1718:
3946:
1707:
20:
5483:
7863:
7196:
6182:
7875:
6792:
1305:
5369:
7901:
system the teeth of two meshing gears contact at a single instantaneous point that follows along a single straight line of action. The forces exerted the contacting teeth exert on each other also follow this line, and are normal to the teeth. The involute gear system maintaining these conditions
5125:
4528:
4969:
4771:
1034:
437:
2732:
There are generically two types of cusps in involutes. The first type is at the point where the involute touches the curve itself. This is a cusp of order 3/2. The second type is at the point where the curve has an inflection point. This is a cusp of order 5/2.
1702:{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}}
6705:
5913:
5159:
3623:
4217:
780:
3828:
2212:
6549:
7909:
With teeth of other shapes, the relative speeds and forces rise and fall as successive teeth engage, resulting in vibration, noise, and excessive wear. For this reason, nearly all modern planar gear systems are either involute or the related
4974:
4342:
4802:
4560:
3281:
7537:
2060:
2900:
2623:
1158:
6283:
2421:
1888:
8182:
5468:
7105:
2721:. Consequently, one may construct involutes graphically. First, draw the family of tangent lines. Then, an involute can be constructed by always staying orthogonal to the tangent line passing the point.
7445:
3931:
6434:
5632:
2784:
610:
7364:
6771:
3471:
838:
241:
6602:
5742:
3679:
3476:
1310:
7281:
6910:
3674:
7036:
6355:
1297:
6597:
2332:
1807:
6971:
6176:
5737:
5691:
4291:
7175:
174:
7770:
8175:
7707:
6185:
Involutes of a semicubic parabola (blue). Only the red curve is a parabola. Notice how the involutes and tangents make up an orthogonal coordinate system. This is a general fact.
5550:
4074:
2666:
234:
6589:
6122:
3426:
3379:
3351:
2711:
2470:
2264:
827:
3455:
3136:
3107:
3078:
7644:
7593:
6439:
2508:
498:
3049:
6843:
3020:
2950:
3141:
1941:
8168:
5364:{\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}}
4017:
3980:
2970:
1908:
5972:
5726:
7839:
7812:
6024:
4555:
1185:
1069:
639:
6083:
6050:
5998:
5154:
4797:
4317:
4243:
4069:
4043:
3649:
5943:
4337:
3669:
3301:
1746:
1209:
632:
534:
2789:
2067:
5120:{\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}
4523:{\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}}
3460:
Generically, the surface has vertical tangent planes at only two cases: where the surface touches the curve, and where the curve has an inflection point.
7918:
4964:{\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0}
7456:
4766:{\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}}
634:
is the starting point from where the arc length is measured. Since the tangent vector depicts the taut string here, we get the string vector as
6200:
3982:. The cusps of order 3/2 are on the cubic curve, while the cusps of order 5/2 are on the x-axis (the tangent line at the inflection point).
1949:
2520:
1074:
5374:
8073:
8065:
Huygens and Barrow, Newton and Hooke : pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals
8046:
8013:
7045:
5156:, we obtain the involute passing the origin. It is special as it contains no cusp. By serial expansion, it has parametric equation
2341:
3833:
1812:
8192:
7933:
can be built based on this shape. Scroll compressors make less sound than conventional compressors and have proven to be quite
8350:
8105:
1029:{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}
432:{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}
7372:
2739:
6717:
6360:
7862:
81:(1673), where he showed that the involute of a cycloid is still a cycloid, thus providing a method for constructing the
7206:
5555:
540:
7290:
6700:{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}
7874:
8355:
1221:
5945:
term is optional; it serves to set the start location of the curve on the circle. The figure shows involutes for
5908:{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}}
1191:
having some length of thread already hanging before it is unwound). Hence, the involute can be varied by constant
7941:
68:
family of curves. That is, the involutes of a curve are the roulettes of the curve generated by a straight line.
7903:
6915:
6848:
6130:
3023:
77:
28:
6976:
6292:
3618:{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}}
1717:
4248:
8320:
7119:
4212:{\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})}
2273:
1751:
181:
102:
8329:
7953:
7716:
2718:
7944:
uses involute-shaped fuel elements, since these allow a constant-width channel between them for coolant.
7656:
5493:
54:
of a point on a piece of taut string as the string is either unwrapped from or wrapped around the curve.
8267:
7934:
5637:
3823:{\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}}
187:
6554:
6088:
3384:
3356:
3309:
2671:
2430:
2224:
787:
6544:{\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}
3431:
3112:
3083:
3054:
8257:
7963:
6286:
3934:
7599:
7548:
5168:
4569:
4351:
2628:
8131:
8038:
6195:
5919:
2475:
465:
51:
7917:
4773:
which is a cusp of order 5/2. Explicitly, one may solve for the polynomial expansion satisfied by
3032:
6810:
6053:
2975:
2905:
459:
82:
72:
8135:
8005:
7999:
3022:. This maps the 2D plane into a surface in 3D space. For example, this maps the circle into the
1917:
85:, which has the useful property that its period is independent of the amplitude of oscillation.
78:
Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricae
8101:
8079:
8069:
8042:
8009:
7978:
7930:
3989:
3952:
2955:
1893:
775:{\displaystyle {\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}
8305:
8296:
8030:
7973:
5948:
5696:
3945:
65:
7817:
7790:
6003:
4533:
1163:
1047:
8277:
8243:
8200:
8160:
6781:
830:
8031:
7906:: the ratio of angular velocities between the two gears must remain constant throughout.
6062:
6029:
5977:
5133:
4776:
4296:
4222:
4048:
4022:
3628:
2207:{\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;}
8228:
7926:
7911:
6785:
5928:
4322:
3654:
3286:
2514:
1731:
1194:
617:
8130:
V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth",
507:
8344:
8262:
8223:
7968:
7898:
2717:
The family of involutes and the family of tangents to the original curve makes up an
1748:
to be the parameter of the given curve, which lead to the following simplifications:
177:
504:
traversed as it winds or unwinds. Arc length of the curve traversed in the interval
7187:
The other involutes are not tractrices, as they are parallel curves of a tractrix.
3276:{\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})}
1725:
In order to derive properties of a regular curve it is advantageous to suppose the
8252:
3428:
is vertical (parallel to the z-axis), which can only occur where the surface in
35:
19:
7532:{\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}
8218:
8098:
Vektoranalysis: Höhere
Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ...
5482:
1726:
501:
94:
8151:
8286:
8155:
8083:
6784:
of a parabola, and are not parabolas, as they are curves of degree six (See
3468:
For the first type, one can start by the involute of a circle, with equation
1911:
50:
that is dependent on another shape or curve. An involute of a curve is the
7195:
6181:
8063:
7181:
6805:
6774:
2895:{\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)}
8310:
8233:
8208:
7958:
7784:
7284:
6278:{\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})}
58:
71:
The notions of the involute and evolute of a curve were introduced by
3029:
By this map, the involutes are obtained in a three-step process: map
2055:{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\ }
7199:
Involutes of a cycloid (blue): Only the red curve is another cycloid
6791:
2618:{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)}
1153:{\displaystyle {\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}}
6790:
5481:
3944:
1716:
47:
18:
7894:
7841:. Between involutes and evolutes the following statement holds:
1188:
8164:
5463:{\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}
3381:, cusps of the involute can only occur where the derivative of
5731:
Evaluating the above given equation of the involute, one gets
16:
Curve traced by a string as it is unwrapped from another curve
7649:
which describe the shifted red cycloid of the diagram. Hence
1160:
results in an involute corresponding to a string extended by
8119:
Vorlesungen über
Differential- und Integralrechnung, 1. Band
7100:{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}
2416:{\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;}
7366:, one gets (after having used some trigonometric formulas)
5357:
4759:
4516:
3926:{\displaystyle Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0}
1883:{\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;}
6591:
extensively simplifies further calculation, and one gets
1721:
Involute: properties. The angles depicted are 90 degrees.
784:
The vector corresponding to the end point of the string (
7925:
The involute of a circle is also an important shape in
7542:
Hence the equations of the corresponding involute are
7440:{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}
7049:
6254:
6232:
2779:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}
1212:
447:
7820:
7793:
7719:
7659:
7602:
7551:
7459:
7375:
7293:
7209:
7122:
7048:
6979:
6918:
6851:
6813:
6766:{\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}
6720:
6600:
6557:
6442:
6363:
6295:
6203:
6133:
6091:
6065:
6032:
6006:
5980:
5951:
5931:
5740:
5699:
5640:
5558:
5496:
5377:
5162:
5136:
4977:
4805:
4779:
4563:
4536:
4345:
4325:
4299:
4251:
4225:
4077:
4051:
4025:
3992:
3955:
3836:
3677:
3657:
3631:
3474:
3434:
3387:
3359:
3312:
3289:
3144:
3115:
3086:
3057:
3035:
2978:
2958:
2908:
2792:
2742:
2674:
2631:
2523:
2478:
2433:
2344:
2276:
2227:
2070:
1952:
1920:
1896:
1815:
1754:
1734:
1308:
1224:
1197:
1166:
1077:
1050:
841:
790:
642:
620:
543:
510:
468:
244:
190:
105:
6795:
The red involute of a catenary (blue) is a tractrix.
236:, then the curve with the parametric representation
8319:
8295:
8276:
8242:
8199:
6429:{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}
2952:is the arclength parametrization of the curve, and
7833:
7806:
7764:
7701:
7638:
7587:
7531:
7439:
7358:
7275:
7169:
7099:
7030:
6965:
6904:
6837:
6765:
6699:
6583:
6543:
6428:
6349:
6277:
6170:
6116:
6077:
6044:
6018:
5992:
5966:
5937:
5907:
5720:
5685:
5626:
5544:
5462:
5363:
5148:
5119:
4963:
4791:
4765:
4549:
4522:
4331:
4311:
4285:
4237:
4211:
4063:
4037:
4011:
3974:
3925:
3822:
3663:
3643:
3617:
3449:
3420:
3373:
3345:
3295:
3275:
3130:
3101:
3072:
3043:
3014:
2964:
2944:
2894:
2778:
2705:
2660:
2617:
2502:
2464:
2415:
2326:
2258:
2206:
2054:
1935:
1902:
1882:
1801:
1740:
1701:
1291:
1203:
1179:
1152:
1063:
1028:
821:
774:
626:
604:
528:
500:. Its length is changed by an amount equal to the
492:
431:
228:
168:
7775:(Parallel curves of a cycloid are not cycloids.)
7276:{\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}
5627:{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}
1145:
1080:
605:{\displaystyle \int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}
7359:{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}
2736:This can be visually seen by constructing a map
7846:A curve is the evolute of any of its involutes.
8176:
2972:is the slope-angle of the curve at the point
1292:{\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}
8:
5490:For a circle with parametric representation
1943:the unit normal. One gets for the involute:
1211:and/or adding a number to the integral (see
7868:Tractrix (red) as an involute of a catenary
2472:is the tangent of the given curve at point
8183:
8169:
8161:
6966:{\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}
6905:{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}
6171:{\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}
3949:Tangents and involutes of the cubic curve
2412:
2345:
2203:
1879:
1816:
1798:
1755:
1691:
1136:
1019:
967:
765:
713:
595:
422:
370:
130:
7825:
7819:
7798:
7792:
7718:
7658:
7601:
7550:
7516:
7494:
7484:
7469:
7464:
7458:
7424:
7407:
7383:
7382:
7376:
7374:
7296:
7295:
7292:
7211:
7210:
7208:
7147:
7121:
7074:
7059:
7054:
7047:
7011:
6987:
6986:
6980:
6978:
6948:
6929:
6917:
6854:
6853:
6850:
6812:
6750:
6741:
6727:
6719:
6680:
6666:
6660:
6627:
6601:
6599:
6571:
6562:
6556:
6531:
6522:
6508:
6502:
6491:
6481:
6467:
6461:
6452:
6447:
6441:
6412:
6406:
6395:
6371:
6370:
6364:
6362:
6332:
6298:
6297:
6294:
6260:
6253:
6238:
6231:
6205:
6204:
6202:
6159:
6154:
6140:
6132:
6108:
6090:
6064:
6031:
6005:
5979:
5950:
5930:
5741:
5739:
5698:
5672:
5648:
5647:
5641:
5639:
5561:
5560:
5557:
5495:
5451:
5428:
5424:
5407:
5403:
5387:
5376:
5345:
5326:
5312:
5303:
5289:
5280:
5242:
5223:
5209:
5200:
5186:
5163:
5161:
5135:
5094:
5075:
5056:
5036:
5020:
4996:
4990:
4976:
4946:
4927:
4908:
4897:
4882:
4866:
4851:
4830:
4824:
4804:
4778:
4747:
4728:
4712:
4674:
4655:
4638:
4622:
4610:
4593:
4564:
4562:
4541:
4535:
4489:
4475:
4451:
4404:
4390:
4346:
4344:
4324:
4298:
4274:
4250:
4224:
4200:
4181:
4167:
4158:
4144:
4121:
4111:
4093:
4087:
4082:
4076:
4050:
4024:
4003:
3991:
3966:
3954:
3904:
3900:
3881:
3850:
3841:
3835:
3807:
3786:
3780:
3741:
3720:
3714:
3678:
3676:
3656:
3630:
3475:
3473:
3441:
3437:
3436:
3433:
3386:
3367:
3366:
3358:
3311:
3288:
3264:
3230:
3143:
3122:
3118:
3117:
3114:
3093:
3089:
3088:
3085:
3064:
3060:
3059:
3056:
3037:
3036:
3034:
2977:
2957:
2907:
2791:
2770:
2766:
2765:
2755:
2751:
2750:
2741:
2688:
2677:
2676:
2673:
2634:
2633:
2630:
2591:
2590:
2568:
2557:
2556:
2537:
2526:
2525:
2522:
2480:
2479:
2477:
2447:
2436:
2435:
2432:
2382:
2381:
2359:
2348:
2347:
2343:
2313:
2295:
2284:
2283:
2277:
2275:
2241:
2230:
2229:
2226:
2168:
2167:
2110:
2109:
2084:
2073:
2072:
2069:
2010:
2009:
1985:
1984:
1966:
1955:
1954:
1951:
1922:
1921:
1919:
1895:
1859:
1858:
1819:
1818:
1814:
1787:
1763:
1762:
1756:
1753:
1733:
1684:
1676:
1649:
1629:
1623:
1618:
1605:
1578:
1538:
1493:
1485:
1458:
1438:
1432:
1427:
1414:
1387:
1347:
1309:
1307:
1283:
1226:
1225:
1223:
1196:
1171:
1165:
1144:
1143:
1131:
1107:
1106:
1100:
1094:
1089:
1079:
1078:
1076:
1055:
1049:
1014:
990:
989:
983:
977:
972:
959:
935:
934:
928:
902:
901:
897:
874:
873:
855:
844:
843:
840:
804:
793:
792:
789:
760:
736:
735:
729:
723:
718:
705:
681:
680:
674:
648:
647:
643:
641:
619:
590:
566:
565:
559:
553:
548:
542:
509:
470:
469:
467:
417:
393:
392:
386:
380:
375:
362:
338:
337:
331:
305:
304:
300:
277:
276:
258:
247:
246:
243:
217:
204:
189:
157:
144:
107:
106:
104:
8033:Geometry from a Differentiable Viewpoint
7916:
7194:
7031:{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}
6350:{\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}
6180:
3986:For the second type, consider the curve
8096:K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister:
8037:. Cambridge University Press. pp.
7990:
7897:teeth are involutes of a circle. In an
7880:The evolute of a tractrix is a catenary
7858:
4286:{\displaystyle \theta =\arctan(3s^{2})}
7170:{\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}
6786:Parallel curve § Further examples
6052:(light blue). The involutes look like
2327:{\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0}
1802:{\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\;}
61:of an involute is the original curve.
7814:consists of the curvature centers of
7038:. Thus the arc length from the point
1044:Adding an arbitrary but fixed number
169:{\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in }
7:
7765:{\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}
5127:which clearly shows the cusp shape.
2427:The normal of the involute at point
7893:The most common profiles of modern
7702:{\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}
5545:{\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}
4293:. Thus, the involute starting from
7709:are parallel curves of the cycloid
5686:{\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}
229:{\displaystyle a\in (t_{1},t_{2})}
14:
7109:Hence the involute starting from
6584:{\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}
6190:Involutes of a semicubic parabola
6117:{\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}
3421:{\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}
3374:{\displaystyle s\in \mathbb {R} }
3346:{\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}
2706:{\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)}
2465:{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)}
2259:{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)}
1213:Involutes of a semicubic parabola
829:) can be easily calculated using
822:{\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)}
89:Involute of a parameterized curve
23:Two involutes (red) of a parabola
8121:, Springer-Verlag, 1955, S. 267.
7921:Mechanism of a scroll compressor
7873:
7861:
6773:showing that this involute is a
3830:thus giving the order 3/2 curve
3450:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
3131:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
3102:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
3073:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
5922:of the involute of the circle.
5107:
5106:
8253:Pedal & Contrapedal curves
7756:
7720:
7696:
7660:
7639:{\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}
7612:
7606:
7588:{\displaystyle X(t)=t+\sin t,}
7561:
7555:
7408:
7404:
7398:
7388:
7377:
7353:
7323:
7317:
7311:
7301:
7270:
7234:
7228:
7222:
7216:
7203:The parametric representation
7161:
7123:
7012:
7008:
7002:
6992:
6981:
6899:
6881:
6875:
6869:
6859:
6832:
6814:
6650:
6644:
6614:
6608:
6396:
6392:
6386:
6376:
6365:
6344:
6325:
6319:
6313:
6303:
6272:
6228:
6222:
6216:
6210:
5898:
5895:
5883:
5868:
5856:
5847:
5834:
5828:
5818:
5815:
5803:
5788:
5776:
5767:
5754:
5748:
5715:
5703:
5673:
5669:
5663:
5653:
5642:
5621:
5588:
5582:
5576:
5566:
5539:
5536:
5530:
5515:
5509:
5497:
5457:
5444:
5351:
5338:
5264:
5258:
5248:
5235:
5180:
5174:
5100:
5087:
4952:
4939:
4753:
4740:
4696:
4690:
4680:
4667:
4648:
4619:
4581:
4575:
4501:
4460:
4441:
4435:
4416:
4375:
4363:
4357:
4280:
4264:
4206:
4193:
4118:
4101:
3914:
3893:
3878:
3865:
3813:
3800:
3763:
3757:
3747:
3734:
3691:
3685:
3608:
3596:
3584:
3569:
3556:
3550:
3540:
3528:
3516:
3501:
3488:
3482:
3457:has a vertical tangent plane.
3415:
3397:
3391:
3353:has nonzero derivative at all
3340:
3322:
3316:
3270:
3261:
3242:
3227:
3208:
3202:
3199:
3196:
3178:
3172:
3169:
3151:
3148:
3009:
3006:
3000:
2991:
2985:
2979:
2939:
2936:
2930:
2921:
2915:
2909:
2889:
2880:
2874:
2859:
2853:
2844:
2838:
2823:
2817:
2811:
2808:
2805:
2793:
2761:
2700:
2694:
2682:
2661:{\displaystyle {\vec {c}}'(s)}
2655:
2649:
2639:
2612:
2606:
2596:
2580:
2574:
2562:
2549:
2543:
2531:
2497:
2491:
2485:
2459:
2453:
2441:
2403:
2397:
2387:
2374:
2368:
2353:
2314:
2310:
2304:
2289:
2278:
2253:
2247:
2235:
2200:
2188:
2185:
2179:
2173:
2164:
2158:
2146:
2134:
2131:
2125:
2115:
2099:
2093:
2078:
2046:
2034:
2031:
2025:
2015:
2002:
1996:
1990:
1978:
1972:
1960:
1927:
1876:
1870:
1864:
1855:
1849:
1840:
1834:
1824:
1788:
1784:
1778:
1768:
1757:
1673:
1666:
1646:
1639:
1602:
1595:
1575:
1568:
1555:
1549:
1532:
1526:
1513:
1507:
1482:
1475:
1455:
1448:
1411:
1404:
1384:
1377:
1364:
1358:
1341:
1335:
1322:
1316:
1280:
1276:
1270:
1261:
1255:
1249:
1243:
1237:
1231:
1132:
1128:
1122:
1112:
1101:
1015:
1011:
1005:
995:
984:
960:
956:
950:
940:
929:
923:
917:
907:
891:
885:
879:
867:
861:
849:
816:
810:
798:
761:
757:
751:
741:
730:
706:
702:
696:
686:
675:
669:
663:
653:
591:
587:
581:
571:
560:
523:
511:
487:
481:
475:
418:
414:
408:
398:
387:
363:
359:
353:
343:
332:
326:
320:
310:
294:
288:
282:
270:
264:
252:
223:
197:
163:
137:
124:
118:
112:
1:
7653:The involutes of the cycloid
6780:The other involutes are thus
6056:, but they are actually not.
2503:{\displaystyle {\vec {c}}(s)}
493:{\displaystyle {\vec {c}}(t)}
8068:. Basel: Birkhaüser Verlag.
3044:{\displaystyle \mathbb {R} }
2719:orthogonal coordinate system
8191:Differential transforms of
6838:{\displaystyle (t,\cosh t)}
6551:. Extending the string by
3015:{\displaystyle (x(s),y(s))}
2945:{\displaystyle (x(s),y(s))}
8372:
7904:fundamental law of gearing
3109:, then project it down to
2729:This section is based on.
1936:{\displaystyle {\vec {n}}}
92:
46:) is a particular type of
26:
7942:High Flux Isotope Reactor
5693:, and the path length is
3080:, then to the surface in
64:It is generalized by the
8138:(subscription required).
8100:, Springer-Verlag, 2012,
6845:, the tangent vector is
3138:by removing the z-axis:
3024:hyperboloid of one sheet
29:involution (mathematics)
27:Not to be confused with
8062:Arnolʹd, V. I. (1990).
8029:McCleary, John (2013).
6800:Involutes of a catenary
4012:{\displaystyle y=x^{3}}
3975:{\displaystyle y=x^{3}}
3651:, and expand for small
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