944:
680:
1441:
1184:
813:
745:
1040:
439:
324:
573:
1238:
463:
773:
1863:
1495:
1610:
1643:
1569:
1532:
1055:
1214:
805:
545:
939:{\displaystyle H_{i}(G,\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cc}\mathbb {Z} &i=0,3\\\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &i=1,2\\0&i>3.\end{array}}\right.}
168:
514:
490:
209:
188:
133:
109:
694:
968:
1925:
1798:
1229:
338:
223:
1685:
807:. The spectral sequence for the group homology, together with the analysis of a differential in this spectral sequence, shows that
675:{\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right),\ a,b,c\in \mathbb {Z} .}
1452:
1959:
1790:
1825:
1225:
1741:
1750:
1436:{\displaystyle 0\to H^{1}(G/N,A^{N})\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(N,A)^{G/N}\to H^{2}(G/N,A^{N})\to H^{2}(G,A).}
1964:
1712:
751:
448:
1755:
112:
28:
756:
1890:
1854:
1768:
1729:
76:
1909:
1648:
A similar spectral sequence exists for group homology, as opposed to group cohomology, as well.
1458:
1574:
1179:{\displaystyle H^{r}(\mathbb {Z} /p,H^{s}(G^{p},k))\Rightarrow H^{r+s}(G\wr \mathbb {Z} /p,k),}
1921:
1882:
1858:
1842:
1794:
1681:
466:
330:
214:
80:
44:
1615:
1541:
1504:
1939:
1872:
1834:
1760:
1721:
1673:
561:
48:
24:
1935:
1902:
1808:
1695:
1192:
778:
523:
1943:
1931:
1898:
1804:
1739:
Carlson, Jon F.; Henn, Hans-Werner (1995), "Depth and the cohomology of wreath products",
1691:
1498:
686:
493:
136:
1710:
Nakaoka, Minoru (1960), "Decomposition
Theorem for Homology Groups of Symmetric Groups",
582:
145:
959:
499:
475:
194:
173:
140:
118:
94:
1953:
1669:
32:
1772:
1820:
72:
1838:
852:
1045:
The resulting spectral sequence of group cohomology with coefficients in a field
20:
1677:
740:{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to G\to \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \to 0}
64:
1886:
1846:
1789:, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (2nd ed.),
1035:{\displaystyle 1\to G^{p}\to G\wr \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p\to 1.}
191:
1894:
1764:
1733:
1877:
1725:
560:
The spectral sequence can be used to compute the homology of the
434:{\displaystyle H_{p}(G/N,H_{q}(N,A))\Longrightarrow H_{p+q}(G,A)}
319:{\displaystyle H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\Longrightarrow H^{p+q}(G,A)}
933:
1451:
The spectral sequence is an instance of the more general
1823:(1948), "The cohomology theory of group extensions",
1618:
1577:
1544:
1507:
1461:
1241:
1195:
1058:
971:
816:
781:
759:
697:
576:
526:
502:
478:
451:
341:
226:
197:
176:
148:
121:
97:
1455:
of the composition of two derived functors. Indeed,
1637:
1604:
1563:
1526:
1489:
1435:
1208:
1178:
1034:
938:
799:
767:
739:
674:
567:with integral entries, i.e., matrices of the form
539:
508:
484:
457:
433:
318:
203:
182:
162:
127:
103:
1864:Transactions of the American Mathematical Society
1668:. Progress in Mathematics. Vol. 193. Basel:
1538:-invariants) and the composition of the functors
1918:Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
8:
1912:; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000),
1920:, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag,
1861:(1953), "Cohomology of group extensions",
1876:
1754:
1629:
1617:
1592:
1588:
1576:
1555:
1543:
1518:
1506:
1466:
1460:
1409:
1393:
1378:
1366:
1349:
1345:
1323:
1295:
1279:
1264:
1252:
1240:
1200:
1194:
1156:
1152:
1151:
1130:
1105:
1092:
1077:
1073:
1072:
1063:
1057:
1018:
1014:
1013:
1002:
998:
997:
982:
970:
890:
889:
882:
881:
856:
855:
851:
837:
836:
821:
815:
780:
761:
760:
758:
727:
726:
719:
718:
705:
704:
696:
665:
664:
581:
575:
531:
525:
501:
477:
450:
404:
373:
358:
346:
340:
289:
258:
243:
231:
225:
196:
175:
152:
147:
120:
96:
71:. The spectral sequence is named after
1737:, for a brief summary see section 2 of
1656:
331:spectral sequence of homological type
7:
1787:A User's Guide to Spectral Sequences
1230:inflation-restriction exact sequence
775:corresponding to the subgroup with
547:denotes the continuous cohomology.
170:is a group, as well. Finally, let
41:Hochschild–Serre spectral sequence
14:
467:convergence of spectral sequences
556:Homology of the Heisenberg group
458:{\displaystyle \Longrightarrow }
1626:
1619:
1585:
1578:
1552:
1545:
1515:
1508:
1484:
1472:
1453:Grothendieck spectral sequence
1427:
1415:
1402:
1399:
1372:
1359:
1342:
1329:
1316:
1313:
1301:
1288:
1285:
1258:
1245:
1189:is known to degenerate at the
1170:
1142:
1123:
1120:
1117:
1098:
1069:
1026:
1010:
988:
975:
841:
827:
731:
715:
709:
701:
452:
428:
416:
397:
394:
391:
379:
352:
313:
301:
282:
279:
276:
264:
237:
139:. The latter ensures that the
23:, especially in the fields of
1:
1839:10.1215/S0012-7094-48-01528-2
950:Cohomology of wreath products
768:{\displaystyle \mathbb {Z} }
472:The same statement holds if
1914:Cohomology of Number Fields
1981:
1791:Cambridge University Press
1490:{\displaystyle H^{*}(G,-)}
1826:Duke Mathematical Journal
1678:10.1007/978-3-0348-8338-2
1666:Homology of Linear Groups
1605:{\displaystyle (-)^{G/N}}
1226:five-term exact sequence
37:Lyndon spectral sequence
1785:McCleary, John (2001),
1742:Manuscripta Mathematica
1664:Knudson, Kevin (2001).
1638:{\displaystyle (-)^{G}}
1564:{\displaystyle (-)^{N}}
1527:{\displaystyle (-)^{G}}
55:and the quotient group
1639:
1606:
1565:
1528:
1491:
1437:
1210:
1180:
1036:
940:
801:
769:
741:
676:
541:
510:
486:
459:
435:
320:
217:of cohomological type
205:
184:
164:
129:
105:
1713:Annals of Mathematics
1640:
1607:
1566:
1529:
1492:
1438:
1211:
1209:{\displaystyle E_{2}}
1181:
1037:
941:
802:
800:{\displaystyle a=b=0}
770:
742:
677:
542:
540:{\displaystyle H^{*}}
511:
487:
460:
436:
321:
206:
185:
165:
130:
106:
51:of a normal subgroup
1616:
1575:
1542:
1505:
1459:
1239:
1193:
1056:
969:
814:
779:
757:
695:
574:
524:
520:normal subgroup and
500:
476:
449:
339:
224:
195:
174:
146:
119:
95:
16:Topic in mathematics
1855:Hochschild, Gerhard
163:{\displaystyle G/N}
67:of the total group
29:homological algebra
1960:Spectral sequences
1859:Serre, Jean-Pierre
1765:10.1007/BF02570466
1635:
1602:
1561:
1524:
1487:
1433:
1206:
1176:
1032:
936:
931:
797:
765:
737:
672:
634:
537:
506:
482:
455:
431:
316:
213:. Then there is a
201:
180:
160:
125:
101:
77:Gerhard Hochschild
1927:978-3-540-66671-4
1800:978-0-521-56759-6
1716:, Second Series,
1670:Birkhäuser Verlag
687:central extension
645:
509:{\displaystyle N}
485:{\displaystyle G}
445:where the arrow '
215:spectral sequence
204:{\displaystyle G}
183:{\displaystyle A}
128:{\displaystyle N}
104:{\displaystyle G}
81:Jean-Pierre Serre
45:spectral sequence
1972:
1946:
1910:Neukirch, Jürgen
1905:
1880:
1849:
1821:Lyndon, Roger C.
1813:
1811:
1782:
1776:
1775:
1758:
1736:
1707:
1701:
1699:
1661:
1644:
1642:
1641:
1636:
1634:
1633:
1611:
1609:
1608:
1603:
1601:
1600:
1596:
1570:
1568:
1567:
1562:
1560:
1559:
1533:
1531:
1530:
1525:
1523:
1522:
1496:
1494:
1493:
1488:
1471:
1470:
1442:
1440:
1439:
1434:
1414:
1413:
1398:
1397:
1382:
1371:
1370:
1358:
1357:
1353:
1328:
1327:
1300:
1299:
1284:
1283:
1268:
1257:
1256:
1215:
1213:
1212:
1207:
1205:
1204:
1185:
1183:
1182:
1177:
1160:
1155:
1141:
1140:
1110:
1109:
1097:
1096:
1081:
1076:
1068:
1067:
1041:
1039:
1038:
1033:
1022:
1017:
1006:
1001:
987:
986:
962:is an extension
945:
943:
942:
937:
935:
932:
893:
885:
859:
840:
826:
825:
806:
804:
803:
798:
774:
772:
771:
766:
764:
746:
744:
743:
738:
730:
722:
708:
685:This group is a
681:
679:
678:
673:
668:
643:
639:
635:
562:Heisenberg group
546:
544:
543:
538:
536:
535:
515:
513:
512:
507:
491:
489:
488:
483:
464:
462:
461:
456:
440:
438:
437:
432:
415:
414:
378:
377:
362:
351:
350:
325:
323:
322:
317:
300:
299:
263:
262:
247:
236:
235:
210:
208:
207:
202:
189:
187:
186:
181:
169:
167:
166:
161:
156:
134:
132:
131:
126:
110:
108:
107:
102:
49:group cohomology
25:group cohomology
1980:
1979:
1975:
1974:
1973:
1971:
1970:
1969:
1950:
1949:
1928:
1908:
1878:10.2307/1990851
1853:
1819:
1816:
1801:
1784:
1783:
1779:
1756:10.1.1.540.1310
1738:
1726:10.2307/1969878
1709:
1708:
1704:
1688:
1663:
1662:
1658:
1654:
1625:
1614:
1613:
1584:
1573:
1572:
1551:
1540:
1539:
1514:
1503:
1502:
1499:derived functor
1462:
1457:
1456:
1449:
1447:Generalizations
1405:
1389:
1362:
1341:
1319:
1291:
1275:
1248:
1237:
1236:
1224:The associated
1222:
1196:
1191:
1190:
1126:
1101:
1088:
1059:
1054:
1053:
978:
967:
966:
952:
930:
929:
918:
912:
911:
894:
878:
877:
860:
847:
817:
812:
811:
777:
776:
755:
754:
693:
692:
633:
632:
627:
622:
616:
615:
610:
605:
599:
598:
593:
588:
577:
572:
571:
558:
553:
527:
522:
521:
498:
497:
494:profinite group
474:
473:
447:
446:
400:
369:
342:
337:
336:
329:and there is a
285:
254:
227:
222:
221:
193:
192:
172:
171:
144:
143:
137:normal subgroup
117:
116:
93:
92:
89:
17:
12:
11:
5:
1978:
1976:
1968:
1967:
1962:
1952:
1951:
1948:
1947:
1926:
1906:
1871:(1): 110–134,
1851:
1833:(1): 271–292,
1815:
1814:
1812:, Theorem 8.12
1799:
1777:
1749:(2): 145–151,
1702:
1686:
1655:
1653:
1650:
1632:
1628:
1624:
1621:
1599:
1595:
1591:
1587:
1583:
1580:
1558:
1554:
1550:
1547:
1534:(i.e., taking
1521:
1517:
1513:
1510:
1486:
1483:
1480:
1477:
1474:
1469:
1465:
1448:
1445:
1444:
1443:
1432:
1429:
1426:
1423:
1420:
1417:
1412:
1408:
1404:
1401:
1396:
1392:
1388:
1385:
1381:
1377:
1374:
1369:
1365:
1361:
1356:
1352:
1348:
1344:
1340:
1337:
1334:
1331:
1326:
1322:
1318:
1315:
1312:
1309:
1306:
1303:
1298:
1294:
1290:
1287:
1282:
1278:
1274:
1271:
1267:
1263:
1260:
1255:
1251:
1247:
1244:
1221:
1218:
1203:
1199:
1187:
1186:
1175:
1172:
1169:
1166:
1163:
1159:
1154:
1150:
1147:
1144:
1139:
1136:
1133:
1129:
1125:
1122:
1119:
1116:
1113:
1108:
1104:
1100:
1095:
1091:
1087:
1084:
1080:
1075:
1071:
1066:
1062:
1043:
1042:
1031:
1028:
1025:
1021:
1016:
1012:
1009:
1005:
1000:
996:
993:
990:
985:
981:
977:
974:
960:wreath product
951:
948:
947:
946:
934:
928:
925:
922:
919:
917:
914:
913:
910:
907:
904:
901:
898:
895:
892:
888:
884:
880:
879:
876:
873:
870:
867:
864:
861:
858:
854:
853:
850:
846:
843:
839:
835:
832:
829:
824:
820:
796:
793:
790:
787:
784:
763:
748:
747:
736:
733:
729:
725:
721:
717:
714:
711:
707:
703:
700:
683:
682:
671:
667:
663:
660:
657:
654:
651:
648:
642:
638:
631:
628:
626:
623:
621:
618:
617:
614:
611:
609:
606:
604:
601:
600:
597:
594:
592:
589:
587:
584:
583:
580:
557:
554:
552:
549:
534:
530:
505:
481:
454:
443:
442:
430:
427:
424:
421:
418:
413:
410:
407:
403:
399:
396:
393:
390:
387:
384:
381:
376:
372:
368:
365:
361:
357:
354:
349:
345:
327:
326:
315:
312:
309:
306:
303:
298:
295:
292:
288:
284:
281:
278:
275:
272:
269:
266:
261:
257:
253:
250:
246:
242:
239:
234:
230:
200:
179:
159:
155:
151:
124:
100:
88:
85:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1977:
1966:
1963:
1961:
1958:
1957:
1955:
1945:
1941:
1937:
1933:
1929:
1923:
1919:
1915:
1911:
1907:
1904:
1900:
1896:
1892:
1888:
1884:
1879:
1874:
1870:
1866:
1865:
1860:
1856:
1852:
1848:
1844:
1840:
1836:
1832:
1828:
1827:
1822:
1818:
1817:
1810:
1806:
1802:
1796:
1792:
1788:
1781:
1778:
1774:
1770:
1766:
1762:
1757:
1752:
1748:
1744:
1743:
1735:
1731:
1727:
1723:
1719:
1715:
1714:
1706:
1703:
1700:Example A.2.4
1697:
1693:
1689:
1687:3-7643-6415-7
1683:
1679:
1675:
1671:
1667:
1660:
1657:
1651:
1649:
1646:
1630:
1622:
1597:
1593:
1589:
1581:
1556:
1548:
1537:
1519:
1511:
1500:
1481:
1478:
1475:
1467:
1463:
1454:
1446:
1430:
1424:
1421:
1418:
1410:
1406:
1394:
1390:
1386:
1383:
1379:
1375:
1367:
1363:
1354:
1350:
1346:
1338:
1335:
1332:
1324:
1320:
1310:
1307:
1304:
1296:
1292:
1280:
1276:
1272:
1269:
1265:
1261:
1253:
1249:
1242:
1235:
1234:
1233:
1231:
1228:is the usual
1227:
1219:
1217:
1201:
1197:
1173:
1167:
1164:
1161:
1157:
1148:
1145:
1137:
1134:
1131:
1127:
1114:
1111:
1106:
1102:
1093:
1089:
1085:
1082:
1078:
1064:
1060:
1052:
1051:
1050:
1048:
1029:
1023:
1019:
1007:
1003:
994:
991:
983:
979:
972:
965:
964:
963:
961:
957:
949:
926:
923:
920:
915:
908:
905:
902:
899:
896:
886:
874:
871:
868:
865:
862:
848:
844:
833:
830:
822:
818:
810:
809:
808:
794:
791:
788:
785:
782:
753:
734:
723:
712:
698:
691:
690:
689:
688:
669:
661:
658:
655:
652:
649:
646:
640:
636:
629:
624:
619:
612:
607:
602:
595:
590:
585:
578:
570:
569:
568:
566:
563:
555:
550:
548:
532:
528:
519:
503:
495:
479:
470:
468:
425:
422:
419:
411:
408:
405:
401:
388:
385:
382:
374:
370:
366:
363:
359:
355:
347:
343:
335:
334:
333:
332:
310:
307:
304:
296:
293:
290:
286:
273:
270:
267:
259:
255:
251:
248:
244:
240:
232:
228:
220:
219:
218:
216:
212:
198:
177:
157:
153:
149:
142:
138:
122:
114:
98:
86:
84:
82:
78:
74:
70:
66:
62:
58:
54:
50:
47:relating the
46:
42:
38:
34:
33:number theory
30:
26:
22:
1965:Group theory
1917:
1913:
1868:
1862:
1830:
1824:
1786:
1780:
1746:
1740:
1720:(1): 16–42,
1717:
1711:
1705:
1665:
1659:
1647:
1535:
1450:
1223:
1188:
1046:
1044:
955:
954:For a group
953:
749:
684:
564:
559:
517:
471:
444:
328:
90:
73:Roger Lyndon
68:
60:
56:
52:
40:
36:
18:
1850:(paywalled)
1612:is exactly
21:mathematics
1954:Categories
1944:0948.11001
1652:References
1220:Properties
65:cohomology
1887:0002-9947
1847:0012-7094
1751:CiteSeerX
1623:−
1582:−
1549:−
1512:−
1482:−
1468:∗
1403:→
1360:→
1317:→
1289:→
1246:→
1149:≀
1124:⇒
1027:→
1011:→
995:≀
989:→
976:→
887:⊕
732:→
724:⊕
716:→
710:→
702:→
662:∈
533:∗
453:⟹
398:⟹
283:⟹
87:Statement
1773:27212941
551:Examples
465:' means
141:quotient
1936:1737196
1903:0052438
1895:1990851
1809:1793722
1734:1969878
1696:1807154
1497:is the
1216:-page.
211:-module
63:to the
1942:
1934:
1924:
1901:
1893:
1885:
1845:
1807:
1797:
1771:
1753:
1732:
1694:
1684:
958:, the
752:center
644:
518:closed
79:, and
35:, the
1891:JSTOR
1769:S2CID
1730:JSTOR
750:with
516:is a
492:is a
190:be a
135:be a
113:group
111:be a
43:is a
1922:ISBN
1883:ISSN
1843:ISSN
1795:ISBN
1682:ISBN
1571:and
924:>
115:and
91:Let
83:.
31:and
1940:Zbl
1873:doi
1835:doi
1761:doi
1722:doi
1674:doi
1501:of
39:or
19:In
1956::
1938:,
1932:MR
1930:,
1916:,
1899:MR
1897:,
1889:,
1881:,
1869:74
1867:,
1857:;
1841:,
1831:15
1829:,
1805:MR
1803:,
1793:,
1767:,
1759:,
1747:87
1745:,
1728:,
1718:71
1692:MR
1690:.
1680:.
1672:.
1645:.
1232::
1049:,
1030:1.
927:3.
496:,
469:.
75:,
27:,
1875::
1837::
1763::
1724::
1698:.
1676::
1631:G
1627:)
1620:(
1598:N
1594:/
1590:G
1586:)
1579:(
1557:N
1553:)
1546:(
1536:G
1520:G
1516:)
1509:(
1485:)
1479:,
1476:G
1473:(
1464:H
1431:.
1428:)
1425:A
1422:,
1419:G
1416:(
1411:2
1407:H
1400:)
1395:N
1391:A
1387:,
1384:N
1380:/
1376:G
1373:(
1368:2
1364:H
1355:N
1351:/
1347:G
1343:)
1339:A
1336:,
1333:N
1330:(
1325:1
1321:H
1314:)
1311:A
1308:,
1305:G
1302:(
1297:1
1293:H
1286:)
1281:N
1277:A
1273:,
1270:N
1266:/
1262:G
1259:(
1254:1
1250:H
1243:0
1202:2
1198:E
1174:,
1171:)
1168:k
1165:,
1162:p
1158:/
1153:Z
1146:G
1143:(
1138:s
1135:+
1132:r
1128:H
1121:)
1118:)
1115:k
1112:,
1107:p
1103:G
1099:(
1094:s
1090:H
1086:,
1083:p
1079:/
1074:Z
1070:(
1065:r
1061:H
1047:k
1024:p
1020:/
1015:Z
1008:p
1004:/
999:Z
992:G
984:p
980:G
973:1
956:G
921:i
916:0
909:2
906:,
903:1
900:=
897:i
891:Z
883:Z
875:3
872:,
869:0
866:=
863:i
857:Z
849:{
845:=
842:)
838:Z
834:,
831:G
828:(
823:i
819:H
795:0
792:=
789:b
786:=
783:a
762:Z
735:0
728:Z
720:Z
713:G
706:Z
699:0
670:.
666:Z
659:c
656:,
653:b
650:,
647:a
641:,
637:)
630:1
625:0
620:0
613:b
608:1
603:0
596:c
591:a
586:1
579:(
565:G
529:H
504:N
480:G
441:,
429:)
426:A
423:,
420:G
417:(
412:q
409:+
406:p
402:H
395:)
392:)
389:A
386:,
383:N
380:(
375:q
371:H
367:,
364:N
360:/
356:G
353:(
348:p
344:H
314:)
311:A
308:,
305:G
302:(
297:q
294:+
291:p
287:H
280:)
277:)
274:A
271:,
268:N
265:(
260:q
256:H
252:,
249:N
245:/
241:G
238:(
233:p
229:H
199:G
178:A
158:N
154:/
150:G
123:N
99:G
69:G
61:N
59:/
57:G
53:N
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
