6632:
5608:
6627:{\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=b_{\{1,2\}}c_{\{3,4\}}-b_{\{1,3\}}c_{\{2,4\}}+b_{\{1,4\}}c_{\{2,3\}}+b_{\{2,3\}}c_{\{1,4\}}-b_{\{2,4\}}c_{\{1,3\}}+b_{\{3,4\}}c_{\{1,2\}}\\&={\begin{vmatrix}1&2\\5&6\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}11&12\\15&16\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}1&3\\5&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}10&12\\14&16\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&4\\5&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}10&11\\14&15\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&3\\6&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&12\\13&16\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}2&4\\6&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&11\\13&15\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&4\\7&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&10\\13&14\end{vmatrix}}\\&=-4\cdot (-4)-(-8)\cdot (-8)+(-12)\cdot (-4)+(-4)\cdot (-12)-(-8)\cdot (-8)+(-4)\cdot (-4)\\&=16-64+48+48-64+16=0.\end{aligned}}}
4713:
4140:
7670:
4708:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}\sum _{\tau \in S_{n}:\tau (i)=j}\operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n,\tau (n)}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{\sigma \in S_{n-1}}(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}(-1)^{i+j}\sum _{\sigma \in S_{n-1}}\operatorname {sgn} \sigma \,a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}
3139:
3557:
2809:
1224:
959:
2254:
2878:
3301:
970:
2564:
711:
2024:
5435:
1739:
4881:
3134:{\displaystyle \sigma '(\leftarrow )_{i}={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i+1&\cdots &n&i\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))&n\end{pmatrix}}}
3552:{\displaystyle (\leftarrow )_{j}\tau ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1&n\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &n&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n-1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (n))\end{pmatrix}}}
4103:
1219:{\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\&=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.\end{aligned}}}
2804:{\displaystyle \sigma '={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1&n\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))&n\end{pmatrix}}}
954:{\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}\\&=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.\end{aligned}}}
2249:{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))\end{pmatrix}}}
445:
222:
5286:
1554:
5275:
5153:
700:
7069:
5547:
5026:
597:
on the size of matrices. It is also of didactic interest for its simplicity and as one of several ways to view and compute the determinant. For large matrices, it quickly becomes inefficient to compute when compared to
5613:
3913:
3690:
3626:
6899:
4760:
975:
716:
3983:
1972:
4145:
330:
107:
4886:
The determinant of this matrix can be computed by using the
Laplace's cofactor expansion along the first two rows as follows. Firstly note that there are 6 sets of two distinct numbers in
4132:
1872:
2453:
325:
102:
1326:
2404:
3237:
2355:
7291:
6935:
3726:
2531:
1834:
1484:
3809:
3759:
3293:
3175:
2845:
2290:
514:
2491:
2870:
2556:
705:
The determinant of this matrix can be computed by using the
Laplace expansion along any one of its rows or columns. For instance, an expansion along the first row yields:
5577:
5430:{\displaystyle \varepsilon ^{\{j,k\},\{p,q\}}=\operatorname {sgn} {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\j&k&p&q\end{bmatrix}},{\text{ where }}p\neq j,q\neq k.}
1795:
1734:{\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{i,j}\cdots b_{n,\tau (n)}=\operatorname {sgn} \tau \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}}
7715:
1440:
7341:
7316:
7248:
7215:
7102:
2016:
1909:
584:
547:
300:
255:
5159:
5037:
1546:
1402:
3260:
1996:
7410:
3972:
3946:
1516:
1372:
616:
6689:
7381:
7361:
7182:
7162:
7142:
7122:
6975:
6955:
6799:
6773:
6753:
6719:
5597:
4736:
1346:
1259:
6980:
5450:
4893:
4876:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}}.}
6807:
3820:
3632:
3568:
7793:
7768:
7683:
4098:{\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \,=(-1)^{2n-(i+j)}\operatorname {sgn} \sigma '\,=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma .}
7465:
1914:
17:
16:
This article is about the expression of a determinant in terms of minors. For the approximation of radial potentials, see
3974:
4718:
from which the result follows. Similarly, the result holds if the index of the outer summation was replaced with
4111:
2872:
is (Notice applying A before B is equivalent to applying inverse of A to the upper row of B in two-line notation)
1851:
1745:
550:
1272:
6641:
because the sum of its first and third column is twice the second column, and hence its determinant is zero.
1233:
because the sum of its first and third column is twice the second column, and hence its determinant is zero.
2409:
3180:
2298:
7819:
448:
64:
2357:. This operation decrements all indices larger than j so that every index fits in the set {1,2,...,n-1}
7824:
6907:
3698:
1800:
1445:
7669:
3764:
3731:
3265:
3147:
2817:
2371:
2262:
461:
2458:
599:
57:
35:
2496:
440:{\displaystyle {\begin{aligned}\det(B)&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}b_{i,j}m_{i,j}.\end{aligned}}}
217:{\displaystyle {\begin{aligned}\det(B)&=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}b_{i,j}m_{i,j},\end{aligned}}}
7675:
5555:
1765:
7694:
7253:
5270:{\displaystyle c_{\{p,q\}}={\begin{vmatrix}a_{3p}&a_{3q}\\a_{4p}&a_{4q}\end{vmatrix}},}
5148:{\displaystyle b_{\{j,k\}}={\begin{vmatrix}a_{1j}&a_{1k}\\a_{2j}&a_{2k}\end{vmatrix}},}
7789:
7773:
7764:
7446:
6638:
2850:
2536:
1409:
1230:
7798:
7220:
7187:
7074:
2001:
1881:
556:
519:
272:
227:
7450:
1521:
1377:
695:{\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.}
3245:
1981:
7427:
1753:
7426:
The
Laplace expansion is computationally inefficient for high-dimension matrices, with a
7389:
3951:
3925:
1491:
1351:
7321:
7296:
7064:{\displaystyle (-1)^{\left(\sum _{h\in H}h\right)+\left(\sum _{\ell \in L}\ell \right)}}
6652:
7688:
7431:
7366:
7346:
7167:
7147:
7127:
7107:
6960:
6940:
6784:
6758:
6738:
6704:
5582:
4721:
3919:
2293:
1331:
1244:
27:
7813:
7803:
7778:
5542:{\displaystyle |A|=\sum _{H\in S}\varepsilon ^{H,H^{\prime }}b_{H}c_{H^{\prime }},}
5021:{\displaystyle S=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}\right\}}
1975:
80:
43:
7665:
593:
The
Laplace expansion is often useful in proofs, as in, for example, allowing
1875:
594:
452:
6637:
As above, it is easy to verify that the result is correct: the matrix is
6894:{\displaystyle |B|=\sum _{L\in S}\varepsilon ^{H,L}b_{H,L}c_{H,L}}
3908:{\displaystyle \tau \,=(j,j+1,\ldots ,n)\sigma '(n,n-1,\ldots ,i)}
964:
Laplace expansion along the second column yields the same result:
3685:{\displaystyle \tau =(\rightarrow )_{j}\sigma '(\leftarrow )_{i}}
3621:{\displaystyle (\leftarrow )_{j}\tau =\sigma '(\leftarrow )_{i}}
1229:
It is easy to verify that the result is correct: the matrix is
451:
implies the other, since the determinants of a matrix and its
302:
is the determinant of the submatrix obtained by removing the
5564:
5529:
5502:
4746:
Laplace's cofactor expansion can be generalised as follows.
7734:
Walter, Dan; Tytun, Alex (1949). "Elementary problem 834".
4742:
Laplace expansion of a determinant by complementary minors
6359:
6320:
6281:
6242:
6203:
6164:
6125:
6086:
6047:
6008:
5969:
5930:
5344:
5193:
5071:
4775:
3332:
2914:
2584:
2039:
1102:
1057:
1012:
840:
795:
750:
631:
7752:
Stoer
Bulirsch: Introduction to Numerical Mathematics
7697:
7392:
7369:
7349:
7324:
7299:
7256:
7223:
7190:
7170:
7150:
7130:
7110:
7077:
6983:
6963:
6943:
6910:
6810:
6787:
6761:
6741:
6707:
6655:
5611:
5585:
5558:
5453:
5289:
5162:
5040:
4896:
4763:
4724:
4143:
4114:
3986:
3954:
3928:
3823:
3767:
3734:
3701:
3635:
3571:
3304:
3268:
3248:
3183:
3150:
2881:
2853:
2820:
2567:
2539:
2499:
2461:
2412:
2374:
2301:
2265:
2027:
2004:
1984:
1917:
1884:
1854:
1803:
1768:
1557:
1524:
1494:
1448:
1412:
1380:
1354:
1334:
1275:
1247:
973:
714:
619:
559:
522:
464:
328:
275:
230:
105:
1967:{\displaystyle \{\tau \in S_{n}\colon \tau (i)=j\}.}
7709:
7404:
7375:
7355:
7335:
7310:
7285:
7242:
7209:
7176:
7156:
7136:
7116:
7096:
7063:
6969:
6949:
6929:
6893:
6793:
6767:
6747:
6713:
6683:
6626:
5591:
5571:
5541:
5429:
5269:
5147:
5020:
4875:
4730:
4707:
4126:
4097:
3966:
3940:
3907:
3803:
3753:
3720:
3684:
3620:
3551:
3287:
3254:
3231:
3169:
3133:
2864:
2839:
2803:
2550:
2525:
2485:
2447:
2398:
2349:
2284:
2248:
2010:
1990:
1966:
1903:
1866:
1828:
1789:
1733:
1540:
1510:
1478:
1434:
1396:
1366:
1340:
1320:
1253:
1218:
953:
694:
578:
541:
508:
439:
294:
249:
216:
7453:can yield determinants with a time complexity of
1797:, and a unique and evidently related permutation
333:
110:
5031:By defining the complementary cofactors to be
23:Expression of a determinant in terms of minors
7488:# Base case of recursive function: 1x1 matrix
6937:is the sign of the permutation determined by
8:
7786:Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach
7445:. Alternatively, using a decomposition into
5910:
5898:
5888:
5876:
5863:
5851:
5841:
5829:
5816:
5804:
5794:
5782:
5769:
5757:
5747:
5735:
5722:
5710:
5700:
5688:
5675:
5663:
5653:
5641:
5325:
5313:
5307:
5295:
5180:
5168:
5058:
5046:
5010:
4998:
4992:
4980:
4974:
4962:
4956:
4944:
4938:
4926:
4920:
4908:
4127:{\displaystyle \sigma \leftrightarrow \tau }
1958:
1918:
1867:{\displaystyle \sigma \leftrightarrow \tau }
1312:
1288:
7386:This coincides with the theorem above when
6755:an element in it. Then the determinant of
7696:
7391:
7368:
7348:
7323:
7298:
7261:
7255:
7228:
7222:
7195:
7189:
7169:
7149:
7129:
7109:
7082:
7076:
7039:
7007:
6997:
6982:
6962:
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6915:
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6879:
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6831:
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5850:
5828:
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5781:
5756:
5734:
5709:
5687:
5662:
5640:
5624:
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5612:
5610:
5584:
5563:
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5528:
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5501:
5490:
5474:
5462:
5454:
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5398:
5339:
5294:
5288:
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5215:
5200:
5188:
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5161:
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5110:
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5039:
4895:
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4762:
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4676:
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4644:
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4503:
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3996:
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3766:
3745:
3733:
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3676:
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3612:
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3570:
3517:
3475:
3424:
3388:
3327:
3315:
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3267:
3247:
3182:
3161:
3149:
3094:
3047:
3006:
2970:
2909:
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2411:
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2034:
2026:
2003:
1983:
1931:
1916:
1889:
1883:
1853:
1814:
1802:
1767:
1698:
1670:
1657:
1652:
1619:
1600:
1572:
1567:
1556:
1529:
1523:
1503:
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1493:
1447:
1420:
1411:
1385:
1379:
1353:
1333:
1328:For clarity we also label the entries of
1274:
1246:
1097:
1052:
1007:
986:
978:
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972:
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327:
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235:
229:
195:
179:
163:
144:
133:
106:
104:
7742:(6). American Mathematical Society: 409.
5280:and the sign of their permutation to be
2292:is a temporary shorthand notation for a
1836:which selects the same minor entries as
1321:{\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}.}
7726:
7557:# Exclude first row and current column.
1488:Consider the terms in the expansion of
7468:code implements the Laplace expansion:
5602:In our explicit example this gives us
2448:{\displaystyle \sigma '(k)=\sigma (k)}
7761:Linear Algebra. A Modern Introduction
7412:. The same thing holds for any fixed
3232:{\displaystyle (n,n-1,\cdots ,i+1,i)}
2350:{\displaystyle (n,n-1,\cdots ,j+1,j)}
67:, which are the determinants of some
7:
3177:is temporary shorthand notation for
6930:{\displaystyle \varepsilon ^{H,L}}
3721:{\displaystyle (\rightarrow )_{j}}
1829:{\displaystyle \sigma \in S_{n-1}}
1479:{\displaystyle 1\leq s,t\leq n-1.}
14:
7144:rows and columns with indices in
3804:{\displaystyle (j,j+1,\cdots ,n)}
3754:{\displaystyle (\leftarrow )_{j}}
3288:{\displaystyle (\leftarrow )_{j}}
3170:{\displaystyle (\leftarrow )_{i}}
2840:{\displaystyle (\leftarrow )_{i}}
2399:{\displaystyle \sigma '\in S_{n}}
2285:{\displaystyle (\leftarrow )_{j}}
509:{\displaystyle (-1)^{i+j}m_{i,j}}
7684:Leibniz formula for determinants
7668:
1978:, the explicit relation between
1548:as a factor. Each has the form
3922:can be written respectively as
2814:Now, the operation which apply
2486:{\displaystyle 1\leq k\leq n-1}
549:in the above sum is called the
6994:
6984:
6820:
6812:
6678:
6662:
6568:
6559:
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6523:
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6493:
6484:
6478:
6469:
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3702:
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3666:
3649:
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3605:
3602:
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3572:
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3445:
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3381:
3378:
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3305:
3276:
3272:
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3151:
3115:
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3106:
3100:
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3071:
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3024:
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3003:
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1943:
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1772:
1726:
1714:
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1680:
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1582:
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1496:
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1413:
1203:
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1152:
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979:
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887:
728:
720:
475:
465:
383:
373:
342:
336:
160:
150:
119:
113:
1:
7736:American Mathematical Monthly
2526:{\displaystyle \sigma '(n)=n}
18:Laplace expansion (potential)
5579:is the complementary set to
3242:the operation which applies
316:Laplace expansion along the
93:Laplace expansion along the
5572:{\displaystyle H^{\prime }}
5028:be the aforementioned set.
1844:determines a corresponding
1840:. Similarly each choice of
7841:
7217:(called the complement of
7124:obtained by deleting from
6775:can be expanded along the
3562:above two are equal thus,
1976:Cauchy's two-line notation
1790:{\displaystyle \tau (i)=j}
87:. Specifically, for every
42:, is an expression of the
15:
7763:. Cengage Learning 2005,
7710:{\displaystyle 3\times 3}
7286:{\displaystyle b_{H',L'}}
7470:
7343:being the complement of
2865:{\displaystyle \sigma '}
2551:{\displaystyle \sigma '}
1848:i.e. the correspondence
1435:{\displaystyle (a_{st})}
7243:{\displaystyle b_{H,L}}
7210:{\displaystyle c_{H,L}}
7097:{\displaystyle b_{H,L}}
3262:first and then applies
2011:{\displaystyle \sigma }
1904:{\displaystyle S_{n-1}}
579:{\displaystyle b_{i,j}}
542:{\displaystyle b_{i,j}}
295:{\displaystyle m_{i,j}}
250:{\displaystyle b_{i,j}}
7799:restricted online copy
7774:restricted online copy
7711:
7406:
7377:
7357:
7337:
7312:
7287:
7244:
7211:
7178:
7158:
7138:
7118:
7098:
7065:
6971:
6951:
6931:
6895:
6795:
6769:
6749:
6715:
6685:
6628:
5593:
5573:
5543:
5444:can be written out as
5431:
5271:
5149:
5022:
4877:
4732:
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4128:
4099:
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3686:
3622:
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3135:
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2012:
1992:
1968:
1905:
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1735:
1542:
1541:{\displaystyle b_{ij}}
1512:
1480:
1436:
1398:
1397:{\displaystyle M_{ij}}
1368:
1342:
1322:
1255:
1220:
955:
696:
580:
543:
510:
441:
372:
296:
251:
218:
149:
7712:
7422:Computational expense
7407:
7378:
7358:
7338:
7313:
7288:
7245:
7212:
7179:
7159:
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6750:
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5432:
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5150:
5023:
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3257:
3255:{\displaystyle \tau }
3234:
3172:
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2867:
2847:first and then apply
2842:
2806:
2553:
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2401:
2352:
2287:
2251:
2013:
1993:
1991:{\displaystyle \tau }
1969:
1906:
1869:
1831:
1792:
1736:
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1513:
1481:
1437:
1399:
1369:
1343:
1323:
1256:
1221:
956:
697:
581:
544:
511:
442:
352:
297:
252:
219:
129:
63:as a weighted sum of
7771:, pp. 265–267 (
7695:
7390:
7367:
7347:
7322:
7297:
7254:
7221:
7188:
7168:
7148:
7128:
7108:
7104:the square minor of
7075:
6981:
6961:
6941:
6908:
6808:
6785:
6759:
6739:
6727:-element subsets of
6705:
6653:
5609:
5583:
5556:
5451:
5287:
5160:
5038:
4894:
4761:
4754:Consider the matrix
4722:
4141:
4112:
3984:
3952:
3926:
3821:
3765:
3732:
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3633:
3569:
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3266:
3246:
3181:
3148:
2879:
2851:
2818:
2565:
2537:
2497:
2459:
2410:
2372:
2364:can be derived from
2299:
2263:
2025:
2002:
1982:
1915:
1882:
1852:
1801:
1766:
1555:
1522:
1492:
1446:
1410:
1378:
1352:
1332:
1273:
1245:
971:
712:
617:
610:Consider the matrix
600:Gaussian elimination
557:
520:
462:
326:
273:
257:is the entry of the
228:
103:
36:Pierre-Simon Laplace
7447:triangular matrices
7405:{\displaystyle k=1}
6781:rows identified by
5440:The determinant of
3967:{\displaystyle n-j}
3941:{\displaystyle n-i}
2368:as follows. Define
1511:{\displaystyle |B|}
1367:{\displaystyle i,j}
7796:, pp. 57–60 (
7707:
7676:Mathematics portal
7402:
7373:
7353:
7336:{\displaystyle L'}
7333:
7311:{\displaystyle H'}
7308:
7283:
7240:
7207:
7184:respectively, and
7174:
7154:
7134:
7114:
7094:
7061:
7050:
7018:
6967:
6947:
6927:
6891:
6842:
6791:
6765:
6745:
6711:
6684:{\displaystyle B=}
6681:
6624:
6622:
6384:
6345:
6306:
6267:
6228:
6189:
6150:
6111:
6072:
6033:
5994:
5955:
5589:
5569:
5539:
5485:
5427:
5389:
5267:
5258:
5145:
5136:
5018:
4873:
4864:
4728:
4705:
4703:
4543:
4332:
4212:
4124:
4108:And since the map
4095:
3964:
3938:
3905:
3801:
3751:
3728:is the inverse of
3718:
3682:
3618:
3549:
3543:
3285:
3252:
3229:
3167:
3131:
3125:
2862:
2837:
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2795:
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2445:
2396:
2347:
2282:
2246:
2240:
2018:can be written as
2008:
1988:
1964:
1901:
1864:
1826:
1787:
1731:
1538:
1508:
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1364:
1338:
1318:
1251:
1216:
1214:
1127:
1082:
1037:
951:
949:
865:
820:
775:
692:
683:
576:
539:
506:
437:
435:
292:
247:
214:
212:
40:cofactor expansion
7788:. Springer 2002,
7376:{\displaystyle L}
7356:{\displaystyle H}
7177:{\displaystyle L}
7157:{\displaystyle H}
7137:{\displaystyle B}
7117:{\displaystyle B}
7035:
7003:
6970:{\displaystyle L}
6950:{\displaystyle H}
6827:
6794:{\displaystyle H}
6768:{\displaystyle B}
6748:{\displaystyle H}
6714:{\displaystyle S}
6645:General statement
5592:{\displaystyle H}
5470:
5401:
5400: where
4731:{\displaystyle j}
4515:
4304:
4169:
2558:is expressed as
1348:that compose its
1341:{\displaystyle B}
1254:{\displaystyle B}
314:. Similarly, the
32:Laplace expansion
7832:
7784:Harvey E. Rose:
7753:
7750:
7744:
7743:
7731:
7716:
7714:
7713:
7708:
7678:
7673:
7672:
7657:
7654:
7651:
7648:
7645:
7642:
7639:
7636:
7633:
7630:
7627:
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7621:
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7591:
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