3200:
2896:
1332:
2262:
875:
3195:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}{\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}{\biggr )}\\&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}
1327:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}
1512:
2546:
537:
759:
2048:
2652:
2837:
1339:
2376:
385:
581:
1615:
1844:
2585:
1733:
2675:
880:
2901:
2185:
3206:, each numerator is an odd prime number, and each denominator is the nearest multiple of 4 to the numerator. The product is conditionally convergent; its terms must be taken in order of increasing
1839:
2373:, which are general methods for alternating series, can be applied effectively to the partial sums of the Leibniz series. Further, combining terms pairwise gives the non-alternating series
808:
1769:
1530:
2247:
2218:
2108:
2079:
1507:{\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}
847:
359:
2857:
formula for alternating series, providing yet another example of a convergence acceleration technique that can be applied to the
Leibniz series. In 1992,
2541:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}
532:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},}
3286:
2350:). To get 4 correct decimal places (error of 0.00005) one needs 5000 terms. Even better than Calabrese or Johnsonbaugh error bounds are available.
754:{\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}
1627:
2287:
3426:
Rattaggi, Diego (2018-08-30). "Error estimates for the
Gregory-Leibniz series and the alternating harmonic series using Dalzell integrals".
3528:
2043:{\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\ (|z|<1).}
2647:{\displaystyle 3.141592{\underline {4}}5358979323846{\underline {4}}643383279502{\underline {7}}841971693993{\underline {873}}058...}
111:
3501:
3467:
3354:
2853:
is chosen to be a power of ten, each term in the right sum becomes a finite decimal fraction. The formula is a special case of the
2113:
254:
2832:{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}}
345:
3451:
3219:
90:
3251:
2370:
316:
561:
208:
106:
1774:
3533:
137:
127:
2555:
163:
3346:
2854:
379:
2582:
for many more digits, except for isolated digits or digit groups. For example, taking five million terms yields
2301:
to 10 correct decimal places using direct summation of the series requires precisely five billion terms because
766:
183:
2551:
2358:
857:
553:
178:
2559:
3523:
3203:
2575:
132:
2563:
2362:
2294:
2656:
where the underlined digits are wrong. The errors can in fact be predicted; they are generated by the
2669:
338:
193:
158:
2878:
817:
574:
298:
233:
223:
2881:
modulo 4. As with other
Dirichlet series, this allows the infinite sum to be converted to an
3427:
3408:
3268:
2347:
542:
188:
2261:
3497:
3491:
3463:
3400:
3350:
2250:
2188:
1738:
3455:
3447:
3390:
3382:
3305:
3260:
2882:
2874:
2858:
80:
3477:
2110:
so that it is continuous and converges uniformly, the proof is complete, where, the series
3473:
2366:
2223:
2194:
2084:
2055:
1517:
823:
569:
331:
308:
277:
260:
238:
557:
218:
3517:
3272:
2890:
565:
303:
198:
85:
3412:
3309:
2886:
2657:
2286:
terms. Each subsequent subplot magnifies the shaded area horizontally by 10 times.
203:
3386:
3370:
3242:
366:
228:
213:
168:
142:
34:
1610:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}
3264:
17:
3404:
3316:
2550:
which can be evaluated to high precision from a small number of terms using
173:
1728:{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}}
3395:
3324:
Annales
Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica)
2558:. This series can also be transformed into an integral by means of the
282:
3432:
2861:
and Mark Limber used the first thousand Euler numbers to calculate
3460:
Experimentation in mathematics: Computational paths to discovery
552:
series as it was first discovered by the Indian mathematician
2357:
to high precision (hundreds of digits or more) using various
2180:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}
372:
43:
2293:
Leibniz's formula converges extremely slowly: it exhibits
1336:
Considering only the integral in the last term, we have:
3341:
Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999),
2353:
However, the
Leibniz formula can be used to calculate
2265:
Comparison of the convergence of the
Leibniz formula (
783:
769:
3493:
The Legacy of
Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute
2899:
2678:
2588:
2379:
2226:
2197:
2116:
2087:
2058:
1847:
1777:
1741:
1630:
1533:
1342:
878:
826:
584:
388:
1834:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}}
3194:
2865:to 5,263 decimal places with the Leibniz formula.
2831:
2646:
2574:If the series is truncated at the right time, the
2540:
2241:
2212:
2179:
2102:
2073:
2042:
1833:
1763:
1727:
1609:
1506:
1326:
841:
802:
753:
531:
358:For other formulas known under the same name, see
3056:
2993:
2986:
2923:
560:), and was later independently rediscovered by
556:or his followers in the 14th–15th century (see
2578:of the approximation will agree with that of
2271:) and several historical infinite series for
339:
8:
3317:"On the Leibnizian quadrature of the circle"
2873:The Leibniz formula can be interpreted as a
360:List of things named after Gottfried Leibniz
803:{\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}
1480:
346:
332:
29:
3431:
3394:
3287:"The Discovery of the Series Formula for
3249:by K. Ramasubramanian and M. S. Sriram",
3175:
3162:
3149:
3136:
3123:
3110:
3097:
3084:
3071:
3055:
3054:
3036:
3020:
3010:
3006:
3002:
2992:
2991:
2985:
2984:
2966:
2950:
2940:
2936:
2932:
2922:
2921:
2904:
2900:
2898:
2812:
2799:
2793:
2787:
2776:
2740:
2724:
2714:
2710:
2699:
2679:
2677:
2631:
2618:
2605:
2592:
2587:
2493:
2487:
2476:
2443:
2419:
2408:
2397:
2380:
2378:
2225:
2196:
2154:
2138:
2132:
2121:
2115:
2086:
2057:
2023:
2015:
1979:
1952:
1936:
1930:
1919:
1897:
1881:
1875:
1870:
1846:
1822:
1812:
1793:
1782:
1776:
1750:
1742:
1740:
1710:
1683:
1667:
1661:
1650:
1629:
1584:
1568:
1562:
1551:
1534:
1532:
1487:
1459:
1449:
1434:
1424:
1419:
1405:
1396:
1370:
1364:
1358:
1353:
1341:
1308:
1299:
1273:
1267:
1261:
1256:
1235:
1191:
1175:
1169:
1158:
1132:
1118:
1091:
1086:
1074:
1058:
1046:
1036:
1017:
1006:
991:
986:
965:
956:
940:
934:
929:
883:
879:
877:
825:
782:
768:
716:
706:
690:
684:
673:
649:
643:
629:
623:
609:
603:
583:
503:
487:
481:
470:
447:
434:
421:
408:
389:
387:
2260:
763:The Leibniz formula is the special case
3234:
1527:, we are left with the Leibniz series:
290:
269:
246:
150:
119:
98:
72:
41:
3247:Tantrasaṅgraha of Nīlakaṇṭha Somayājī
2249:from within the Stolz angle, so from
7:
3456:"1.8.1: Gregory's Series Reexamined"
3371:"The Error in an Alternating Series"
27:Signed odd unit fractions sum to π/4
3291:by Leibniz, Gregory and Nilakantha"
2562:and evaluated using techniques for
2788:
2488:
2409:
2282:is the approximation after taking
2133:
1931:
1794:
1662:
1563:
1498:
685:
482:
25:
3496:, World Scientific, p. 214,
3375:The American Mathematical Monthly
3369:Villarino, Mark B. (2018-04-21).
2847:is an integer divisible by 4. If
564:in 1671 and Leibniz in 1673. The
3202:In this product, each term is a
2877:using the unique non-principal
820:of modulus 4 evaluated at
3462:, A K Peters, pp. 28–30,
3310:10.1080/0025570X.1990.11977541
3252:The Mathematical Intelligencer
3031:
3017:
2961:
2947:
2889:. Such a product is called an
2737:
2727:
2532:
2517:
2514:
2499:
2371:Van Wijngaarden transformation
2236:
2230:
2207:
2201:
2151:
2141:
2097:
2091:
2068:
2062:
2034:
2024:
2016:
2012:
2006:
2000:
1949:
1939:
1860:
1854:
1809:
1799:
1751:
1743:
1680:
1670:
1640:
1634:
1581:
1571:
1495:
1481:
1232:
1222:
1188:
1178:
1071:
1061:
1033:
1023:
912:
906:
703:
693:
500:
490:
1:
3454:; Girgensohn, Roland (2004),
3387:10.1080/00029890.2017.1416875
2361:techniques. For example, the
816:-series of the non-principal
2288:(click for detail)
3220:List of formulae involving
1841:converges uniformly, then
548:It is sometimes called the
3550:
3490:Debnath, Lokenath (2010),
3347:Cambridge University Press
357:
3529:Gottfried Wilhelm Leibniz
3265:10.1007/s00283-012-9344-6
812:It also is the Dirichlet
380:Gottfried Wilhelm Leibniz
138:Madhava's correction term
3315:Horvath, Miklos (1983).
2552:Richardson extrapolation
2359:convergence acceleration
1764:{\displaystyle |z|<1}
849:and therefore the value
317:Other topics related to
2885:with one term for each
2556:Euler–Maclaurin formula
2187:to be converges by the
858:Dirichlet beta function
572:function, often called
554:Madhava of Sangamagrama
3196:
2833:
2792:
2723:
2648:
2542:
2492:
2413:
2290:
2243:
2214:
2181:
2137:
2104:
2075:
2044:
1935:
1835:
1798:
1765:
1729:
1666:
1611:
1567:
1508:
1328:
1174:
1022:
843:
804:
755:
689:
533:
486:
42:mathematical constant
3204:superparticular ratio
3197:
2855:Euler–Boole summation
2834:
2772:
2695:
2649:
2564:numerical integration
2543:
2472:
2393:
2363:Shanks transformation
2348:Calabrese error bound
2295:sublinear convergence
2264:
2244:
2215:
2182:
2117:
2105:
2076:
2045:
1915:
1836:
1778:
1766:
1730:
1646:
1612:
1547:
1509:
1329:
1154:
1002:
844:
805:
756:
669:
534:
466:
91:Use in other formulae
3298:Mathematics Magazine
3285:Roy, Ranjan (1990).
2897:
2676:
2586:
2377:
2346:(one needs to apply
2242:{\displaystyle f(1)}
2224:
2213:{\displaystyle f(z)}
2195:
2114:
2103:{\displaystyle f(1)}
2085:
2074:{\displaystyle f(z)}
2056:
1845:
1775:
1739:
1628:
1531:
1340:
876:
842:{\displaystyle s=1,}
824:
767:
582:
386:
371:Leibniz formula for
35:a series of articles
3534:Mathematical series
2879:Dirichlet character
1880:
1429:
1363:
1266:
996:
939:
818:Dirichlet character
299:Squaring the circle
234:Chudnovsky brothers
224:Srinivasa Ramanujan
3245:(November 2012), "
3192:
3190:
3035:
2965:
2829:
2644:
2639:
2626:
2613:
2600:
2560:Abel–Plana formula
2538:
2291:
2239:
2210:
2177:
2100:
2071:
2040:
1866:
1831:
1761:
1725:
1607:
1516:Therefore, by the
1504:
1415:
1349:
1324:
1322:
1252:
982:
925:
839:
800:
792:
751:
543:alternating series
529:
189:Ludolph van Ceulen
3448:Borwein, Jonathan
3343:Special Functions
3183:
3170:
3157:
3144:
3131:
3118:
3105:
3092:
3079:
3052:
3027:
3023:
3016:
2998:
2982:
2957:
2953:
2946:
2928:
2912:
2827:
2767:
2687:
2668:according to the
2632:
2619:
2606:
2593:
2576:decimal expansion
2570:Unusual behaviour
2536:
2462:
2438:
2388:
2253:this is correct.
2175:
2011:
1973:
1904:
1704:
1605:
1542:
1490:
1478:
1403:
1306:
1212:
1125:
963:
891:
791:
746:
658:
638:
618:
524:
455:
442:
429:
416:
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