1989:
1379:
1841:
754:
1552:
2107:
2050:
1832:
1775:
557:
257:
195:
2190:
976:
1279:
670:
476:
2247:
1247:
1216:
1135:
1102:
2143:
1271:
1057:
1004:
426:
371:
327:
1718:
1446:
77:
2337:
2216:
1684:
1584:
1476:
1419:
1185:
2364:
1644:
1617:
870:
629:
2307:
2287:
2267:
1155:
933:
913:
893:
841:
821:
797:
777:
600:
580:
391:
347:
1984:{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}
287:
40:
682:
2425:
2389:
1481:
2055:
1998:
1780:
1723:
148:
135:
488:
673:
280:
99:
is the primary operation on sheaves, with the simplest definition. The inverse image exhibits some relatively subtle features.
394:
2417:
204:
2451:
436:
273:
105:
2412:
160:
2148:
1374:{\displaystyle f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}}
631:
is not necessarily open. The best we could do is to approximate it by open sets, and even then we will get a
938:
638:
444:
84:
2456:
2221:
1221:
1190:
1109:
1076:
1691:
1064:
1060:
263:
112:
96:
2116:
1252:
1030:
985:
399:
352:
308:
439:
44:
1068:
1014:
32:
28:
1696:
1424:
2421:
2385:
50:
2407:
2312:
2195:
1659:
1559:
1455:
1394:
1160:
1072:
2435:
2399:
2342:
1622:
1595:
2431:
2395:
2381:
1687:
846:
605:
2292:
2272:
2252:
1140:
918:
898:
878:
826:
806:
782:
762:
585:
565:
376:
332:
2445:
1651:
1587:
1449:
1010:
979:
2309:
otherwise. A similar adjunction holds for the case of sheaves of modules, replacing
1018:
479:
17:
1218:-modules. In order to remedy this, one defines in this situation for a sheaf of
1025:
632:
749:{\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).}
800:
80:
1187:
is inappropriate, because in general it does not even give sheaves of
1547:{\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}}
2102:{\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}
2045:{\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}
1827:{\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}
1770:{\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}
1720:. This implies that there are natural unit and counit morphisms
2228:
2177:
2094:
2084:
2037:
2004:
1973:
1953:
1905:
1895:
1834:. These morphisms yield a natural adjunction correspondence:
1819:
1809:
1762:
1729:
1524:
1503:
1360:
1344:
1318:
1295:
1258:
1228:
1197:
1116:
1083:
991:
960:
729:
657:
552:{\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U))}
526:
507:
463:
358:
314:
1590:, as can be seen by the above calculation of the stalks.
2145:
denotes the inclusion of a closed subset, the stalk of
2345:
2315:
2295:
2275:
2255:
2224:
2198:
2151:
2119:
2058:
2001:
1844:
1783:
1726:
1699:
1662:
1625:
1598:
1562:
1484:
1458:
1427:
1397:
1282:
1255:
1224:
1193:
1163:
1143:
1112:
1079:
1033:
988:
941:
921:
901:
881:
849:
829:
809:
785:
765:
685:
641:
608:
588:
568:
491:
447:
402:
379:
355:
335:
311:
207:
163:
53:
2358:
2331:
2301:
2281:
2261:
2241:
2210:
2184:
2137:
2101:
2044:
1983:
1826:
1769:
1712:
1678:
1638:
1611:
1578:
1546:
1470:
1440:
1413:
1373:
1265:
1241:
1210:
1179:
1149:
1129:
1096:
1051:
998:
970:
927:
907:
887:
864:
835:
815:
791:
771:
748:
664:
623:
594:
574:
551:
470:
420:
385:
365:
341:
321:
251:
189:
71:
252:{\displaystyle (R)f_{!}\leftrightarrows (R)f^{!}}
47:; here “contravariant” in the sense given a map
281:
8:
2420:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
190:{\displaystyle f^{*}\leftrightarrows f_{*}}
288:
274:
101:
2350:
2344:
2320:
2314:
2294:
2274:
2254:
2233:
2227:
2226:
2223:
2197:
2185:{\displaystyle i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}}
2176:
2175:
2166:
2156:
2150:
2118:
2093:
2092:
2083:
2082:
2076:
2063:
2057:
2036:
2035:
2026:
2016:
2003:
2002:
2000:
1972:
1971:
1965:
1952:
1951:
1929:
1928:
1917:
1904:
1903:
1894:
1893:
1884:
1858:
1857:
1846:
1843:
1818:
1817:
1808:
1807:
1801:
1788:
1782:
1761:
1760:
1751:
1741:
1728:
1727:
1725:
1704:
1698:
1667:
1661:
1630:
1624:
1603:
1597:
1567:
1561:
1529:
1523:
1522:
1512:
1502:
1501:
1492:
1483:
1457:
1432:
1426:
1402:
1396:
1365:
1359:
1358:
1349:
1343:
1342:
1332:
1327:
1317:
1316:
1307:
1294:
1293:
1287:
1281:
1257:
1256:
1254:
1233:
1227:
1226:
1223:
1202:
1196:
1195:
1192:
1168:
1162:
1142:
1121:
1115:
1114:
1111:
1088:
1082:
1081:
1078:
1032:
990:
989:
987:
959:
958:
946:
940:
920:
900:
880:
848:
828:
808:
784:
764:
728:
727:
703:
693:
684:
656:
655:
646:
640:
635:and not a sheaf. Consequently, we define
607:
587:
567:
525:
524:
506:
505:
496:
490:
462:
461:
452:
446:
401:
378:
357:
356:
354:
334:
313:
312:
310:
243:
221:
206:
181:
168:
162:
52:
104:
1013:of the inverse image follows from the
971:{\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}
1619:is (in general) only right exact. If
1452:are easier to compute: given a point
1009:The restriction maps, as well as the
602:, we immediately run into a problem:
7:
665:{\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}
471:{\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}
1421:is more complicated to define than
2380:, Universitext, Berlin, New York:
2242:{\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}}
1924:
1921:
1918:
1853:
1850:
1847:
1242:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}
1211:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
1130:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}
1097:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}
136:direct image with compact support
25:
895:is just the inclusion of a point
1933:
1930:
1862:
1859:
674:sheaf associated to the presheaf
27:In mathematics, specifically in
2113:isomorphisms. For example, if
2138:{\displaystyle i\colon Z\to Y}
2129:
2089:
2009:
1978:
1948:
1943:
1937:
1910:
1877:
1872:
1866:
1814:
1734:
1539:
1533:
1509:
1485:
1266:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
1052:{\displaystyle f\colon X\to Y}
1043:
999:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
965:
955:
859:
853:
740:
734:
719:
713:
689:
618:
612:
546:
543:
537:
531:
518:
512:
421:{\displaystyle f\colon X\to Y}
412:
366:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
349:and that we want to transport
322:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
236:
230:
227:
214:
208:
174:
91:to the category of sheaves on
63:
1:
2418:Graduate Texts in Mathematics
2218:is canonically isomorphic to
305:Suppose we are given a sheaf
478:. If we try to imitate the
431:We will call the result the
803:runs over all open subsets
2473:
1137:is the structure sheaf of
149:exceptional inverse image
106:Image functors for sheaves
1713:{\displaystyle f_{\ast }}
1441:{\displaystyle f_{\ast }}
2376:Iversen, Birger (1986),
72:{\displaystyle f:X\to Y}
1995:However, the morphisms
1071:, one often works with
2360:
2333:
2332:{\displaystyle i^{-1}}
2303:
2283:
2263:
2243:
2212:
2211:{\displaystyle y\in Y}
2186:
2139:
2103:
2046:
1985:
1828:
1771:
1714:
1680:
1679:{\displaystyle f^{-1}}
1640:
1613:
1580:
1579:{\displaystyle f^{-1}}
1548:
1472:
1471:{\displaystyle x\in X}
1442:
1415:
1414:{\displaystyle f^{-1}}
1375:
1273:its inverse image by
1267:
1243:
1212:
1181:
1180:{\displaystyle f^{-1}}
1151:
1131:
1098:
1053:
1000:
972:
929:
909:
889:
866:
837:
817:
793:
773:
750:
666:
625:
596:
576:
553:
472:
422:
387:
367:
343:
323:
253:
191:
83:is a functor from the
73:
2378:Cohomology of sheaves
2361:
2359:{\displaystyle i^{*}}
2334:
2304:
2284:
2264:
2244:
2213:
2187:
2140:
2104:
2047:
1986:
1829:
1772:
1715:
1681:
1641:
1639:{\displaystyle f^{*}}
1614:
1612:{\displaystyle f^{*}}
1581:
1549:
1473:
1443:
1416:
1376:
1268:
1244:
1213:
1182:
1152:
1132:
1099:
1061:locally ringed spaces
1054:
1001:
973:
930:
910:
890:
867:
838:
818:
794:
779:is an open subset of
774:
751:
667:
626:
597:
577:
554:
473:
423:
388:
368:
344:
324:
254:
192:
74:
37:inverse image functor
2343:
2313:
2293:
2273:
2253:
2222:
2196:
2149:
2117:
2056:
1999:
1842:
1781:
1724:
1697:
1692:direct image functor
1660:
1623:
1596:
1560:
1482:
1456:
1425:
1395:
1280:
1253:
1222:
1191:
1161:
1141:
1110:
1077:
1031:
986:
939:
919:
899:
879:
865:{\displaystyle f(U)}
847:
827:
807:
783:
763:
683:
639:
624:{\displaystyle f(U)}
606:
586:
566:
489:
445:
400:
377:
353:
333:
309:
264:Base change theorems
205:
161:
97:direct image functor
79:, the inverse image
51:
2403:. See section II.4.
1157:. Then the functor
18:Inverse image sheaf
2452:Algebraic geometry
2413:Algebraic Geometry
2356:
2329:
2299:
2279:
2259:
2239:
2208:
2182:
2135:
2099:
2042:
1981:
1824:
1767:
1710:
1676:
1636:
1609:
1576:
1544:
1468:
1438:
1411:
1371:
1263:
1239:
1208:
1177:
1147:
1127:
1094:
1069:algebraic geometry
1049:
1024:When dealing with
1015:universal property
996:
968:
925:
905:
885:
862:
833:
813:
789:
769:
746:
723:
701:
662:
621:
592:
572:
562:for each open set
549:
468:
418:
383:
363:
339:
319:
249:
187:
69:
33:algebraic geometry
29:algebraic topology
2427:978-0-387-90244-9
2408:Hartshorne, Robin
2391:978-3-540-16389-3
2302:{\displaystyle 0}
2282:{\displaystyle Z}
2262:{\displaystyle y}
1150:{\displaystyle Y}
928:{\displaystyle Y}
908:{\displaystyle y}
888:{\displaystyle f}
836:{\displaystyle Y}
816:{\displaystyle V}
792:{\displaystyle X}
772:{\displaystyle U}
694:
692:
595:{\displaystyle X}
575:{\displaystyle U}
386:{\displaystyle X}
342:{\displaystyle Y}
298:
297:
16:(Redirected from
2464:
2438:
2402:
2365:
2363:
2362:
2357:
2355:
2354:
2338:
2336:
2335:
2330:
2328:
2327:
2308:
2306:
2305:
2300:
2288:
2286:
2285:
2280:
2268:
2266:
2265:
2260:
2248:
2246:
2245:
2240:
2238:
2237:
2232:
2231:
2217:
2215:
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