36:
779:
2244:
93:
483:
3309:
982:
3117:
774:{\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}
3467:-space into potential flow around a semi-infinite straight line. Further, values of the power less than 2 will result in flow around a finite angle. So, by changing the power in the Joukowsky transform to a value slightly less than 2, the result is a finite angle instead of a cusp. Replacing 2 by
1511:
3794:
3133:
1999:
2469:-plane, analogue to the definition of the Joukowsky airfoil—has a non-zero angle at the trailing edge, between the upper and lower airfoil surface. The Kármán–Trefftz transform therefore requires an additional parameter: the trailing-edge angle
1856:
1351:
830:
2884:
2629:
4010:
3578:
3405:
1326:
2839:
488:
429:, generates the broader class of Kármán–Trefftz airfoils by controlling the trailing edge angle. When a trailing edge angle of zero is specified, the Kármán–Trefftz transform reduces to the Joukowsky transform.
1726:
3138:
1904:
835:
1061:
3687:
3304:{\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}}
178:
1761:
1565:
1111:
255:
412:
1163:
2330:
2053:
2365:
3849:
2705:
1594:
1210:
3445:
2876:
3817:
3659:
977:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right),\\y&=\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}
369:
343:
2490:
3679:
3112:{\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left^{2}}}.}
2745:
2391:
2185:
1748:
1621:
3465:
2447:
2266:
1346:
455:
314:
216:
2107:
2080:
2500:
316:-plane. The coordinates of the centre of the circle are variables, and varying them modifies the shape of the resulting airfoil. The circle encloses the point
3639:
3601:
3485:
2769:
2725:
2665:
2467:
2411:
2289:
2225:
2205:
2147:
2127:
1899:
1879:
1648:
822:
802:
475:
294:
1506:{\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}
3819:
yields a flat plate when zero, and a circle when infinite; thus it corresponds to the thickness of the airfoil. Furthermore the radius of the cylinder
3493:
3320:
1227:
1252:
997:
2777:
57:
1653:
3999:
3919:
79:
4029:
3789:{\displaystyle z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).}
4054:
1070:
4059:
3868:
2425:
is a conformal map closely related to the
Joukowsky transform. While a Joukowsky airfoil has a cusped trailing edge, a
1751:
129:
4049:
50:
44:
1994:{\displaystyle W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.}
3938:(1981). "Some Characteristic Quantities of Karman-Trefftz Profiles" (Document). NASA Technical Memorandum TM-77013.
141:
61:
1239:
1521:
2228:
225:
374:
2296:
2006:
1118:
2334:
3935:
3899:
3822:
1851:{\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).}
101:
96:
Example of a
Joukowsky transform. The circle above is transformed into the Joukowsky airfoil below.
3911:
2670:
1572:
418:
3421:
2847:
1168:
3802:
3644:
1901:-plane is, according to the rules of conformal mapping and using the Joukowsky transformation,
348:
319:
3995:
3915:
2472:
1231:
3664:
2730:
2370:
2152:
1733:
1606:
3965:
3903:
3450:
2432:
2414:
2251:
1331:
440:
299:
186:
2624:{\displaystyle z=nb{\frac {(\zeta +b)^{n}+(\zeta -b)^{n}}{(\zeta +b)^{n}-(\zeta -b)^{n}}},}
2085:
2058:
3949:
3618:
3411:
2243:
1755:
1624:
3904:
3447:
From conformal mapping theory, this quadratic map is known to change a half plane in the
1215:
Thus the complex unit circle maps to a flat plate on the real-number line from −2 to +2.
2227:
real-valued). From this velocity, other properties of interest of the flow, such as the
17:
3624:
3586:
3470:
3415:
2754:
2710:
2650:
2452:
2396:
2274:
2210:
2190:
2132:
2112:
1884:
1864:
1633:
807:
787:
460:
279:
265:
219:
4043:
422:
273:
121:
2232:
1597:
1235:
261:
92:
3573:{\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},}
3400:{\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}
992:
The transformation of all complex numbers on the unit circle is a special case.
4034:
1321:{\displaystyle {\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},}
2751:
of the upper and lower airfoil surfaces at the trailing edge is related to
3127:
First, add and subtract 2 from the
Joukowsky transform, as given above:
1218:
Transformations from other circles make a wide range of airfoil shapes.
3970:
3953:
2748:
125:
2834:{\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}
1243:
2242:
91:
3994:(Second ed.). Toronto: McGraw–Hill. pp. 195–208.
1721:{\textstyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}
4014:
3871:(1910). "Über die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger".
2247:
Example of a Kármán–Trefftz transform. The circle above in the
296:-plane) by applying the Joukowsky transform to a circle in the
29:
2270:
is transformed into the Kármán–Trefftz airfoil below, in the
268:
around a class of airfoils known as
Joukowsky airfoils. A
2429:—which is the result of the transform of a circle in the
1056:{\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,}
264:, the transform is used to solve for the two-dimensional
3414:
contains (as a factor) the simple second-power law from
1222:
Velocity field and circulation for the
Joukowsky airfoil
345:(where the derivative is zero) and intersects the point
2667:
is a real constant that determines the positions where
371:
This can be achieved for any allowable centre position
1656:
1567:
is the complex coordinate of the centre of the circle,
1171:
1121:
3825:
3805:
3690:
3667:
3647:
3641:
into a symmetrical airfoil that depends on parameter
3627:
3589:
3496:
3473:
3453:
3424:
3323:
3136:
2887:
2850:
2780:
2757:
2733:
2713:
2673:
2653:
2503:
2475:
2455:
2435:
2399:
2373:
2337:
2299:
2277:
2254:
2213:
2193:
2155:
2135:
2115:
2088:
2061:
2009:
1907:
1887:
1867:
1764:
1736:
1636:
1609:
1575:
1524:
1354:
1334:
1255:
1073:
1000:
833:
810:
790:
486:
463:
443:
377:
351:
322:
302:
282:
228:
189:
144:
1627:
of the airfoil with respect to the freestream flow,
3873:
3583:which is the Kármán–Trefftz transform. Solving for
124:historically used to understand some principles of
3843:
3811:
3788:
3673:
3653:
3633:
3595:
3572:
3479:
3459:
3439:
3399:
3303:
3111:
2870:
2833:
2763:
2739:
2719:
2699:
2659:
2623:
2484:
2461:
2441:
2405:
2385:
2359:
2324:
2283:
2260:
2219:
2199:
2179:
2141:
2121:
2101:
2074:
2047:
1993:
1893:
1873:
1850:
1742:
1720:
1642:
1615:
1588:
1559:
1505:
1340:
1320:
1204:
1157:
1105:
1055:
976:
816:
796:
773:
469:
449:
406:
363:
337:
308:
288:
249:
210:
172:
3954:"Symmetrical Joukowsky airfoils in shear flow"
1650:is the radius of the circle, calculated using
437:The Joukowsky transform of any complex number
3314:Dividing the left and right hand sides gives
2878:, required to compute the velocity field, is
257:is a complex variable in the original space.
173:{\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},}
8:
3621:published a transform of a circle of radius
1234:and well known. It is the superposition of
425:. A closely related conformal mapping, the
3418:theory, applied at the trailing edge near
3969:
3824:
3804:
3758:
3748:
3727:
3701:
3689:
3666:
3646:
3626:
3588:
3561:
3531:
3497:
3495:
3472:
3452:
3423:
3388:
3358:
3324:
3322:
3288:
3262:
3249:
3208:
3182:
3169:
3137:
3135:
3098:
3087:
3072:
3051:
3036:
3011:
2996:
2978:
2963:
2948:
2933:
2921:
2911:
2888:
2886:
2857:
2849:
2818:
2779:
2756:
2732:
2712:
2680:
2672:
2652:
2609:
2584:
2560:
2535:
2516:
2502:
2474:
2454:
2434:
2398:
2372:
2342:
2336:
2304:
2298:
2276:
2253:
2212:
2192:
2154:
2134:
2114:
2093:
2087:
2066:
2060:
2036:
2020:
2008:
1977:
1968:
1951:
1949:
1916:
1914:
1906:
1886:
1866:
1829:
1823:
1811:
1781:
1763:
1735:
1710:
1705:
1692:
1681:
1663:
1655:
1635:
1608:
1580:
1574:
1551:
1535:
1523:
1491:
1464:
1454:
1444:
1437:
1399:
1384:
1374:
1356:
1355:
1353:
1333:
1309:
1298:
1297:
1284:
1273:
1272:
1257:
1256:
1254:
1228:potential flow around a circular cylinder
1170:
1120:
1091:
1078:
1072:
1036:
1023:
1017:
1009:
1001:
999:
953:
940:
930:
885:
872:
862:
834:
832:
809:
789:
750:
737:
727:
693:
680:
670:
637:
624:
603:
557:
522:
487:
485:
462:
442:
398:
382:
376:
350:
321:
301:
281:
227:
188:
157:
143:
80:Learn how and when to remove this message
43:This article includes a list of general
3860:
2727:is slightly smaller than 2. The angle
1560:{\displaystyle \mu =\mu _{x}+i\mu _{y}}
27:In mathematics, a type of conformal map
4035:Joukowsky Transform Interactive WebApp
1106:{\displaystyle \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}
3910:(4th ed.). Dover Publ. pp.
2413:-plane has been normalised using the
414:by varying the radius of the circle.
7:
4011:"Low Mach number Euler computations"
3894:
3892:
3890:
2494:
2235:per unit of span can be calculated.
1165:and the imaginary component becomes
250:{\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }
1782:
1765:
1737:
1581:
1445:
1405:
1375:
407:{\displaystyle \mu _{x}+i\mu _{y}}
49:it lacks sufficient corresponding
25:
3603:gives it in the form of equation
3958:Quarterly of Applied Mathematics
1758:, which reduces in this case to
1158:{\textstyle x=\chi (1+1)=2\chi }
34:
4030:Joukowski Transform NASA Applet
3487:in the previous equation gives
2805:
2325:{\displaystyle \mu _{x}=-0.08,}
2109:the velocity components in the
2048:{\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}
1249:The complex conjugate velocity
3613:Symmetrical Joukowsky airfoils
3285:
3272:
3205:
3192:
2606:
2593:
2581:
2568:
2557:
2544:
2532:
2519:
2360:{\displaystyle \mu _{y}=+0.08}
1488:
1475:
1428:
1416:
1193:
1181:
1143:
1131:
1115:So the real component becomes
1010:
1002:
1:
3844:{\displaystyle a=1+\epsilon }
2393:Note that the airfoil in the
3992:Fundamentals of Aerodynamics
2700:{\displaystyle dz/d\zeta =0}
132:, who published it in 1910.
3605:
2293:. The parameters used are:
1589:{\displaystyle V_{\infty }}
1205:{\textstyle y=\eta (1-1)=0}
433:General Joukowsky transform
4076:
3440:{\displaystyle \zeta =+1.}
2871:{\displaystyle dz/d\zeta }
1881:around the airfoil in the
417:Joukowsky airfoils have a
128:design. It is named after
108:(sometimes transliterated
3812:{\displaystyle \epsilon }
3661:and angle of inclination
3654:{\displaystyle \epsilon }
2149:directions respectively (
1328:around the circle in the
364:{\displaystyle \zeta =1.}
338:{\displaystyle \zeta =-1}
3906:Theoretical aerodynamics
2485:{\displaystyle \alpha .}
2423:Kármán–Trefftz transform
2239:Kármán–Trefftz transform
988:Sample Joukowsky airfoil
427:Kármán–Trefftz transform
18:Kármán–Trefftz transform
3990:Anderson, John (1991).
3900:Milne-Thomson, Louis M.
3674:{\displaystyle \alpha }
2740:{\displaystyle \alpha }
2449:-plane to the physical
2386:{\displaystyle n=1.94.}
2229:coefficient of pressure
2180:{\displaystyle z=x+iy,}
1743:{\displaystyle \Gamma }
1616:{\displaystyle \alpha }
64:more precise citations.
3845:
3813:
3790:
3675:
3655:
3635:
3597:
3574:
3481:
3461:
3460:{\displaystyle \zeta }
3441:
3401:
3305:
3113:
2872:
2835:
2765:
2741:
2721:
2701:
2661:
2625:
2486:
2463:
2443:
2442:{\displaystyle \zeta }
2427:Kármán–Trefftz airfoil
2418:
2407:
2387:
2361:
2326:
2285:
2262:
2261:{\displaystyle \zeta }
2221:
2201:
2181:
2143:
2123:
2103:
2076:
2049:
1995:
1895:
1875:
1852:
1744:
1722:
1644:
1617:
1590:
1561:
1507:
1342:
1341:{\displaystyle \zeta }
1322:
1206:
1159:
1107:
1057:
978:
818:
798:
775:
471:
451:
450:{\displaystyle \zeta }
408:
365:
339:
310:
309:{\displaystyle \zeta }
290:
251:
212:
211:{\displaystyle z=x+iy}
174:
97:
4055:Aircraft aerodynamics
4009:Zingg, D. W. (1989).
3879:: 281–284 and (1912)
3846:
3814:
3791:
3676:
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