}},}
9291:
Numerical
Recipes in C, Go to Chapter 3 Section 3-3
2625:{\displaystyle a=k_{1}(x_{2}-x_{1})-(y_{2}-y_{1}),}
1444:
In addition to the three main conditions above, a '
1257:
In addition to the three main conditions above, a '
511:polynomials, with the first polynomial starting at
9027:
8991:
8952:
8838:
8724:
8607:
8476:
8384:
8298:
8194:
8010:
7906:
7840:
7774:
7708:
7594:
7528:
7462:
7391:
7145:
7076:
6960:
6567:
6130:
5902:
5714:
5485:
5182:
4665:
4585:
4436:
4345:
4211:
3979:
3871:
3658:
3534:
3329:
3197:
2964:
2812:
2785:
2742:
2624:
2509:
2406:
2181:
2149:
2091:
2033:
1980:
1925:
1898:
1871:
1825:
1779:
1750:
1704:
1658:
1614:
1518:
1433:
1399:
1326:
1246:
1148:
874:
849:
824:
804:
775:
750:
722:
637:
595:
549:
503:
483:
439:
393:
335:
293:
247:
201:
2396:
2334:
7907:{\displaystyle a_{33}={\frac {2}{x_{2}-x_{1}}},}
7841:{\displaystyle a_{32}={\frac {1}{x_{2}-x_{1}}},}
7775:{\displaystyle a_{23}={\frac {1}{x_{2}-x_{1}}},}
7595:{\displaystyle a_{21}={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}},}
7529:{\displaystyle a_{12}={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}},}
7463:{\displaystyle a_{11}={\frac {2}{x_{1}-x_{0}}},}
1626:Algorithm to find the interpolating cubic spline
1441:is the derivative of the interpolated function.
4781:) follows that this is the case if and only if
1519:{\displaystyle q'''_{1}(x_{1})=q'''_{2}(x_{1})}
1247:{\displaystyle q''_{1}(x_{0})=q''_{n}(x_{n})=0}
1166:In addition to the three conditions above, a '
3861:
3811:
2366:
2341:
2327:
2302:
2243:
2218:
8:
9130:Hall, Charles A.; Meyer, Weston W. (1976).
115:where the interpolant is a special type of
6179:linear equations that uniquely define the
9236:
9209:
9163:Burden, Richard; Faires, Douglas (2015).
9147:
9010:
9004:
8974:
8968:
8932:
8919:
8900:
8887:
8874:
8858:
8852:
8815:
8802:
8783:
8770:
8757:
8744:
8738:
8701:
8688:
8669:
8656:
8643:
8627:
8621:
8584:
8571:
8552:
8539:
8526:
8513:
8507:
8459:
8434:
8409:
8403:
8385:{\displaystyle (-1,0.5),\ (0,0),\ (3,3),}
8317:
8284:
8274:
8261:
8246:
8233:
8226:
8214:
8208:
8176:
8166:
8153:
8145:
8137:
8124:
8117:
8106:
8096:
8083:
8075:
8067:
8054:
8047:
8030:
8024:
7996:
7986:
7973:
7958:
7945:
7938:
7926:
7920:
7892:
7879:
7869:
7860:
7854:
7826:
7813:
7803:
7794:
7788:
7760:
7747:
7737:
7728:
7722:
7689:
7676:
7666:
7654:
7641:
7631:
7614:
7608:
7580:
7567:
7557:
7548:
7542:
7514:
7501:
7491:
7482:
7476:
7448:
7435:
7425:
7416:
7410:
7375:
7361:
7347:
7335:
7318:
7304:
7290:
7278:
7264:
7252:
7233:
7221:
7209:
7190:
7178:
7166:
7164:
7137:
7124:
7111:
7105:
7062:
7049:
7036:
7011:
6998:
6985:
6976:
6941:
6936:
6921:
6911:
6899:
6888:
6867:
6857:
6840:
6827:
6822:
6809:
6794:
6776:
6771:
6758:
6746:
6735:
6722:
6702:
6689:
6678:
6665:
6647:
6631:
6609:
6587:
6581:
6548:
6543:
6528:
6518:
6506:
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269:
260:
236:
223:
214:
188:
87:Learn how and when to remove this message
783:are the first and second derivatives of
50:This article includes a list of general
30:For broader coverage of this topic, see
9122:
7100:In case of three points the values for
5276:, "natural splines" in addition to the
3991:third-degree polynomials interpolating
2189:can be written in the symmetrical form
1400:{\displaystyle q'_{n}(x_{n})=f'(x_{n})}
1327:{\displaystyle q'_{1}(x_{0})=f'(x_{0})}
686:
1933:at its endpoints. Or, more precisely,
343:between each successive pair of knots
7:
5925:
5727:
4783:
4666:{\displaystyle k_{n}=q_{n}'(x_{n}).}
4608:
4459:
4437:{\displaystyle k_{0}=q_{1}'(x_{0}),}
4379:
4234:
4094:
3716:
3557:
3433:
3220:
2977:
2647:
2532:
2432:
2191:
557:, and the last polynomial ending at
9276:Dynamic cubic splines with JSXGraph
5272:should be a continuous function of
301:. There will be a cubic polynomial
7155:tridiagonal linear equation system
7029:
6978:
6929:
6914:
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6860:
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6479:
6434:
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6359:
6314:
447:connecting to both of them, where
56:it lacks sufficient corresponding
25:
7146:{\displaystyle k_{0},k_{1},k_{2}}
394:{\displaystyle (x_{i-1},y_{i-1})}
9225:Quarterly of Applied Mathematics
9198:Quarterly of Applied Mathematics
3391:) that indeed first derivatives
2150:{\displaystyle q'(x_{2})=k_{2}.}
2092:{\displaystyle q'(x_{1})=k_{1},}
1630:We wish to find each polynomial
41:
9136:Journal of Approximation Theory
5214: − 1. The relations (
4552:
2034:{\displaystyle q(x_{2})=y_{2},}
1981:{\displaystyle q(x_{1})=y_{1},}
1124:
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3464:
3451:
3431:, and also second derivatives
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1959:
1946:
1879:. This piece will have slopes
1866:
1840:
1820:
1794:
1787:, which will interpolate from
1774:
1768:
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242:
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1:
9219:Schoenberg, Isaac J. (1946).
9192:Schoenberg, Isaac J. (1946).
9081:Non-uniform rational B-spline
9071:Discrete spline interpolation
1872:{\displaystyle (x_{2},y_{2})}
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1751:{\displaystyle (x_{n},y_{n})}
1705:{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
596:{\displaystyle (x_{n},y_{n})}
550:{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
440:{\displaystyle (x_{i},y_{i})}
294:{\displaystyle (x_{n},y_{n})}
248:{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
9149:10.1016/0021-9045(76)90040-X
9076:Monotone cubic interpolation
8495:
8489:
6168:
6162:
6156:
5285:
5216:
4777:
4771:
9264:Encyclopedia of Mathematics
9037:
4765:
4759:
4712:is such that, in addition,
3387:
3381:
3375:
3373:respectively in equations (
9352:
9086:Multivariate interpolation
1448:' has the conditions that
1261:' has the conditions that
336:{\displaystyle q_{i}(x)=y}
172:. These were used to make
29:
7153:are found by solving the
5227:linear equations for the
4068: − 1, then the
1170:' has the condition that
9091:Polynomial interpolation
9028:{\displaystyle q_{2}(x)}
8992:{\displaystyle q_{1}(x)}
1659:{\displaystyle q_{i}(x)}
128:polynomial interpolation
9296:A note on cubic splines
71:more precise citations.
9259:"Spline interpolation"
9056:Circular interpolation
9029:
8993:
8954:
8840:
8726:
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638:{\displaystyle y=y(x)}
597:
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295:
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9331:Splines (mathematics)
9030:
8994:
8955:
8841:
8727:
8610:
8479:
8387:
8309:For the three points
8301:
8197:
8013:
7909:
7843:
7777:
7711:
7597:
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3661:
3537:
3332:
3200:
2975:It then follows that
2967:
2815:
2813:{\displaystyle k_{2}}
2788:
2786:{\displaystyle k_{1}}
2745:
2627:
2512:
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2152:
2094:
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1928:
1926:{\displaystyle k_{2}}
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1899:{\displaystyle k_{1}}
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1617:
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1780:{\displaystyle q(x)}
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1259:clamped cubic spline
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1168:natural cubic spline
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787:
762:
737:
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614:
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