1034:
2105:
Adolf
Kunerth, "Sitzungsberichte. Academie Der Wissenschaften" vol 78(2), 1878, p 327-338 (for quadratic equation algorithm), pp. 338â346 (for modular quadratic algorithm), available at Ernest Mayr Library, Harvard University
19:
is an algorithm for computing the modular square root of a given number. The algorithm does not require the factorization of the modulus, and relies on modular operations that is often easy when the given number is prime.
2643:
1740:
1916:
2075:
428:
1262:
1166:
135:
665:
576:
320:
1974:
790:
226:
1343:
744:
2014:
1213:
2647:
487:
1581:
905:
2155:
79:
1812:
1096:
1491:
1394:
1609:
1638:
2188:
1515:
834:
1535:
854:
1453:
1427:
524:
924:
159:
2512:
2148:
2380:
1656:
2322:
2141:
1833:
2251:
2428:
2708:
2226:
2086:
2019:
2337:
2375:
2312:
2256:
2219:
2517:
2408:
2327:
2317:
2193:
2345:
337:
2598:
2593:
2522:
2423:
1218:
1117:
2560:
91:
2474:
584:
529:
244:
1927:
2639:
2629:
2588:
2364:
2358:
2332:
2203:
749:
167:
2624:
2565:
1273:
678:
1982:
1181:
2527:
2400:
2246:
2198:
435:
2542:
2433:
1542:
863:
2653:
2583:
38:
2304:
2279:
2208:
2663:
2658:
2550:
2532:
2507:
2469:
2213:
1761:
1045:
1458:
1354:
2703:
2668:
2634:
2555:
2459:
2418:
2413:
2390:
2294:
2499:
2446:
2443:
2284:
2183:
2130:
Adolf
Kunerth, "Sitzungsberichte. Academie Der Wissenschaften" vol 82, II, 1880, pp. 342â375
2240:
2233:
1588:
1614:
2619:
2575:
2289:
2266:
2127:
Adolf
Kunerth, "Sitzungsberichte. Academie Der Wissenschaften" vol 75, II, 1877, pp. 7â58
1500:
819:
2464:
1520:
839:
2454:
2353:
1432:
1029:{\displaystyle \alpha ^{2}\cdot x^{2}+(2\alpha \beta -N)x+(\beta ^{2}-(y^{2}{\bmod {N}}))}
1406:
503:
2484:
2385:
2370:
2274:
2175:
144:
2697:
2479:
2164:
2489:
326:
One can always make sure that the quadratic can be solved by adjusting the modulus
228:. Most of Kunerth's examples in his original paper solve this equation by having
2133:
2107:
2167:
797:
Having solved the associated quadratic equation we now have the variables
581:
The parameters of the polynomial expansion are quite flexible, in that
1735:{\displaystyle \alpha ^{2}x^{2}+(2\alpha \beta -856)x+(\beta ^{2}-41)}
164:
solve a quadratic equation associated with the modular square root of
1911:{\displaystyle 15\cdot (37\cdot 9^{-1})+(-2)\equiv 345{\pmod {856}}.}
2119:
Leonard Eugene
Dickson, "History of Numbers", vol 2, pp. 382â384.
1104:
Obtain the modular square root by the equation. Remember to set
2137:
578:, can have their square roots computed quickly via this method.
2070:{\displaystyle r\equiv {\sqrt {-856}}{\pmod {b\cdot 856+41}}}
1997:
1193:
1011:
764:
541:
59:
1640:. (There may be other pairs of solutions to this equation.)
239:
Expand out the following equation to obtain the quadratic
2684:
indicate that algorithm is for numbers of special forms
667:
can be done, for instance. It is quite easy to choose
423:{\displaystyle ((B\cdot z+r)^{2}+(B\cdot F+N))/B=w^{2}}
2022:
1985:
1930:
1836:
1764:
1659:
1617:
1591:
1545:
1523:
1503:
1461:
1435:
1409:
1357:
1276:
1221:
1184:
1120:
1048:
927:
866:
842:
822:
752:
681:
587:
532:
506:
438:
340:
247:
170:
147:
137:. This step is quite easy, irrespectively of how big
94:
41:
2612:
2574:
2541:
2498:
2442:
2399:
2303:
2265:
2174:
1257:{\displaystyle {\sqrt {-856}}\equiv 13{\pmod {41}}}
1161:{\displaystyle y\equiv \alpha X+\beta {\pmod {N}}.}
2069:
2008:
1968:
1910:
1806:
1734:
1632:
1603:
1575:
1529:
1509:
1485:
1447:
1421:
1388:
1337:
1256:
1207:
1160:
1090:
1028:
899:
848:
828:
784:
738:
659:
570:
518:
481:
422:
314:
220:
153:
130:{\displaystyle r\equiv {\sqrt {\pm N}}{\pmod {B}}}
129:
73:
660:{\displaystyle ((67z+r)^{2}+X\cdot RSA260)/(67y)}
571:{\displaystyle {\sqrt {67}}{\bmod {67F+RSA260}}}
315:{\displaystyle ((B\cdot z+r)^{2}\pm N)/B=w^{2}.}
917:via factorization of the following polynomial:
1969:{\displaystyle 345^{2}\equiv 41{\pmod {856}}.}
2149:
785:{\displaystyle {\sqrt {67y}}{\bmod {RSA260}}}
221:{\displaystyle w^{2}=A\cdot z^{2}+B\cdot z+C}
8:
2108:https://pdfhost.io/v/~OwxzpPNA_KUNERTH_1878
1338:{\displaystyle ((41z+13)^{2}+856)/41=w^{2}}
739:{\displaystyle (r^{2}+X\cdot RSA260)/(67y)}
2156:
2142:
2134:
2009:{\displaystyle {\sqrt {-856}}{\bmod {41}}}
1208:{\displaystyle {\sqrt {41}}{\bmod {856}},}
2039:
2029:
2021:
2000:
1996:
1986:
1984:
1947:
1935:
1929:
1889:
1856:
1835:
1763:
1717:
1674:
1664:
1658:
1616:
1590:
1544:
1522:
1502:
1460:
1434:
1408:
1380:
1356:
1329:
1314:
1299:
1275:
1238:
1222:
1220:
1196:
1192:
1185:
1183:
1139:
1119:
1047:
1014:
1010:
1004:
988:
945:
932:
926:
865:
841:
821:
767:
763:
753:
751:
719:
689:
680:
640:
610:
586:
544:
540:
533:
531:
505:
482:{\displaystyle A\cdot z^{2}+D\cdot z+C+F}
449:
437:
414:
399:
366:
339:
303:
288:
273:
246:
194:
175:
169:
146:
111:
101:
93:
62:
58:
52:
40:
1108:such that the term above is zero. Thus
746:is a square. The modular square root of
2098:
1822:Then obtain the modular square root via
526:is a square. For large moduli, such as
813:in the quadratic is a natural square).
1647:Then factor the following polynomial:
1576:{\displaystyle \alpha ==w(v+w\beta )}
900:{\displaystyle \alpha =w(v+w\beta ),}
232:be a integer square and thus setting
7:
2047:
1955:
1897:
1246:
1147:
119:
74:{\displaystyle B=y^{2}{\bmod {N}},}
14:
2365:Special number field sieve (SNFS)
2359:General number field sieve (GNFS)
2087:Methods of computing square roots
88:find the modular square root of
2040:
1948:
1890:
1807:{\displaystyle (-37+9x)(1+25x)}
1239:
1140:
1091:{\displaystyle (-37+9x)(1+25x)}
112:
2063:
2041:
1959:
1949:
1901:
1891:
1880:
1871:
1865:
1843:
1801:
1786:
1783:
1765:
1729:
1710:
1701:
1683:
1570:
1555:
1486:{\displaystyle v=41\cdot z+13}
1389:{\displaystyle 25+26z+41z^{2}}
1311:
1296:
1280:
1277:
1250:
1240:
1151:
1141:
1085:
1070:
1067:
1049:
1023:
1020:
997:
981:
972:
954:
891:
876:
733:
724:
716:
682:
654:
645:
637:
607:
591:
588:
396:
393:
375:
363:
344:
341:
285:
270:
251:
248:
123:
113:
84:it takes the following steps:
1:
2323:Lenstra elliptic curve (ECM)
1267:Then expand the polynomial:
330:in the above equation. Thus
432:will ensure a quadratic of
2725:
2630:Exponentiation by squaring
2313:Continued fraction (CFRAC)
1604:{\displaystyle \alpha =15}
1403:term is a square, we take
2677:
1633:{\displaystyle \beta =-2}
1040:obtaining an answer like
2709:Cryptographic algorithms
2110:" retrieved="09/09/2024"
1399:Since, in this case the
1112:would be 37/9 or -1/25.
856:the following equation:
2543:Greatest common divisor
1537:the following equation
1510:{\displaystyle \alpha }
829:{\displaystyle \alpha }
2654:Modular exponentiation
2071:
2010:
1970:
1912:
1808:
1736:
1634:
1605:
1577:
1531:
1530:{\displaystyle \beta }
1511:
1487:
1449:
1423:
1390:
1339:
1258:
1209:
1162:
1092:
1030:
901:
850:
849:{\displaystyle \beta }
830:
792:can be taken this way.
786:
740:
661:
572:
520:
483:
424:
316:
222:
155:
131:
75:
2381:Shanks's square forms
2305:Integer factorization
2280:Sieve of Eratosthenes
2077:can be used instead.
2072:
2011:
1971:
1913:
1809:
1737:
1635:
1606:
1585:getting the solution
1578:
1532:
1512:
1488:
1450:
1424:
1391:
1340:
1259:
1210:
1163:
1093:
1031:
902:
851:
831:
787:
741:
662:
573:
521:
484:
425:
317:
223:
156:
132:
76:
2659:Montgomery reduction
2533:Function field sieve
2508:Baby-step giant-step
2354:Quadratic sieve (QS)
2020:
2016:has no answer, then
1983:
1928:
1834:
1762:
1657:
1615:
1589:
1543:
1521:
1501:
1459:
1448:{\displaystyle v=13}
1433:
1407:
1355:
1274:
1219:
1182:
1118:
1046:
925:
864:
840:
820:
816:Solve for variables
750:
679:
585:
530:
504:
496:One can then adjust
436:
338:
245:
168:
145:
92:
39:
2669:Trachtenberg system
2635:Integer square root
2576:Modular square root
2295:Wheel factorization
2247:Quadratic Frobenius
2227:LucasâLehmerâRiesel
1422:{\displaystyle w=5}
913:Obtain a value for
519:{\displaystyle C+F}
32:from a given value
17:Kunerth's algorithm
2561:Extended Euclidean
2500:Discrete logarithm
2429:SchönhageâStrassen
2285:Sieve of Pritchard
2067:
2006:
1966:
1908:
1804:
1732:
1630:
1601:
1573:
1527:
1507:
1483:
1445:
1419:
1386:
1335:
1254:
1205:
1158:
1088:
1026:
897:
846:
826:
782:
736:
657:
568:
516:
500:to make sure that
479:
420:
312:
218:
151:
127:
71:
2691:
2690:
2290:Sieve of Sundaram
2037:
1994:
1979:In the case that
1230:
1190:
761:
538:
154:{\displaystyle B}
109:
2716:
2640:Integer relation
2613:Other algorithms
2518:Pollard kangaroo
2409:Ancient Egyptian
2267:Prime-generating
2252:SolovayâStrassen
2165:Number-theoretic
2158:
2151:
2144:
2135:
2120:
2117:
2111:
2103:
2076:
2074:
2073:
2068:
2066:
2038:
2030:
2015:
2013:
2012:
2007:
2005:
2004:
1995:
1987:
1975:
1973:
1972:
1967:
1962:
1940:
1939:
1917:
1915:
1914:
1909:
1904:
1864:
1863:
1813:
1811:
1810:
1805:
1741:
1739:
1738:
1733:
1722:
1721:
1679:
1678:
1669:
1668:
1639:
1637:
1636:
1631:
1610:
1608:
1607:
1602:
1582:
1580:
1579:
1574:
1536:
1534:
1533:
1528:
1516:
1514:
1513:
1508:
1492:
1490:
1489:
1484:
1454:
1452:
1451:
1446:
1428:
1426:
1425:
1420:
1395:
1393:
1392:
1387:
1385:
1384:
1344:
1342:
1341:
1336:
1334:
1333:
1318:
1304:
1303:
1263:
1261:
1260:
1255:
1253:
1231:
1223:
1214:
1212:
1211:
1206:
1201:
1200:
1191:
1186:
1167:
1165:
1164:
1159:
1154:
1097:
1095:
1094:
1089:
1035:
1033:
1032:
1027:
1019:
1018:
1009:
1008:
993:
992:
950:
949:
937:
936:
906:
904:
903:
898:
855:
853:
852:
847:
835:
833:
832:
827:
791:
789:
788:
783:
781:
780:
762:
754:
745:
743:
742:
737:
723:
694:
693:
666:
664:
663:
658:
644:
615:
614:
577:
575:
574:
569:
567:
566:
539:
534:
525:
523:
522:
517:
488:
486:
485:
480:
454:
453:
429:
427:
426:
421:
419:
418:
403:
371:
370:
321:
319:
318:
313:
308:
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