Knowledge

1731: 4683: 1109: 4131: 1726:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}} 3323: 4678:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}} 2891: 6763: 6353: 2692: 3318:{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}} 5722: 33: 5313: 41: 6361: 5932: 2368: 8154: 5321: 8661: 8619: 8577: 8533: 8491: 8449: 4939: 6758:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}} 6348:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} 372: 2687:{\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}} 7930: 5717:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} 7012: 5308:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}} 2355: 7728: 3488: 5924: 8149:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}} 3763: 2878: 6771: 4118: 7204: 2159: 3879: 7572: 3990: 3336: 8435: 5730: 1860: 8392: 92:. There are six in common use: inverse hyperbolic sine, inverse hyperbolic cosine, inverse hyperbolic tangent, inverse hyperbolic cosecant, inverse hyperbolic secant, and inverse hyperbolic cotangent. They are commonly denoted by the symbols for the hyperbolic functions, prefixed with 1977: 4923: 3588: 2151: 2064: 7007:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} 2700: 8251: 7418: 8257: 3998: 3575: 2350:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}} 7023: 7264:. This defines a single valued analytic function, which is defined everywhere, except for non-positive real values of the variables (where the two square roots have a zero real part). This principal value of the square root function is denoted 3771: 7529: 7723:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}} 1114: 3483:{\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)} 3887: 7404: 5919:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}} 1759: 8295: 1868: 4798: 9251: 3758:{\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)} 2873:{\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)} 4790: 2072: 1985: 7935: 7577: 6776: 6366: 5937: 5735: 5326: 4944: 4136: 2896: 2373: 2164: 196: 149: 8170: 7315: 8695: 8653: 8611: 8567: 8525: 8483: 4113:{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|} 7864: 7798: 475: 434: 7306: 3496: 7312: 9244: 7199:{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}} 4718: 3874:{\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)} 968: 770: 728: 924: 812: 249: 686: 650: 618: 7286: 885: 8733: 7922: 852: 7769: 7456: 1093: 7844: 7253:. The principal value of the multifunction is chosen at a particular point and values elsewhere in the domain of definition are defined to agree with those found by 9237: 7733: 306: 3985:{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)} 7884: 7818: 7444: 515: 495: 7337: 7233:, which is a single valued analytic function which coincides with one specific branch of the multivalued function, over a domain consisting of the 1855:{\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)} 8387:{\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).} 854: 9320: 9346: 9012: 1972:{\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)} 8762: 4918:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.} 9091: 652: 8927: 8907: 8779: 2146:{\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)} 2059:{\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)} 9003: 9284: 7218: 550: 89: 4723: 9021: 8955: 8723: 8289: 9222: 8246:{\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)} 154: 110: 9217: 7550: 1035: 9212: 32: 9069: 8668: 8626: 8584: 8540: 8498: 8456: 9138: 8898: 7849: 7783: 3570:{\displaystyle \ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)} 439: 9272: 9074: 7319: 381: 40: 7291: 815: 562: 348: 7770: 7260: 7254: 1745: 336: 320: 340: 332: 103: 68: 9289: 7222: 4691: 1059: 932: 85: 733: 691: 4688: 890: 775: 316: 208: 655: 622: 590: 9065: 9007: 8915: 8812: 7267: 857: 360: 8858: 7889: 7524:{\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.} 820: 9087: 9017: 8951: 8923: 8903: 8874: 8775: 8758: 8718: 7226: 1100: 1096: 1063: 573: 264: 7762: 1069: 9190: 9079: 8839: 8804: 8264: 7823: 577: 566: 104: 81: 8702: 282: 9277: 9127: 8976:, etc., is a practice to be condemned as these functions have nothing whatever to do with 8703: 8403: 7320: 7230: 977: 276: 256: 9229: 9198: 9056: 7869: 7803: 7410: 7399:{\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.} 7309: 7238: 1737: 558: 500: 480: 376: 371: 356: 328: 203: 17: 9340: 9167: 7234: 352: 8795: 8943: 8843: 8808: 7246: 7229: 9143: 8728: 1741: 1001: 272: 73: 9134: 9083: 8660: 8618: 8576: 8532: 8490: 8448: 8437: 8268: 7250: 581: 199: 9060: 9010:; Schwarz, Hans Rudolf (2004). "§ 0.2.13 The inverse hyperbolic functions". 7261: 7242: 9159: 7288: 9315: 324: 315: 8427:, there is a singular point that is included in one of the branch cuts. 279:. Alternately hyperbolic angle is the area of a sector of the hyperbola 9310: 8816: 8164: 344: 8267: 7534: 56: 9072:; Musiol, Gerhard; Heiner, Mühlig (2007). "§ 2.10: Area Functions". 8772: 9325: 9016:. Translated by Hunt, Bruce. Oxford University Press. p. 68. 370: 268: 39: 31: 9102: 8281:, there is a singular point that is included in the branch cut.) 9160:"Identities with inverse hyperbolic and trigonometric functions" 7558: 260: 9233: 8436: 7409: 7331: 1740: 275: 521: 7739: 4933: 2884: 1000:) should be preferred. Following this recommendation, the 497: 9028: 4785:{\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},} 9063: 7450:. Thus the square root has to be factorized, leading to 3329: 8830: 7563: 7440: 7316: 7308: 8099: 8052: 7995: 7955: 4726: 2665: 2519: 2430: 8671: 8629: 8587: 8543: 8501: 8459: 8298: 8271:, consisting of the interval of the imaginary line. 8173: 7933: 7892: 7872: 7852: 7826: 7806: 7786: 7575: 7459: 7340: 7294: 7270: 7026: 6774: 6364: 5935: 5733: 5324: 4942: 4801: 4694: 4134: 4001: 3890: 3774: 3591: 3499: 3339: 2894: 2703: 2371: 2162: 2075: 1988: 1871: 1762: 1112: 1072: 935: 893: 860: 823: 778: 736: 694: 658: 625: 593: 580:(argument to the hyperbolic functions) is indeed the 503: 483: 442: 384: 285: 211: 157: 113: 8984: 9303: 9265: 308:Some authors call the inverse hyperbolic functions 8689: 8647: 8605: 8561: 8519: 8477: 8386: 8245: 8160:Principal value of the inverse hyperbolic cosecant 8148: 7916: 7878: 7858: 7838: 7812: 7792: 7722: 7523: 7398: 7300: 7280: 7198: 7006: 6757: 6347: 5918: 5716: 5307: 4917: 4784: 4712: 4677: 4112: 3984: 3873: 3757: 3569: 3482: 3317: 2872: 2686: 2349: 2145: 2058: 1971: 1854: 1725: 1087: 962: 918: 879: 846: 806: 764: 722: 680: 644: 612: 509: 489: 469: 428: 319:. They also occur in the solutions of many linear 300: 243: 191:{\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.} 190: 144:{\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a} 143: 8734:List of integrals of inverse hyperbolic functions 7544:. If the argument of the logarithm is real, then 8285:Principal value of the inverse hyperbolic secant 7436:Principal value of the inverse hyperbolic cosine 1046:This article will consistently adopt the prefix 972:Because the argument of hyperbolic functions is 8397:If the argument of a square root is real, then 7017:An asymptotic expansion for arsinh is given by 561:("Lorentzian circle") in the Lorentzian plane ( 7441: 7327:Principal value of the inverse hyperbolic sine 9245: 9055:, etc.; note that the quoted Latin names are 8: 8902:(2nd ed.). Cambridge University Press. 8409:is real and belongs to one of the intervals 7766:and for the inverse hyperbolic cotangent. 7249:) have been removed. These arcs are called 9252: 9238: 9230: 9195:Projective Geometry and Projective Metrics 8690:{\displaystyle \operatorname {arcsch} (z)} 8648:{\displaystyle \operatorname {arsech} (z)} 8606:{\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)} 8562:{\displaystyle \operatorname {artanh} (z)} 8520:{\displaystyle \operatorname {arcosh} (z)} 8478:{\displaystyle \operatorname {arsinh} (z)} 976:the arc length of a hyperbolic arc in the 36:Graphs of the inverse hyperbolic functions 8774:. Vol. 1. Ediciones UC. p. 89. 8670: 8628: 8586: 8542: 8500: 8458: 8358: 8356: 8355: 8337: 8335: 8322: 8297: 8237: 8221: 8212: 8210: 8197: 8172: 8127: 8120: 8098: 8080: 8073: 8051: 8016: 7994: 7976: 7954: 7934: 7932: 7891: 7871: 7851: 7825: 7805: 7785: 7686: 7666: 7616: 7596: 7576: 7574: 7564:§ Definitions in terms of logarithms 7517: 7513: 7500: 7487: 7458: 7392: 7388: 7374: 7368: 7339: 7317:§ Definitions in terms of logarithms 7293: 7271: 7269: 7185: 7176: 7154: 7118: 7111: 7099: 7087: 7081: 7075: 7064: 7025: 6939: 6933: 6927: 6916: 6882: 6876: 6859: 6853: 6836: 6830: 6818: 6797: 6775: 6773: 6713: 6707: 6694: 6672: 6648: 6638: 6627: 6610: 6572: 6566: 6524: 6506: 6500: 6470: 6452: 6446: 6432: 6410: 6387: 6365: 6363: 6280: 6274: 6261: 6239: 6212: 6196: 6186: 6175: 6141: 6135: 6093: 6072: 6066: 6036: 6015: 6009: 5995: 5979: 5958: 5936: 5934: 5860: 5854: 5848: 5837: 5806: 5800: 5786: 5780: 5766: 5760: 5734: 5732: 5667: 5661: 5648: 5626: 5602: 5592: 5581: 5521: 5515: 5473: 5452: 5446: 5416: 5395: 5389: 5375: 5325: 5323: 5249: 5243: 5230: 5208: 5181: 5165: 5155: 5144: 5113: 5107: 5065: 5047: 5041: 5011: 4993: 4987: 4973: 4943: 4941: 4903: 4887: 4870: 4858: 4835: 4802: 4800: 4771: 4759: 4733: 4725: 4693: 4663: 4655: 4641: 4629: 4624: 4616: 4605: 4600: 4572: 4542: 4528: 4516: 4502: 4497: 4469: 4454: 4446: 4441: 4429: 4413: 4408: 4380: 4365: 4357: 4352: 4340: 4324: 4319: 4291: 4273: 4255: 4245: 4240: 4212: 4200: 4182: 4172: 4167: 4139: 4135: 4133: 4083: 4076: 4035: 4029: 4000: 3970: 3958: 3929: 3913: 3889: 3858: 3842: 3813: 3797: 3773: 3728: 3721: 3678: 3671: 3639: 3621: 3614: 3590: 3498: 3458: 3406: 3338: 3300: 3292: 3286: 3267: 3260: 3222: 3206: 3153: 3143: 3127: 3090: 3078: 3025: 3015: 2999: 2959: 2951: 2945: 2930: 2924: 2895: 2893: 2851: 2833: 2826: 2786: 2779: 2739: 2732: 2702: 2664: 2646: 2630: 2576: 2518: 2500: 2484: 2429: 2411: 2372: 2370: 2324: 2318: 2304: 2292: 2246: 2230: 2215: 2163: 2161: 2110: 2074: 2023: 1987: 1947: 1925: 1916: 1870: 1839: 1827: 1813: 1801: 1761: 1690: 1631: 1615: 1550: 1541: 1539: 1526: 1432: 1423: 1421: 1408: 1324: 1308: 1245: 1239: 1156: 1150: 1113: 1111: 1071: 980:, some authors have condemned the prefix 934: 910: 892: 865: 859: 827: 822: 795: 777: 753: 735: 699: 693: 663: 657: 630: 624: 598: 592: 502: 482: 460: 456: 449: 441: 408: 389: 383: 284: 229: 216: 210: 156: 112: 8755:Mathematics for Physicists and Engineers 8706:of the respective function at that point 9051:. Zeidler & al. use the notations 8744: 7859:{\displaystyle \operatorname {arcoth} } 7793:{\displaystyle \operatorname {artanh} } 7554:, which is thus the unique branch cut. 470:{\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)} 9260:Trigonometric and hyperbolic functions 9078:(5th ed.). Springer. p. 91. 8948:Mathematics: From the Birth of Numbers 1004:standard abbreviations use the prefix 255:the length of a hyperbolic arc in the 8753:Weltner, Klaus; et al. (2014) . 7213:Principal values in the complex plane 429:{\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1} 251:as measured in the Lorentzian plane ( 7: 7301:{\displaystyle \operatorname {Log} } 1744:, and the natural logarithm are all 7221:, inverse hyperbolic functions are 7061: 271:is the arc length of an arc of the 9145:Differential and Integral Calculus 9013:Oxford Users' Guide to Mathematics 7076: 6928: 6639: 6187: 5849: 5593: 5156: 1713: 1662: 1474: 1458: 1282: 1196: 1180: 1054:Definitions in terms of logarithms 25: 1099:and then written in terms of the 730:means the inverse function while 323:(such as the equation defining a 8659: 8617: 8575: 8531: 8489: 8447: 7442:§ Inverse hyperbolic cosine 198:Hyperbolic angle measure is the 8998:area cosinus hyperbolicus, etc. 7759:belongs to the real interval . 7219:functions of a complex variable 6982: 6735: 6323: 5894: 5692: 5283: 4713:{\displaystyle x=\sinh \theta } 3291: 3285: 3158: 3152: 3030: 3024: 2950: 2944: 2663: 2517: 2428: 963:{\displaystyle \sinh(\sinh x).} 343:are important in many areas of 267:. This is analogous to the way 9213:"Inverse hyperbolic functions" 8875:"Inverse hyperbolic functions" 8859:"Inverse Hyperbolic Functions" 8844:10.1080/07468342.1995.11973712 8809:10.1080/00029890.1984.11971490 8724:Hyperbolic secant distribution 8684: 8678: 8642: 8636: 8600: 8594: 8556: 8550: 8514: 8508: 8472: 8466: 7911: 7899: 7514: 7478: 7389: 7359: 7054: 7045: 6958: 6943: 6691: 6681: 6660: 6651: 6299: 6284: 6258: 6248: 6227: 6218: 6209: 6199: 5645: 5635: 5614: 5605: 5571: 5562: 5360: 5351: 5227: 5217: 5196: 5187: 5178: 5168: 4829: 4823: 4625: 4617: 4565: 4553: 4455: 4447: 4366: 4358: 3301: 3293: 3254: 3242: 3200: 3188: 3121: 3109: 3072: 3060: 2993: 2981: 2960: 2952: 2918: 2906: 2716: 2710: 2658: 2620: 2588: 2566: 2512: 2474: 2423: 2401: 2258: 2239: 2236: 2217: 1959: 1940: 1937: 1918: 954: 942: 907: 894: 792: 785: 765:{\displaystyle (\sinh x)^{-1}} 750: 737: 723:{\displaystyle \sinh ^{-1}(x)} 717: 711: 464: 443: 176: 164: 132: 120: 1: 9321:Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā 8950:. W. W. Norton. p. 539. 8797:American Mathematical Monthly 7540:belongs to the real interval 1095:they may be solved using the 919:{\displaystyle (\sinh x)^{2}} 807:{\displaystyle \sinh(x)^{-1}} 244:{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 9347:Inverse hyperbolic functions 9142:Bacon, Harold Maile (1942). 9104:inverse hyperbolic functions 8900:Numerical Recipes in FORTRAN 8704:represents the complex value 7237:in which a finite number of 1066:of the exponential function 681:{\displaystyle \sinh ^{-1}x} 645:{\displaystyle \cosh ^{-1},} 613:{\displaystyle \sinh ^{-1},} 587:Also common is the notation 78:inverse hyperbolic functions 9218:Encyclopedia of Mathematics 9148:. McGraw-Hill. p. 203. 9042:area cotangens hyperbolicus 8879:Encyclopedia of Mathematics 8832:College Mathematics Journal 7281:{\displaystyle {\sqrt {x}}} 880:{\displaystyle \sinh ^{2}x} 9363: 9070:Semendyayev, Konstantin A. 8962:Another form of notation, 8757:(2nd ed.). Springer. 7917:{\displaystyle z\in [0,1)} 7866:differ for real values of 7800:differ for real values of 984:, arguing that the prefix 847:{\displaystyle 1/\sinh x.} 551:inverse circular functions 90:inverse circular functions 9193:and Paul J. Kelly (1953) 9084:10.1007/978-3-540-72122-2 9038:area tangens hyperbolicus 9034:area cosinus hyperbolicus 7780:. The two definitions of 310:hyperbolic area functions 44:The hyperbolic functions 8922:. Springer. p. 71. 8431:Graphical representation 4657: for all real  4544: for all real  4443: for all real  4354: for all real  4275: for all real  4202: for all real  578:hyperbolic angle measure 105:hyperbolic angle measure 9075:Handbook of Mathematics 9030:area sinus hyperbolicus 8990:area sinus hyperbolicus 7753:or to , if and only if 1088:{\displaystyle \exp x,} 549:), by analogy with the 18:Inverse hyperbolic sine 9059:, invented long after 8691: 8649: 8607: 8563: 8521: 8479: 8388: 8247: 8150: 7918: 7880: 7860: 7840: 7839:{\displaystyle z>1} 7814: 7794: 7724: 7562:The formulas given in 7525: 7400: 7302: 7282: 7200: 7080: 7008: 6932: 6759: 6643: 6349: 6191: 5920: 5853: 5718: 5597: 5309: 5160: 4919: 4786: 4714: 4679: 4114: 3986: 3875: 3759: 3571: 3484: 3319: 2874: 2688: 2351: 2147: 2060: 1973: 1856: 1746:multi-valued functions 1727: 1089: 964: 920: 881: 848: 808: 766: 724: 682: 646: 614: 563:pseudo-Euclidean plane 518: 511: 491: 471: 430: 349:electromagnetic theory 321:differential equations 302: 269:circular angle measure 245: 192: 145: 69: 37: 27:Mathematical functions 9285:Inverse trigonometric 8770:Durán, Mario (2012). 8692: 8650: 8608: 8564: 8522: 8480: 8389: 8248: 8151: 7919: 7881: 7861: 7841: 7815: 7795: 7771:removable singularity 7725: 7526: 7401: 7303: 7283: 7255:analytic continuation 7223:multivalued functions 7201: 7060: 7009: 6912: 6760: 6623: 6350: 6171: 5921: 5833: 5719: 5577: 5310: 5140: 4920: 4787: 4715: 4680: 4115: 3987: 3876: 3760: 3572: 3485: 3320: 2875: 2689: 2352: 2148: 2061: 1974: 1857: 1728: 1090: 965: 921: 887:conventionally means 882: 849: 809: 767: 725: 683: 647: 615: 584:of a hyperbolic arc. 512: 492: 472: 431: 374: 337:Cartesian coordinates 303: 301:{\displaystyle xy=1.} 263:of the corresponding 246: 193: 146: 43: 35: 8669: 8627: 8585: 8541: 8499: 8457: 8296: 8171: 7931: 7890: 7870: 7850: 7824: 7804: 7784: 7573: 7457: 7338: 7292: 7268: 7024: 6772: 6362: 5933: 5731: 5322: 4940: 4799: 4724: 4692: 4132: 3999: 3888: 3772: 3589: 3497: 3337: 2892: 2701: 2369: 2160: 2073: 1986: 1869: 1760: 1110: 1070: 1060:hyperbolic functions 933: 891: 858: 821: 776: 734: 692: 656: 623: 591: 501: 481: 440: 382: 283: 209: 155: 111: 86:hyperbolic functions 9066:Bronshtein, Ilja N. 9008:Hackbusch, Wolfgang 8857:Weisstein, Eric W. 7749:belongs either to 341:Laplace's equations 317:hyperbolic geometry 88:, analogous to the 9295:Inverse hyperbolic 9164:math stackexchange 8920:Special Relativity 8687: 8645: 8603: 8559: 8517: 8475: 8384: 8243: 8146: 8144: 8108: 8061: 8004: 7964: 7914: 7876: 7856: 7836: 7810: 7790: 7720: 7718: 7521: 7396: 7298: 7278: 7196: 7004: 7002: 6755: 6753: 6345: 6343: 5916: 5914: 5714: 5712: 5305: 5303: 4915: 4782: 4710: 4675: 4673: 4110: 3982: 3871: 3755: 3567: 3480: 3315: 3313: 2870: 2684: 2682: 2669: 2523: 2434: 2347: 2345: 2143: 2056: 1969: 1852: 1723: 1721: 1085: 1064:rational functions 960: 916: 877: 844: 804: 762: 720: 678: 642: 610: 519: 507: 487: 467: 426: 375:A ray through the 361:special relativity 333:Laplace's equation 298: 241: 188: 141: 70: 38: 9334: 9333: 9004:Zeidler, Eberhard 8916:Woodhouse, N.M.J. 8863:Wolfram Mathworld 8719:Complex logarithm 8374: 8366: 8353: 8345: 8330: 8235: 8227: 8205: 8135: 8107: 8088: 8060: 8003: 7963: 7879:{\displaystyle z} 7813:{\displaystyle z} 7710: 7674: 7640: 7604: 7511: 7498: 7386: 7276: 7194: 7173: 6977: 6894: 6871: 6848: 6805: 6730: 6701: 6618: 6581: 6560: 6515: 6494: 6461: 6440: 6418: 6395: 6318: 6268: 6153: 6129: 6084: 6060: 6027: 6003: 5966: 5889: 5815: 5795: 5775: 5687: 5655: 5533: 5509: 5464: 5440: 5407: 5383: 5278: 5237: 5122: 5101: 5056: 5035: 5002: 4981: 4929:Series expansions 4910: 4909: 4882: 4853: 4815: 4777: 4666: 4658: 4650: 4647: 4585: 4545: 4537: 4534: 4482: 4444: 4436: 4393: 4355: 4347: 4304: 4276: 4268: 4267: 4225: 4203: 4195: 4194: 4152: 4099: 4095: 4047: 3976: 3936: 3935: 3865: 3864: 3820: 3819: 3749: 3699: 3652: 3474: 3436: 3289: 3283: 3279: 3229: 3228: 3156: 3150: 3149: 3096: 3028: 3022: 3021: 2948: 2942: 2864: 2807: 2760: 2668: 2522: 2433: 2336: 2310: 2261: 2137: 2050: 1962: 1845: 1819: 1752:Addition formulae 1700: 1697: 1693: 1689: 1686: 1655: 1623: 1564: 1556: 1534: 1482: 1446: 1438: 1416: 1348: 1316: 1257: 1168: 1101:natural logarithm 1097:quadratic formula 1050:for convenience. 574:hyperbolic number 510:{\displaystyle x} 490:{\displaystyle a} 422: 416: 403: 397: 265:hyperbolic sector 259:), and twice the 16:(Redirected from 9354: 9254: 9247: 9240: 9231: 9226: 9191:Herbert Busemann 9179: 9178: 9176: 9174: 9156: 9150: 9149: 9140: 9133: 9126: 9119: 9112: 9106:. The functions 9054: 9050: 9047: 9001: 8995: 8987: 8975: 8968: 8940: 8934: 8933: 8913: 8895: 8889: 8888: 8886: 8885: 8872: 8870: 8869: 8854: 8848: 8847: 8827: 8821: 8820: 8792: 8786: 8785: 8768: 8749: 8696: 8694: 8693: 8688: 8663: 8654: 8652: 8651: 8646: 8621: 8612: 8610: 8609: 8604: 8579: 8568: 8566: 8565: 8560: 8535: 8526: 8524: 8523: 8518: 8493: 8484: 8482: 8481: 8476: 8451: 8426: 8416: 8412: 8408: 8402: 8393: 8391: 8390: 8385: 8380: 8376: 8375: 8367: 8359: 8357: 8354: 8346: 8338: 8336: 8331: 8323: 8280: 8263: 8252: 8250: 8249: 8244: 8242: 8238: 8236: 8228: 8226: 8225: 8213: 8211: 8206: 8198: 8155: 8153: 8152: 8147: 8145: 8141: 8137: 8136: 8128: 8109: 8100: 8094: 8090: 8089: 8081: 8062: 8053: 8030: 8026: 8005: 7996: 7990: 7986: 7965: 7956: 7923: 7921: 7920: 7915: 7885: 7883: 7882: 7877: 7865: 7863: 7862: 7857: 7845: 7843: 7842: 7837: 7819: 7817: 7816: 7811: 7799: 7797: 7796: 7791: 7779: 7765: 7758: 7752: 7748: 7742: 7738: 7729: 7727: 7726: 7721: 7719: 7715: 7711: 7709: 7698: 7687: 7675: 7667: 7645: 7641: 7639: 7628: 7617: 7605: 7597: 7553: 7549: 7543: 7539: 7530: 7528: 7527: 7522: 7512: 7501: 7499: 7488: 7449: 7431: 7424: 7417: 7405: 7403: 7402: 7397: 7387: 7379: 7378: 7369: 7307: 7305: 7304: 7299: 7287: 7285: 7284: 7279: 7277: 7272: 7205: 7203: 7202: 7197: 7195: 7193: 7192: 7177: 7175: 7174: 7172: 7165: 7161: 7142: 7135: 7131: 7112: 7110: 7109: 7098: 7094: 7079: 7074: 7013: 7011: 7010: 7005: 7003: 6993: 6978: 6976: 6962: 6961: 6934: 6931: 6926: 6905: 6895: 6890: 6889: 6877: 6872: 6867: 6866: 6854: 6849: 6844: 6843: 6831: 6826: 6825: 6806: 6798: 6764: 6762: 6761: 6756: 6754: 6731: 6729: 6721: 6720: 6708: 6706: 6702: 6700: 6699: 6698: 6680: 6679: 6666: 6649: 6642: 6637: 6619: 6611: 6597: 6593: 6589: 6582: 6577: 6576: 6567: 6565: 6561: 6559: 6542: 6525: 6516: 6511: 6510: 6501: 6499: 6495: 6493: 6482: 6471: 6462: 6457: 6456: 6447: 6445: 6441: 6433: 6419: 6411: 6396: 6388: 6354: 6352: 6351: 6346: 6344: 6334: 6319: 6317: 6303: 6302: 6275: 6273: 6269: 6267: 6266: 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