25:
768:
2233:
82:
472:
3298:
971:
3106:
763:{\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}
3456:-space into potential flow around a semi-infinite straight line. Further, values of the power less than 2 will result in flow around a finite angle. So, by changing the power in the Joukowsky transform to a value slightly less than 2, the result is a finite angle instead of a cusp. Replacing 2 by
1500:
3783:
3122:
1988:
2458:-plane, analogue to the definition of the Joukowsky airfoil—has a non-zero angle at the trailing edge, between the upper and lower airfoil surface. The Kármán–Trefftz transform therefore requires an additional parameter: the trailing-edge angle
1845:
1340:
819:
2873:
2618:
3999:
3567:
3394:
1315:
2828:
477:
418:, generates the broader class of Kármán–Trefftz airfoils by controlling the trailing edge angle. When a trailing edge angle of zero is specified, the Kármán–Trefftz transform reduces to the Joukowsky transform.
1715:
3127:
1893:
824:
1050:
3676:
3293:{\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}}
167:
1750:
1554:
1100:
244:
401:
1152:
2319:
2042:
2354:
3838:
2694:
1583:
1199:
3434:
2865:
3806:
3648:
966:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right),\\y&=\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}
358:
332:
2479:
3668:
3101:{\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left^{2}}}.}
2734:
2380:
2174:
1737:
1610:
3454:
2436:
2255:
1335:
444:
303:
205:
2096:
2069:
2489:
305:-plane. The coordinates of the centre of the circle are variables, and varying them modifies the shape of the resulting airfoil. The circle encloses the point
3628:
3590:
3474:
2758:
2714:
2654:
2456:
2400:
2278:
2214:
2194:
2136:
2116:
1888:
1868:
1637:
811:
791:
464:
283:
1495:{\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}
3808:
yields a flat plate when zero, and a circle when infinite; thus it corresponds to the thickness of the airfoil. Furthermore the radius of the cylinder
3482:
3309:
1216:
1241:
986:
2766:
46:
1642:
3988:
3908:
68:
4018:
3778:{\displaystyle z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).}
4043:
1059:
4048:
3857:
2414:
is a conformal map closely related to the
Joukowsky transform. While a Joukowsky airfoil has a cusped trailing edge, a
1740:
118:
4038:
39:
33:
1983:{\displaystyle W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.}
3927:(1981). "Some Characteristic Quantities of Karman-Trefftz Profiles" (Document). NASA Technical Memorandum TM-77013.
130:
50:
1228:
1510:
2217:
214:
363:
2285:
1995:
1107:
2323:
3924:
3888:
3811:
1840:{\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).}
90:
85:
Example of a
Joukowsky transform. The circle above is transformed into the Joukowsky airfoil below.
3900:
2659:
1561:
407:
3410:
2836:
1157:
3791:
3633:
1890:-plane is, according to the rules of conformal mapping and using the Joukowsky transformation,
337:
308:
3984:
3904:
2461:
1220:
3653:
2719:
2359:
2141:
1722:
1595:
3954:
3892:
3439:
2421:
2403:
2240:
1320:
429:
288:
175:
2613:{\displaystyle z=nb{\frac {(\zeta +b)^{n}+(\zeta -b)^{n}}{(\zeta +b)^{n}-(\zeta -b)^{n}}},}
2074:
2047:
3938:
3607:
3400:
2232:
1744:
1613:
3893:
3436:
From conformal mapping theory, this quadratic map is known to change a half plane in the
1204:
Thus the complex unit circle maps to a flat plate on the real-number line from −2 to +2.
2216:
real-valued). From this velocity, other properties of interest of the flow, such as the
3613:
3575:
3459:
3404:
2743:
2699:
2639:
2441:
2385:
2263:
2199:
2179:
2121:
2101:
1873:
1853:
1622:
796:
776:
449:
268:
254:
208:
4032:
411:
262:
110:
2221:
1586:
1224:
250:
81:
3562:{\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},}
3389:{\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}
981:
The transformation of all complex numbers on the unit circle is a special case.
4023:
1310:{\displaystyle {\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},}
2740:
of the upper and lower airfoil surfaces at the trailing edge is related to
3116:
First, add and subtract 2 from the
Joukowsky transform, as given above:
1207:
Transformations from other circles make a wide range of airfoil shapes.
3959:
3942:
2737:
114:
2823:{\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}
1232:
2231:
80:
3983:(Second ed.). Toronto: McGraw–Hill. pp. 195–208.
1710:{\textstyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}
4003:
3860:(1910). "Über die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger".
2236:
Example of a Kármán–Trefftz transform. The circle above in the
285:-plane) by applying the Joukowsky transform to a circle in the
18:
2259:
is transformed into the Kármán–Trefftz airfoil below, in the
257:
around a class of airfoils known as
Joukowsky airfoils. A
2418:—which is the result of the transform of a circle in the
1045:{\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,}
253:, the transform is used to solve for the two-dimensional
3403:
contains (as a factor) the simple second-power law from
1211:
Velocity field and circulation for the
Joukowsky airfoil
334:(where the derivative is zero) and intersects the point
2656:
is a real constant that determines the positions where
360:
This can be achieved for any allowable centre position
1645:
1556:
is the complex coordinate of the centre of the circle,
1160:
1110:
3814:
3794:
3679:
3656:
3636:
3630:
into a symmetrical airfoil that depends on parameter
3616:
3578:
3485:
3462:
3442:
3413:
3312:
3125:
2876:
2839:
2769:
2746:
2722:
2702:
2662:
2642:
2492:
2464:
2444:
2424:
2388:
2362:
2326:
2288:
2266:
2243:
2202:
2182:
2144:
2124:
2104:
2077:
2050:
1998:
1896:
1876:
1856:
1753:
1725:
1625:
1598:
1564:
1513:
1343:
1323:
1244:
1062:
989:
822:
799:
779:
475:
452:
432:
366:
340:
311:
291:
271:
217:
178:
133:
1616:
of the airfoil with respect to the freestream flow,
3862:
3572:which is the Kármán–Trefftz transform. Solving for
113:historically used to understand some principles of
3832:
3800:
3777:
3662:
3642:
3622:
3584:
3561:
3468:
3448:
3428:
3388:
3292:
3100:
2859:
2822:
2752:
2728:
2708:
2688:
2648:
2612:
2473:
2450:
2430:
2394:
2374:
2348:
2313:
2272:
2249:
2208:
2188:
2168:
2130:
2110:
2090:
2063:
2036:
1982:
1882:
1862:
1839:
1731:
1709:
1631:
1604:
1577:
1548:
1494:
1329:
1309:
1193:
1146:
1094:
1044:
965:
805:
785:
762:
458:
438:
395:
352:
326:
297:
277:
238:
199:
161:
3943:"Symmetrical Joukowsky airfoils in shear flow"
1639:is the radius of the circle, calculated using
426:The Joukowsky transform of any complex number
3303:Dividing the left and right hand sides gives
2867:, required to compute the velocity field, is
246:is a complex variable in the original space.
162:{\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},}
8:
3610:published a transform of a circle of radius
1223:and well known. It is the superposition of
414:. A closely related conformal mapping, the
3407:theory, applied at the trailing edge near
3958:
3813:
3793:
3747:
3737:
3716:
3690:
3678:
3655:
3635:
3615:
3577:
3550:
3520:
3486:
3484:
3461:
3441:
3412:
3377:
3347:
3313:
3311:
3277:
3251:
3238:
3197:
3171:
3158:
3126:
3124:
3087:
3076:
3061:
3040:
3025:
3000:
2985:
2967:
2952:
2937:
2922:
2910:
2900:
2877:
2875:
2846:
2838:
2807:
2768:
2745:
2721:
2701:
2669:
2661:
2641:
2598:
2573:
2549:
2524:
2505:
2491:
2463:
2443:
2423:
2387:
2361:
2331:
2325:
2293:
2287:
2265:
2242:
2201:
2181:
2143:
2123:
2103:
2082:
2076:
2055:
2049:
2025:
2009:
1997:
1966:
1957:
1940:
1938:
1905:
1903:
1895:
1875:
1855:
1818:
1812:
1800:
1770:
1752:
1724:
1699:
1694:
1681:
1670:
1652:
1644:
1624:
1597:
1569:
1563:
1540:
1524:
1512:
1480:
1453:
1443:
1433:
1426:
1388:
1373:
1363:
1345:
1344:
1342:
1322:
1298:
1287:
1286:
1273:
1262:
1261:
1246:
1245:
1243:
1217:potential flow around a circular cylinder
1159:
1109:
1080:
1067:
1061:
1025:
1012:
1006:
998:
990:
988:
942:
929:
919:
874:
861:
851:
823:
821:
798:
778:
739:
726:
716:
682:
669:
659:
626:
613:
592:
546:
511:
476:
474:
451:
431:
387:
371:
365:
339:
310:
290:
270:
216:
177:
146:
132:
69:Learn how and when to remove this message
32:This article includes a list of general
3849:
2716:is slightly smaller than 2. The angle
1549:{\displaystyle \mu =\mu _{x}+i\mu _{y}}
16:In mathematics, a type of conformal map
4024:Joukowsky Transform Interactive WebApp
1095:{\displaystyle \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}
3899:(4th ed.). Dover Publ. pp.
2402:-plane has been normalised using the
403:by varying the radius of the circle.
7:
4000:"Low Mach number Euler computations"
3883:
3881:
3879:
2483:
2224:per unit of span can be calculated.
1154:and the imaginary component becomes
239:{\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }
1771:
1754:
1726:
1570:
1434:
1394:
1364:
396:{\displaystyle \mu _{x}+i\mu _{y}}
38:it lacks sufficient corresponding
14:
3592:gives it in the form of equation
3947:Quarterly of Applied Mathematics
1747:, which reduces in this case to
1147:{\textstyle x=\chi (1+1)=2\chi }
23:
4019:Joukowski Transform NASA Applet
3476:in the previous equation gives
2794:
2314:{\displaystyle \mu _{x}=-0.08,}
2098:the velocity components in the
2037:{\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}
1238:The complex conjugate velocity
3602:Symmetrical Joukowsky airfoils
3274:
3261:
3194:
3181:
2595:
2582:
2570:
2557:
2546:
2533:
2521:
2508:
2349:{\displaystyle \mu _{y}=+0.08}
1477:
1464:
1417:
1405:
1182:
1170:
1132:
1120:
1104:So the real component becomes
999:
991:
1:
3833:{\displaystyle a=1+\epsilon }
2382:Note that the airfoil in the
3981:Fundamentals of Aerodynamics
2689:{\displaystyle dz/d\zeta =0}
121:, who published it in 1910.
3594:
2282:. The parameters used are:
1578:{\displaystyle V_{\infty }}
1194:{\textstyle y=\eta (1-1)=0}
422:General Joukowsky transform
4065:
3429:{\displaystyle \zeta =+1.}
2860:{\displaystyle dz/d\zeta }
1870:around the airfoil in the
406:Joukowsky airfoils have a
117:design. It is named after
97:(sometimes transliterated
3801:{\displaystyle \epsilon }
3650:and angle of inclination
3643:{\displaystyle \epsilon }
2138:directions respectively (
1317:around the circle in the
353:{\displaystyle \zeta =1.}
327:{\displaystyle \zeta =-1}
3895:Theoretical aerodynamics
2474:{\displaystyle \alpha .}
2412:Kármán–Trefftz transform
2228:Kármán–Trefftz transform
977:Sample Joukowsky airfoil
416:Kármán–Trefftz transform
3979:Anderson, John (1991).
3889:Milne-Thomson, Louis M.
3663:{\displaystyle \alpha }
2729:{\displaystyle \alpha }
2438:-plane to the physical
2375:{\displaystyle n=1.94.}
2218:coefficient of pressure
2169:{\displaystyle z=x+iy,}
1732:{\displaystyle \Gamma }
1605:{\displaystyle \alpha }
53:more precise citations.
3834:
3802:
3779:
3664:
3644:
3624:
3586:
3563:
3470:
3450:
3449:{\displaystyle \zeta }
3430:
3390:
3294:
3102:
2861:
2824:
2754:
2730:
2710:
2690:
2650:
2614:
2475:
2452:
2432:
2431:{\displaystyle \zeta }
2416:Kármán–Trefftz airfoil
2407:
2396:
2376:
2350:
2315:
2274:
2251:
2250:{\displaystyle \zeta }
2210:
2190:
2170:
2132:
2112:
2092:
2065:
2038:
1984:
1884:
1864:
1841:
1733:
1711:
1633:
1606:
1579:
1550:
1496:
1331:
1330:{\displaystyle \zeta }
1311:
1195:
1148:
1096:
1046:
967:
807:
787:
764:
460:
440:
439:{\displaystyle \zeta }
397:
354:
328:
299:
298:{\displaystyle \zeta }
279:
240:
201:
200:{\displaystyle z=x+iy}
163:
86:
4044:Aircraft aerodynamics
3998:Zingg, D. W. (1989).
3868:: 281–284 and (1912)
3835:
3803:
3780:
3665:
3645:
3625:
3587:
3564:
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