191:
1375:
3036:
Below we present four theorems, labelled A, B, C and D. They are often numbered as "First isomorphism theorem", "Second..." and so on; however, there is no universal agreement on the numbering. Here we give some examples of the group isomorphism theorems in the literature. Notice that these theorems
1210:
1087:
6965:
2976:
7455:
1370:{\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}
987:
2912:
2850:
2812:
6483:
2768:
1202:
958:
900:
7269:
6366:
7215:
2533:
2730:
2704:
7080:
5766:
2917:
5332:
5257:
5070:
4308:
4233:
4046:
3971:
3784:
3329:
2666:
2043:
1968:
1781:
1706:
1519:
7361:
7179:
7133:
6791:
6109:
5587:
4475:
6796:
1128:
5917:
2457:
2423:
2255:
6011:
3574:
3496:
6207:
5613:
4743:
6745:
6690:
5388:
4364:
2099:
656:
6591:
6533:
6157:
5873:
5792:
6655:
3520:
3455:
3408:
3361:
2625:
7021:
6993:
6619:
6083:
5823:
556:
2571:
2495:
616:
7331:
7289:
6386:
6295:
5847:
7712:
5645:
5553:
5416:
5185:
5157:
5126:
5098:
4689:
4661:
4571:
4392:
4161:
4133:
4102:
4074:
3899:
3871:
3840:
3812:
2323:
2127:
1896:
1868:
1837:
1809:
1634:
1606:
1575:
1547:
323:
827:
524:
458:
7153:
7107:
6765:
6719:
6553:
6503:
6406:
6315:
6275:
6255:
6235:
6055:
6035:
5961:
5941:
5731:
5685:
5665:
5525:
5505:
5485:
5465:
5445:
5300:
5280:
5225:
5205:
5038:
5018:
4631:
4611:
4591:
4543:
4523:
4503:
4441:
4421:
4276:
4256:
4201:
4181:
4014:
3994:
3939:
3919:
3752:
3732:
3540:
3432:
3381:
3297:
3277:
2591:
2295:
2275:
2221:
2201:
2181:
2011:
1991:
1936:
1916:
1749:
1729:
1674:
1654:
1487:
1467:
1443:
1423:
1403:
1148:
982:
804:
784:
764:
744:
724:
700:
680:
576:
501:
478:
428:
408:
388:
368:
348:
7366:
1082:{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}
2879:
2817:
7996:
7968:
7944:
7781:
7581:
7545:
7509:
2329:
2773:
185:
6411:
7897:
7688:
7561:
2914:. In an abelian category, all monomorphisms are also normal, and the diagram may be extended by a second short exact sequence
111:
2735:
1157:
8051:
8033:
916:
858:
8069:
7220:
5876:
40:
6320:
7188:
2865:
2971:{\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}
2500:
530:
4750:
2709:
2683:
322:
4746:
2426:
2386:
435:
7026:
5739:
5305:
5230:
5043:
4281:
4206:
4019:
3944:
3757:
3302:
2637:
2016:
1941:
1754:
1679:
1492:
6960:{\displaystyle \Phi /\Psi =\{(_{\Psi },_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=_{\Psi }\circ \Phi \circ _{\Psi }^{-1}}
852:
848:
7955:
7340:
7158:
7112:
6770:
6088:
5558:
4446:
2378:
7861:
100:
1092:
5890:
2860:. In general, the existence of a right split does not imply the existence of a left split; but in an
2436:
2396:
2226:
7334:
5966:
5734:
4700:
3545:
3467:
2998:
2873:
2536:
2374:
910:
64:
7870:
7736:
6014:
5700:
5616:
4835:
4816:
4793:
4716:
3609:
3387:
3248:
2382:
246:
173:
153:
133:
125:
80:
72:
52:
7773:
6164:
5592:
4726:
7706:
7537:
6724:
6660:
5337:
4313:
3244:
3025:
2677:
2362:
2048:
621:
219:
129:
56:
6560:
6511:
6118:
5852:
5771:
5615:. This correspondence commutes with the processes of taking sums and intersections (i.e., is a
8047:
8029:
7992:
7964:
7940:
7893:
7777:
7694:
7684:
7577:
7541:
7505:
7501:
6627:
5825:
into an algebra of the same type by defining the operations via representatives; this will be
5795:
5711:
5696:
3505:
3440:
3393:
3346:
3332:
2596:
2468:
903:
269:
76:
6998:
6970:
6596:
6060:
5800:
2137:. The first four statements are often subsumed under Theorem D below, and referred to as the
535:
7765:
7569:
7529:
7525:
7493:
7182:
4801:
3458:
3340:
2861:
2550:
2474:
2346:
584:
227:
145:
121:
104:
91:
The isomorphism theorems were formulated in some generality for homomorphisms of modules by
24:
7294:
7274:
6371:
6280:
5832:
190:
7926:
7885:
7607:
4839:
4704:
3227:
2869:
2366:
2358:
2158:
1151:
235:
116:
5622:
5530:
5393:
5162:
5134:
5103:
5075:
4666:
4638:
4548:
4369:
4138:
4110:
4079:
4051:
3876:
3848:
3817:
3789:
2300:
2104:
1873:
1845:
1814:
1786:
1611:
1583:
1552:
1524:
7766:
2349:(also known as the butterfly lemma) is sometimes called the fourth isomorphism theorem.
809:
506:
440:
7530:
7450:{\displaystyle \alpha :\left\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }
7138:
7092:
6750:
6704:
6538:
6488:
6391:
6300:
6260:
6240:
6220:
6040:
6020:
5946:
5926:
5716:
5670:
5650:
5510:
5490:
5470:
5450:
5430:
5285:
5265:
5210:
5190:
5023:
5003:
4633:
4616:
4596:
4576:
4528:
4508:
4488:
4426:
4406:
4261:
4241:
4186:
4166:
3999:
3979:
3924:
3904:
3737:
3717:
3525:
3417:
3366:
3282:
3262:
2853:
2576:
2540:
2280:
2260:
2206:
2186:
2166:
1996:
1976:
1921:
1901:
1734:
1714:
1659:
1639:
1472:
1452:
1428:
1408:
1388:
1133:
967:
907:
789:
769:
749:
729:
709:
685:
665:
561:
486:
463:
413:
393:
373:
353:
333:
273:
8063:
7853:
7494:
7489:
4720:
3462:
3014:
2986:
2544:
149:
7873:, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors".
5920:
5826:
4712:
2370:
137:
92:
60:
44:
7568:. Graduate Texts in Mathematics 251. Vol. 251. Springer-Verlag London. p. 7.
5794:
considered as an algebra with componentwise operations. One can make the set of
2471:, all epimorphisms are normal). This is represented in the diagram by an object
7878:
1021:
961:
68:
20:
7858:
Abstrakter Aufbau der
Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern
3247:
are similar, with the notion of a normal subgroup replaced by the notion of an
2539:
running from the lower left to the upper right of the diagram. The use of the
97:
Abstrakter Aufbau der
Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern
7573:
6112:
3021:
2325:. Under this correspondence normal subgroups correspond to normal subgroups.
703:
292:
141:
79:, the isomorphism theorems can be generalized to the context of algebras and
7698:
4708:
4482:
48:
7825:
6209:, so one recovers the notion of kernel used in group theory in this case.)
2907:{\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }
2845:{\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }
7678:
3235:, as one of isomorphism theorems, but when included, it is the last one.
2425:. The diagram shows that every morphism in the category of groups has a
2390:
254:
136:
approach to the subject. Van der
Waerden credited lectures by Noether on
7875:
The
Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy
326:
Diagram for theorem B4. The two quotient groups (dotted) are isomorphic.
3411:
36:
2807:{\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}
4478:
7881:
and José Ferreirós), Oxford
University Press (2006) pp. 211–35.
2257:
defines a bijective correspondence between the set of subgroups of
103:. Less general versions of these theorems can be found in work of
7683:. Richard M. Foote (Third ed.). Hoboken, NJ. pp. 97–98.
321:
189:
3225:
It is less common to include the
Theorem D, usually known as the
6478:{\displaystyle ^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}
156:
as the main references. The three isomorphism theorems, called
7914:
6159:
3168:
Fundamental homomorphism theorem or first isomorphism theorem
847:
An application of the second isomorphism theorem identifies
3041:
Comparison of the names of the group isomorphism theorems
2630:
If the sequence is right split (i.e., there is a morphism
2429:
in the category theoretical sense; the arbitrary morphism
7826:"Is there a general form of the correspondence theorem?"
4703:
are particularly simple, since it is possible to form a
2763:{\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}
2365:
is (normal epi, mono)-factorizable; in other words, the
1197:{\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}
2535:(kernels are always monomorphisms), which complete the
953:{\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}
895:{\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}
2868:), left splits and right splits are equivalent by the
7369:
7343:
7297:
7277:
7223:
7191:
7161:
7141:
7115:
7095:
7029:
7001:
6973:
6799:
6773:
6753:
6727:
6707:
6663:
6630:
6599:
6563:
6541:
6514:
6491:
6485:
the collection of equivalence classes that intersect
6414:
6394:
6374:
6323:
6303:
6283:
6263:
6243:
6223:
6167:
6121:
6091:
6063:
6043:
6023:
5969:
5949:
5929:
5893:
5855:
5835:
5803:
5774:
5742:
5719:
5673:
5653:
5625:
5595:
5561:
5533:
5513:
5493:
5473:
5453:
5433:
5396:
5340:
5308:
5288:
5268:
5233:
5213:
5193:
5165:
5137:
5106:
5078:
5046:
5026:
5006:
4749:
vector spaces, all of these theorems follow from the
4729:
4669:
4641:
4619:
4599:
4579:
4551:
4531:
4511:
4491:
4449:
4429:
4409:
4372:
4316:
4284:
4264:
4244:
4209:
4189:
4169:
4141:
4113:
4082:
4054:
4022:
4002:
3982:
3947:
3927:
3907:
3879:
3851:
3820:
3792:
3760:
3740:
3720:
3548:
3528:
3508:
3470:
3443:
3420:
3396:
3369:
3349:
3305:
3285:
3265:
2920:
2882:
2820:
2776:
2738:
2712:
2686:
2640:
2599:
2579:
2553:
2503:
2477:
2439:
2399:
2303:
2283:
2263:
2229:
2209:
2189:
2169:
2107:
2051:
2019:
1999:
1979:
1944:
1924:
1904:
1876:
1848:
1817:
1789:
1757:
1737:
1717:
1682:
1662:
1642:
1614:
1586:
1555:
1527:
1495:
1475:
1455:
1431:
1411:
1391:
1213:
1160:
1136:
1095:
990:
970:
919:
861:
812:
792:
772:
752:
732:
712:
688:
668:
624:
587:
564:
538:
509:
489:
466:
443:
416:
396:
376:
356:
336:
144:
on algebra, as well as a seminar conducted by Artin,
7264:{\displaystyle \left\subseteq \operatorname {Con} A}
3020:
The third isomorphism theorem is generalized by the
7737:"An Introduction to the Theory of Field Extensions"
2133:The last statement is sometimes referred to as the
1204:. Then the second isomorphism theorem states that:
194:
Diagram of the fundamental theorem on homomorphisms
7449:
7355:
7325:
7283:
7263:
7209:
7173:
7147:
7127:
7101:
7074:
7015:
6987:
6959:
6785:
6759:
6739:
6713:
6684:
6649:
6613:
6585:
6547:
6527:
6497:
6477:
6400:
6380:
6360:
6309:
6289:
6269:
6249:
6229:
6201:
6151:
6103:
6077:
6049:
6029:
6005:
5955:
5935:
5911:
5867:
5841:
5817:
5786:
5760:
5725:
5679:
5659:
5639:
5607:
5581:
5547:
5519:
5499:
5479:
5459:
5439:
5410:
5382:
5326:
5294:
5274:
5251:
5219:
5199:
5179:
5151:
5120:
5092:
5064:
5032:
5012:
4737:
4683:
4655:
4625:
4605:
4585:
4565:
4537:
4517:
4497:
4469:
4435:
4415:
4386:
4358:
4302:
4270:
4250:
4227:
4195:
4175:
4155:
4127:
4096:
4068:
4040:
4008:
3988:
3965:
3933:
3913:
3893:
3865:
3834:
3806:
3778:
3746:
3726:
3568:
3534:
3514:
3490:
3449:
3426:
3402:
3375:
3355:
3323:
3291:
3271:
2970:
2906:
2844:
2806:
2762:
2724:
2698:
2660:
2619:
2585:
2565:
2527:
2489:
2451:
2417:
2357:The first isomorphism theorem can be expressed in
2317:
2289:
2269:
2249:
2215:
2195:
2175:
2121:
2093:
2037:
2005:
1985:
1962:
1930:
1910:
1890:
1862:
1831:
1803:
1775:
1743:
1723:
1700:
1668:
1648:
1628:
1600:
1569:
1541:
1513:
1481:
1461:
1437:
1417:
1397:
1369:
1196:
1142:
1122:
1081:
976:
952:
894:
821:
798:
778:
758:
738:
718:
694:
674:
650:
610:
570:
550:
518:
495:
472:
452:
422:
402:
382:
362:
342:
5487:. There is a bijection between the submodules of
2393:whose existence can be deduced from the morphism
1287:
1003:
172:We first present the isomorphism theorems of the
2732:. If it is left split (i.e., there exists some
6361:{\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}
4699:The statements of the isomorphism theorems for
2981:In the second isomorphism theorem, the product
2872:, and a right split is sufficient to produce a
7954:Burris, Stanley; Sankappanavar, H. P. (2012).
7363:, moreover it is a sublattice), then the map
7210:{\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}
3079:"often called the first isomorphism theorem"
8:
7935:Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004).
7764:Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004).
6902:
6814:
6472:
6434:
2543:convention saves us from having to draw the
1337:
1328:
1117:
1108:
8044:Algebra (Graduate Texts in Mathematics, 73)
7930:, vol. 1 (9 ed.), Springer-Verlag
2528:{\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}
164:when applied to groups, appear explicitly.
7711:: CS1 maint: location missing publisher (
5699:, normal subgroups need to be replaced by
2725:{\displaystyle \operatorname {im} \sigma }
2699:{\displaystyle \operatorname {im} \kappa }
806:is still a normal subgroup of the product
7439:
7416:
7368:
7342:
7296:
7276:
7222:
7190:
7160:
7140:
7114:
7094:
7058:
7047:
7036:
7028:
7005:
7000:
6977:
6972:
6948:
6943:
6918:
6859:
6835:
6803:
6798:
6772:
6752:
6726:
6706:
6676:
6667:
6662:
6641:
6629:
6603:
6598:
6577:
6562:
6540:
6519:
6513:
6490:
6446:
6425:
6413:
6393:
6373:
6328:
6322:
6302:
6282:
6262:
6242:
6222:
6181:
6166:
6120:
6090:
6067:
6062:
6042:
6022:
5968:
5948:
5928:
5892:
5854:
5834:
5807:
5802:
5773:
5741:
5718:
5672:
5652:
5629:
5624:
5594:
5571:
5560:
5537:
5532:
5512:
5492:
5472:
5452:
5432:
5400:
5395:
5369:
5358:
5347:
5339:
5307:
5287:
5267:
5232:
5212:
5192:
5169:
5164:
5141:
5136:
5110:
5105:
5082:
5077:
5045:
5025:
5005:
4731:
4730:
4728:
4673:
4668:
4645:
4640:
4618:
4598:
4578:
4555:
4550:
4530:
4510:
4490:
4459:
4448:
4428:
4408:
4376:
4371:
4345:
4334:
4323:
4315:
4283:
4263:
4243:
4208:
4188:
4168:
4145:
4140:
4117:
4112:
4086:
4081:
4058:
4053:
4021:
4001:
3981:
3946:
3926:
3906:
3883:
3878:
3855:
3850:
3824:
3819:
3796:
3791:
3759:
3739:
3719:
3552:
3547:
3527:
3507:
3474:
3469:
3442:
3419:
3395:
3368:
3348:
3304:
3284:
3264:
2930:
2919:
2881:
2819:
2814:), then it must also be right split, and
2794:
2793:
2775:
2737:
2711:
2685:
2644:
2639:
2603:
2598:
2578:
2552:
2502:
2476:
2438:
2398:
2307:
2302:
2282:
2262:
2239:
2228:
2208:
2188:
2168:
2111:
2106:
2080:
2069:
2058:
2050:
2018:
1998:
1978:
1943:
1923:
1903:
1880:
1875:
1852:
1847:
1821:
1816:
1793:
1788:
1756:
1736:
1716:
1681:
1661:
1641:
1618:
1613:
1590:
1585:
1559:
1554:
1531:
1526:
1494:
1474:
1454:
1430:
1410:
1390:
1360:
1359:
1347:
1323:
1316:
1315:
1303:
1281:
1277:
1276:
1267:
1260:
1259:
1245:
1231:
1230:
1218:
1212:
1187:
1186:
1174:
1159:
1135:
1094:
1068:
1064:
1063:
1019:
997:
993:
992:
989:
969:
943:
942:
930:
918:
885:
884:
872:
860:
811:
791:
771:
751:
731:
711:
687:
667:
628:
623:
600:
586:
563:
537:
508:
488:
465:
442:
415:
395:
375:
355:
335:
7271:the set of all congruences that contain
7075:{\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}
5761:{\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}
3039:
2223:. The canonical projection homomorphism
7472:
7470:
7466:
5327:{\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}
5252:{\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}
5065:{\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}
4303:{\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}
4228:{\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}
4041:{\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}
3966:{\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}
3779:{\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}
3324:{\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}
3028:and more general maps between objects.
2661:{\displaystyle G/\operatorname {ker} f}
2038:{\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}
1963:{\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}
1776:{\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}
1701:{\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}
1514:{\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}
984:the normal subgroup of scalar matrices
7814:Burris and Sankappanavar (2012), p. 49
7805:Burris and Sankappanavar (2012), p. 37
7704:
4756:In the following, "module" will mean "
3185:Second or Diamond isomorphism theorem
51:. Versions of the theorems exist for
7892:, vol. 1 (2nd ed.), Dover,
7500:. American Mathematical Soc. p.
7356:{\displaystyle \operatorname {Con} A}
7174:{\displaystyle \operatorname {Con} A}
7128:{\displaystyle \operatorname {Con} A}
6115:. (Note that in the case of a group,
5619:between the lattice of submodules of
3087:Fundamental theorem of homomorphisms
3069:Fundamental theorem of homomorphisms
2328:This theorem is sometimes called the
832:This theorem is sometimes called the
662:Technically, it is not necessary for
39:that describe the relationship among
7:
6786:{\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }
6104:{\displaystyle \operatorname {im} f}
5582:{\displaystyle A\leftrightarrow A/N}
4470:{\displaystyle A\leftrightarrow A/I}
3037:have analogs for rings and modules.
1811:has a normal subgroup isomorphic to
682:to be a normal subgroup, as long as
186:Fundamental theorem on homomorphisms
4745:) are special cases of these. For
3243:The statements of the theorems for
310:This theorem is usually called the
7444:
7436:
7430:
7421:
7381:
7303:
7278:
7229:
7192:
7063:
7055:
7041:
7010:
6982:
6944:
6927:
6919:
6899:
6860:
6836:
6808:
6800:
6780:
6774:
6734:
6728:
6673:
6642:
6608:
6578:
6516:
6469:
6451:
6426:
6375:
6337:
6325:
6284:
6072:
5970:
5836:
5812:
5743:
2297:and the set of (all) subgroups of
14:
7478:Theorems concerning homomorphisms
7217:is a congruence and we denote by
5875:. The resulting structure is the
5647:and the lattice of submodules of
5555:. The correspondence is given by
1123:{\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}
1020:
152:, and van der Waerden himself on
99:, which was published in 1927 in
8015:Grillet, Pierre Antoine (2007),
5912:{\displaystyle f:A\rightarrow B}
4711:. The isomorphism theorems for
2452:{\displaystyle \iota \circ \pi }
2418:{\displaystyle f:G\rightarrow H}
2250:{\displaystyle G\rightarrow G/N}
851:: for example, the group on the
107:and previous papers by Noether.
7989:Modern Algebra: An Introduction
7924:van der Waerden, B. I. (1994),
7796:Dummit and Foote (2004), p. 349
6006:{\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}
3569:{\displaystyle R/\ker \varphi }
3491:{\displaystyle R/\ker \varphi }
2385:in the margin, which shows the
8042:Hungerford, Thomas W. (1980),
7772:. Hoboken, NJ: Wiley. p.
7725:Scott (1964), secs 2.2 and 2.3
7433:
7424:
7410:
7401:
7135:the set of all congruences on
7066:
7052:
7044:
7030:
6940:
6933:
6915:
6908:
6893:
6871:
6865:
6856:
6844:
6832:
6820:
6817:
6638:
6631:
6574:
6567:
6422:
6415:
6355:
6343:
6190:
6171:
6146:
6140:
6131:
6125:
6000:
5994:
5985:
5979:
5903:
5565:
5377:
5363:
5355:
5341:
4453:
4353:
4339:
4331:
4317:
3315:
2962:
2950:
2944:
2924:
2748:
2519:
2409:
2233:
2088:
2074:
2066:
2052:
1364:
1356:
1320:
1312:
1272:
1264:
1235:
1227:
1191:
1183:
947:
939:
889:
881:
645:
633:
597:
588:
33:Noether's isomorphism theorems
16:Group of mathematical theorems
1:
8028:(2 ed.), Prentice Hall,
7957:A Course in Universal Algebra
7677:Dummit, David Steven (2004).
7667:Fraleigh (2003), Chap. 14, 34
7085:Theorem D (universal algebra)
6697:Theorem C (universal algebra)
6657:is isomorphic to the algebra
6213:Theorem B (universal algebra)
5883:Theorem A (universal algebra)
4760:-module" for some fixed ring
1549:has a subgroup isomorphic to
7476:Milne (2013), Chap. 1, sec.
6747:two congruence relations on
6202:{\displaystyle f(xy^{-1})=1}
5608:{\displaystyle A\supseteq N}
4738:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4485:between the set of subrings
3135:Other convention per Grillet
2361:language by saying that the
766:is not a normal subgroup of
430:. Then the following hold:
7744:UChicago Department of Math
6740:{\displaystyle \Phi ,\Psi }
6685:{\displaystyle B/\Phi _{B}}
5768:that forms a subalgebra of
5383:{\displaystyle (M/T)/(S/T)}
5334:, then the quotient module
4545:and the set of subrings of
4359:{\displaystyle (R/I)/(J/I)}
3171:Second isomorphism theorem
3157:Second isomorphism theorem
3146:Second isomorphism theorem
3122:Second isomorphism theorem
3108:Second isomorphism theorem
3093:Second isomorphism theorem
2672:-preimage of itself), then
2381:. This is captured in the
2094:{\displaystyle (G/N)/(K/N)}
651:{\displaystyle S/(S\cap N)}
8086:
8024:Rotman, Joseph J. (2003),
8006:Knapp, Anthony W. (2016),
7496:Algebra: A Graduate Course
7457:is a lattice isomorphism.
6586:{\displaystyle \ ^{\Phi }}
3188:Third isomorphism theorem
3182:First isomorphism theorem
3174:Third isomorphism theorem
3160:Third isomorphism theorem
3154:First isomorphism theorem
3143:Third isomorphism theorem
3140:First isomorphism theorem
3125:First isomorphism theorem
3111:First isomorphism theorem
3090:First isomorphism theorem
3074:Second isomorphism theorem
2340:fourth isomorphism theorem
2156:
2147:fourth isomorphism theorem
2045:, then the quotient group
834:second isomorphism theorem
183:
114:published his influential
8010:(Digital second ed.)
7909:, Chapter II.3 p. 57
7830:Mathematics StackExchange
7596:Jacobson (2009), sec 1.10
7574:10.1007/978-1-84800-988-2
7185:ordered by inclusion. If
7109:be an algebra and denote
6528:{\displaystyle \Phi _{B}}
6152:{\displaystyle f(x)=f(y)}
5868:{\displaystyle A\times A}
5787:{\displaystyle A\times A}
4310:, then the quotient ring
3643: } is a subring of
3192:
3129:
3062:
3057:
3054:
3051:
3048:
3045:
3032:Note on numbers and names
3005:, while the intersection
2135:third isomorphism theorem
1898:for some normal subgroup
1842:Every normal subgroup of
312:first isomorphism theorem
7987:Durbin, John R. (2009).
7913:Milne, James S. (2013),
7649:Grillet (2007), sec. I 5
7630:essentially the same as
7566:The Finite Simple Groups
6650:{\displaystyle ^{\Phi }}
5963:, the relation given by
3515:{\displaystyle \varphi }
3450:{\displaystyle \varphi }
3403:{\displaystyle \varphi }
3356:{\displaystyle \varphi }
3130:Three numbered theorems
3084:van der Waerden, Durbin
2620:{\displaystyle G/\ker f}
2467:is an epimorphism (in a
1993:is a normal subgroup of
1731:is a normal subgroup of
849:projective linear groups
558:is a normal subgroup of
503:is a normal subgroup of
410:be a normal subgroup of
8026:Advanced Modern Algebra
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5818:{\displaystyle A/\Phi }
3205:Correspondence theorem
2680:of the normal subgroup
853:complex projective line
551:{\displaystyle S\cap N}
162:two laws of isomorphism
124:textbook that took the
8019:(2 ed.), Springer
7939:. Hoboken, NJ: Wiley.
7640:Knapp (2016), sec IV 2
7620:Durbin (2009), sec. 54
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195:
7991:(6 ed.). Wiley.
7978:Scott, W. R. (1964),
7867:(1927) pp. 26–61
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6535:is a congruence on
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3042:
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2383:commutative diagram
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279: / ker(
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1646:
1636:for some subgroup
1626:
1598:
1580:Every subgroup of
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7583:978-1-4471-2527-3
7562:Wilson, Robert A.
7547:978-0-471-87731-8
7536:. Wiley. p.
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7148:{\displaystyle A}
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3689:) are isomorphic.
3650:The intersection
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