Knowledge (XXG)

1429: 4381: 807: 3829: 1424:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}} 3021: 4376:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}} 2589: 6461: 6051: 2390: 3016:{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}} 5420: 33: 5011: 41: 6059: 5630: 2066: 7836: 5019: 8343: 8301: 8259: 8215: 8173: 8131: 4637: 6456:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}} 6046:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} 272: 2385:{\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}} 7612: 5415:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} 6710: 5006:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}} 2053: 7410: 3186: 5622: 7831:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}} 3461: 2576: 6469: 3816: 6902: 1857: 3577: 7254: 3688: 3034: 8117: 5428: 1558: 8074: 1675: 92:. There are six main ones: inverse hyperbolic sine, inverse hyperbolic cosine, inverse hyperbolic tangent, inverse hyperbolic cosecant, inverse hyperbolic secant, and inverse hyperbolic cotangent. They are commonly denoted by the symbols for the hyperbolic functions, prefixed with 4621: 3286: 1849: 1762: 6705:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} 2398: 7933: 7100: 7939: 3696: 3273: 6951:. For specifying the branch, that is, defining which value of the multivalued function is considered at each point, one generally defines it at a particular point, and deduces the value everywhere in the domain of definition of the principal value by 2048:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}} 6721: 6962:. This defines a single valued analytic function, which is defined everywhere, except for non-positive real values of the variables (where the two square roots have a zero real part). This principal value of the square root function is denoted 3469: 7211: 7405:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}} 812: 3181:{\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)} 3585: 7086: 5617:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}} 1457: 7977: 1566: 4496: 8933: 3456:{\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)} 2571:{\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)} 4488: 1770: 1683: 7617: 7259: 6474: 6064: 5635: 5433: 5024: 4642: 3834: 2594: 2071: 1862: 7852: 6997: 8377: 8335: 8293: 8249: 8207: 8165: 3811:{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|} 7546: 7480: 375: 334: 3194: 6994: 8926: 6897:{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}} 4416: 3572:{\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)} 694: 496: 650: 538: 174: 6984: 611: 8415: 7604: 578: 7451: 7138: 791: 7526: 8919: 3683:{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)} 7566: 7500: 7126: 448: 7019: 7415: 6931:, which is a single valued analytic function which coincides with one specific branch of the multivalued function, over a domain consisting of the 1553:{\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)} 8069:{\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).} 580: 9002: 9028: 8694: 1670:{\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)} 8444: 4616:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.} 8773: 8609: 8589: 8461: 1844:{\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)} 1757:{\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)} 8685: 8966: 6916: 89: 4421: 8703: 8637: 8405: 7971: 8904: 7928:{\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)} 8899: 7232: 737: 8894: 32: 8751: 6955:. When possible, it is better to define the principal value directly—without referring to analytic continuation. 8350: 8308: 8266: 8222: 8180: 8138: 8820: 8580: 7531: 7465: 3268:{\displaystyle \ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)} 339: 8954: 8756: 7001: 281: 40: 541: 430: 418: 248: 7452: 6958: 6952: 1443: 236: 220: 240: 232: 68: 8971: 6920: 4389: 757: 658: 85: 459: 103: 616: 501: 216: 133: 8747: 8689: 8597: 8494: 6965: 583: 260: 8540: 7571: 7206:{\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.} 546: 8769: 8699: 8633: 8605: 8585: 8556: 8457: 8440: 8400: 6924: 798: 794: 761: 438: 189: 7444: 767: 8872: 8761: 8521: 8486: 7946: 7505: 4386: 442: 434: 104: 81: 17: 8384: 8959: 8809: 8658:, etc., is a practice to be condemned as these functions have nothing whatever to do with 8385: 8085: 7002: 6928: 703: 201: 181: 8911: 8880: 8738: 7551: 7485: 7081:{\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.} 6991: 6936: 1435: 426: 276: 271: 256: 228: 128: 9022: 8849: 6932: 6927:, except at a finite number of points. For such a function, it is common to define a 252: 8477: 8625: 8525: 8490: 6944: 8825: 445:(argument to the hyperbolic functions) is indeed the length of a hyperbolic arc. 8410: 1439: 727: 197: 73: 8816: 8765: 8342: 8300: 8258: 8214: 8172: 8130: 8119: 7950: 6948: 124: 8742: 8692:; Schwarz, Hans Rudolf (2004). "§ 0.2.13 The inverse hyperbolic functions". 6959: 6940: 8841: 6986: 8997: 224: 215: 8109:, there is a singular point that is included in one of the branch cuts. 204:. Alternately hyperbolic angle is the area of a sector of the hyperbola 8992: 8498: 244: 7949: 7216: 56: 8754:; Musiol, Gerhard; Heiner, Mühlig (2007). "§ 2.10: Area Functions". 8454: 9007: 8698:. Translated by Hunt, Bruce. Oxford University Press. p. 68. 270: 193: 39: 31: 8784: 7963:, there is a singular point that is included in the branch cut.) 8842:"Identities with inverse hyperbolic and trigonometric functions" 7240: 185: 8915: 8118: 7013: 7092: 7091: 1438: 200: 389: 7421: 4631: 2582: 726:) should be preferred. Following this recommendation, the 381: 8710: 4483:{\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},} 8745: 7132:. Thus the square root has to be factorized, leading to 3027: 208:= 1. Some authors call the inverse hyperbolic functions 8512: 7245: 7122: 6998: 6990: 7781: 7734: 7677: 7637: 4424: 2363: 2217: 2128: 8353: 8311: 8269: 8225: 8183: 8141: 7980: 7953:, consisting of the interval of the imaginary line. 7855: 7615: 7574: 7554: 7534: 7508: 7488: 7468: 7257: 7141: 7022: 6968: 6724: 6472: 6062: 5633: 5431: 5022: 4640: 4499: 4392: 3832: 3699: 3588: 3472: 3289: 3197: 3037: 2592: 2401: 2069: 1860: 1773: 1686: 1569: 1460: 810: 770: 661: 619: 586: 549: 504: 462: 342: 284: 136: 8666: 8985: 8947: 8371: 8329: 8287: 8243: 8201: 8159: 8068: 7927: 7842:Principal value of the inverse hyperbolic cosecant 7830: 7598: 7560: 7540: 7520: 7494: 7474: 7404: 7205: 7080: 6978: 6896: 6704: 6455: 6045: 5616: 5414: 5005: 4615: 4482: 4410: 4375: 3810: 3682: 3571: 3455: 3267: 3180: 3015: 2570: 2384: 2047: 1843: 1756: 1669: 1552: 1423: 785: 688: 644: 605: 572: 532: 490: 369: 328: 219:. They also occur in the solutions of many linear 168: 8416:List of integrals of inverse hyperbolic functions 7226:. If the argument of the logarithm is real, then 7967:Principal value of the inverse hyperbolic secant 7118:Principal value of the inverse hyperbolic cosine 698:Because the argument of hyperbolic functions is 8079:If the argument of a square root is real, then 6715:An asymptotic expansion for arsinh is given by 429:("Lorentzian circle") in the Lorentzian plane ( 7846:For arcsch, the principal value is defined as 7123: 7009:Principal value of the inverse hyperbolic sine 744:This article will consistently use the prefix 8927: 8737:, etc.; note that the quoted Latin names are 8: 8584:(2nd ed.). Cambridge University Press. 8091:is real and belongs to one of the intervals 7448:and for the inverse hyperbolic cotangent. 6947:) have been removed. These arcs are called 8934: 8920: 8912: 8877:Projective Geometry and Projective Metrics 8372:{\displaystyle \operatorname {arcsch} (z)} 8330:{\displaystyle \operatorname {arsech} (z)} 8288:{\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)} 8244:{\displaystyle \operatorname {artanh} (z)} 8202:{\displaystyle \operatorname {arcosh} (z)} 8160:{\displaystyle \operatorname {arsinh} (z)} 36:Graphs of the inverse hyperbolic functions 8456:. Vol. 1. Ediciones UC. p. 89. 8352: 8310: 8268: 8224: 8182: 8140: 8040: 8038: 8037: 8019: 8017: 8004: 7979: 7919: 7903: 7894: 7892: 7879: 7854: 7809: 7802: 7780: 7762: 7755: 7733: 7698: 7676: 7658: 7636: 7616: 7614: 7573: 7553: 7533: 7507: 7487: 7467: 7368: 7348: 7298: 7278: 7258: 7256: 7246:§ Definitions in terms of logarithms 7199: 7195: 7182: 7169: 7140: 7074: 7070: 7056: 7050: 7021: 6999:§ Definitions in terms of logarithms 6969: 6967: 6883: 6874: 6852: 6816: 6809: 6797: 6785: 6779: 6773: 6762: 6723: 6637: 6631: 6625: 6614: 6580: 6574: 6557: 6551: 6534: 6528: 6516: 6495: 6473: 6471: 6411: 6405: 6392: 6370: 6346: 6336: 6325: 6308: 6270: 6264: 6222: 6204: 6198: 6168: 6150: 6144: 6130: 6108: 6085: 6063: 6061: 5978: 5972: 5959: 5937: 5910: 5894: 5884: 5873: 5839: 5833: 5791: 5770: 5764: 5734: 5713: 5707: 5693: 5677: 5656: 5634: 5632: 5558: 5552: 5546: 5535: 5504: 5498: 5484: 5478: 5464: 5458: 5432: 5430: 5365: 5359: 5346: 5324: 5300: 5290: 5279: 5219: 5213: 5171: 5150: 5144: 5114: 5093: 5087: 5073: 5023: 5021: 4947: 4941: 4928: 4906: 4879: 4863: 4853: 4842: 4811: 4805: 4763: 4745: 4739: 4709: 4691: 4685: 4671: 4641: 4639: 4601: 4585: 4568: 4556: 4533: 4500: 4498: 4469: 4457: 4431: 4423: 4391: 4361: 4353: 4339: 4327: 4322: 4314: 4303: 4298: 4270: 4240: 4226: 4214: 4200: 4195: 4167: 4152: 4144: 4139: 4127: 4111: 4106: 4078: 4063: 4055: 4050: 4038: 4022: 4017: 3989: 3971: 3953: 3943: 3938: 3910: 3898: 3880: 3870: 3865: 3837: 3833: 3831: 3781: 3774: 3733: 3727: 3698: 3668: 3656: 3627: 3611: 3587: 3556: 3540: 3511: 3495: 3471: 3426: 3419: 3376: 3369: 3337: 3319: 3312: 3288: 3196: 3156: 3104: 3036: 2998: 2990: 2984: 2965: 2958: 2920: 2904: 2851: 2841: 2825: 2788: 2776: 2723: 2713: 2697: 2657: 2649: 2643: 2628: 2622: 2593: 2591: 2549: 2531: 2524: 2484: 2477: 2437: 2430: 2400: 2362: 2344: 2328: 2274: 2216: 2198: 2182: 2127: 2109: 2070: 2068: 2022: 2016: 2002: 1990: 1944: 1928: 1913: 1861: 1859: 1808: 1772: 1721: 1685: 1645: 1623: 1614: 1568: 1537: 1525: 1511: 1499: 1459: 1388: 1329: 1313: 1248: 1239: 1237: 1224: 1130: 1121: 1119: 1106: 1022: 1006: 943: 937: 854: 848: 811: 809: 769: 706:, some authors have condemned the prefix 660: 636: 618: 591: 585: 553: 548: 521: 503: 479: 461: 360: 356: 349: 341: 308: 289: 283: 154: 141: 135: 8437:Mathematics for Physicists and Engineers 8388:of the respective function at that point 8733:. Zeidler & al. use the notations 8426: 7541:{\displaystyle \operatorname {arcoth} } 7475:{\displaystyle \operatorname {artanh} } 7236:, which is thus the unique branch cut. 370:{\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)} 8942:Trigonometric and hyperbolic functions 8760:(5th ed.). Springer. p. 91. 8630:Mathematics: From the Birth of Numbers 730:standard abbreviations use the prefix 702:the length of a hyperbolic arc in the 180:the length of a hyperbolic arc in the 8435:Weltner, Klaus; et al. (2014) . 6911:Principal values in the complex plane 329:{\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1} 176:as measured in the Lorentzian plane ( 7: 1442:, and the natural logarithm are all 192:. This is analogous to how circular 6919:, inverse hyperbolic functions are 6759: 456:) means the inverse function while 8827:Differential and Integral Calculus 8695:Oxford Users' Guide to Mathematics 6774: 6626: 6337: 5885: 5547: 5291: 4854: 1411: 1360: 1172: 1156: 980: 894: 878: 752:Definitions in terms of logarithms 25: 797:and then written in terms of the 8341: 8299: 8257: 8213: 8171: 8129: 7124:§ Inverse hyperbolic cosine 8680:area cosinus hyperbolicus, etc. 7441:belongs to the real interval . 6917:functions of a complex variable 6680: 6433: 6021: 5592: 5390: 4981: 4411:{\displaystyle x=\sinh \theta } 2989: 2983: 2856: 2850: 2728: 2722: 2648: 2642: 2361: 2215: 2126: 734:: arsinh, arcosh, artanh, etc. 689:{\displaystyle \sinh(\sinh x).} 196:is the length of an arc of the 90:inverse trigonometric functions 8895:"Inverse hyperbolic functions" 8557:"Inverse hyperbolic functions" 8541:"Inverse Hyperbolic Functions" 8526:10.1080/07468342.1995.11973712 8491:10.1080/00029890.1984.11971490 8406:Hyperbolic secant distribution 8366: 8360: 8324: 8318: 8282: 8276: 8238: 8232: 8196: 8190: 8154: 8148: 7593: 7581: 7196: 7160: 7071: 7041: 6752: 6743: 6656: 6641: 6389: 6379: 6358: 6349: 5997: 5982: 5956: 5946: 5925: 5916: 5907: 5897: 5343: 5333: 5312: 5303: 5269: 5260: 5058: 5049: 4925: 4915: 4894: 4885: 4876: 4866: 4527: 4521: 4323: 4315: 4263: 4251: 4153: 4145: 4064: 4056: 2999: 2991: 2952: 2940: 2898: 2886: 2819: 2807: 2770: 2758: 2691: 2679: 2658: 2650: 2616: 2604: 2414: 2408: 2356: 2318: 2286: 2264: 2210: 2172: 2121: 2099: 1956: 1937: 1934: 1915: 1657: 1638: 1635: 1616: 680: 668: 633: 620: 518: 511: 491:{\displaystyle (\sinh x)^{-1}} 476: 463: 364: 343: 243:is important in many areas of 1: 9003:Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā 8632:. W. W. Norton. p. 539. 8479:American Mathematical Monthly 7222:belongs to the real interval 793:they may be solved using the 645:{\displaystyle (\sinh x)^{2}} 533:{\displaystyle \sinh(x)^{-1}} 169:{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 9029:Inverse hyperbolic functions 8824:Bacon, Harold Maile (1942). 8786:inverse hyperbolic functions 8582:Numerical Recipes in FORTRAN 8386:represents the complex value 6935:in which a finite number of 764:of the exponential function 78:inverse hyperbolic functions 18:Inverse hyperbolic cotangent 8900:Encyclopedia of Mathematics 8830:. McGraw-Hill. p. 203. 8724:area cotangens hyperbolicus 8561:Encyclopedia of Mathematics 8514:College Mathematics Journal 6979:{\displaystyle {\sqrt {x}}} 606:{\displaystyle \sinh ^{2}x} 223:(such as the equation of a 9045: 8752:Semendyayev, Konstantin A. 8644:Another form of notation, 8439:(2nd ed.). Springer. 7599:{\displaystyle z\in [0,1)} 7548:differ for real values of 7482:differ for real values of 710:, arguing that the prefix 573:{\displaystyle 1/\sinh x.} 123:. Hyperbolic angle is the 8875:and Paul J. Kelly (1953) 8766:10.1007/978-3-540-72122-2 8720:area tangens hyperbolicus 8716:area cosinus hyperbolicus 7462:. The two definitions of 210:hyperbolic area functions 44:The hyperbolic functions 8604:. Springer. p. 71. 8113:Graphical representation 4355: for all real  4242: for all real  4141: for all real  4052: for all real  3973: for all real  3900: for all real  8757:Handbook of Mathematics 8712:area sinus hyperbolicus 8672:area sinus hyperbolicus 786:{\displaystyle \exp x,} 8741:, invented long after 8373: 8331: 8289: 8245: 8203: 8161: 8070: 7929: 7832: 7600: 7562: 7542: 7522: 7521:{\displaystyle z>1} 7496: 7476: 7406: 7244:The formulas given in 7207: 7082: 6980: 6898: 6778: 6706: 6630: 6457: 6341: 6047: 5889: 5618: 5551: 5416: 5295: 5007: 4858: 4617: 4484: 4412: 4377: 3812: 3684: 3573: 3457: 3269: 3182: 3017: 2572: 2386: 2049: 1845: 1758: 1671: 1554: 1444:multi-valued functions 1425: 787: 690: 646: 607: 574: 534: 492: 431:pseudo-Euclidean plane 419:inverse trig functions 417:; by analogy with the 386: 371: 330: 249:electromagnetic theory 221:differential equations 170: 69: 37: 27:Mathematical functions 8967:Inverse trigonometric 8452:Durán, Mario (2012). 8374: 8332: 8290: 8246: 8204: 8162: 8071: 7930: 7833: 7601: 7563: 7543: 7523: 7497: 7477: 7453:removable singularity 7407: 7208: 7083: 6981: 6953:analytic continuation 6921:multivalued functions 6899: 6758: 6707: 6610: 6458: 6321: 6048: 5869: 5619: 5531: 5417: 5275: 5008: 4838: 4618: 4485: 4413: 4378: 3813: 3685: 3574: 3458: 3270: 3183: 3018: 2573: 2387: 2050: 1846: 1759: 1672: 1555: 1426: 788: 691: 647: 613:conventionally means 608: 575: 535: 493: 372: 331: 274: 237:Cartesian coordinates 188:of the corresponding 171: 43: 35: 8351: 8309: 8267: 8223: 8181: 8139: 7978: 7853: 7613: 7572: 7552: 7532: 7506: 7486: 7466: 7255: 7139: 7020: 6966: 6722: 6470: 6060: 5631: 5429: 5020: 4638: 4497: 4422: 4390: 3830: 3697: 3586: 3470: 3287: 3195: 3035: 2590: 2399: 2067: 1858: 1771: 1684: 1567: 1458: 808: 768: 758:hyperbolic functions 659: 617: 584: 547: 502: 460: 340: 282: 134: 86:hyperbolic functions 8748:Bronshtein, Ilja N. 8690:Hackbusch, Wolfgang 8539:Weisstein, Eric W. 7431:belongs either to 217:hyperbolic geometry 107:, e.g. arsinh(sinh 88:, analogous to the 8977:Inverse hyperbolic 8846:math stackexchange 8602:Special Relativity 8369: 8327: 8285: 8241: 8199: 8157: 8066: 7925: 7828: 7826: 7790: 7743: 7686: 7646: 7596: 7558: 7538: 7518: 7492: 7472: 7402: 7400: 7203: 7078: 6976: 6894: 6702: 6700: 6453: 6451: 6043: 6041: 5614: 5612: 5412: 5410: 5003: 5001: 4613: 4480: 4408: 4373: 4371: 3808: 3680: 3569: 3453: 3265: 3178: 3013: 3011: 2568: 2382: 2380: 2367: 2221: 2132: 2045: 2043: 1841: 1754: 1667: 1550: 1421: 1419: 783: 762:rational functions 686: 642: 603: 570: 530: 488: 437:(1, 1)) or in the 387: 367: 326: 275:A ray through the 261:special relativity 241:Laplace's equation 233:Laplace's equation 166: 70: 38: 9016: 9015: 8686:Zeidler, Eberhard 8598:Woodhouse, N.M.J. 8545:Wolfram Mathworld 8401:Complex logarithm 8056: 8048: 8035: 8027: 8012: 7917: 7909: 7887: 7817: 7789: 7770: 7742: 7685: 7645: 7561:{\displaystyle z} 7495:{\displaystyle z} 7392: 7356: 7322: 7286: 7193: 7180: 7068: 6974: 6892: 6871: 6675: 6592: 6569: 6546: 6503: 6428: 6399: 6316: 6279: 6258: 6213: 6192: 6159: 6138: 6116: 6093: 6016: 5966: 5851: 5827: 5782: 5758: 5725: 5701: 5664: 5587: 5513: 5493: 5473: 5385: 5353: 5231: 5207: 5162: 5138: 5105: 5081: 4976: 4935: 4820: 4799: 4754: 4733: 4700: 4679: 4627:Series expansions 4608: 4607: 4580: 4551: 4513: 4475: 4364: 4356: 4348: 4345: 4283: 4243: 4235: 4232: 4180: 4142: 4134: 4091: 4053: 4045: 4002: 3974: 3966: 3965: 3923: 3901: 3893: 3892: 3850: 3797: 3793: 3745: 3674: 3634: 3633: 3563: 3562: 3518: 3517: 3447: 3397: 3350: 3172: 3134: 2987: 2981: 2977: 2927: 2926: 2854: 2848: 2847: 2794: 2726: 2720: 2719: 2646: 2640: 2562: 2505: 2458: 2366: 2220: 2131: 2034: 2008: 1959: 1835: 1748: 1660: 1543: 1517: 1450:Addition formulae 1398: 1395: 1391: 1387: 1384: 1353: 1321: 1262: 1254: 1232: 1180: 1144: 1136: 1114: 1046: 1014: 955: 866: 799:natural logarithm 795:quadratic formula 748:for convenience. 439:hyperbolic number 322: 316: 303: 297: 190:hyperbolic sector 184:), and twice the 16:(Redirected from 9036: 8936: 8929: 8922: 8913: 8908: 8873:Herbert Busemann 8861: 8860: 8858: 8856: 8838: 8832: 8831: 8822: 8815: 8808: 8801: 8794: 8788:. The functions 8736: 8732: 8729: 8683: 8677: 8669: 8657: 8650: 8622: 8616: 8615: 8595: 8577: 8571: 8570: 8568: 8567: 8554: 8552: 8551: 8536: 8530: 8529: 8509: 8503: 8502: 8474: 8468: 8467: 8450: 8431: 8378: 8376: 8375: 8370: 8345: 8336: 8334: 8333: 8328: 8303: 8294: 8292: 8291: 8286: 8261: 8250: 8248: 8247: 8242: 8217: 8208: 8206: 8205: 8200: 8175: 8166: 8164: 8163: 8158: 8133: 8108: 8098: 8094: 8090: 8084: 8075: 8073: 8072: 8067: 8062: 8058: 8057: 8049: 8041: 8039: 8036: 8028: 8020: 8018: 8013: 8005: 7962: 7945: 7934: 7932: 7931: 7926: 7924: 7920: 7918: 7910: 7908: 7907: 7895: 7893: 7888: 7880: 7837: 7835: 7834: 7829: 7827: 7823: 7819: 7818: 7810: 7791: 7782: 7776: 7772: 7771: 7763: 7744: 7735: 7712: 7708: 7687: 7678: 7672: 7668: 7647: 7638: 7605: 7603: 7602: 7597: 7567: 7565: 7564: 7559: 7547: 7545: 7544: 7539: 7527: 7525: 7524: 7519: 7501: 7499: 7498: 7493: 7481: 7479: 7478: 7473: 7461: 7447: 7440: 7434: 7430: 7424: 7420: 7411: 7409: 7408: 7403: 7401: 7397: 7393: 7391: 7380: 7369: 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