965:
1756:
1615:
1998:
1267:
2507:
1498:
803:
3098:
1078:
1145:
3278:
2624:
513:
2439:
1358:
2729:
1198:
837:
2244:
2060:
1032:
3020:
2877:
2311:
2826:
1922:
192:
1834:
624:
2547:
2137:
1675:
1321:
582:
1874:
366:
2346:
875:
223:
3161:
656:
2929:
1683:
131:
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2374:
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719:
445:
308:
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1436:
691:
280:
1651:
1384:
2949:
2770:
2749:
2674:
2654:
2162:
2098:
1786:
1532:
1524:
1408:
864:
416:
388:
155:
102:
3389:
1933:
1209:
3394:
3384:
3288:
1445:
752:
45:. In a weak formulation, equations or conditions are no longer required to hold absolutely (and this is not even well defined) and has instead
1045:
2448:
3293:
2552:
452:
2381:
3338:
2683:
3200:
2007:
2831:
3030:
3023:
42:
1085:
1284:
525:
1328:
3322:
1151:
810:
315:
2176:
973:
2958:
2255:
1503:
2952:
2784:
1880:
1765:
667:
256:
1798:
594:
3192:
1761:
1624:
1277:
2523:
2107:
1657:
1620:
1037:
160:
1843:
1387:
57:, the solution space is constructed such that these equations or conditions are already fulfilled.
3334:
2249:
629:
2914:
2320:
197:
3352:
3326:
3318:
3168:
3108:
2353:
724:
698:
424:
287:
228:
3348:
2885:
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3356:
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1837:
1630:
1363:
111:
3369:
3310:
2934:
2755:
2734:
2659:
2639:
2629:
2147:
2083:
1771:
1509:
1393:
849:
659:
401:
373:
140:
87:
69:
38:
2676:. Since this implies in particular that no eigenvalue is zero, the system is solvable.
3378:
2170:
2140:
2101:
2074:
1793:
960:{\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.}
840:
518:
73:
50:
46:
867:
105:
2516:
Here, application of the Lax–Milgram theorem is a stronger result than is needed.
17:
1751:{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}
3330:
2633:
1789:
134:
3306:
65:
1610:{\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}
72:
who proved it in 1954, provides weak formulations for certain systems on
34:
1993:{\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}
1262:{\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}
421:
To bring this into the generic form of a weak formulation, find
3315:
Contributions to the theory of partial differential equations
1792:. The appropriate space to satisfy these requirements is the
1619:
The left side of this equation can be made more symmetric by
1788:
must be zero on the boundary, and have square-integrable
1493:{\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}
1204:
The bilinear form associated to this weak formulation is
798:{\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}
2073:
which relies on properties of the symmetric part of the
3093:{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}
1760:
This is what is usually called the weak formulation of
1073:{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}
3203:
3171:
3111:
3033:
2961:
2937:
2917:
2888:
2834:
2787:
2758:
2737:
2686:
2662:
2642:
2555:
2526:
2502:{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.}
2451:
2384:
2356:
2323:
2258:
2179:
2150:
2110:
2086:
2010:
1936:
1883:
1846:
1801:
1774:
1686:
1660:
1633:
1535:
1512:
1448:
1417:
1396:
1366:
1331:
1287:
1212:
1154:
1088:
1048:
976:
878:
852:
813:
755:
727:
701:
670:
632:
597:
528:
455:
427:
404:
376:
318:
290:
259:
231:
200:
163:
143:
114:
90:
33:
are important tools for the analysis of mathematical
1502:to derive the weak formulation. Then, testing with
1140:{\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }
866:is a linear mapping, it is sufficient to test with
3272:
3183:
3155:
3092:
3014:
2943:
2923:
2901:
2871:
2820:
2764:
2743:
2723:
2668:
2648:
2618:
2541:
2501:
2433:
2368:
2340:
2305:
2238:
2156:
2131:
2092:
2054:
1992:
1916:
1868:
1828:
1780:
1750:
1669:
1645:
1609:
1518:
1492:
1430:
1402:
1378:
1352:
1315:
1261:
1192:
1139:
1072:
1026:
959:
858:
831:
797:
739:
713:
685:
650:
618:
576:
507:
439:
410:
382:
360:
302:
274:
243:
217:
186:
149:
125:
96:
2619:{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}
508:{\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}
49:only with respect to certain "test vectors" or "
3317:, Annals of Mathematics Studies, vol. 33,
2434:{\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}
1353:{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}
2724:{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,}
2751:is the minimal real part of an eigenvalue of
1193:{\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }
832:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
662:. Then, the weak formulation of the equation
8:
3226:
3219:
3213:
3204:
3087:
3078:
3074:
3065:
3003:
2993:
2863:
2854:
2842:
2835:
2715:
2709:
2693:
2687:
2613:
2607:
2603:
2597:
2593:
2587:
2481:
2474:
2458:
2452:
2290:
2283:
2229:
2223:
2220:
2214:
1461:
1449:
1187:
1168:
1134:
1105:
926:
907:
901:
879:
826:
814:
789:
777:
771:
756:
3273:{\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{'}.}
2239:{\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;}
2055:{\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}
1027:{\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}
1928:The generic form is obtained by assigning
41:to solve problems in other fields such as
3242:
3237:
3229:
3202:
3170:
3130:
3125:
3110:
3077:
3057:
3034:
3032:
3015:{\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}
3006:
2985:
2962:
2960:
2936:
2916:
2893:
2887:
2845:
2833:
2803:
2798:
2786:
2757:
2736:
2699:
2685:
2661:
2641:
2628:Coercivity: this actually means that the
2606:
2596:
2579:
2556:
2554:
2533:
2529:
2528:
2525:
2495:
2484:
2464:
2450:
2383:
2355:
2322:
2299:
2293:
2257:
2232:
2203:
2180:
2178:
2149:
2109:
2085:
2042:
2030:
2009:
1983:
1962:
1935:
1899:
1894:
1882:
1851:
1845:
1811:
1806:
1800:
1773:
1738:
1726:
1712:
1691:
1685:
1659:
1632:
1597:
1585:
1571:
1556:
1543:
1534:
1511:
1483:
1471:
1447:
1422:
1416:
1395:
1365:
1344:
1340:
1339:
1330:
1295:
1286:
1251:
1246:
1240:
1235:
1211:
1181:
1159:
1153:
1128:
1115:
1093:
1087:
1062:
1054:
1049:
1047:
1018:
1008:
998:
987:
975:
920:
895:
877:
851:
812:
754:
726:
700:
669:
631:
610:
606:
605:
596:
527:
454:
426:
403:
375:
317:
289:
258:
230:
199:
162:
142:
113:
89:
2872:{\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,}
2306:{\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.}
37:that permit the transfer of concepts of
2680:Additionally, this yields the estimate
1876:and with zero boundary conditions, so
3370:MathWorld page on Lax–Milgram theorem
587:Example 1: linear system of equations
7:
2821:{\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}
2549:are bounded. In particular, we have
1917:{\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}
1390:, and to specify the solution space
2881:where the norm on the right is the
2520:Boundedness: all bilinear forms on
2077:. It is not the most general form.
3251:
3207:
3139:
3081:
3068:
2996:
2918:
2857:
2812:
2419:
2031:
1977:
1968:
1963:
1908:
1860:
1829:{\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}
1820:
1727:
1706:
1697:
1692:
1664:
1661:
1586:
1553:
1544:
1472:
1332:
1292:
619:{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}
490:
25:
3390:Numerical differential equations
2542:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2132:{\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}
1670:{\displaystyle \partial \Omega }
1316:{\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}
1252:
1247:
1236:
1063:
1055:
1050:
577:{\displaystyle a(u,v):=(Au)(v).}
3395:Theorems in functional analysis
3313:(1954), "Parabolic equations",
2418:
932:
489:
187:{\displaystyle A\colon V\to V'}
3385:Partial differential equations
3258:
3254:
3248:
3230:
3146:
3142:
3136:
3118:
3058:
3054:
3042:
3035:
2986:
2982:
2970:
2963:
2931:(this provides a true norm on
2815:
2809:
2580:
2576:
2564:
2557:
2415:
2409:
2400:
2388:
2274:
2262:
2204:
2200:
2188:
2181:
2126:
2114:
2020:
2014:
1952:
1940:
1911:
1905:
1869:{\displaystyle L^{2}(\Omega )}
1863:
1857:
1823:
1817:
1565:
1549:
1228:
1216:
747:the following equation holds:
642:
568:
562:
559:
550:
544:
532:
486:
480:
471:
459:
352:
346:
337:
331:
328:
319:
251:is a solution of the equation
173:
43:partial differential equations
1:
2069:This is a formulation of the
1272:Example 2: Poisson's equation
361:{\displaystyle (Au)(v)=f(v).}
3289:Babuška–Lax–Milgram theorem
3165:there is a unique solution
2350:there is a unique solution
3411:
3323:Princeton University Press
3331:10.1515/9781400882182-010
3294:Lions–Lax–Milgram theorem
3195:and we have the estimate
3024:Cauchy–Schwarz inequality
2777:Application to example 2
2512:Application to example 1
1504:differentiable functions
1271:
651:{\displaystyle A:V\to V}
2924:{\displaystyle \Omega }
2341:{\displaystyle f\in V'}
2065:The Lax–Milgram theorem
1410:later, one can use the
370:A particular choice of
284:if and only if for all
218:{\displaystyle f\in V'}
3274:
3185:
3184:{\displaystyle u\in V}
3157:
3156:{\displaystyle f\in '}
3094:
3016:
2945:
2925:
2903:
2873:
2822:
2766:
2745:
2725:
2670:
2650:
2620:
2543:
2503:
2435:
2370:
2369:{\displaystyle u\in V}
2342:
2316:Then, for any bounded
2307:
2240:
2158:
2133:
2094:
2056:
1994:
1918:
1870:
1830:
1782:
1768:in the solution space
1752:
1671:
1647:
1611:
1520:
1494:
1432:
1404:
1380:
1354:
1317:
1263:
1194:
1141:
1074:
1028:
1003:
961:
860:
833:
799:
741:
740:{\displaystyle v\in V}
715:
714:{\displaystyle u\in V}
687:
652:
620:
578:
509:
441:
440:{\displaystyle u\in V}
418:is a function space).
412:
384:
362:
304:
303:{\displaystyle v\in V}
276:
245:
244:{\displaystyle u\in V}
219:
188:
151:
127:
98:
3275:
3186:
3158:
3095:
3017:
2946:
2926:
2904:
2902:{\displaystyle L^{2}}
2874:
2823:
2767:
2746:
2726:
2671:
2656:are not smaller than
2651:
2621:
2544:
2504:
2436:
2371:
2343:
2308:
2241:
2159:
2134:
2095:
2057:
1995:
1919:
1871:
1831:
1783:
1753:
1672:
1648:
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1521:
1495:
1433:
1431:{\displaystyle L^{2}}
1405:
1381:
1355:
1318:
1264:
1195:
1142:
1075:
1040:form of the equation
1029:
983:
962:
861:
834:
800:
742:
716:
688:
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363:
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220:
189:
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