1308:
735:
1663:
1303:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&\equiv -2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left,\\\cos(z\sin \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&\equiv 2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left.\end{aligned}}}
1319:
1658:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{2\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu }(x)&={\frac {1}{3}}\left,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{4\nu }(x)&=\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}
1791:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 355.
719:
183:
467:
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1796:
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1906:
1901:
714:{\displaystyle e^{iz\cos \theta }\equiv J_{0}(z)\,+\,2\,\sum _{n=1}^{\infty }\,i^{n}\,J_{n}(z)\,\cos \,(n\theta ).}
475:
56:
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52:
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178:{\displaystyle e^{iz\cos \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta },}
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1774:
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462:{\displaystyle e^{iz\sin \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in\theta }.}
1814:
275:
1877:
1810:
1734:
Sung, S.; Hovden, R. (2022). "On
Infinite Series of Bessel functions of the First Kind".
311:
559:
269:
251:
227:
1895:
1851:; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008),
16:
Expansion of exponentials of trigonometric functions in the basis of their harmonics
1778:
1788:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
1782:
1722:
20:
1848:
40:
35:
in the basis of their harmonics. It is useful in physics (for example, to
55:
signals). This identity is named after the 19th-century mathematicians
1755:
Watson, G.N. (1922). "A treatise on the theory of bessel functions".
1822:
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1806:
729:
The following real-valued variations are often useful as well:
1834:, Applied Mathematical Sciences, vol. 93 (2nd ed.),
1832:
Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory
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314:
278:
1853:
Handbook of continued fractions for special functions
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1313:Similarly useful expressions from the Sung Series:
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66:The most general identity is given by:
354:{\textstyle \theta -{\frac {\pi }{2}}}
1830:Colton, David; Kress, Rainer (1998),
31:) is an expansion of exponentials of
7:
1880:. MathWorld — a Wolfram web resource
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1578:
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14:
246:Bessel function of the first kind
1696:Colton & Kress (1998) p. 32.
1721:Abramowitz & Stegun (1965)
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1923:
1757:Cambridge University Press
576:, the expansion becomes:
1878:"Jacobi–Anger expansion"
217:{\displaystyle J_{n}(z)}
1907:Mathematical identities
725:Real-valued expressions
33:trigonometric functions
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472:Using the relation
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