4951:
4331:
2072:
979:
4946:{\displaystyle {\begin{aligned}G_{\pm n}(w)&=(-1)^{n}2^{-n/2}e^{-n}(n!)^{-1/2}e^{\pm {\sqrt {n}}w}H_{n}\left({\frac {w}{\sqrt {2}}}\mp {\sqrt {2n}}\right),\qquad n=1,2,3,\ldots \\S_{n}(w_{0})&={\frac {G_{n}(w_{0})}{2{\sqrt {2}}}}-{\frac {1}{2nQ_{n}}}-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {G_{-m}(w_{0})}{4\left(m{\sqrt {n}}+{\sqrt {m}}n\right)Q_{m}Q_{n}}}\\Q_{n}&=\lim _{N\to \infty }{\sqrt {n!(N-1)!}}\;e^{2{\sqrt {Nn}}}\left^{-1}\end{aligned}}}
1626:
741:
572:
325:
370:
111:
2067:{\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{X}^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m\xi ^{2}}}\left;\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\mathrm {B} }T\left(1-e^{-2\xi t}\right)\\&\beta ={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}\left(1-e^{-\xi t}\right)^{2}\\&\mu _{X}=x'+(m\xi )^{-1}\left(1-e^{-\xi t}\right)p';\qquad \mu _{P}=p'e^{-\xi t}.\end{aligned}}}
3632:
974:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\frac {\mathbf {p} }{m}}\\{\dot {\mathbf {p} }}&=-\xi \,\mathbf {p} -\nabla V(\mathbf {r} )+{\sqrt {2m\xi k_{\mathrm {B} }T}}{\boldsymbol {\eta }}(t),\qquad \langle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathrm {T} }(t){\boldsymbol {\eta }}(t')\rangle =\mathbf {I} \delta (t-t')\end{aligned}}}
1621:
2714:
3489:
3266:
567:{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\mathbf {p} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f=\xi \nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\mathbf {p} \,f\right)+\nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\nabla V(\mathbf {r} )\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,\nabla _{\mathbf {p} }^{2}f}
3803:
320:{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {p}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\xi {\frac {\partial }{\partial p}}\left(p\,f\right)+{\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {dV}{dx}}\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial p^{2}}}}
1269:
2319:
2819:
3040:
2269:
3132:
3424:
3652:
4326:
2877:
3127:
4336:
3627:{\displaystyle {\begin{aligned}&f(0,p)=\left\{{\begin{array}{cc}g(p)&p>0\\{\text{unspecified}}&p<0\end{array}}\right.\\&f(x,p)\rightarrow 0{\text{ as }}x\rightarrow \infty \end{aligned}}}
1631:
3648:
For a point-source boundary condition, the solution has an exact expression in terms of infinite sum and products: Here, the result is stated for the non-dimensional version of the Klein–Kramers equation:
719:
Brownian particle. Unlike standard
Brownian motion, which is overdamped, underdamped Brownian motion takes the friction to be finite, in which case the momentum remains an independent degree of freedom.
3494:
2324:
1274:
746:
3867:
1171:
680:
1067:
1010:
3983:
2948:
630:
601:
3937:
3903:
2931:
2904:
1616:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,p,t)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left\right),\end{aligned}}}
2709:{\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)={\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{3}}}\exp \left\end{aligned}}}
2719:
5414:
Kainz, A J; Titulaer, U M (7 October 1991). "The analytic structure of the stationary kinetic boundary layer for
Brownian particles near an absorbing wall".
4031:
3271:
2124:
3261:{\displaystyle {\frac {\Phi (x,t)-\Phi _{D}(x,t)}{\Phi _{D}(x,t)}}={\mathcal {O}}\left({\frac {1}{t}}\right)\quad {\text{as }}t\rightarrow \infty }
5470:
3798:{\displaystyle w{\frac {\partial f(z,w)}{\partial z}}={\frac {\partial }{\partial w}}\left+{\frac {\partial ^{2}f(z,w)}{\partial w^{2}}}}
3045:
5109:
2824:
5218:
Ganapol, B. D.; Larsen, Edward W. (January 1984). "Asymptotic equivalence of Fokker-Planck and diffusion solutions for large time".
5127:"The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics"
1035:
5371:
Marshall, T W; Watson, E J (1987). "The analytic solutions of some boundary layer problems in the theory of
Brownian motion".
4975:
47:
3450:
4970:
86:
4957:. However, practical use of the expression is limited by slow convergence of the series, particularly for values of
3808:
1263:
41:
1145:
651:
5328:
Marshall, T W; Watson, E J (1985). "A drop of ink falls from my pen. . . it comes to earth, I know not when".
2941:
Under certain conditions, the solution of the free-space Klein–Kramers equation behaves asymptotically like a
1041:
984:
4985:
3942:
3446:
606:
577:
5044:
Kramers, H.A. (1940). "Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions".
4954:
5269:
Beals, R.; Protopopescu, V. (September 1983). "Half-range completeness for the Fokker-Planck equation".
2106:, and can be used to construct the general solution, i.e., the solution for generic initial conditions
5423:
5380:
5337:
5278:
5227:
5184:
5053:
3908:
3872:
2075:
1266:(who also devised a general methodology to solve problems in the presence of a potential) in 1943:
1021:
704:
700:
5439:
5310:
5294:
5243:
5146:
5077:
3457:
3427:
2909:
2882:
360:
3035:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,p,0)\,dp\,dx<\infty }
5447:
5396:
5353:
5302:
5251:
5200:
5154:
5105:
5069:
5017:
4990:
3445:) version of the Klein–Kramers equation can be solved on a semi-infinite or bounded domain by
2942:
2814:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{X}=\mathbf {r'} +(m\xi )^{-1}(1-e^{-\xi t})\mathbf {p'} }
1251:
736:
633:
17:
5431:
5388:
5345:
5286:
5235:
5192:
5138:
5061:
5009:
5030:
70:
1142:-dimensional free-space problem sets the force equal to zero, and considers solutions on
5427:
5384:
5341:
5282:
5231:
5188:
5057:
4980:
3449:. The solution typically develops a boundary layer that varies rapidly in space and is
5435:
5349:
5142:
5065:
5464:
5392:
5314:
5081:
33:
3524:
3419:{\displaystyle \Phi _{D}(x,t)=({\sqrt {2\pi t}}\sigma _{X}^{2})^{-1/2}\exp \left}
1017:
29:
5239:
1076:
The dynamics can also be described in terms of a probability density function
1070:
5451:
5443:
5400:
5357:
5306:
5298:
5255:
5247:
5204:
5158:
5150:
5073:
1111:. By averaging over the stochastic trajectories from the Langevin equations,
5196:
683:
5175:
Chandrasekhar, S. (1943). "Stochastic
Problems in Physics and Astronomy".
2271:
Similarly, the 3D free-space problem with point-source initial condition
5290:
716:
715:
The physical model underlying the Klein–Kramers equation is that of an
4321:{\displaystyle f(x,w)={\frac {w_{0}e^{-w^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left}
5126:
3122:{\textstyle \Phi (x,t)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }f(x,p,t)\,dp}
1205:
For the 1D free-space problem with point-source initial condition,
3805:
In this representation, length and time are measured in units of
2872:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p'} e^{-\xi t}}
723:
Mathematically, a particle's state is described by its position
5102:
The Fokker–Planck
Equation: Method of Solution and Applications
2264:{\displaystyle f(x,p,t)=\iint G(x,x',p,p',t)f(x',p',0)\,dx'dp'}
3220:
3574:
96:
is a function of three independent variables: the scalars
5010:
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kintheory/three.pdf
3478:) at the right. For a semi-infinite problem defined on
3811:
3048:
4334:
4034:
3985:
are both dimensionless. If the boundary condition at
3945:
3911:
3875:
3655:
3492:
3274:
3135:
2951:
2912:
2885:
2827:
2722:
2322:
2127:
1629:
1272:
1148:
1044:
987:
744:
654:
609:
580:
373:
114:
5170:
5168:
4945:
4320:
3977:
3931:
3897:
3861:
3797:
3626:
3418:
3260:
3121:
3034:
2925:
2898:
2871:
2813:
2708:
2263:
2066:
1615:
1165:
1061:
1004:
973:
674:
624:
595:
566:
319:
1130:can be shown to obey the Klein–Kramers equation.
4795:
50:that describes the probability density function
5125:Metzler, Ralf; Klafter, Joseph (22 July 2004).
3862:{\textstyle \ell ={\sqrt {k_{B}T/(m\xi ^{2})}}}
5416:Journal of Physics A: Mathematical and General
5373:Journal of Physics A: Mathematical and General
5330:Journal of Physics A: Mathematical and General
5131:Journal of Physics A: Mathematical and General
3471:) at the left boundary and the negative half (
108:. In this case, the Klein–Kramers equation is
3460:prescribes boundary data on only half of the
8:
5095:
5093:
5091:
933:
888:
3426:is the free-space Green's function for the
2074:This special solution is also known as the
1166:{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathrm {d} }}
4838:
675:{\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }^{2}}
4930:
4913:
4903:
4880:
4869:
4847:
4843:
4810:
4798:
4781:
4764:
4754:
4735:
4725:
4703:
4687:
4680:
4674:
4663:
4647:
4631:
4618:
4604:
4591:
4584:
4568:
4555:
4501:
4486:
4475:
4459:
4455:
4441:
4434:
4412:
4398:
4391:
4381:
4343:
4335:
4333:
4301:
4297:
4278:
4265:
4252:
4242:
4231:
4215:
4194:
4178:
4171:
4165:
4154:
4133:
4117:
4087:
4081:
4073:
4063:
4056:
4033:
3955:
3944:
3921:
3910:
3886:
3874:
3848:
3833:
3824:
3818:
3810:
3786:
3753:
3746:
3697:
3659:
3654:
3606:
3554:
3523:
3493:
3491:
3399:
3394:
3379:
3373:
3345:
3338:
3328:
3323:
3306:
3279:
3273:
3244:
3229:
3219:
3218:
3191:
3164:
3136:
3134:
3112:
3082:
3074:
3047:
3019:
3012:
2982:
2974:
2964:
2956:
2950:
2917:
2911:
2890:
2884:
2857:
2843:
2834:
2829:
2826:
2801:
2786:
2764:
2738:
2729:
2724:
2721:
2683:
2673:
2658:
2653:
2644:
2629:
2624:
2615:
2603:
2592:
2587:
2576:
2571:
2564:
2559:
2550:
2545:
2542:
2531:
2526:
2515:
2510:
2503:
2498:
2489:
2484:
2481:
2464:
2442:
2420:
2407:
2395:
2389:
2379:
2358:
2341:
2333:
2323:
2321:
2238:
2126:
2045:
2024:
1991:
1967:
1934:
1919:
1902:
1877:
1867:
1849:
1842:
1811:
1786:
1785:
1769:
1764:
1745:
1728:
1680:
1661:
1660:
1653:
1644:
1639:
1630:
1628:
1587:
1577:
1562:
1540:
1518:
1507:
1502:
1491:
1481:
1465:
1454:
1449:
1438:
1428:
1412:
1395:
1373:
1348:
1336:
1330:
1320:
1304:
1273:
1271:
1156:
1155:
1151:
1150:
1147:
1045:
1043:
988:
986:
939:
914:
898:
897:
892:
870:
858:
857:
842:
831:
814:
813:
789:
787:
786:
772:
770:
752:
750:
749:
745:
743:
666:
660:
659:
653:
615:
614:
608:
586:
585:
579:
555:
549:
548:
543:
533:
532:
510:
502:
478:
477:
461:
456:
441:
440:
420:
419:
407:
397:
374:
372:
308:
290:
283:
282:
272:
271:
249:
229:
209:
197:
174:
148:
138:
115:
113:
5220:Transport Theory and Statistical Physics
1062:{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)}
1005:{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)}
735:, which evolve in time according to the
5001:
3486:, boundary conditions may be given as:
2830:
2725:
2654:
2625:
2560:
2499:
1095:, which gives the probability, at time
1046:
989:
915:
893:
871:
5026:
5015:
3978:{\displaystyle w\equiv p/(m\ell \xi )}
3438:The 1D, time-independent, force-free (
1073:("random") rather than deterministic.
1030:in a background medium of temperature
699:is a generalization that incorporates
625:{\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }}
596:{\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }}
1173:that decay to 0 at infinity, i.e.,
7:
1250:, the solution which is a bivariate
1099:, of finding a particle at position
367:spatial dimensions, the equation is
346:is the friction (drag) coefficient,
4953:This result can be obtained by the
1034:. These equations are analogous to
4805:
4675:
4243:
4166:
3779:
3750:
3703:
3699:
3685:
3662:
3617:
3276:
3255:
3188:
3161:
3139:
3083:
3078:
3049:
3029:
2983:
2978:
2965:
2960:
1787:
1662:
1157:
899:
859:
822:
656:
611:
582:
545:
534:
493:
474:
437:
416:
385:
377:
301:
287:
273:
215:
211:
180:
176:
159:
151:
126:
118:
25:
697:fractional Klein-Kramers equation
2845:
2803:
2740:
2645:
2616:
2551:
2490:
2342:
2334:
940:
832:
815:
790:
773:
753:
661:
616:
587:
550:
503:
479:
457:
442:
421:
408:
27:In physics and mathematics, the
4519:
3932:{\displaystyle z\equiv x/\ell }
3898:{\displaystyle \tau =\xi ^{-1}}
3243:
2933:defined as in the 1D solution.
2019:
1759:
887:
5471:Partial differential equations
5271:Journal of Statistical Physics
4830:
4818:
4802:
4709:
4696:
4610:
4597:
4574:
4561:
4431:
4421:
4378:
4368:
4358:
4352:
4290:
4284:
4271:
4258:
4200:
4187:
4050:
4038:
3972:
3960:
3854:
3838:
3774:
3762:
3735:
3723:
3680:
3668:
3614:
3600:
3597:
3585:
3536:
3530:
3513:
3501:
3408:
3384:
3335:
3303:
3297:
3285:
3252:
3209:
3197:
3182:
3170:
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