4394:
4096:
123:
4389:{\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)+\partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)-\partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)-\partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.}
31:
4007:
5761:
57:
5364:
3354:
7619:
3837:
4904:
3730:
5522:
4749:
2395:
3149:
5660:
discovered numerically that its solutions seemed to decompose at large times into a collection of "solitons": well separated solitary waves. Moreover, the solitons seems to be almost unaffected in shape by passing through each other (though this could cause a change in their position). They also
4627:
6731:
5171:
7298:
2939:
2178:
2039:
4002:{\displaystyle \partial _{\mu \mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu \mu }\psi )}}\right)-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.}
7416:
369:
4755:
8084:
4500:
7941:
7120:
5165:
7828:
3590:
6561:
7403:
5375:
5969:
5620:
It can be shown that any sufficiently fast decaying smooth solution will eventually split into a finite superposition of solitons travelling to the right plus a decaying dispersive part travelling to the left. This was first observed by
4633:
6068:
2216:
6999:
5608:
3545:
7718:
2694:
5078:
6903:
4506:
6811:
6451:
1826:
819:
6572:
1490:
6241:
5359:{\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +3\partial _{x}(\phi )^{2}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi }
3349:{\displaystyle L_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\\phi -\lambda &0\end{pmatrix}},L_{t}={\begin{pmatrix}-\phi _{x}&2\phi +4\lambda \\2\phi ^{2}-\phi _{xx}+2\phi \lambda -4\lambda ^{2}&\phi _{x}\end{pmatrix}},}
4952:
7131:
1094:
6138:
3815:
3452:
7614:{\displaystyle \displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u=6u\partial _{x}u-\partial _{x}^{3}u+3w\partial _{x}^{2}w\\\partial _{t}w=3(\partial _{x}u)w+6u\partial _{x}w-4\partial _{x}^{3}w\end{cases}}}
2802:
2061:
1866:
930:
2807:
2221:
264:
4899:{\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)=\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)\,}
1661:
2481:
1707:
695:
2437:
2568:
5878:
4991:
440:
407:
7952:
4418:
3046:
1513:
2767:
7841:
7012:
5084:
197:
in 1895, who found the simplest solution, the one-soliton solution. Understanding of the equation and behavior of solutions was greatly advanced by the computer simulations of
9278:
3581:
7729:
3725:{\displaystyle {\mathcal {L}}:={\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \,\partial _{t}\psi +\left(\partial _{x}\psi \right)^{3}-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{x}^{2}\psi \right)^{2}}
1360:
1140:
6462:
5517:{\displaystyle \left(-\partial _{xxx}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \right)=0,}
7309:
6322:
6296:
6270:
6167:
3112:
256:
4043:
1712:
2608:
1254:
5782:
1282:
4744:{\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)}
1861:
6342:
5889:
3766:
2208:
550:
467:
4086:
4063:
2390:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=\phi ,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i}\quad {\text{ for }}n\geq 2.\end{aligned}}}
1311:
1231:
1172:
592:
1202:
5980:
5693:
5670:
5662:
3132:
3073:
2790:
1609:
1589:
1561:
1537:
1331:
997:
977:
953:
842:
615:
530:
510:
490:
8630:
Korteweg, D. J.; de Vries, G. (1895). "XLI. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves".
6916:
2981:
8917:
5533:
3467:
7630:
4622:{\displaystyle \partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)=\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)}
2624:
4999:
8128:
6817:
6824:
6742:
6726:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left({\frac {\partial _{x}^{2}u-2\eta u^{3}-3u(\partial _{x}u)^{2}}{2(\eta +u^{2})}}\right)=0}
6375:
706:
9266:
1377:
9557:
9552:
8867:
8103:
6179:
8108:
7834:
3359:
8383:
Berest, Yuri Y.; Loutsenko, Igor M. (1997). "Huygens' Principle in
Minkowski Spaces and Soliton Solutions of the Korteweg-de Vries Equation".
8997:
8756:
8737:
8537:
8472:
8850:
9577:
9135:
8133:
7293:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-{\tfrac {1}{8}}(\partial _{x}u)^{3}+(\partial _{x}u)(Ae^{au}+B+Ce^{-au})=0}
4910:
8555:
Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967). "Method for
Solving the Korteweg-deVries Equation".
6909:
9050:
8881:
5744:
5696:
in the continuum limit, it approximately describes the evolution of long, one-dimensional waves in many physical settings, including:
1009:
8143:
9372:
8518:
8491:
6079:
5808:
9120:
8766:
Zabusky, N. J.; Kruskal, M. D. (1965). "Interaction of "Solitons" in a
Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States".
3774:
9562:
8910:
5692:
The KdV equation has several connections to physical problems. In addition to being the governing equation of the string in the
2934:{\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+\phi ,\\A&=4\partial _{x}^{3}-6\phi \,\partial _{x}-3\end{aligned}}}
2173:{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(\phi ,\,\partial _{x}\phi ,\,\partial _{x}^{2}\phi ,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,}
2034:{\displaystyle A_{nm}(x,t)=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}e^{8\chi _{n}^{3}t}e^{-(\chi _{n}+\chi _{m})x}}{\chi _{n}+\chi _{m}}}.}
8871:
150:
and exhibits many of the expected behaviors for an integrable PDE, such as a large number of explicit solutions, in particular
9080:
5786:
698:
118:. Time evolution was done by the Zabusky–Kruskal scheme. The initial cosine wave evolves into a train of solitary-type waves.
6170:
364:{\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi -6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,\quad x\in \mathbb {R} ,\;t\geq 0,}
850:
210:
139:
9040:
8952:
8148:
2793:
9179:
8098:
5740:
5674:
159:
5630:
3826:
3551:
9567:
9070:
8903:
8692:(1968), "Korteweg–De Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion",
7409:
1614:
5771:
2444:
9151:
5626:
1666:
552:
by constants can be used to make the coefficients of any of the three terms equal to any given non-zero constants.
182:
5790:
5775:
620:
122:
9414:
9272:
9019:
9377:
9195:
2407:
9345:
8118:
2488:
42:
8079:{\displaystyle \partial _{t}u+\alpha u+\beta \partial _{x}u+\gamma \partial _{x}^{2}u=Ai(x),\quad u(x,0)=f(x)}
5827:
4960:
4495:{\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)=0}
6298:
while using the three dimensional equation in one dimension), two equations are one. Furthermore, taking the
412:
9491:
9439:
8940:
8877:
8123:
7936:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\mu \partial _{x}^{3}u+u\partial _{x}u-\nu \partial _{x}^{2}u=0}
3076:
956:
377:
7115:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-(6\varepsilon ^{2}u^{2}+6u)\partial _{x}u=0}
6356:
Many different variations of the KdV equations have been studied. Some are listed in the following table.
5160:{\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi }
2990:
1498:
9250:
9235:
9200:
9045:
2708:
9125:
9429:
8825:
7823:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\beta t^{n}\partial _{x}^{3}u+\alpha t^{n}u\partial _{x}u=0}
5681:
1260:, then back up the other side, reaching an equal height, and then reverses direction, ending up at the
3561:
9496:
9465:
9225:
9115:
8701:
8603:
155:
7426:
6556:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{2t}}u=0}
6345:
9455:
9172:
8975:
8588:(2009), "Long-Time Asymptotics for the Korteweg–De Vries Equation via Nonlinear Steepest Descent",
8434:
8428:, Memoires presentes par divers savants ` l’Acad. des Sci. Inst. Nat. France, XXIII, pp. 1–680
7398:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{t}}u=0}
1336:
217:
1106:
158:, despite the nonlinearity which typically renders PDEs intractable. The KdV can be solved by the
9424:
9322:
9317:
9312:
9230:
9162:
8619:
8593:
8392:
5642:
3555:
3114:. It can be shown that due to this Lax formulation that in fact the eigenvalues do not depend on
2052:
1000:
220:
146:
of waves on shallow water surfaces. It is particularly notable as the prototypical example of an
143:
6301:
6275:
6249:
6146:
3082:
226:
8807:
8462:
4028:
9572:
9245:
8926:
8836:
8833:
8783:
8752:
8733:
8676:
8647:
8572:
8543:
8533:
8514:
8497:
8487:
8468:
8410:
5964:{\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,}
5718:
5650:
2577:
1516:
1236:
190:
147:
1267:
9434:
9007:
8990:
8775:
8709:
8668:
8639:
8611:
8564:
8449:
8402:
8153:
7005:
6073:
Integrating and taking the special case in which the integration constant is zero, we have:
5722:
1831:
163:
38:
8721:
6327:
6063:{\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}(\partial _{x}^{2}\phi +3\phi ^{2})=0\,}
3751:
2186:
1611:
separate single solitons. The solution depends on an decreasing positive set of parameters
535:
452:
9522:
9404:
9205:
8819:
8813:
8801:
8717:
8659:
Lax, Peter D. (1968). "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves".
5732:
5666:
4071:
4048:
3049:
1287:
1207:
1148:
568:
201:
and
Kruskal in 1965 and then the development of the inverse scattering transform in 1967.
194:
17:
6994:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u\pm 6u^{2}\partial _{x}u=0}
1181:
8705:
8607:
9527:
9517:
9460:
9409:
9307:
9293:
9240:
9130:
9024:
8985:
8689:
8163:
5603:{\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0.}
3540:{\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0,}
3117:
3058:
2775:
1594:
1574:
1546:
1522:
1316:
982:
962:
938:
827:
600:
515:
495:
475:
198:
171:
167:
7713:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6f(t)u\partial _{x}u=0}
3356:
the KdV equation is equivalent to the zero-curvature equation for the Lax connection,
2947:
2689:{\displaystyle \partial _{t}\phi =6\,\phi \,\partial _{x}\phi -\partial _{x}^{3}\phi }
9546:
9512:
9419:
9108:
9075:
8980:
8585:
8158:
8138:
5708:
5646:
5073:{\displaystyle \partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)=-\partial _{xxx}\phi }
1261:
1257:
1175:
492:
in front of the last term is conventional but of no great significance: multiplying
30:
9475:
9367:
9350:
9103:
9012:
8623:
8113:
6898:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+\partial _{x}f(u)=0}
2700:
175:
34:
6806:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u=\partial _{x}^{5}u}
6446:{\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+6u\partial _{x}u=0}
1821:{\displaystyle \phi (x,t)=-2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\mathrm {log} }
8423:
814:{\displaystyle -c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}-6f{\frac {df}{dX}}=0,}
9301:
8568:
8453:
5760:
595:
131:
8779:
8632:
The London, Edinburgh, and Dublin
Philosophical Magazine and Journal of Science
8862:
8857:
8643:
8615:
5701:
2984:
8887:
8787:
8680:
8651:
8576:
8547:
8414:
1485:{\displaystyle \phi (x,t)=-{\frac {1}{2}}\,c\,\operatorname {sech} ^{2}\left}
469:
is the height displacement of the water surface from its equilibrium height.
178:
developed the classical inverse scattering method to solve the KdV equation.
9470:
9156:
9002:
8945:
8841:
8501:
5728:
443:
214:
8672:
8406:
6236:{\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{\lambda }\phi =\pm \phi \,}
56:
8397:
3143:
8435:"Huygens' principle for hyperbolic operators and integrable hierarchies"
9167:
8194:
8192:
1540:
1364:
151:
8713:
8895:
6344:
real, one obtains an attractive self-interaction that should yield a
4947:{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0}
8751:. Dordrecht ; Boston: Springer Science & Business Media.
8598:
6246:
Therefore, for the certain class of solutions of generalized GPE (
5712:
55:
29:
5369:
Finally, plug these three non-zero terms back into eq (3) to see
2055:, which do not change with time. They can be given explicitly as
1089:{\displaystyle V(f)=-\left(f^{3}+{\frac {1}{2}}cf^{2}+Af\right)}
8899:
3825:
Since the
Lagrangian (eq (1)) contains second derivatives, the
6133:{\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{2}=\pm \phi \,}
5754:
5673:
system. Development of the analytic solution by means of the
2610:
result in non-trivial (meaning non-zero) integrals of motion.
8486:. Cambridge, UK ; New York: Cambridge University Press.
5641:
The history of the KdV equation started with experiments by
4922:
4781:
4659:
4535:
4447:
4364:
4317:
4256:
4192:
4125:
3977:
3930:
3866:
3810:{\displaystyle \phi :={\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}
3596:
3567:
37:
solution to the
Korteweg–De Vries equation, in terms of the
7606:
8198:
5653:
around 1870 and, finally, Korteweg and De Vries in 1895.
4412:
Evaluate the five terms of eq (3) by plugging in eq (1),
3447:{\displaystyle \partial _{t}L_{x}-\partial _{x}L_{t}+=0.}
5680:
The KdV equation is now seen to be closely connected to
5677:
was done in 1967 by
Gardner, Greene, Kruskal and Miura.
5661:
made the connection to earlier numerical experiments by
1539:
is an arbitrary constant. This describes a right-moving
565:
Consider solutions in which a fixed wave form (given by
5656:
The KdV equation was not studied much after this until
1571:
There is a known expression for a solution which is an
7374:
7174:
6527:
3229:
3171:
27:
Mathematical model of waves on a shallow water surface
8861:
Three
Solitons (unstable) Solution of KdV Equation –
8853:
of the
Korteweg–De Vries equation for a narrow canal.
7955:
7845:
7844:
7733:
7732:
7634:
7633:
7420:
7419:
7313:
7312:
7135:
7134:
7016:
7015:
6920:
6919:
6828:
6827:
6746:
6745:
6576:
6575:
6466:
6465:
6379:
6378:
6330:
6304:
6278:
6252:
6182:
6149:
6082:
5983:
5892:
5830:
5536:
5378:
5174:
5087:
5002:
4963:
4913:
4758:
4636:
4509:
4421:
4099:
4074:
4051:
4031:
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This is derived using the inverse scattering method.
1869:
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1591:-soliton solution, which at late times resolves into
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229:
8730:
Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations
594:) maintains its shape as it travels to the right at
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9090:
Integrable PDEs/Classical integrable field theories
9089:
9063:
9033:
8968:
8961:
8933:
8467:. Oxford ; New York: Oxford University Press.
8270:
5645:in 1834, followed by theoretical investigations by
3048:. The Lax pair accounts for the infinite number of
8749:Normal Modes and Localization in Nonlinear Systems
8728:Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003).
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813:
697:. Substituting it into the KdV equation gives the
689:
609:
586:
544:
524:
504:
484:
461:
434:
409:accounts for dispersion and the nonlinear element
401:
363:
250:
189:, footnote on page 360) and rediscovered by
8828:at NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia.
8810:at NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia.
5821:Considering the simplified solutions of the form
5625:and can be rigorously proven using the nonlinear
8822:at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
8816:at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
8804:at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
8433:Chalub, Fabio A.C.C.; Zubelli, Jorge P. (2006).
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1656:{\displaystyle \chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0}
1003:of a particle of unit mass in a cubic potential
9279:Six-dimensional holomorphic Chern–Simons theory
8366:
8294:
8234:
8661:Communications on Pure and Applied Mathematics
8592:, vol. 12, no. 3, pp. 287–324,
8342:
8183:
5751:KdV equation and the Gross–Pitaevskii equation
5739:The KdV equation can also be solved using the
5657:
5622:
2476:{\displaystyle \int \phi ^{2}\,\mathrm {d} x,}
979:above as a virtual time variable, this means
8911:
8354:
8330:
1702:{\displaystyle \beta _{1},\cdots ,\beta _{N}}
8:
8878:Solitons from the Korteweg–De Vries Equation
8237:, Chapter 9.1.1. Korteweg-de Vries Equation.
6272:for the true one-dimensional condensate and
690:{\displaystyle \varphi (x,t)=f(x-ct-a)=f(X)}
6169:special case of the generalized stationary
5789:. Unsourced material may be challenged and
4993:, so use that to simplify the above terms,
1362:. This is the characteristic shape of the
9506:Classical and quantum statistical lattices
9394:
9335:
9256:
9093:
8965:
8918:
8904:
8896:
8856:Three Solitons Solution of KdV Equation –
8511:Water Wave Propagation Over Uneven Bottoms
8482:Dauxois, Thierry; Peyrard, Michel (2006).
2432:{\displaystyle \int \phi \,\mathrm {d} x,}
348:
186:
181:The KdV equation was first introduced by
8732:. Boca Raton, Fla: Chapman and Hall/CRC.
8597:
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8688:Miura, Robert M.; Gardner, Clifford S.;
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6358:
5873:{\displaystyle \phi (x,t)=\phi (x\pm t)}
4986:{\displaystyle \phi =\partial _{x}\psi }
3079:(disregarding constants) with potential
1233:starts at this point at 'virtual time'
213:that models (spatially) one-dimensional
126:Two-soliton solution to the KdV equation
121:
8888:Solitons & Nonlinear Wave Equations
8425:Essai sur la theorie des eaux courantes
8246:
8176:
2400:The first few integrals of motion are:
435:{\displaystyle \phi \partial _{x}\phi }
60:Numerical solution of the KdV equation
8814:Cylindrical Korteweg–De Vries equation
8532:. Oxford ; New York: OUP Oxford.
8385:Communications in Mathematical Physics
8129:Fifth-order Korteweg–De Vries equation
8109:Boussinesq approximation (water waves)
3821:Derivation of Euler–Lagrange equations
402:{\displaystyle \partial _{x}^{3}\phi }
8866:Mathematical aspects of equations of
3041:{\displaystyle f=f\partial _{x}\phi }
2051:The KdV equation has infinitely many
1508:{\displaystyle \operatorname {sech} }
154:solutions, and an infinite number of
7:
9332:Exactly solvable quantum spin chains
9267:Four-dimensional Chern–Simons theory
8513:. River Edge, NJ: World Scientific.
5787:adding citations to reliable sources
4090:
4045:is a derivative with respect to the
3831:
3584:
2762:{\displaystyle L_{t}=\equiv LA-AL\,}
1709:. The solution is given in the form
45:cn (and with value of the parameter
9196:Anti-self-dual Yang–Mills equations
8826:Modified Korteweg–De Vries equation
8820:Modified Korteweg–De Vries equation
8306:
4088:is implied so eq (2) really reads,
1828:where the components of the matrix
449:For modelling shallow water waves,
9051:Superintegrable Hamiltonian system
8882:The Wolfram Demonstrations Project
8530:Solitons, Instantons, and Twistors
8297:, Chapter S.10.1. Lax Pair Method.
8004:
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2824:
2669:
2653:
2629:
2553:
2523:
2463:
2419:
2133:
2116:
2081:
2073:
1793:
1790:
1787:
1779:
1776:
1773:
1756:
1746:
1349:
1271:
1243:
420:
382:
314:
285:
269:
25:
9373:Quantum inverse scattering method
9219:Integrable Quantum Field theories
8271:Miura, Gardner & Kruskal 1968
6324:case with the minus sign and the
1663:and a non-zero set of parameters
9398:Classical mechanics and geometry
5759:
5700:shallow-water waves with weakly
5694:Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou problem
3576:{\displaystyle {\mathcal {L}}\,}
1371:More precisely, the solution is
1256:, eventually slides down to the
824:or, integrating with respect to
136:Korteweg–De Vries (KdV) equation
9136:Kadomtsev–Petviashvili equation
8134:Kadomtsev–Petviashvili equation
8042:
5745:non-linear Schrödinger equation
5663:Fermi, Pasta, Ulam, and Tsingou
3461:The Korteweg–De Vries equation
2368:
1204:; there is a solution in which
617:. Such a solution is given by
333:
9558:Partial differential equations
9553:Eponymous equations of physics
9121:Nonlinear Schrödinger equation
8747:Vakakis, Alexander F. (2002).
8442:Physica D: Nonlinear Phenomena
8073:
8067:
8058:
8046:
8036:
8030:
7684:
7678:
7551:
7535:
7280:
7233:
7230:
7214:
7202:
7185:
7089:
7054:
6885:
6879:
6706:
6687:
6673:
6656:
6050:
6013:
5883:we obtain the KdV equation as
5867:
5855:
5846:
5834:
5299:
5292:
5236:
5219:
4881:
4864:
4807:
4791:
4685:
4669:
4564:
4545:
4476:
4457:
4343:
4327:
4282:
4266:
4221:
4202:
4154:
4135:
3956:
3940:
3895:
3876:
3435:
3409:
3142:Setting the components of the
3101:
3089:
3013:
2994:
2970:
2951:
2924:
2905:
2737:
2725:
2157:
2105:
1992:
1966:
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1883:
1850:
1838:
1815:
1812:
1800:
1783:
1731:
1719:
1474:
1452:
1396:
1384:
1343:
1300:
1294:
1220:
1214:
1161:
1155:
1022:
1016:
699:ordinary differential equation
684:
678:
669:
648:
639:
627:
581:
575:
245:
233:
223:waves described by a function
1:
9292:Exactly solvable statistical
8144:Modified KdV–Burgers equation
8104:Benjamin–Bona–Mahony equation
5743:such as those applied to the
3138:Zero-curvature representation
1355:{\displaystyle X\to -\infty }
211:partial differential equation
140:partial differential equation
9180:Inverse scattering transform
8223:Korteweg & de Vries 1895
8099:Advection-diffusion equation
7724:KdV (variable coefficients)
5741:inverse scattering transform
5688:Applications and connections
5675:inverse scattering transform
5658:Zabusky & Kruskal (1965)
5623:Zabusky & Kruskal (1965)
3829:of motion for this field is
2574:Only the odd-numbered terms
1145:then the potential function
1135:{\displaystyle A=0,\,c>0}
103:) with an initial condition
9578:Equations of fluid dynamics
9071:Quantum harmonic oscillator
8837:"Korteweg–deVries Equation"
8569:10.1103/PhysRevLett.19.1095
8454:10.1016/j.physd.2005.11.008
8367:Berest & Loutsenko 1997
8295:Polyanin & Zaitsev 2003
8235:Polyanin & Zaitsev 2003
3554:of motion derived from the
2699:can be reformulated as the
2210:are defined recursively by
9594:
9304:in one- and two-dimensions
8808:Korteweg–De Vries equation
8802:Korteweg–De Vries equation
8780:10.1103/PhysRevLett.15.240
8461:Darrigol, Olivier (2005).
8343:Dauxois & Peyrard 2006
8184:Zabusky & Kruskal 1965
6317:{\displaystyle \lambda =3}
6291:{\displaystyle \lambda =2}
6265:{\displaystyle \lambda =4}
6162:{\displaystyle \lambda =1}
3107:{\displaystyle \phi (x,t)}
251:{\displaystyle \phi (x,t)}
18:Korteweg-De Vries equation
9415:Ferdinand Georg Frobenius
9020:Garnier integrable system
8644:10.1080/14786449508620739
8616:10.1007/s11040-009-9062-2
8528:Dunajski, Maciej (2009).
8509:Dingemans, M. W. (1997).
8355:Chalub & Zubelli 2006
8331:Grunert & Teschl 2009
6171:Gross–Pitaevskii equation
5629:analysis for oscillatory
4038:{\displaystyle \partial }
160:inverse scattering method
9346:Quantum Heisenberg model
9189:ASDYM as a master theory
9041:Liouville–Arnold theorem
8149:Novikov–Veselov equation
8119:Dispersion (water waves)
7126:KdV (modified modified)
6370:Korteweg–De Vries (KdV)
5711:in a density-stratified
5631:Riemann–Hilbert problems
4957:Remember the definition
3075:is the time-independent
2794:Sturm–Liouville operator
2603:{\displaystyle P_{2n+1}}
1249:{\displaystyle -\infty }
142:(PDE) which serves as a
43:Jacobi elliptic function
9563:Exactly solvable models
9492:Alexander Zamolodchikov
9152:Bäcklund transformation
9081:Pöschl–Teller potential
8953:Liouville integrability
8941:Frobenius integrability
8934:Geometric integrability
8768:Physical Review Letters
8590:Math. Phys. Anal. Geom.
8557:Physical Review Letters
8422:Boussinesq, J. (1877),
8124:Dispersionless equation
3827:Euler–Lagrange equation
3552:Euler–Lagrange equation
1277:{\displaystyle \infty }
957:constant of integration
9251:Principal chiral model
9201:Twistor correspondence
9046:Action-angle variables
8962:In classical mechanics
8868:Korteweg–De Vries type
8673:10.1002/cpa.3160210503
8080:
7937:
7824:
7714:
7615:
7399:
7294:
7116:
6995:
6899:
6807:
6727:
6557:
6447:
6338:
6318:
6292:
6266:
6237:
6163:
6134:
6064:
5965:
5874:
5604:
5518:
5360:
5161:
5074:
4987:
4948:
4900:
4745:
4623:
4496:
4390:
4082:
4059:
4039:
4003:
3811:
3762:
3726:
3577:
3541:
3457:Least action principle
3448:
3350:
3128:
3108:
3069:
3042:
2977:
2935:
2786:
2763:
2690:
2604:
2564:
2477:
2433:
2391:
2333:
2204:
2183:where the polynomials
2174:
2035:
1857:
1856:{\displaystyle A(x,t)}
1822:
1703:
1657:
1605:
1585:
1557:
1533:
1509:
1486:
1356:
1327:
1307:
1278:
1250:
1227:
1198:
1168:
1136:
1090:
993:
973:
949:
926:
838:
815:
691:
611:
588:
546:
526:
506:
486:
463:
436:
403:
365:
252:
209:The KdV equation is a
127:
119:
53:
9430:Joseph-Louis Lagrange
8981:Central force systems
8870:are discussed on the
8407:10.1007/s002200050235
8081:
7938:
7825:
7715:
7616:
7400:
7295:
7117:
6996:
6900:
6808:
6728:
6558:
6448:
6339:
6337:{\displaystyle \phi }
6319:
6293:
6267:
6238:
6164:
6135:
6065:
5966:
5875:
5616:Long-time asymptotics
5605:
5519:
5361:
5162:
5075:
4988:
4949:
4901:
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4624:
4497:
4391:
4083:
4060:
4040:
4004:
3812:
3763:
3761:{\displaystyle \phi }
3727:
3578:
3542:
3449:
3351:
3129:
3109:
3070:
3052:of the KdV equation.
3043:
2978:
2936:
2787:
2764:
2691:
2605:
2565:
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2434:
2392:
2307:
2205:
2203:{\displaystyle P_{n}}
2175:
2036:
1858:
1823:
1704:
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1558:
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1308:
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1251:
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1169:
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1091:
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974:
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927:
839:
816:
692:
612:
589:
547:
545:{\displaystyle \phi }
527:
507:
487:
464:
462:{\displaystyle \phi }
437:
404:
366:
253:
125:
59:
33:
9497:Alexei Zamolodchikov
9466:Martin David Kruskal
9440:Siméon Denis Poisson
9378:Yang–Baxter equation
9273:Affine Gaudin models
9116:Sine-Gordon equation
9064:In quantum mechanics
7953:
7947:non-homogeneous KdV
7842:
7835:KdV-Burgers equation
7730:
7631:
7417:
7310:
7132:
7013:
6917:
6825:
6743:
6573:
6463:
6376:
6328:
6302:
6276:
6250:
6180:
6147:
6080:
5981:
5890:
5828:
5783:improve this section
5534:
5376:
5172:
5085:
5000:
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4911:
4756:
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4507:
4419:
4097:
4081:{\displaystyle \mu }
4072:
4058:{\displaystyle \mu }
4049:
4029:
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3775:
3752:
3591:
3562:
3468:
3360:
3150:
3118:
3083:
3077:Schrödinger operator
3059:
2991:
2948:
2803:
2776:
2709:
2625:
2578:
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2217:
2187:
2062:
1867:
1832:
1713:
1667:
1615:
1595:
1575:
1547:
1523:
1499:
1378:
1337:
1317:
1306:{\displaystyle f(X)}
1288:
1268:
1237:
1226:{\displaystyle f(X)}
1208:
1182:
1167:{\displaystyle V(f)}
1149:
1107:
1010:
983:
963:
939:
851:
828:
707:
621:
601:
587:{\displaystyle f(X)}
569:
561:One-soliton solution
536:
516:
496:
476:
453:
413:
378:
265:
227:
156:conserved quantities
9456:Clifford S. Gardner
9226:Quantum Sine-Gordon
9173:Topological soliton
9163:integrals of motion
8976:Harmonic oscillator
8880:by S. M. Blinder,
8872:Dispersive PDE Wiki
8706:1968JMP.....9.1204M
8608:2009MPAG...12..287G
8484:Physics of Solitons
8249:, pp. 105–108.
8199:Gardner et al. 1967
8017:
7922:
7879:
7777:
7665:
7625:KdV (transitional)
7599:
7508:
7481:
7344:
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7047:
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6859:
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2837:
2682:
2146:
2085:
2053:integrals of motion
2047:Integrals of motion
1952:
1284:. In other words,
1197:{\displaystyle f=0}
999:satisfies Newton's
395:
298:
9568:Integrable systems
9425:Sofia Kovalevskaya
9323:Chiral Potts model
9318:Hard hexagon model
9313:Eight-vertex model
8927:Integrable systems
8834:Weisstein, Eric W.
8690:Kruskal, Martin D.
8076:
8003:
7933:
7932:
7908:
7865:
7820:
7819:
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7709:
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7610:
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7383:
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7111:
7033:
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6990:
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6894:
6845:
6803:
6802:
6784:
6763:
6737:KdV (generalized)
6723:
6722:
6610:
6553:
6552:
6541:
6483:
6457:KdV (cylindrical)
6443:
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6334:
6314:
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6233:
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6130:
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6060:
6016:
5961:
5912:
5870:
5719:ion acoustic waves
5682:Huygens' principle
5643:John Scott Russell
5600:
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5514:
5356:
5157:
5070:
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3573:
3556:Lagrangian density
3537:
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3104:
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2759:
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2668:
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2473:
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2385:
2200:
2170:
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2065:
2031:
1938:
1853:
1818:
1699:
1653:
1601:
1581:
1567:N-soliton solution
1553:
1529:
1505:
1482:
1352:
1323:
1303:
1274:
1246:
1223:
1194:
1164:
1132:
1086:
1001:equation of motion
989:
969:
945:
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284:
248:
144:mathematical model
128:
120:
54:
9540:
9539:
9536:
9535:
9386:
9385:
9287:
9286:
9246:Toda field theory
9236:Quantum Liouville
9214:
9213:
9168:Soliton solutions
9126:Gross–Neveu model
9059:
9058:
8758:978-0-7923-7010-9
8739:978-1-58488-355-5
8714:10.1063/1.1664701
8584:Grunert, Katrin;
8563:(19): 1095–1097.
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