5418:
20:
971:
1231:
524:
another, we can reach a solution. The particular choice of a polytropic gas as given above makes the mathematical statement of the problem particularly succinct and leads to the Lane–Emden equation. The equation is a useful approximation for self-gravitating spheres of plasma such as stars, but typically it is a rather limiting assumption.
761:
5704:
523:
Physically, hydrostatic equilibrium connects the gradient of the potential, the density, and the gradient of the pressure, whereas
Poisson's equation connects the potential with the density. Thus, if we have a further equation that dictates how the pressure and density vary with respect to one
4585:
1535:
1023:
5224:
can be obtained using homology transformation. Since this solution does not satisfy the conditions at the origin (in fact, it is oscillatory with amplitudes growing indefinitely as the origin is approached), this solution can be used in composite stellar models.
4821:
167:
1767:
1898:
4363:
5573:
The series solution is also used in the numerical integration of the equation. It is used to shift the initial data for analytic solution slightly away from the origin since at the origin the numerical methods fail due to the singularity of the equation.
5413:
5167:
6586:
2827:
3360:
6408:
6292:
4407:
3615:
1378:
5592:
4217:
6072:
966:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}
6160:
3026:
2912:
6701:
1973:
6803:
716:
5003:. This solution is finite in mass but infinite in radial extent, and therefore the complete polytrope does not represent a physical solution. Chandrasekhar believed for a long time that finding other solution for
1659:
7370:
5222:
3887:
2666:
4001:
3435:
2484:
4975:
4596:
1226:{\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }
5806:
1664:
1330:
5597:
1783:
4260:
7536:"On the theoretical temperature of the Sun, under the hypothesis of a gaseous mass maintaining its volume by its internal heat, and depending on the laws of gases as known to terrestrial experiment"
3780:
3227:
5298:
5066:
4908:
3522:
7432:
766:
6436:
2731:
601:
2308:
6877:
3938:
3269:
350:
61:
5482:. Two movable singularities on the imaginary axis are visible. They limit the radius of convergence of the analytical solution around the origin. For different values of initial data and
2409:
3652:
1373:
253:
7493:
4402:
6297:
5974:
2227:
6187:
3529:
3103:
2537:
485:
3678:
2178:
2037:
7141:
7278:
3730:
5736:
5918:
5841:
1566:
5876:
5480:
4091:
4086:
3063:
445:
7010:
5990:
2257:
2064:
5541:
5293:
4243:
4043:
3824:
280:
6077:
2941:
2357:
7182:
3169:
3136:
2946:
2122:
210:
5264:
7215:
7045:
6929:
5237:
2834:
2564:
1260:
998:
621:
390:
7075:
6959:
6431:
6182:
2588:
190:
5445:
5061:
5027:
5001:
3264:
2726:
5500:
2688:
2330:
2142:
2084:
2001:
1018:
756:
736:
641:
509:
410:
370:
300:
5699:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\varphi }{\xi ^{2}}}\\&{\frac {d\varphi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}\end{aligned}}}
5514:. These singularities are located symmetrically with respect to the origin. Their position change when we change equation parameters and the initial condition
6601:
1905:
6706:
646:
1571:
3828:
2593:
5570:
can also be matched on the overlap to the larger domain solution, which is a commonly used method of construction of profiles of required properties.
3367:
2414:
4915:
4580:{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left^{3/2}}}}
8035:
1530:{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}
5582:
In general, solutions are found by numerical integration. Many standard methods require that the problem is formulated as a system of first-order
7511:
7959:
7886:
7784:
3735:
5295:
at the centre of the star. One can prove that the equation has the convergent power series/analytic solution around the origin of the form
3174:
1262:
yields, in some sense, a dimensional form of the desired equation. If, in addition, we substitute for the polytropic equation of state with
7286:
5172:
4828:
3442:
6807:
The behaviour of solutions to these equations can be determined by linear stability analysis. The critical points of the equation (where
3943:
7984:
547:
2262:
7848:
7506:
512:
305:
5741:
1265:
5583:
5984:. If one chooses variables that are invariant to homology, then we can reduce the order of the Lane–Emden equation by one.
7376:
4816:{\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left^{5/2}}}={\frac {9}{9\left^{5/2}}}}
162:{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,}
1762:{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}
511:. If an isothermal fluid (polytropic index tends to infinity) is used instead of a polytropic fluid, one obtains the
2670:
In spherically symmetric cases, the Lane–Emden equation is integrable for only three values of the polytropic index
1893:{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho }
7951:
7904:
7864:
6810:
5551:. A similar structure of singularities appears in other non-linear equations that result from the reduction of the
4358:{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0}
3892:
5547:
due to classification of the singularities of non-linear ordinary differential equations in the complex plane by
5544:
2365:
3622:
1335:
215:
7438:
4370:
5266:, which is also a singular point (fixed singularity) of the equation, and there is provided some initial data
5923:
5408:{\displaystyle \theta (\xi )=\theta (0)-{\frac {\theta (0)^{n}}{6}}\xi ^{2}+O(\xi ^{3}),\quad \xi \approx 0.}
5162:{\displaystyle \theta ={\frac {\sin(\ln {\sqrt {\xi }})}{\sqrt {3\xi -2\xi \sin ^{2}(\ln {\sqrt {\xi }})}}},}
2183:
538:
6581:{\displaystyle {\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right).}
4003:. Plugging this into the Lane-Emden equation, we can show that all odd coefficients of the series vanish
2822:{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0}
2144:
between 0 and 5, the solutions are continuous and finite in extent, with the radius of the star given by
8030:
5567:
5559:
5507:
2495:
3657:
2147:
2006:
1777:
40:
7763:
Kycia, Radosław Antoni; Filipuk, Galina (2015), Mityushev, Vladimir V.; Ruzhansky, Michael V. (eds.),
7081:
3355:{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}
7913:
7874:
7727:
7626:
7547:
7221:
5878:. The first equation represents hydrostatic equilibrium and the second represents mass conservation.
5502:
the location of singularities is different, yet they are located symmetrically on the imaginary axis.
3683:
8006:
5712:
973:
where the continuity equation has been used to replace the mass gradient. Multiplying both sides by
7531:
5894:
5811:
3068:
1542:
542:
450:
48:
5846:
5450:
4048:
3033:
415:
7976:
7809:
7673:
7571:
6965:
6403:{\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}\left(-1-U-(n+1)^{-1}V\right).}
2567:
2235:
2042:
5517:
5269:
4222:
4006:
6287:{\displaystyle {\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}\left(3-n(n+1)^{-1}V-\right)}
5421:
Numerical solution for analytical solution of the Lane-Emden equation in the complex plane for
3803:
258:
8003:
7980:
7955:
7921:
7882:
7844:
7780:
7745:
7693:
7642:
7563:
5510:
of this series is limited due to existence of two singularities on the imaginary axis in the
5234:
2919:
2335:
7149:
3141:
3108:
2089:
195:
7917:
7821:
7772:
7735:
7683:
7634:
7555:
5552:
5548:
5243:
7188:
7018:
6902:
3610:{\displaystyle \theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}}
2542:
1238:
976:
606:
375:
7617:
Srivastava, Shambhunath (1962). "A New
Solution of the Lane-Emden Equation of Index n=5".
7051:
6935:
6880:
6416:
6167:
5563:
2573:
175:
5424:
5040:
5006:
4980:
3243:
2705:
7878:
7764:
7731:
7630:
7551:
5417:
3793:
This exact solution was found by accident when searching for zero values of the related
43:
for the gravitational potential of a
Newtonian self-gravitating, spherically symmetric,
5485:
2673:
2315:
2127:
2069:
1986:
1003:
741:
721:
626:
494:
487:. Solutions thus describe the run of pressure and density with radius and are known as
395:
355:
285:
8024:
7740:
7715:
7575:
5511:
4212:{\displaystyle b_{m+1}=-{\frac {1}{(2m+2)(2m+3)}}\sum \limits _{k=0}^{m}b_{m-k}b_{k}}
2489:
1902:
One can replace the gradient of the potential using the hydrostatic equilibrium, via
7662:"Perturbed Lane–Emden Equations as a Boundary Value Problem with Singular Endpoints"
6598:
The homology-invariant equation can be regarded as the autonomous pair of equations
6067:{\displaystyle U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\varphi }}}
5233:
In applications, the main role play analytic solutions that are expressible by the
3794:
52:
32:
7970:
7945:
7868:
7776:
6155:{\displaystyle V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\varphi }{\xi \theta }}}
2332:
of the model star can be found by integrating the density over radius, from 0 to
4045:. Furthermore, we obtain a recursive relationship between the even coefficients
3021:{\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}
7688:
7661:
7590:
19:
7825:
2907:{\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}
44:
7925:
7749:
7697:
7646:
7567:
7559:
8011:
488:
6413:
Finally, we can divide these two equations to eliminate the dependence on
302:
is the polytropic index that appears in the polytropic equation of state,
2039:. In general, the Lane–Emden equation must be solved numerically to find
6696:{\displaystyle {\frac {dU}{d\log \xi }}=-U\left(U+n(n+1)^{-1}V-3\right)}
1968:{\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}
6798:{\displaystyle {\frac {dV}{d\log \xi }}=V\left(U+(n+1)^{-1}V-1\right).}
6164:
We can differentiate the logarithms of these variables with respect to
3439:
This leads to a recursive relationship for the expansion coefficients:
711:{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}
412:
is a constant of proportionality. The standard boundary conditions are
1654:{\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,}
7595:
7365:{\displaystyle \left({\dfrac {n-3}{n-1}},2{\dfrac {n+1}{n-1}}\right)}
5240:
expanded around some initial point. Typically the expansion point is
7535:
5217:{\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow {\sqrt {A}}\,\theta (A\xi )}
4245:
but numerical results showed good agreement for much larger values.
2590:
the mean molecular weight. The temperature profile is then given by
1975:
which again yields the dimensional form of the Lane–Emden equation.
7678:
7638:
7810:"On the generalized Emden–Fowler and isothermal spheres equations"
3882:{\displaystyle \theta =\sum \limits _{m=0}^{\infty }a_{m}\xi ^{m}}
2661:{\displaystyle T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}}
2362:
The pressure can be found using the polytropic equation of state,
18:
3996:{\displaystyle \left.{\frac {d\theta }{d\xi }}\right|_{\xi =0}=0}
7902:
Horedt, Georg P. (1987). "Topology of the Lane-Emden equation".
7841:
Stellar
Interiors: Physical Principles, Structure, and Evolution
3430:{\displaystyle \theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}}
2479:{\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}}
7839:
Hansen, Carl J.; Kawaler, Steven D.; Trimble, Virginia (2004).
5037:
In 1962, Sambhunath
Srivastava found an explicit solution when
4970:{\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}
7972:
Introduction to
Nonlinear Differential and Integral Equations
3619:
The boundary condition for a physical polytrope demands that
3526:
This relation can be solved leading to the general solution:
7947:
Polytropes – Applications in
Astrophysics and Related Fields
5801:{\displaystyle m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\varphi (\xi )}
2066:. There are exact, analytic solutions for certain values of
1325:{\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}
537:
Consider a self-gravitating, spherically symmetric fluid in
7771:, Cham: Springer International Publishing, pp. 93–99,
7716:"Series solutions for polytropes and the isothermal sphere"
3949:
5558:
Analytic solutions can be extended along the real line by
7765:"On the Singularities of the Emden–Fowler Type Equations"
5555:
in spherical symmetry, e.g., Isothermal Sphere equation.
5987:
A variety of such variables exist. A suitable choice is
5562:
procedure resulting in the full profile of the star or
3775:{\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}
4219:
It was proven that this series converges at least for
3222:{\displaystyle \theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}
7441:
7381:
7379:
7330:
7296:
7289:
7224:
7191:
7152:
7084:
7054:
7021:
6968:
6938:
6905:
6813:
6709:
6604:
6439:
6419:
6300:
6190:
6170:
6080:
5993:
5926:
5920:
is a solution of the Lane–Emden equation, then so is
5897:
5849:
5814:
5744:
5738:
is interpreted as the dimensionless mass, defined by
5715:
5595:
5520:
5488:
5453:
5427:
5301:
5272:
5246:
5175:
5069:
5043:
5009:
4983:
4918:
4831:
4599:
4410:
4373:
4263:
4225:
4094:
4051:
4009:
3946:
3895:
3831:
3806:
3738:
3686:
3660:
3625:
3532:
3445:
3370:
3272:
3246:
3177:
3144:
3111:
3071:
3036:
2949:
2922:
2837:
2734:
2708:
2676:
2596:
2576:
2545:
2498:
2417:
2368:
2338:
2318:
2265:
2238:
2186:
2150:
2130:
2092:
2072:
2045:
2009:
1989:
1908:
1786:
1667:
1574:
1545:
1381:
1338:
1268:
1241:
1026:
1006:
979:
764:
744:
724:
649:
629:
609:
550:
497:
453:
418:
398:
378:
358:
308:
288:
261:
218:
212:
is related to the density, and thus the pressure, by
198:
178:
64:
5976:. Solutions that are related in this way are called
4912:
Therefore, the Lane–Emden equation has the solution
4903:{\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{\left^{5/2}}}}
3517:{\displaystyle a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}}
2003:, denote the solution to the Lane–Emden equation as
7427:{\displaystyle {\dfrac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}}
5566:cores. Two analytic solutions with the overlapping
7487:
7426:
7364:
7272:
7209:
7176:
7135:
7069:
7039:
7004:
6953:
6923:
6871:
6797:
6695:
6580:
6425:
6402:
6286:
6176:
6154:
6066:
5968:
5912:
5870:
5835:
5800:
5730:
5698:
5535:
5494:
5474:
5439:
5407:
5287:
5258:
5216:
5161:
5055:
5029:"is complicated and involves elliptic integrals".
5021:
4995:
4969:
4902:
4815:
4579:
4396:
4357:
4237:
4211:
4080:
4037:
3995:
3932:
3881:
3818:
3774:
3724:
3672:
3646:
3609:
3516:
3429:
3354:
3258:
3221:
3163:
3130:
3097:
3057:
3020:
2935:
2906:
2821:
2720:
2682:
2660:
2582:
2558:
2531:
2478:
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2351:
2324:
2302:
2251:
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2136:
2116:
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2058:
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1967:
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1761:
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992:
965:
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730:
710:
635:
615:
595:
503:
479:
439:
404:
384:
364:
344:
294:
274:
247:
204:
184:
161:
7870:An Introduction to the Study of Stellar Structure
7720:Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
7808:Kycia, Radosław Antoni; Filipuk, Galina (2015).
596:{\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }
392:are the pressure and density, respectively, and
7769:Current Trends in Analysis and Its Applications
2303:{\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}.}
6879:) and the eigenvalues and eigenvectors of the
5169:and from this solution, a family of solutions
541:. Mass is conserved and thus described by the
6872:{\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}
3933:{\displaystyle \theta |_{\xi =0}=\theta _{0}}
643:. The equation of hydrostatic equilibrium is
345:{\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,}
8:
4257:We start from with the Lane–Emden equation:
3105:imply that the constants of integration are
6594:Topology of the homology-invariant equation
6590:This is now a single first-order equation.
3266:, the equation can be expanded in the form
2404:{\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}}
3647:{\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow 1}
1983:For a given value of the polytropic index
1368:{\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}
248:{\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}
7739:
7687:
7677:
7488:{\displaystyle (1-n\mp \Delta _{n},4+4n)}
7461:
7440:
7400:
7380:
7378:
7329:
7295:
7288:
7223:
7190:
7151:
7083:
7053:
7020:
6967:
6937:
6904:
6846:
6820:
6812:
6769:
6710:
6708:
6670:
6605:
6603:
6550:
6505:
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6466:
6440:
6438:
6418:
6380:
6334:
6311:
6301:
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6264:
6224:
6201:
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6189:
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6052:
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6035:
6000:
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5931:
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5813:
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5770:
5743:
5714:
5686:
5676:
5649:
5636:
5627:
5601:
5596:
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5426:
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5348:
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5271:
5245:
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5191:
5174:
5143:
5125:
5094:
5076:
5068:
5042:
5008:
4982:
4956:
4950:
4934:
4917:
4888:
4884:
4868:
4862:
4845:
4836:
4830:
4800:
4796:
4780:
4774:
4753:
4737:
4733:
4717:
4711:
4688:
4678:
4663:
4659:
4643:
4637:
4619:
4613:
4604:
4598:
4564:
4560:
4544:
4538:
4516:
4510:
4492:
4482:
4478:
4462:
4456:
4434:
4411:
4409:
4397:{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}}
4374:
4372:
4343:
4311:
4305:
4281:
4273:
4264:
4262:
4224:
4203:
4187:
4177:
4166:
4117:
4099:
4093:
4069:
4056:
4050:
4014:
4008:
3975:
3951:
3945:
3924:
3905:
3900:
3894:
3873:
3863:
3853:
3842:
3830:
3805:
3754:
3737:
3710:
3691:
3685:
3659:
3624:
3589:
3583:
3558:
3552:
3531:
3474:
3468:
3450:
3444:
3421:
3411:
3401:
3390:
3369:
3320:
3310:
3298:
3280:
3273:
3271:
3245:
3213:
3199:
3176:
3149:
3143:
3116:
3110:
3070:
3035:
3012:
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2776:
2752:
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2735:
2733:
2707:
2675:
2652:
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2617:
2603:
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2575:
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2416:
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2382:
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2337:
2317:
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2276:
2264:
2243:
2237:
2204:
2191:
2185:
2164:
2149:
2129:
2091:
2071:
2050:
2044:
2014:
2008:
1988:
1945:
1935:
1909:
1907:
1850:
1844:
1820:
1812:
1803:
1791:
1785:
1747:
1715:
1709:
1704:
1685:
1677:
1668:
1666:
1634:
1616:
1615:
1610:
1579:
1573:
1544:
1539:Gathering the constants and substituting
1521:
1511:
1467:
1441:
1436:
1423:
1399:
1391:
1382:
1380:
1359:
1349:
1337:
1310:
1294:
1287:
1282:
1267:
1246:
1240:
1214:
1170:
1159:
1153:
1133:
1110:
1095:
1067:
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1037:
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978:
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789:
769:
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700:
686:
660:
650:
648:
628:
608:
584:
551:
549:
496:
452:
417:
397:
377:
357:
341:
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322:
307:
287:
266:
260:
239:
229:
217:
197:
177:
144:
112:
106:
101:
82:
74:
65:
63:
47:fluid. It is named after astrophysicists
7666:Journal of Dynamical and Control Systems
6885:
5416:
2831:Re-arranging and integrating once gives
7843:. New York, NY: Springer. p. 338.
7523:
5969:{\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}
2222:{\displaystyle \theta _{n}(\xi _{1})=0}
5980:; the process that transforms them is
5808:. The relevant initial conditions are
3800:We consider a series expansion around
3364:One assumes a power series solution:
23:Solutions of Lane–Emden equation for
7:
7803:
7801:
7709:
7707:
7512:Chandrasekhar's white dwarf equation
7814:Applied Mathematics and Computation
4163:
3839:
16:Dimensionless astrophysics equation
8007:"Lane-Emden Differential Equation"
7458:
7397:
3854:
3402:
2532:{\displaystyle P=k_{B}\rho T/\mu }
2259:, the density profile is given by
1915:
1856:
1797:
1788:
1000:and collecting the derivatives of
14:
7591:"Zero Values of the TOV Equation"
5543:, and therefore, they are called
3673:{\displaystyle \xi \rightarrow 0}
2173:{\displaystyle R=\alpha \xi _{1}}
2032:{\displaystyle \theta _{n}(\xi )}
1776:Equivalently, one can start with
1661:we have the Lane–Emden equation,
7741:10.1046/j.1365-8711.2001.04914.x
7136:{\displaystyle (1,0),(-3n,5+5n)}
4589:Differentiating with respect to
3732:, thus leading to the solution:
8036:Ordinary differential equations
7660:Kycia, Radosław Antoni (2020).
7273:{\displaystyle (0,1),(2-n,1+n)}
5584:ordinary differential equations
5395:
3725:{\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=0}
7482:
7442:
7267:
7243:
7237:
7225:
7171:
7153:
7130:
7103:
7097:
7085:
7034:
7022:
6999:
6987:
6981:
6969:
6918:
6906:
6766:
6753:
6667:
6654:
6547:
6534:
6502:
6489:
6377:
6364:
6261:
6248:
6134:
6122:
5963:
5954:
5907:
5901:
5859:
5853:
5824:
5818:
5795:
5789:
5754:
5748:
5731:{\displaystyle \varphi (\xi )}
5725:
5719:
5530:
5524:
5463:
5457:
5389:
5376:
5345:
5338:
5326:
5320:
5311:
5305:
5282:
5276:
5211:
5202:
5188:
5185:
5179:
5150:
5134:
5101:
5085:
4928:
4922:
4156:
4141:
4138:
4123:
3901:
3748:
3742:
3664:
3638:
3635:
3629:
3542:
3536:
3508:
3496:
3493:
3481:
3380:
3374:
3187:
3181:
3086:
3080:
3046:
3040:
2959:
2953:
2210:
2197:
2026:
2020:
1600:
1588:
1464:
1452:
758:. Differentiating again gives
468:
462:
428:
422:
192:is a dimensionless radius and
1:
5913:{\displaystyle \theta (\xi )}
5836:{\displaystyle \varphi (0)=0}
3098:{\displaystyle \theta '(0)=0}
1561:{\displaystyle r=\alpha \xi }
480:{\displaystyle \theta '(0)=0}
7777:10.1007/978-3-319-12577-0_13
7507:Emden–Chandrasekhar equation
5871:{\displaystyle \theta (0)=1}
5475:{\displaystyle \theta (0)=2}
4081:{\displaystyle b_{m}=a_{2m}}
3058:{\displaystyle \theta (0)=1}
2943:and integrating again gives
533:From hydrostatic equilibrium
513:Emden–Chandrasekhar equation
440:{\displaystyle \theta (0)=1}
7865:Chandrasekhar, Subrahmanyan
7540:American Journal of Science
7005:{\displaystyle (1,0),(0,1)}
5887:Homology-invariant equation
5063:. His solution is given by
2492:, the equation of state is
2252:{\displaystyle \theta _{n}}
2059:{\displaystyle \theta _{n}}
1020:on the left, one can write
39:is a dimensionless form of
8052:
7952:Kluwer Academic Publishers
7905:Astronomy and Astrophysics
7689:10.1007/s10883-019-09445-6
5536:{\displaystyle \theta (0)}
5288:{\displaystyle \theta (0)}
4238:{\displaystyle \xi \leq 1}
4038:{\displaystyle a_{2m+1}=0}
7969:David, Harold T. (2010).
7944:Horedt, Georg P. (2004).
7826:10.1016/j.amc.2015.05.140
7714:Hunter, C. (2001-12-11).
7619:The Astrophysical Journal
3819:{\displaystyle \theta =0}
275:{\displaystyle \rho _{c}}
7560:10.2475/ajs.s2-50.148.57
5032:
3030:The boundary conditions
2936:{\displaystyle \xi ^{2}}
2352:{\displaystyle \xi _{1}}
1771:
7918:1987A&A...177..117H
7177:{\displaystyle (0,n+1)}
3164:{\displaystyle C_{1}=0}
3131:{\displaystyle C_{0}=1}
2916:Dividing both sides by
2728:, the equation becomes
2488:Finally, if the gas is
2117:{\displaystyle n=0,1,5}
1772:From Poisson's equation
1235:Dividing both sides by
539:hydrostatic equilibrium
205:{\displaystyle \theta }
7489:
7428:
7366:
7274:
7211:
7178:
7137:
7071:
7041:
7006:
6955:
6925:
6873:
6799:
6697:
6582:
6427:
6404:
6288:
6178:
6156:
6068:
5970:
5914:
5872:
5837:
5802:
5732:
5700:
5568:circles of convergence
5537:
5503:
5496:
5476:
5441:
5409:
5289:
5260:
5259:{\displaystyle \xi =0}
5218:
5163:
5057:
5023:
4997:
4971:
4904:
4817:
4581:
4398:
4359:
4239:
4213:
4182:
4082:
4039:
3997:
3934:
3883:
3858:
3820:
3776:
3726:
3674:
3648:
3611:
3518:
3431:
3406:
3356:
3260:
3223:
3165:
3132:
3099:
3059:
3022:
2937:
2908:
2823:
2722:
2684:
2662:
2584:
2560:
2533:
2480:
2405:
2353:
2326:
2304:
2253:
2223:
2174:
2138:
2118:
2080:
2060:
2033:
1997:
1969:
1894:
1763:
1655:
1562:
1531:
1369:
1326:
1256:
1227:
1014:
994:
967:
752:
738:is also a function of
732:
712:
637:
617:
597:
505:
481:
441:
406:
386:
366:
346:
296:
276:
249:
206:
186:
163:
28:
7490:
7429:
7367:
7275:
7212:
7210:{\displaystyle 1,3-n}
7179:
7138:
7072:
7042:
7040:{\displaystyle (3,0)}
7007:
6956:
6926:
6924:{\displaystyle (0,0)}
6883:are tabulated below.
6874:
6800:
6698:
6583:
6428:
6405:
6289:
6179:
6157:
6069:
5971:
5915:
5873:
5838:
5803:
5733:
5701:
5560:analytic continuation
5545:movable singularities
5538:
5508:radius of convergence
5497:
5477:
5442:
5420:
5410:
5290:
5261:
5219:
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