6242:
8186:
2668:
Because Kähler differentials are compatible with localization, they may be constructed on a general scheme by performing either of the two definitions above on affine open subschemes and gluing. However, the second definition has a geometric interpretation that globalizes immediately. In this
6051:
4397:
4593:
5970:
1181:
5031:
4169:
142:). Kähler differentials formalize the observation that the derivatives of polynomials are again polynomial. In this sense, differentiation is a notion which can be expressed in purely algebraic terms. This observation can be turned into a definition of the module
3992:
5531:
907:
579:
6372:
2341:
1421:
6539:
3450:
3748:
2658:
4700:
8410:
5184:
2134:
8066:
4244:
1879:
8438:
become isomorphic. Choosing bases of these rational subspaces (also called lattices), the determinant of the base-change matrix is a complex number, well defined up to multiplication by a rational number. Such numbers are
6237:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}}
4260:
8612:
3231:
4441:
5852:
8625:
is a homology theory for associative rings that turns out to be closely related to Kähler differentials. This is because of the
Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem which states that the Hochschild homology
7918:
1720:
1054:
7261:
5767:
4851:
2874:
4914:
1990:
6602:
6043:
1248:
5640:
3817:
3864:
4003:
2932:
2460:. Briefly, these are generated by the differentials of the variables and have relations coming from the differentials of the equations. For example, for a single polynomial in a single variable,
8024:
6728:
7406:
6056:
5857:
4906:
3637:
8335:
8276:
6882:
6831:
4433:
3872:
1305:
5425:
1789:
799:
2458:
1037:
8703:
2976:
5844:
5417:
5276:
978:
481:
6279:
5317:
425:
3537:
2220:
7793:
7176:
4774:
3007:
5574:
321:
8663:
7707:
6970:
3325:
7437:
3284:
2772:
787:
8219:
8058:
7863:
7759:
7607:
7516:
7141:
6643:
6406:
5665:
2805:
2212:
1319:
378:
178:
8436:
6447:
6780:
5066:
2025:
3260:
7066:
7028:
7568:
3116:
3084:
2748:
248:
7957:
7656:
6459:
4739:
2171:
3352:
3593:
3565:
3491:
1556:
8743:
8723:
6990:
3866:, its cotangent sheaf can be computed from the sheafification of the cotangent module on the underlying graded algebra. For example, consider the complex curve
3345:
3136:
9055:
3645:
2466:
4604:
8344:
8181:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).}
7523:
5088:
2043:
4180:
4392:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} }{(xy-t)}}\right)=\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )=Y}
9326:
Fu, Guofeng; Halás, Miroslav; Li, Ziming (2011), "Some remarks on Kähler differentials and ordinary differentials in nonlinear control systems",
8749:
enhancement of this theorem states that the
Hochschild homology of a differential graded algebra is isomorphic to the derived de-Rham complex.
8528:
3143:
2353:
The latter sequence and the above computation for the polynomial ring allows the computation of the Kähler differentials of finitely generated
4588:{\displaystyle {\widetilde {R\cdot dt}}\to {\widetilde {\frac {R\cdot dt\oplus R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy-dt}}}\to \Omega _{X/Y}\to 0}
9262:
9211:
8818:
5965:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}}
1176:{\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}
9354:
1797:
7871:
5026:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }
1574:
8865:
7194:
5673:
4782:
2815:
199:
3039:
which is similarly universal. It is therefore the sheaf associated to the module of Kähler differentials for the rings underlying
1910:
9254:
5978:
1192:
6551:
5582:
4164:{\displaystyle \Omega _{R/\mathbb {C} }={\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy\oplus R\cdot dz}{nx^{n-1}dx+ny^{n-1}dy-nz^{n-1}dz}}}
3756:
9296:
5975:
and all other algebraic de Rham cohomology groups are zero. By way of comparison, the algebraic de Rham cohomology groups of
3830:
7933:
are, broadly speaking, integrals of certain arithmetically defined differential forms. The simplest example of a period is
2879:
9387:
9203:
8338:
7965:
6659:
7334:
4859:
3054:
Similar to the commutative algebra case, there exist exact sequences associated to morphisms of schemes. Given morphisms
9397:
9382:
8939:
8833:
7271:
3598:
8289:
8230:
6836:
6785:
4405:
9392:
8921:
5190:
3987:{\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {C} }{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)=\operatorname {Proj} (R)}
5526:{\displaystyle 0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }
9233:
8746:
8458:
7447:. There is a rather sharp trichotomy of geometric and arithmetic properties depending on the genus of a curve, for
5667:
Because this is an affine scheme, hypercohomology reduces to ordinary cohomology. The algebraic de Rham complex is
1256:
902:{\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}
9328:
9198:
6270:
7519:
6613:
5332:
2683:
2362:
995:
8975:
8668:
2937:
574:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}
6367:{\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})}
9012:
8462:
8454:
5781:
5373:
5232:
2336:{\displaystyle I/I^{2}{\xrightarrow {\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to 0.}
924:
9132:
9121:
9046:
8753:
7076:
6252:
6248:
5340:
5281:
1885:
383:
3496:
9157:
7767:
7150:
6900:
6645:, then the inclusion of the subcomplex of algebraic differential forms into that of all smooth forms on
4748:
2981:
1745:
5539:
268:
8629:
1416:{\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}
8279:
7671:
6906:
6449:
denotes the complex analytification functor. This map is far from being an isomorphism. Nonetheless,
3289:
2028:
1726:
448:
428:
336:
47:
9357:
on p-adic algebraic de-Rham cohomology - gives many computations over characteristic 0 as motivation
9107:
7414:
3265:
2753:
1063:
808:
759:
8622:
8283:
8197:
8038:
7798:
7762:
7729:
7659:
7577:
7571:
7486:
7462:
7111:
6889:
6384:
5645:
5347:
2777:
2182:
348:
216:
148:
125:
115:
55:
9125:
8419:
6619:
9174:
9143:, Advanced studies in pure mathematics, vol. 3, Amsterdam: North-Holland, pp. 306–358,
9088:
9021:
8896:
7068:. Other counterexamples can be found in algebraic plane curves with isolated singularities whose
6605:
6545:
6419:
5039:
1998:
1895:
441:
derivation in the sense that any other derivation may be obtained from it by composition with an
59:
9240:
6737:
3239:
8029:
Algebraic de Rham cohomology is used to construct periods as follows: For an algebraic variety
7033:
6995:
6734:
then as shown above, the computation of algebraic de Rham cohomology gives explicit generators
6534:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})}
9258:
9207:
9072:
8933:
8827:
8814:
8191:
On the other hand, the right hand cohomology group is isomorphic to de Rham cohomology of the
7541:
7305:
7281:
7276:
6650:
3089:
3057:
2721:
2347:
221:
105:
39:
3445:{\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \Omega _{Y/Z}|_{X}\to \Omega _{X/Z}\to 0}
9337:
9315:
9305:
9276:
9193:
9182:
9166:
9064:
9031:
8880:
8192:
7936:
7618:
6409:
5198:
4718:
790:
43:
9272:
9221:
9148:
9084:
8892:
2706:. This construction therefore has a more geometric flavor, in the sense that the notion of
2142:
9319:
9280:
9268:
9217:
9186:
9144:
9080:
8904:
8888:
8488:
7929:
7719:
7440:
7301:
7289:
5350:
of other quasi-coherent sheaves, the computation of de Rham cohomology is simplified when
5210:
5069:
2809:
2715:
2711:
1495:
135:
7411:
For curves, this purely algebraic definition agrees with the topological definition (for
3570:
3542:
3468:
1500:
51:
3743:{\displaystyle \pi ^{*}\Omega _{K/k}^{1}\to \Omega _{Y/k}^{1}\to \Omega _{Y/K}^{1}\to 0}
2653:{\displaystyle \Omega _{(R/(f))/R}\cong (R\,dt\otimes R/(f))/(df)\cong R/(f,df/dt)\,dt.}
9136:
9097:
8728:
8708:
8441:
7538:
The sheaf of differentials is related to various algebro-geometric notions. A morphism
7474:
7458:
7454:
6975:
4742:
4695:{\displaystyle \Omega _{X/Y}={\widetilde {\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy}}}}
3330:
3121:
754:
139:
67:
9050:
9376:
9092:
8405:{\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}
7723:
7285:
7144:
7069:
5080:
9288:
8900:
5370:
are affine schemes. In this case, because affine schemes have no higher cohomology,
17:
9341:
7866:
263:
7284:
and therefore appears in various important theorems in algebraic geometry such as
5179:{\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.}
2129:{\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.}
8757:
8060:
the above-mentioned compatibility with base-change yields a natural isomorphism
7267:
4239:{\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }={\widetilde {\Omega _{R/\mathbb {C} }}}}
31:
8756:
is, in very rough terms, an enhancement of the de Rham complex for the ring of
9036:
9010:
Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2013), "Mixed Weil cohomologies",
8884:
7527:
6378:
9076:
6247:
Since the Betti numbers of these cohomology groups are not what is expected,
2718:
for related notions). Moreover, it extends to a general morphism of schemes
9310:
8777:
7314:
7179:
5194:
9367:
6381:
de Rham complex defined in terms of (complex-valued) differential forms on
733:. The relations imply that the universal derivation is a homomorphism of
8607:{\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.}
3226:{\displaystyle f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0}
2678:
63:
9155:
Johnson, James (1969), "Kähler differentials and differential algebra",
9178:
9068:
8665:
of an algebra of a smooth variety is isomorphic to the de-Rham complex
5079:
The de Rham complex enjoys an additional multiplicative structure, the
2346:
A generalization of these two short exact sequences is provided by the
1884:
As a particular case of this, Kähler differentials are compatible with
3639:
is a smooth variety (or scheme), then the relative cotangent sequence
6893:
9364:
devoted to the relation on algebraic and analytic differential forms
9170:
8847:
5712:
5513:
5478:
5443:
5013:
4978:
4943:
2247:
533:
5419:
can be computed as the cohomology of the complex of abelian groups
2214:
vanishes and the sequence can be continued at the left as follows:
9361:
9026:
8503:, which encodes the ramification data, is the annihilator of the
5846:
The kernel and cokernel compute algebraic de Rham cohomology, so
1874:{\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.}
323:(it automatically follows from this definition that the image of
7913:{\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}
6884:, respectively, while all other cohomology groups vanish. Since
1715:{\displaystyle \Omega _{R/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R\,dt_{i}.}
7256:{\displaystyle \omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}}
7075:
A proof of
Grothendieck's theorem using the concept of a mixed
5762:{\displaystyle \mathbb {Q} {\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} \,dx.}
4846:{\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.}
2869:{\displaystyle \Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}
7609:
is zero. A special case of this assertion is that for a field
7461:), and greater than 1 (hyperbolic Riemann surfaces, including
8282:, asserts an isomorphism of the latter cohomology group with
2710:
of the diagonal is thereby captured, via functions vanishing
1985:{\displaystyle W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.}
62:
somewhat later, once the need was felt to adapt methods from
8950:
is supposed to be locally of finite type for this statement.
7774:
7157:
6899:
Counter-examples in the singular case can be found with non-
6597:{\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}
6273:, there is a natural comparison map of complexes of sheaves
6038:{\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left}
4927:
4866:
4755:
3371:
3358:
3271:
2988:
2957:
2892:
2855:
2842:
2759:
1243:{\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}
1042:
This construction is equivalent to the previous one because
1169:
895:
8809:
Laurent-Gengoux, C.; Pichereau, A.; Vanhaecke, P. (2013),
4706:
Higher differential forms and algebraic de Rham cohomology
4741:. Differential forms of higher degree are defined as the
5635:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left}
3812:{\displaystyle \Omega _{Y/k}^{1}\cong \Omega _{Y/K}^{1}}
5536:
which is, termwise, the global sections of the sheaves
6740:
6622:
6554:
6453:
showed that the comparison map induces an isomorphism
6422:
5335:
zero.) Algebraic de Rham cohomology was introduced by
3859:{\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /\mathbb {k} }
8731:
8711:
8671:
8632:
8531:
8422:
8347:
8292:
8233:
8200:
8069:
8041:
7968:
7939:
7874:
7801:
7770:
7732:
7674:
7621:
7580:
7544:
7489:
7417:
7337:
7197:
7153:
7114:
7036:
6998:
6978:
6909:
6839:
6788:
6662:
6462:
6387:
6282:
6054:
5981:
5855:
5784:
5676:
5648:
5585:
5542:
5428:
5376:
5284:
5235:
5091:
5042:
4917:
4862:
4785:
4751:
4721:
4607:
4444:
4408:
4263:
4183:
4006:
3875:
3833:
3759:
3648:
3601:
3573:
3545:
3499:
3471:
3355:
3333:
3292:
3268:
3242:
3146:
3124:
3092:
3060:
2984:
2940:
2927:{\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}
2882:
2818:
2780:
2774:
to be the ideal of the diagonal in the fiber product
2756:
2724:
2469:
2365:
2223:
2185:
2145:
2046:
2001:
1913:
1800:
1748:
1577:
1503:
1322:
1259:
1195:
1057:
998:
927:
802:
762:
484:
386:
351:
271:
224:
151:
8848:"algebraic de Rham cohomology of singular varieties"
8019:{\displaystyle \int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}
7709:, which can also be read off the above computation.
6723:{\displaystyle X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}}
3118:
of schemes there is an exact sequence of sheaves on
183:
of differentials in different, but equivalent ways.
7483:is, by definition, the dual of the cotangent sheaf
7401:{\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).}
6896:, this is as predicted by Grothendieck's theorem.
4901:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}
3033:, then the cotangent sheaf restricts to a sheaf on
1313:by the map induced by the complementary projection
9051:"On the de Rham cohomology of algebraic varieties"
8737:
8717:
8697:
8657:
8606:
8430:
8404:
8329:
8270:
8213:
8180:
8052:
8018:
7951:
7912:
7857:
7787:
7753:
7701:
7650:
7601:
7562:
7510:
7431:
7400:
7255:
7170:
7135:
7060:
7022:
6984:
6964:
6876:
6825:
6774:
6722:
6637:
6596:
6533:
6441:
6400:
6366:
6236:
6037:
5964:
5838:
5761:
5659:
5634:
5568:
5525:
5411:
5311:
5270:
5189:This turns the de Rham complex into a commutative
5178:
5060:
5025:
4900:
4845:
4768:
4733:
4694:
4587:
4427:
4391:
4238:
4163:
3986:
3858:
3811:
3742:
3632:{\displaystyle \pi :Y\to \operatorname {Spec} (K)}
3631:
3587:
3559:
3531:
3485:
3444:
3339:
3319:
3278:
3254:
3225:
3130:
3110:
3078:
3001:
2970:
2934:defined analogously to before, is universal among
2926:
2868:
2799:
2766:
2742:
2714:functions vanishing at least to second order (see
2652:
2452:
2335:
2206:
2165:
2128:
2019:
1984:
1873:
1783:
1714:
1550:
1415:
1299:
1242:
1175:
1031:
972:
901:
781:
573:
419:
372:
315:
242:
172:
70:to contexts where such methods are not available.
8330:{\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}
8286:(or sheaf cohomology) with complex coefficients,
8271:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).}
6877:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )}
6826:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )}
6251:was developed to remedy this issue; it defines a
4428:{\displaystyle \operatorname {Sch} /\mathbb {C} }
1568:generated by the differentials of the variables:
983:and the universal derivation is the homomorphism
9126:"Crystals and the de Rham cohomology of schemes"
8457:, Kähler differentials may be used to study the
7795:-module of appropriate rank. The computation of
5579:To take a very particular example, suppose that
5325:is clear from the context. (In many situations,
5213:of the de Rham complex of sheaves is called the
9289:"On Liouville's theory of elementary functions"
7280:. The canonical divisor is, as it turns out, a
7080:
4908:extends in a natural way to a sequence of maps
3262:is a closed subscheme given by the ideal sheaf
6377:between the algebraic de Rham complex and the
9250:Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
8866:"Kähler-de Rham cohomology and Chern classes"
8475:is a finite extension with rings of integers
6450:
5336:
4435:. Then, using the first sequence we see that
3327:and there is an exact sequence of sheaves on
1300:{\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}
8:
9248:
8964:, Partie III: Société Mathématique de France
8598:
8553:
6769:
6741:
6717:
6669:
3997:then we can compute the cotangent module as
54:in the 1930s. It was adopted as standard in
9206:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
5778:obeys the usual rules of calculus, meaning
1438:-module generated by the formal generators
912:Then the module of Kähler differentials of
9141:Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas
8796:
8416:vector spaces which, after tensoring with
3595:is a finite separable field extension and
447:-module homomorphism. In other words, the
380:for which there is a universal derivation
339:of Kähler differentials is defined as the
9309:
9035:
9025:
8730:
8710:
8689:
8680:
8676:
8670:
8640:
8631:
8584:
8571:
8540:
8536:
8530:
8424:
8423:
8421:
8395:
8394:
8388:
8387:
8386:
8375:
8374:
8365:
8352:
8346:
8320:
8319:
8310:
8297:
8291:
8256:
8243:
8238:
8232:
8205:
8199:
8168:
8167:
8162:
8158:
8157:
8151:
8150:
8149:
8133:
8128:
8117:
8116:
8110:
8109:
8108:
8097:
8096:
8091:
8079:
8074:
8068:
8043:
8042:
8040:
7986:
7978:
7973:
7967:
7938:
7886:
7881:
7877:
7876:
7873:
7845:
7836:
7817:
7806:
7800:
7779:
7773:
7772:
7769:
7741:
7737:
7731:
7683:
7679:
7673:
7640:
7620:
7589:
7585:
7579:
7543:
7522:and its far-reaching generalization, the
7498:
7494:
7488:
7425:
7424:
7416:
7386:
7377:
7373:
7354:
7336:
7243:
7239:
7223:
7206:
7202:
7196:
7162:
7156:
7155:
7152:
7123:
7119:
7113:
7035:
6997:
6977:
6953:
6940:
6928:
6908:
6867:
6866:
6861:
6849:
6844:
6838:
6816:
6815:
6810:
6798:
6793:
6787:
6754:
6739:
6696:
6692:
6691:
6661:
6629:
6625:
6624:
6621:
6587:
6586:
6577:
6564:
6559:
6553:
6522:
6509:
6504:
6490:
6489:
6484:
6472:
6467:
6461:
6433:
6421:
6392:
6386:
6355:
6336:
6329:
6324:
6302:
6297:
6296:
6291:
6287:
6281:
6223:
6208:
6195:
6191:
6190:
6183:
6182:
6175:
6149:
6144:
6127:
6114:
6110:
6109:
6102:
6101:
6094:
6068:
6063:
6055:
6053:
6021:
6000:
5996:
5995:
5980:
5943:
5932:
5931:
5909:
5904:
5892:
5891:
5869:
5864:
5856:
5854:
5826:
5814:
5795:
5783:
5749:
5737:
5720:
5719:
5707:
5695:
5678:
5677:
5675:
5650:
5649:
5647:
5618:
5599:
5598:
5584:
5560:
5551:
5547:
5541:
5508:
5502:
5493:
5489:
5473:
5467:
5458:
5454:
5438:
5427:
5398:
5386:
5381:
5375:
5294:
5289:
5283:
5257:
5245:
5240:
5234:
5161:
5152:
5148:
5135:
5126:
5122:
5109:
5100:
5096:
5090:
5041:
5008:
5002:
4993:
4989:
4973:
4967:
4958:
4954:
4938:
4932:
4926:
4925:
4916:
4888:
4884:
4871:
4865:
4864:
4861:
4830:
4826:
4816:
4803:
4794:
4790:
4784:
4760:
4754:
4753:
4750:
4720:
4630:
4629:
4616:
4612:
4606:
4569:
4565:
4472:
4471:
4446:
4445:
4443:
4421:
4420:
4415:
4407:
4367:
4366:
4284:
4283:
4280:
4262:
4224:
4223:
4218:
4214:
4208:
4207:
4198:
4197:
4192:
4188:
4182:
4140:
4112:
4084:
4030:
4021:
4020:
4015:
4011:
4005:
3950:
3937:
3924:
3890:
3889:
3886:
3874:
3852:
3851:
3846:
3832:
3823:Cotangent modules of a projective variety
3803:
3794:
3790:
3777:
3768:
3764:
3758:
3728:
3719:
3715:
3702:
3693:
3689:
3676:
3667:
3663:
3653:
3647:
3600:
3577:
3572:
3549:
3544:
3517:
3508:
3504:
3498:
3475:
3470:
3426:
3422:
3409:
3404:
3393:
3389:
3376:
3370:
3369:
3363:
3357:
3356:
3354:
3332:
3301:
3297:
3291:
3270:
3269:
3267:
3241:
3207:
3203:
3186:
3182:
3165:
3161:
3151:
3145:
3123:
3091:
3059:
3027:is contained in an open affine subscheme
2993:
2987:
2986:
2983:
2962:
2956:
2955:
2945:
2939:
2914:
2910:
2897:
2891:
2890:
2881:
2860:
2854:
2853:
2847:
2841:
2840:
2827:
2823:
2817:
2788:
2779:
2758:
2757:
2755:
2723:
2640:
2626:
2606:
2574:
2557:
2535:
2507:
2490:
2474:
2468:
2453:{\displaystyle T=R/(f_{1},\ldots ,f_{m})}
2441:
2422:
2410:
2401:
2382:
2364:
2317:
2313:
2297:
2283:
2279:
2242:
2236:
2227:
2222:
2194:
2190:
2184:
2155:
2144:
2110:
2106:
2089:
2085:
2069:
2055:
2051:
2045:
2000:
1969:
1957:
1952:
1935:
1931:
1918:
1912:
1853:
1844:
1823:
1809:
1805:
1799:
1772:
1747:
1725:Kähler differentials are compatible with
1703:
1695:
1686:
1670:
1654:
1643:
1630:
1621:
1612:
1593:
1582:
1576:
1539:
1520:
1502:
1401:
1388:
1372:
1359:
1343:
1330:
1321:
1288:
1276:
1267:
1258:
1228:
1203:
1194:
1154:
1141:
1125:
1112:
1092:
1073:
1058:
1056:
1032:{\displaystyle ds=1\otimes s-s\otimes 1.}
997:
961:
952:
936:
932:
926:
886:
873:
857:
844:
818:
803:
801:
770:
761:
747:Another construction proceeds by letting
544:
528:
509:
505:
489:
483:
407:
403:
385:
360:
356:
350:
306:
293:
270:
223:
160:
156:
150:
8993:
8698:{\displaystyle \Omega _{R/k}^{\bullet }}
8412:Composing these isomorphisms yields two
5197:structure inherited from the one on the
2971:{\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}
27:Differential form in commutative algebra
8769:
7469:Tangent bundle and Riemann–Roch theorem
743:Definition using the augmentation ideal
8931:
8864:Arapura, Donu; Kang, Su-Jeong (2011),
8825:
7526:, contain as a crucial ingredient the
5839:{\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.}
5412:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}
5271:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}
973:{\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}
7865:above shows that the projection from
1468:-modules which sends each element of
7:
9056:Publications Mathématiques de l'IHÉS
7439:) as the "number of handles" of the
7188:. This implies, in particular, that
5312:{\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X)}
1480:precisely imposes the Leibniz rule.
420:{\displaystyle d:S\to \Omega _{S/R}}
7072:and Tjurina numbers are non-equal.
3532:{\displaystyle \Omega _{K/k}^{1}=0}
8673:
7803:
7788:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
7734:
7676:
7582:
7491:
7370:
7296:Classification of algebraic curves
7236:
7171:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
7116:
6321:
6284:
6258:
5544:
5486:
5451:
5145:
5119:
5093:
4986:
4951:
4881:
4823:
4787:
4769:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
4609:
4562:
4211:
4185:
4008:
3787:
3761:
3712:
3686:
3660:
3501:
3493:is a finite field extension, then
3419:
3386:
3294:
3200:
3179:
3158:
3002:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2907:
2820:
2471:
2310:
2276:
2187:
2103:
2082:
2048:
1949:
1928:
1841:
1802:
1784:{\displaystyle S'=R'\otimes _{R}S}
1579:
1494:, the Kähler differentials of the
929:
721:. The universal derivation sends
609:-module with one formal generator
502:
400:
353:
153:
25:
9106:Grothendieck, Alexander (1966b),
7524:Grothendieck–Riemann–Roch theorem
7102:is a smooth variety over a field
6548:(and thus to singular cohomology
6259:Grothendieck's comparison theorem
5642:is the multiplicative group over
5569:{\displaystyle \Omega _{X/Y}^{r}}
3461:Finite separable field extensions
2708:first infinitesimal neighbourhood
1729:, in the sense that for a second
1474:to zero. Taking the quotient by
316:{\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}
8658:{\displaystyle HH_{\bullet }(R)}
2664:Kähler differentials for schemes
1048:is the kernel of the projection
603:proceeds by constructing a free
7702:{\displaystyle \Omega _{K/k}=0}
7534:Unramified and smooth morphisms
6965:{\displaystyle k/(y^{2}-x^{3})}
3567:is separable. Consequently, if
3320:{\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}
3015:is an open affine subscheme of
2876:, together with the derivation
1904:, then there is an isomorphism
918:can be equivalently defined by
50:. The notion was introduced by
9368:Differentials (Stacks project)
9342:10.1016/j.sysconle.2011.05.006
9297:Pacific Journal of Mathematics
8652:
8646:
8379:
8358:
8324:
8303:
8278:Yet another classical result,
8262:
8249:
8172:
8139:
8101:
8085:
7907:
7901:
7892:
7842:
7810:
7637:
7631:
7554:
7432:{\displaystyle k=\mathbb {C} }
7392:
7360:
7178:-module) of rank equal to the
7049:
7043:
7011:
7005:
6959:
6933:
6925:
6913:
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5724:
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5682:
5432:
5406:
5392:
5331:is the spectrum of a field of
5306:
5300:
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5141:
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3611:
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3405:
3382:
3279:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
3217:
3196:
3175:
3102:
3070:
2903:
2767:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
2734:
2637:
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2603:
2597:
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2579:
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2520:
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2501:
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2375:
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2306:
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2099:
2078:
2011:
2005:
1692:
1663:
1618:
1586:
1545:
1513:
1349:
1131:
1082:
863:
827:
782:{\displaystyle S\otimes _{R}S}
627:, and imposing the relations
565:
553:
525:
498:
396:
284:
275:
234:
108:. An important example is for
1:
9204:Graduate Texts in Mathematics
8341:is in its turn isomorphic to
8339:universal coefficient theorem
8214:{\displaystyle X^{\text{an}}}
8053:{\displaystyle \mathbb {Q} ,}
7858:{\displaystyle \Omega _{R/R}}
7754:{\displaystyle \Omega _{X/Y}}
7602:{\displaystyle \Omega _{X/Y}}
7511:{\displaystyle \Omega _{X/k}}
7136:{\displaystyle \Omega _{X/k}}
7081:Cisinski & Déglise (2013)
6638:{\textstyle \mathbb {C} ^{n}}
6401:{\displaystyle X^{\text{an}}}
5660:{\displaystyle \mathbb {Q} .}
2800:{\displaystyle X\times _{Y}X}
2207:{\displaystyle \Omega _{T/S}}
1995:Given two ring homomorphisms
373:{\displaystyle \Omega _{S/R}}
173:{\displaystyle \Omega _{S/R}}
9228:Matsumura, Hideyuki (1986),
8431:{\displaystyle \mathbb {C} }
7328:is defined as the dimension
6442:{\textstyle (-)^{\text{an}}}
5215:algebraic de Rham cohomology
187:Definition using derivations
9329:Systems and Control Letters
8962:Une introduction aux motifs
7274:. It is referred to as the
6775:{\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}
5339:. It is closely related to
5191:differential graded algebra
5061:{\displaystyle d\circ d=0.}
2020:{\displaystyle R\to S\to T}
9414:
9245:Algebraische Zahlentheorie
9234:Cambridge University Press
8725:a field of characteristic
3827:Given a projective scheme
3255:{\displaystyle X\subset Y}
1791:, there is an isomorphism
793:of the multiplication map
9253:, vol. 322, Berlin:
9037:10.1016/j.aim.2011.10.021
8885:10.1080/00927871003610320
8873:Communications in Algebra
7061:{\displaystyle \deg(x)=2}
7023:{\displaystyle \deg(y)=3}
6544:from algebraic to smooth
6271:complex algebraic variety
6045:are much larger, namely,
1488:For any commutative ring
90:be commutative rings and
38:provide an adaptation of
8977:Periods and Nori Motives
8938:: CS1 maint: location (
8832:: CS1 maint: location (
7563:{\displaystyle f:X\to Y}
6903:such as the graded ring
6614:affine algebraic variety
3111:{\displaystyle g:Y\to Z}
3079:{\displaystyle f:X\to Y}
2743:{\displaystyle f:X\to Y}
1484:Examples and basic facts
1462:being a homomorphism of
243:{\displaystyle d:S\to M}
9311:10.2140/pjm.1976.65.485
9287:Rosenlicht, M. (1976),
9230:Commutative ring theory
9133:Grothendieck, Alexander
9122:Grothendieck, Alexander
9047:Grothendieck, Alexander
9013:Advances in Mathematics
8463:algebraic number fields
8455:algebraic number theory
8449:Algebraic number theory
7530:of the tangent bundle.
2978:-linear derivations of
1307:may be identified with
9249:
9139:; et al. (eds.),
8739:
8719:
8699:
8659:
8608:
8487:respectively then the
8432:
8406:
8331:
8272:
8215:
8182:
8054:
8020:
7953:
7952:{\displaystyle 2\pi i}
7914:
7859:
7789:
7755:
7703:
7652:
7651:{\displaystyle K:=k/f}
7603:
7564:
7512:
7433:
7402:
7257:
7172:
7147:(i.e., a locally free
7137:
7077:Weil cohomology theory
7062:
7024:
6986:
6966:
6878:
6827:
6776:
6724:
6639:
6598:
6535:
6443:
6402:
6368:
6253:Weil cohomology theory
6249:crystalline cohomology
6238:
6039:
5966:
5840:
5763:
5661:
5636:
5570:
5527:
5413:
5341:crystalline cohomology
5313:
5272:
5180:
5062:
5027:
4902:
4847:
4770:
4735:
4734:{\displaystyle X\to Y}
4696:
4589:
4429:
4393:
4254:Consider the morphism
4240:
4165:
3988:
3860:
3813:
3744:
3633:
3589:
3561:
3533:
3487:
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2208:
2167:
2130:
2021:
1986:
1875:
1785:
1716:
1659:
1552:
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1301:
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1033:
974:
903:
783:
575:
421:
374:
317:
244:
174:
66:and geometry over the
9158:Annals of Mathematics
8983:, Elementary examples
8740:
8720:
8700:
8660:
8609:
8433:
8407:
8332:
8273:
8216:
8183:
8055:
8021:
7954:
7915:
7860:
7790:
7756:
7704:
7653:
7604:
7565:
7513:
7434:
7403:
7258:
7173:
7138:
7063:
7025:
6987:
6967:
6901:Du Bois singularities
6879:
6828:
6777:
6725:
6640:
6608:). In particular, if
6599:
6536:
6444:
6403:
6369:
6239:
6040:
5967:
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5314:
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5181:
5063:
5028:
4903:
4848:
4771:
4736:
4715:As before, fix a map
4697:
4590:
4430:
4394:
4241:
4166:
3989:
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3004:
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2871:
2802:
2769:
2745:
2655:
2455:
2338:
2209:
2168:
2166:{\displaystyle T=S/I}
2131:
2022:
1987:
1876:
1786:
1717:
1639:
1553:
1418:
1302:
1245:
1178:
1034:
975:
904:
784:
576:
422:
375:
318:
245:
175:
9388:Differential algebra
8960:André, Yves (2004),
8813:, §3.2.3: Springer,
8754:de Rham–Witt complex
8729:
8709:
8669:
8630:
8529:
8420:
8345:
8290:
8231:
8198:
8067:
8039:
7966:
7937:
7872:
7799:
7768:
7730:
7718:of finite type is a
7672:
7619:
7578:
7542:
7520:Riemann–Roch theorem
7487:
7477:of a smooth variety
7463:hyperelliptic curves
7415:
7335:
7270:or, equivalently, a
7195:
7151:
7112:
7034:
6996:
6976:
6907:
6837:
6786:
6738:
6660:
6620:
6552:
6460:
6451:Grothendieck (1966a)
6420:
6385:
6280:
6255:over finite fields.
6052:
5979:
5853:
5782:
5674:
5646:
5583:
5540:
5426:
5374:
5346:As is familiar from
5337:Grothendieck (1966a)
5282:
5233:
5089:
5040:
4915:
4860:
4783:
4749:
4719:
4605:
4442:
4406:
4261:
4250:Morphisms of schemes
4181:
4004:
3873:
3831:
3757:
3646:
3599:
3571:
3543:
3497:
3469:
3353:
3331:
3290:
3266:
3240:
3144:
3122:
3090:
3058:
2982:
2938:
2880:
2816:
2778:
2754:
2722:
2467:
2363:
2221:
2183:
2143:
2044:
2029:short exact sequence
1999:
1911:
1798:
1746:
1727:extension of scalars
1575:
1501:
1320:
1257:
1193:
1055:
996:
925:
800:
760:
753:be the ideal in the
584:One construction of
482:
475:-module isomorphism
457:provides, for every
429:universal properties
384:
349:
329:is in the kernel of
269:
222:
149:
36:Kähler differentials
18:Kähler differentials
9398:Cohomology theories
9383:Commutative algebra
9131:, in Giraud, Jean;
9109:Letter to John Tate
9100:, October 14, 1963)
8928:, Proposition I.3.5
8694:
8623:Hochschild homology
8586: for all
8461:in an extension of
8284:singular cohomology
8248:
8138:
8084:
7891:
7391:
6890:homotopy equivalent
6854:
6803:
6653:. For example, if
6569:
6514:
6477:
6341:
6307:
6154:
6073:
5914:
5874:
5716:
5565:
5517:
5507:
5482:
5472:
5447:
5391:
5348:coherent cohomology
5299:
5250:
5172:
5140:
5114:
5017:
5007:
4982:
4972:
4947:
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3808:
3782:
3733:
3707:
3681:
3588:{\displaystyle K/k}
3560:{\displaystyle K/k}
3522:
3486:{\displaystyle K/k}
2677:ideal defining the
2272:
1635:
1551:{\displaystyle S=R}
537:
217:module homomorphism
56:commutative algebra
9393:Algebraic geometry
9199:Algebraic Geometry
9137:Kleiman, Steven L.
9069:10.1007/BF02684807
8811:Poisson structures
8735:
8715:
8695:
8672:
8655:
8604:
8428:
8402:
8327:
8268:
8234:
8211:
8178:
8124:
8070:
8050:
8016:
7959:, which arises as
7949:
7910:
7875:
7855:
7785:
7751:
7699:
7648:
7599:
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7508:
7429:
7398:
7369:
7253:
7168:
7133:
7058:
7020:
6982:
6962:
6874:
6840:
6823:
6789:
6772:
6720:
6635:
6594:
6555:
6546:de Rham cohomology
6531:
6500:
6463:
6439:
6398:
6364:
6320:
6283:
6234:
6232:
6188:
6140:
6107:
6059:
6035:
5962:
5960:
5900:
5860:
5836:
5759:
5657:
5632:
5566:
5543:
5523:
5485:
5450:
5409:
5377:
5309:
5285:
5268:
5236:
5229:and is denoted by
5205:de Rham cohomology
5176:
5144:
5118:
5092:
5058:
5023:
4985:
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3809:
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3711:
3685:
3659:
3629:
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3529:
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2450:
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2204:
2163:
2126:
2017:
1982:
1896:multiplicative set
1888:, meaning that if
1871:
1781:
1712:
1578:
1548:
1413:
1297:
1240:
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1168:
1029:
970:
899:
894:
779:
571:
431:, this means that
417:
370:
313:
240:
170:
60:algebraic geometry
40:differential forms
9264:978-3-540-65399-8
9213:978-0-387-90244-9
9194:Hartshorne, Robin
8820:978-3-642-31090-4
8738:{\displaystyle 0}
8718:{\displaystyle k}
8587:
8368:
8313:
8280:de Rham's theorem
8259:
8241:
8208:
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