3788:
3476:
3783:{\displaystyle {t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }\right){\sqrt {-g}}\right)}
1508:
558:
1258:
3896:
Clearly this pseudotensor for gravitational stress–energy is constructed exclusively from the metric tensor and its first derivatives. Consequently, it vanishes at any event when the coordinate system is chosen to make the first derivatives of the metric vanish because each term in the pseudotensor
2600:
341:
3450:
1503:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}
3892:
1534:
719:
1038:
1113:
The Landau–Lifshitz pseudotensor appears to include second derivative terms in the metric, but in fact the explicit second derivative terms in the pseudotensor cancel with the implicit second derivative terms contained within the
2610:
43:
that incorporates the energy–momentum of gravity. It allows the energy–momentum of a system of gravitating matter to be defined. In particular it allows the total of matter plus the gravitating energy–momentum to form a
1153:; only the first derivative terms in the metric survive and these vanish where the frame is locally inertial at any chosen point. As a result, the entire pseudotensor vanishes locally (again, at any chosen point)
553:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}
240:
329:, vanish locally in some frames. If gravitational energy is a function of its force field, as is usual for other forces, then the associated gravitational pseudotensor should also vanish locally.
2615:
1539:
3793:
1195:
166:
4037:
Petrov, Alexander (2008). "Nonlinear
Perturbations and Conservation Laws on Curved Backgrounds in GR and Other Metric Theories". In Christiansen, M.N.; Rasmussen, T.K. (eds.).
890:
819:
1147:
1104:
1069:
928:
852:
781:
282:
1229:
646:
1253:
937:
639:
86:
of a pseudotensor which is, in this case, a tensor (which also vanishes). Mathematical developments in the 1980's have allowed pseudotensors to be understood as
3897:
is quadratic in the first derivatives of the metric. However it is not symmetric, and is therefore not suitable as a basis for defining the angular momentum.
2595:{\displaystyle {\begin{aligned}(-g)\left(t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg \end{aligned}}}
3455:
This definition of energy–momentum is covariantly applicable not just under
Lorentz transformations, but also under general coordinate transformations.
110:
for gravity, when combined with terms for matter (including photons and neutrinos), allows the energy–momentum conservation laws to be extended into
4086:
4062:
3445:{\displaystyle {\begin{aligned}t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big \end{aligned}}}
578:
173:
4020:
3951:
4038:
1110:; the remaining term vanishes algebraically due to the commutativity of partial derivatives applied across antisymmetric indices.
182:
3939:
314:
3985:
Das hamiltonisches
Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (The Hamiltonian principle and general relativity).
306:) vanishes so that we have a conserved expression for the total stress–energy–momentum. (This is required of any
1072:
896:
250:
40:
1524:
Landau & Lifshitz also provide two equivalent but longer expressions for the Landau–Lifshitz pseudotensor:
1513:
1107:
3906:
4044:
4000:
Der
Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (An energy conservation law in general relativity).
338:
Landau & Lifshitz showed that there is a unique construction that satisfies these requirements, namely
1150:
736:
87:
1156:
1149:. This is more evident when the pseudotensor is directly expressed in terms of the metric tensor or the
132:
82:
are inappropriate objects in general relativity, but the conservation law only requires the use of the 4-
3935:
1232:
1207:
322:
857:
786:
748:
Examining the 4 requirement conditions we can see that the first 3 are relatively easy to demonstrate:
94:, thus providing a firm theoretical foundation for the concept of pseudotensors in general relativity.
726:
75:
3887:{\displaystyle \left(\left({T_{\mu }}^{\nu }+{t_{\mu }}^{\nu }\right){\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }=0.}
1121:
1078:
1043:
902:
826:
755:
256:
2604:
714:{\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}
326:
4048:
3911:
1033:{\displaystyle \left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0}
722:
111:
49:
28:
1213:
129:
were led by four requirements in their search for a gravitational energy momentum pseudotensor,
4058:
4016:
3947:
1238:
307:
45:
4081:
243:
17:
3996:
3981:
3464:
1115:
568:
126:
65:
621:
4015:(1975), Princeton University Press, quick presentation of the bare essentials of GTR.
1206:
When the Landau–Lifshitz pseudotensor was formulated it was commonly assumed that the
4075:
1528:
107:
79:
57:
317:(which requires that it only contains first order and not second or higher order
608:
68:
3470:
931:
318:
285:
122:
91:
83:
895:
The Landau–Lifshitz pseudotensor is constructed so that when added to the
1197:, which demonstrates the delocalisation of gravitational energy–momentum.
4053:
1040:. This follows from the cancellation of the Einstein tensor,
176:, so as to be purely geometrical or gravitational in origin.
3319:
2343:
783:, is itself constructed from the metric, so therefore is
892:
since the additional terms are symmetric by inspection.
78:) have objected to this derivation on the grounds that
649:
3796:
3479:
2613:
1537:
1261:
1241:
1216:
1159:
1124:
1081:
1046:
940:
905:
860:
829:
789:
758:
624:
344:
259:
235:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,}
185:
135:
3987:
Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.
3886:
3782:
3444:
2594:
1502:
1247:
1223:
1189:
1141:
1098:
1063:
1032:
922:
884:
846:
813:
775:
713:
633:
552:
276:
234:
160:
4002:Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1918, 1, 448–459
2715:
1661:
325:requires that the gravitational force field, the
3463:This pseudotensor was originally developed by
3473:showed that the mixed Einstein pseudotensor
8:
1512:This is necessary for consistency with the
39:, is an extension of the non-gravitational
4052:
3869:
3854:
3843:
3836:
3831:
3821:
3814:
3809:
3795:
3765:
3754:
3746:
3736:
3728:
3715:
3707:
3697:
3689:
3671:
3661:
3656:
3638:
3630:
3620:
3615:
3602:
3594:
3576:
3561:
3552:
3524:
3508:
3502:
3493:
3486:
3481:
3478:
3424:
3411:
3396:
3388:
3378:
3370:
3357:
3349:
3339:
3331:
3301:
3288:
3273:
3265:
3255:
3247:
3234:
3226:
3216:
3208:
3195:
3187:
3177:
3169:
3156:
3148:
3138:
3130:
3104:
3091:
3076:
3068:
3058:
3050:
3037:
3029:
3019:
3011:
2998:
2990:
2980:
2972:
2959:
2951:
2941:
2933:
2917:
2900:
2887:
2871:
2858:
2838:
2830:
2820:
2812:
2799:
2791:
2781:
2773:
2760:
2752:
2742:
2734:
2714:
2713:
2694:
2688:
2662:
2649:
2642:
2630:
2622:
2614:
2612:
2574:
2560:
2546:
2531:
2517:
2503:
2488:
2475:
2459:
2445:
2431:
2416:
2402:
2388:
2373:
2360:
2346:
2335:
2318:
2304:
2290:
2275:
2261:
2247:
2232:
2219:
2203:
2189:
2175:
2160:
2146:
2132:
2117:
2104:
2088:
2076:
2062:
2048:
2033:
2019:
2005:
1985:
1972:
1956:
1943:
1917:
1904:
1888:
1875:
1853:
1846:
1834:
1820:
1806:
1791:
1777:
1763:
1745:
1731:
1717:
1702:
1688:
1674:
1660:
1659:
1640:
1634:
1603:
1590:
1583:
1571:
1563:
1538:
1536:
1488:
1469:
1456:
1440:
1427:
1365:
1359:
1342:
1323:
1295:
1289:
1274:
1266:
1260:
1240:
1220:
1215:
1172:
1164:
1158:
1138:
1129:
1123:
1095:
1086:
1080:
1060:
1051:
1045:
1015:
996:
988:
972:
939:
919:
910:
904:
873:
865:
859:
843:
834:
828:
802:
794:
788:
772:
763:
757:
710:
701:
688:
674:
668:
653:
651:
648:
623:
538:
519:
506:
490:
477:
419:
413:
401:
378:
372:
357:
349:
343:
273:
264:
258:
231:
222:
214:
198:
190:
184:
172:that it be constructed entirely from the
157:
148:
140:
134:
1235:, and the expression frequently gains a
3923:
4040:Classical and Quantum Gravity Research
571:(which is constructed from the metric)
71:(4-dimensional submanifold) vanishes.
1520:Metric and affine connection versions
7:
3931:
3929:
3927:
321:of the metric). This is because the
1190:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=0}
161:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }\,}
33:stress–energy–momentum pseudotensor
3743:
3725:
3704:
3686:
3627:
3591:
3385:
3367:
3346:
3328:
3262:
3244:
3223:
3205:
3184:
3166:
3145:
3127:
3065:
3047:
3026:
3008:
2987:
2969:
2948:
2930:
2827:
2809:
2788:
2770:
2749:
2731:
2655:
1596:
1335:
1242:
1217:
694:
681:
671:
25:
885:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}
814:{\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}
179:that it be index symmetric, i.e.
3944:The Classical Theory of Fields
1551:
1542:
1390:
1381:
1142:{\displaystyle G^{\mu \nu }\,}
1099:{\displaystyle T^{\mu \nu }\,}
1064:{\displaystyle G^{\mu \nu }\,}
923:{\displaystyle T^{\mu \nu }\,}
847:{\displaystyle G^{\mu \nu }\,}
776:{\displaystyle G^{\mu \nu }\,}
465:
456:
444:
435:
277:{\displaystyle T^{\mu \nu }\,}
1:
4087:Tensors in general relativity
3972:Landau–Lifshitz equation 96.8
3963:Landau–Lifshitz equation 96.9
3790:satisfies a conservation law
313:that it vanish locally in an
56:energy–momentum crossing the
4013:General Theory of Relativity
3940:Evgeny Mikhailovich Lifshitz
104:Landau–Lifshitz pseudotensor
98:Landau–Lifshitz pseudotensor
60:(3-dimensional boundary) of
37:Landau–Lifshitz pseudotensor
18:Landau–Lifshitz pseudotensor
823:Since the Einstein tensor,
752:Since the Einstein tensor,
315:inertial frame of reference
106:, a stress–energy–momentum
4103:
3946:, (1951), Pergamon Press,
1233:that assumption is suspect
1224:{\displaystyle \Lambda \,}
618:, hence its appearance as
1514:Einstein field equations
1248:{\displaystyle \Lambda }
1108:Einstein field equations
249:that, when added to the
48:within the framework of
4045:Nova Science Publishers
3954:chapter 11, section #96
1231:, was zero. Nowadays,
284:, its total ordinary 4-
3888:
3784:
3446:
2596:
1504:
1249:
1225:
1191:
1151:Levi-Civita connection
1143:
1100:
1065:
1034:
924:
886:
848:
815:
777:
737:gravitational constant
715:
635:
611:of the metric tensor.
577:is the inverse of the
554:
278:
236:
162:
3936:Lev Davidovich Landau
3889:
3785:
3459:Einstein pseudotensor
3447:
2597:
1505:
1250:
1226:
1208:cosmological constant
1202:Cosmological constant
1192:
1144:
1101:
1066:
1035:
925:
887:
854:, is symmetric so is
849:
816:
778:
727:covariant derivatives
716:
636:
555:
323:equivalence principle
279:
237:
163:
74:Some people (such as
3794:
3477:
2611:
1535:
1259:
1239:
1214:
1157:
1122:
1079:
1073:stress–energy tensor
1044:
938:
903:
897:stress–energy tensor
858:
827:
787:
756:
647:
622:
342:
257:
251:stress–energy tensor
183:
133:
41:stress–energy tensor
3907:Bel–Robinson tensor
3759:
3741:
3720:
3702:
3666:
3643:
3625:
3607:
3401:
3383:
3362:
3344:
3278:
3260:
3239:
3221:
3200:
3182:
3161:
3143:
3081:
3063:
3042:
3024:
3003:
2985:
2964:
2946:
2843:
2825:
2804:
2786:
2765:
2747:
2638:
1579:
1282:
1180:
1004:
881:
810:
723:partial derivatives
365:
327:Christoffel symbols
230:
206:
156:
3912:Gravitational wave
3884:
3780:
3742:
3724:
3703:
3685:
3652:
3626:
3611:
3590:
3442:
3440:
3384:
3366:
3345:
3327:
3261:
3243:
3222:
3204:
3183:
3165:
3144:
3126:
3064:
3046:
3025:
3007:
2986:
2968:
2947:
2929:
2826:
2808:
2787:
2769:
2748:
2730:
2618:
2592:
2590:
1559:
1500:
1262:
1245:
1221:
1187:
1160:
1139:
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1061:
1030:
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920:
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861:
844:
811:
790:
773:
711:
634:{\displaystyle -g}
631:
550:
345:
274:
232:
210:
186:
158:
136:
112:general relativity
50:general relativity
29:general relativity
4064:978-1-61122-957-8
4023:pages 61—63
3862:
3773:
3569:
3535:
3532:
2711:
2683:
2605:Affine connection
2554:
2511:
2439:
2396:
2354:
2298:
2255:
2183:
2140:
2056:
2013:
1861:
1814:
1771:
1725:
1682:
1657:
1624:
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