3339:
2662:
3334:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left\langle 0\left|(E_{\vec {k}})^{2}\right|0\right\rangle \\&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)\\&=2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}4\pi \int dkk^{2}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)&&{\text{since continuity of }}{\vec {k}}{\text{ implies }}\sum _{\vec {k}}\to 2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}k\\&={\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {dk}{k}}\end{aligned}}}
5545:
31:
6813:
6206:
2571:
1131:
4774:
3979:
7894:
2236:
4501:
3673:
3693:
4489:
1909:
1509:
2566:{\displaystyle (\delta r)_{\vec {k}}\cong {\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}E_{\vec {k}}={\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}{\mathcal {E}}_{\vec {k}}\left(a_{\vec {k}}e^{-i\nu t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+h.c.\right)\qquad {\text{with}}\qquad {\mathcal {E}}_{\vec {k}}=\left({\frac {\hbar ck/2}{\epsilon _{0}\Omega }}\right)^{1/2},}
5468:
4769:{\displaystyle \langle \Delta V\rangle ={\frac {4}{3}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}{\frac {1}{8\pi a_{0}^{3}}}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}=\alpha ^{5}mc^{2}{\frac {1}{6\pi }}\ln {\frac {1}{\pi \alpha }},}
1729:
5525:. Bethe was able to derive the Lamb shift by implementing the idea of mass renormalization, which allowed him to calculate the observed energy shift as the difference between the shift of a bound electron and the shift of a free electron. The Lamb shift currently provides a measurement of the
3476:
3974:{\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d{\vec {r}}\psi ^{*}({\vec {r}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)\psi ({\vec {r}})={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi (0)|^{2},}
1260:
addressed him as follows: "Those years, when the Lamb shift was the central theme of physics, were golden years for all the physicists of my generation. You were the first to see that this tiny shift, so elusive and hard to measure, would clarify our thinking about particles and fields."
5053:
4281:
1740:
5199:
1306:
5222:
1587:
4066:
3668:{\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\cong {\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}}
2057:
4270:
2225:
4484:{\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi _{2S}(0)|^{2}={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}a_{0}^{3}}}}
4942:
4180:
1581:
1904:{\displaystyle \langle \Delta V\rangle ={\frac {1}{6}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}.}
1200:
and the electron as it moves around the hydrogen nucleus in each of these two orbitals. The Lamb shift has since played a significant role through vacuum energy fluctuations in theoretical prediction of
2667:
1504:{\displaystyle \Delta V=V({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})-V({\vec {r}})=\delta {\vec {r}}\cdot \nabla V({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}(\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}V({\vec {r}})+\cdots }
5064:
4803:. This shift is about 500 MHz, within an order of magnitude of the observed shift of 1057 MHz. This is equal to an energy of only 7.00 x 10^-25 J., or 4.37 x 10^-6 eV.
4872:
could be neglected (Doppler broadening is proportional to the frequency). The energy difference Lamb and
Retherford found was a rise of about 1000 MHz (0.03 cm) of the
3386:
2118:
3427:
3468:
2655:
5981:
6243:
4836:
4797:
2594:
4932:
The
Coulomb potential is therefore perturbed by a small amount and the degeneracy of the two energy levels is removed. The new potential can be approximated (using
2623:
7817:
1117:
5463:{\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left\ \mathrm {for} \ \ell \neq 0\ \mathrm {and} \ j=\ell \pm {\frac {1}{2}},}
6666:
6476:
3344:
This result diverges when no limits about the integral (at both large and small frequencies). As mentioned above, this method is expected to be valid only when
1724:{\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}\rangle _{\rm {vac}}={\frac {1}{3}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\nabla ^{2}.}
6558:
6517:
200:
3990:
7567:
240:
7805:
6296:
1958:
1289:
6321:
6425:
5544:
6656:
5974:
5813:
5603:
2120:. The electron is unable to respond to the fluctuating field if the fluctuations are smaller than the natural orbital frequency in the atom.
6548:
6236:
5048:{\displaystyle \langle E_{\mathrm {pot} }\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .}
4195:
2133:
975:
6404:
6847:
6286:
4089:
1524:
1110:
7703:
6816:
6496:
6209:
5921:
5891:
5730:
5651:
4901:
that have been emitted and re-absorbed by the atom. In quantum electrodynamics the electromagnetic field is quantized and, like the
745:
7918:
7784:
6746:
6553:
6316:
6081:
5967:
6349:
6004:
6706:
6609:
6589:
6229:
43:
6512:
6271:
6266:
5619:
308:
1103:
157:
117:
6661:
7923:
7800:
6785:
6311:
845:
775:
147:
6131:
6014:
303:
6780:
6574:
245:
6354:
5951:
5194:{\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}}\ \mathrm {for} \ \ell =0\,}
955:
152:
7876:
6522:
6152:
6091:
293:
7288:
6019:
5564:
3470:. Therefore, one can choose the upper and lower limit of the integral and these limits make the result converge.
1237:
6758:
780:
410:
255:
220:
7106:
6630:
6455:
6430:
6045:
770:
7844:
7479:
6840:
6486:
6369:
5990:
5905:
5526:
5522:
4894:
4800:
2596:
is some large normalization volume (the volume of the hypothetical "box" containing the hydrogen atom), and
1221:
1055:
525:
333:
328:
190:
5946:
7779:
7116:
6797:
6721:
6716:
6651:
6579:
6481:
6384:
6374:
6359:
6276:
6167:
5530:
4917:
to execute rapid oscillatory motions. The electron is "smeared out" and each radius value is changed from
1245:
925:
905:
405:
338:
250:
215:
6532:
6435:
6399:
6344:
4806:
Welton's heuristic derivation of the Lamb shift is similar to, but distinct from, the calculation of the
3347:
2079:
97:
7866:
6770:
6765:
6604:
6599:
6389:
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371:
235:
6711:
6445:
6281:
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5842:
5772:
5680:
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840:
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230:
142:
22:
3436:
7881:
6864:
6775:
6741:
6676:
6594:
6584:
6379:
6121:
4902:
1197:
1070:
785:
515:
400:
7893:
690:
565:
7824:
6833:
6409:
6187:
6162:
5858:
5718:
4869:
3430:
2628:
1915:
1281:
1270:
1233:
1080:
1005:
935:
820:
805:
735:
700:
455:
415:
205:
167:
122:
110:
87:
82:
6086:
650:
7861:
7774:
7253:
6998:
6925:
6460:
6147:
6116:
5917:
5887:
5881:
5809:
5801:
5736:
5726:
5696:
5647:
5641:
5599:
5591:
5558:
5518:
4910:
4906:
4847:
3684:
1202:
1035:
965:
850:
755:
695:
630:
600:
570:
430:
425:
270:
195:
185:
77:
5909:
5669:"Some Observable Effects of the Quantum-Mechanical Fluctuations of the Electromagnetic Field"
4821:
4782:
2579:
7871:
7642:
7417:
7278:
7263:
6945:
6856:
6731:
6182:
6065:
5850:
5780:
5688:
1297:
1225:
1075:
990:
970:
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890:
715:
710:
705:
590:
575:
505:
210:
137:
127:
62:
16:
Difference in energy of hydrogenic atom electron states not predicted by the Dirac equation
7839:
7764:
7748:
7688:
7098:
6915:
6753:
6491:
6440:
6126:
6111:
6009:
5763:
5714:
4890:
2599:
1229:
1217:
1130:
1020:
1015:
985:
980:
950:
910:
880:
860:
765:
660:
655:
620:
605:
580:
560:
540:
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460:
381:
343:
260:
225:
57:
35:
30:
5846:
5776:
5684:
7898:
7812:
7769:
7505:
7293:
7066:
6988:
6983:
6905:
6696:
6671:
6450:
6157:
5941:
5550:
4815:
4811:
3680:
1285:
1193:
1161:
1134:
1045:
995:
915:
900:
885:
865:
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825:
810:
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795:
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750:
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615:
585:
520:
485:
475:
450:
321:
288:
162:
7912:
7856:
7708:
7675:
7467:
7437:
7369:
7228:
7008:
6935:
6920:
6792:
6726:
6701:
6301:
5901:
5862:
5569:
4076:
1257:
1241:
1186:
1157:
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945:
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7834:
7384:
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7076:
7018:
6940:
6895:
6736:
6646:
6364:
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5668:
5508:
4933:
1085:
1010:
895:
870:
855:
790:
670:
665:
545:
535:
530:
495:
490:
465:
420:
298:
265:
92:
72:
1216:
on the hydrogen microwave spectrum and this measurement provided the stimulus for
5830:
4061:{\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta ({\vec {r}}).}
2625:
denotes the hermitian conjugate of the preceding term. By the summation over all
7849:
7617:
7520:
7515:
7432:
7427:
7357:
7311:
7268:
7233:
7192:
7084:
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6910:
6394:
6106:
6096:
6060:
6035:
5754:
4868:
levels of hydrogen. By using lower frequencies than for optical transitions the
4807:
4186:
1934:
1153:
1065:
1000:
960:
920:
875:
740:
645:
640:
625:
610:
595:
1160:. The difference was not predicted by theory and it cannot be derived from the
7591:
7485:
7475:
7457:
7347:
7248:
7183:
6900:
6101:
5540:
5514:
4079:
vanishes at the origin (at the nucleus), so there is no energy shift. But for
1277:
1206:
1138:
720:
635:
500:
440:
132:
67:
5740:
5700:
2052:{\displaystyle m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\delta r)_{\vec {k}}=-eE_{\vec {k}},}
7733:
7723:
7693:
7586:
7552:
7545:
7422:
7412:
7407:
7379:
7147:
6930:
6527:
5692:
4851:
2063:
1946:
1515:
5854:
5802:"c) Radiative and other corrections §21. Fine structure and the Lamb shift"
5785:
5758:
5959:
1156:, is an anomalous difference in energy between two electron orbitals in a
7829:
7657:
7612:
7596:
7557:
7530:
7243:
7238:
7218:
7188:
7178:
7173:
7023:
7013:
7003:
6993:
6968:
6963:
6890:
6625:
6221:
6055:
6040:
4914:
1293:
1276:
The fluctuations in the electric and magnetic fields associated with the
685:
7738:
7728:
7698:
7652:
7647:
7622:
7540:
7525:
7452:
7447:
7352:
7337:
7283:
7258:
7223:
7152:
7134:
6873:
6825:
1145:
7718:
7713:
7342:
7329:
7320:
7142:
7056:
6955:
6050:
4898:
4265:{\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}.}
2220:{\displaystyle \delta r(t)\cong \delta r(0)(e^{-i\nu t}+e^{i\nu t}),}
1169:
5937:
1269:
This heuristic derivation of the electrodynamic level shift follows
7743:
7683:
7535:
7394:
7273:
7213:
7168:
7061:
7039:
6882:
4175:{\displaystyle \psi _{2S}(0)={\frac {1}{(8\pi a_{0}^{3})^{1/2}}},}
1129:
1220:
theory to handle the divergences. It was the harbinger of modern
7510:
7442:
7402:
6978:
6973:
5521:, and he thus laid the foundation for the modern development of
1576:{\displaystyle \langle \delta {\vec {r}}\rangle _{\rm {vac}}=0,}
6829:
6225:
5963:
1137:
of energy levels in hydrogen â relativistic corrections to the
5598:(2nd ed.). Prentice-Hall of India Pvt. Ltd. p. 404.
5646:. Cambridge UK: Cambridge University Press. pp. 13â16.
4854:
techniques to stimulate radio-frequency transitions between
2478:
2356:
5759:"Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method"
4495:
Finally, the difference of the potential energy becomes:
5627:
Biographical
Memoirs of the National Academy of Sciences
4909:, its lowest state is not zero. Thus, there exist small
3429:. It is also valid only for wavelengths longer than the
1248:
in 1955 for his discoveries related to the Lamb shift.
5640:
Marlan Orvil Scully; Muhammad Suhail
Zubairy (1997).
5225:
5067:
4945:
4897:, and can be interpreted as the influence of virtual
4824:
4785:
4504:
4284:
4198:
4092:
3993:
3696:
3479:
3439:
3394:
3350:
2665:
2631:
2602:
2582:
2239:
2136:
2082:
1961:
1743:
1590:
1527:
1309:
1296:, which explains the energy shift. The difference of
1192:
The Lamb shift is caused by interactions between the
1164:, which predicts identical energies. Hence the Lamb
7793:
7757:
7674:
7635:
7605:
7579:
7566:
7498:
7466:
7393:
7328:
7319:
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7206:
7161:
7133:
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7115:
7097:
7075:
7047:
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5481:,ℓ)) a small number (approx. â0.05) making
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5806:Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms
5517:was the first to explain the Lamb shift in the
5916:. Cambridge University Press. pp. 13â16.
1212:This effect was first measured in 1947 in the
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5831:"The Electromagnetic Shift of Energy Levels"
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5212:, 0) around 13 varying slightly with
7:
5947:Nobel Prize biography of Willis Lamb
5954:Fine Structure of the Hydrogen Atom
4929:(a small but finite perturbation).
3381:{\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}}
2113:{\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}}
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4889:This particular difference is a
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2062:and this is valid only when the
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1:
2123:For the field oscillating at
158:Spontaneous symmetry breaking
118:Symmetry in quantum mechanics
7801:History of subatomic physics
5886:. Springer. pp. 39â41.
4913:oscillations that cause the
6781:Quantum information science
6005:EulerâHeisenberg Lagrangian
5489:,ℓ) close to unity.
2650:{\displaystyle {\vec {k}},}
1514:Since the fluctuations are
7940:
5880:Smirnov, Boris M. (2003).
5506:
4842:LambâRetherford experiment
4818:that is of lower order in
1214:LambâRetherford experiment
1198:vacuum energy fluctuations
153:Explicit symmetry breaking
7890:
7575:
6806:
6196:
6020:Path integral formulation
5883:Physics of atoms and ions
5808:. Springer. p. 103.
5565:Shelter Island Conference
3120:since continuity of
309:BargmannâWigner equations
7818:mathematical formulation
7413:Eta and eta prime mesons
6188:Photon-photon scattering
5503:In the hydrogen spectrum
4846:In 1947 Willis Lamb and
4814:, a contribution to the
7919:Quantum electrodynamics
7480:Double-charm tetraquark
6477:2D free massless scalar
6370:Quantum electrodynamics
6297:QFT in curved spacetime
6132:WardâTakahashi identity
6015:GuptaâBleuler formalism
5991:Quantum electrodynamics
5693:10.1103/PhysRev.74.1157
5527:fine-structure constant
5523:quantum electrodynamics
4895:quantum electrodynamics
4831:{\displaystyle \alpha }
4801:fine-structure constant
4792:{\displaystyle \alpha }
3984:since it is known that
2589:{\displaystyle \Omega }
1222:quantum electrodynamics
334:Electroweak interaction
329:Quantum electrodynamics
304:WheelerâDeWitt equation
191:Background field method
6798:Quantum thermodynamics
6722:On shell and off shell
6717:Loop quantum cosmology
6559:N = 4 super YangâMills
6518:N = 1 super YangâMills
6385:Scalar electrodynamics
6375:Quantum chromodynamics
6277:Conformal field theory
6253:Quantum field theories
5855:10.1103/PhysRev.72.339
5786:10.1103/PhysRev.72.241
5725:. Dover Publications.
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1505:
1246:Nobel Prize in Physics
1189:of the hydrogen atom.
1141:
339:Quantum chromodynamics
216:Effective field theory
7877:Waveâparticle duality
7867:Relativistic particle
7004:Electron antineutrino
6771:Quantum hydrodynamics
6766:Quantum hadrodynamics
6390:Scalar chromodynamics
6153:BreitâWheeler process
6092:KleinâNishina formula
5829:Bethe, H. A. (1947).
5492:For a derivation of Î
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236:LSZ reduction formula
7107:FaddeevâPopov ghosts
6857:Particles in physics
6742:Quantum fluctuations
6712:Loop quantum gravity
6282:Lattice field theory
5723:Quantum Field Theory
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377:Theory of everything
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201:Correlation function
23:Quantum field theory
7924:Physical quantities
7882:Particle chauvinism
7825:Subatomic particles
6776:Quantum information
6380:Quartic interaction
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6122:Vacuum polarization
6046:FaddeevâPopov ghost
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5719:Zuber, Jean-Bernard
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5592:"§15.15 Lamb Shift"
5590:G Aruldhas (2009).
4903:harmonic oscillator
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3137: implies
2076:in the Bohr orbit,
356:Incomplete theories
6662:NambuâJona-Lasinio
6590:Higher dimensional
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6163:Compton scattering
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5191:
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1734:So one can obtain
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1172:contained by the
1142:
241:Partition function
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52:Background
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7380:Xi baryon
7312:Composite
7148:Gravitino
6891:Up (quark
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