2403:
3801:
2105:
5037:
3551:
4680:
2398:{\displaystyle f(\varphi _{1},\dotsc ,\varphi _{k})(v_{1},\dotsc ,v_{q})={1 \over q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )f(\varphi _{1}(v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (q_{1})}),\dotsc ,\varphi _{k}(v_{\sigma (q-q_{k}+1)},\dotsc ,v_{\sigma (q)}))}
739:
4856:
315:
The wedge product of ordinary, real-valued differential forms is defined using multiplication of real numbers. For a pair of Lie algebra–valued differential forms, the wedge product can be defined similarly, but substituting the bilinear
1706:
4117:
4863:
4321:
2033:
3796:{\displaystyle (\alpha \cdot \phi )(v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\alpha (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)})\phi (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)}).}
1624:
166:
3045:
2880:
3499:
1488:
1233:
3863:
2097:
4213:
1540:
1778:
1145:
4452:
2656:
1050:
3249:
1184:
2458:
4355:
3372:
3313:
2611:
976:
4257:
3959:
3911:
3191:
2927:
2703:
2509:
1879:
1826:
1730:
1360:
406:
342:
190:
302:
2485:
1855:
275:
486:
3543:
3999:
3412:
2679:
1919:
1802:
4687:
3887:
3336:
3167:
1416:
789:
382:
224:
3935:
3293:
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2723:
2536:
1436:
809:
769:
446:
1632:
3114:
4399:
4375:
4233:
4171:
4151:
4027:
4019:
3979:
3452:
3432:
3392:
3273:
3088:
2967:
2947:
2903:
2743:
2576:
2556:
2056:
1899:
426:
362:
248:
97:
77:
3223:
1392:
1332:
1300:
1268:
1011:
478:
5032:{\displaystyle \rho (\omega (v))\rho (\omega (w))\varphi -\rho (\omega (w))\rho (\omega (v))\phi =2(\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \phi ))(v,w).}
4269:
1924:
3252:
5053:
4436:
1548:
109:
2975:
2751:
3457:
1441:
1189:
36:
3812:
2061:
4176:
1493:
1743:
40:
4675:{\displaystyle \rho ()(v,w)=\rho ((v,w))=\rho ()=\rho (\omega (v))\rho (\omega (w))-\rho (\omega (w))\rho (\omega (v))}
5094:
1058:
2619:
1016:
3228:
1781:
1153:
4410:
2411:
4260:
100:
4329:
3341:
3298:
5099:
28:
2581:
817:
5072:
4238:
3940:
3892:
3172:
2908:
2684:
2490:
1860:
1807:
1711:
1341:
387:
323:
171:
771:'s are tangent vectors. The notation is meant to indicate both operations involved. For example, if
734:{\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over p!q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma ),}
280:
2463:
1831:
253:
4851:{\displaystyle (\rho ()\cdot \varphi )(v,w)={1 \over 2}(\rho ()(v,w)\varphi -\rho ()(w,v)\phi )}
3504:
3984:
3397:
2664:
1904:
1787:
1395:
48:
3872:
3321:
3119:
1701:{\displaystyle \omega \wedge \eta ,\ \eta \wedge \omega \in \Omega ^{p+q}(M,{\mathfrak {g}})}
1401:
774:
367:
304:
227:
199:
44:
3920:
3278:
3053:
2708:
2514:
1421:
794:
747:
431:
4112:{\displaystyle \rho ()\cdot \varphi =2\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \varphi ).}
3914:
3093:
4415:
4384:
4378:
4360:
4218:
4156:
4136:
4128:
4004:
3964:
3437:
3417:
3377:
3258:
3073:
2952:
2932:
2888:
2728:
2561:
2541:
2041:
1884:
411:
347:
233:
82:
62:
17:
3196:
1365:
1305:
1273:
1241:
984:
451:
5088:
104:
4316:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}=P\times _{\operatorname {Ad} }{\mathfrak {g}}.}
2028:{\displaystyle f(\varphi )(v_{1},\dotsc ,v_{k})=f(\varphi (v_{1},\dotsc ,v_{k}))}
317:
193:
1335:
5067:
1619:{\displaystyle =\omega \wedge \eta -(-1)^{pq}\eta \wedge \omega ,}
161:{\displaystyle ({\mathfrak {g}}\times M)\otimes \wedge ^{k}T^{*}M}
5076:
1708:
are wedge products formed using the matrix multiplication on
3040:{\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to V,\rho (x)y=f(x,y)}
2875:{\displaystyle f(,z)=f(x,f(y,z))-f(y,f(x,z)){,}\qquad (*)}
39:. Such forms have important applications in the theory of
4440:(Wiley Classics Library) Volume 1, 2. Chapter XII, § 1.}}
3494:{\displaystyle \alpha \cdot \varphi =f(\alpha ,\varphi )}
1483:{\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M,{\mathfrak {g}})}
1228:{\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega (M,\mathbb {R} )}
3858:{\displaystyle \operatorname {ad} (\alpha )\cdot \phi =}
2092:{\displaystyle \textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}
4208:{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
1881:-valued form on the same manifold obtained by applying
1535:{\displaystyle \eta \in \Omega ^{q}(M,{\mathfrak {g}})}
3295:
above is thus like the relation between a bracket and
2065:
4866:
4690:
4455:
4387:
4363:
4332:
4272:
4241:
4221:
4179:
4159:
4139:
4030:
4007:
3987:
3967:
3943:
3923:
3895:
3875:
3815:
3554:
3507:
3460:
3440:
3420:
3400:
3380:
3344:
3324:
3301:
3281:
3261:
3231:
3199:
3175:
3122:
3096:
3076:
3056:
2978:
2955:
2935:
2911:
2891:
2754:
2731:
2711:
2687:
2667:
2622:
2584:
2564:
2544:
2517:
2493:
2466:
2414:
2108:
2064:
2044:
1927:
1907:
1887:
1863:
1834:
1810:
1790:
1746:
1714:
1635:
1551:
1496:
1444:
1424:
1404:
1368:
1344:
1308:
1276:
1244:
1192:
1156:
1061:
1019:
987:
820:
797:
777:
750:
489:
454:
434:
414:
390:
370:
350:
326:
283:
256:
236:
202:
174:
112:
85:
65:
4377:
are in a natural one-to-one correspondence with any
1773:{\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}
1338:, is justified by the fact that if the Lie algebra
320:, to obtain another Lie algebra–valued form. For a
5031:
4850:
4674:
4393:
4369:
4349:
4315:
4251:
4227:
4207:
4165:
4153:be a smooth principal bundle with structure group
4145:
4111:
4013:
3993:
3973:
3953:
3929:
3905:
3881:
3857:
3795:
3537:
3493:
3446:
3426:
3406:
3386:
3366:
3330:
3307:
3287:
3267:
3243:
3217:
3185:
3161:
3108:
3082:
3062:
3039:
2961:
2941:
2921:
2897:
2874:
2737:
2717:
2697:
2673:
2650:
2605:
2570:
2550:
2530:
2503:
2479:
2452:
2397:
2091:
2050:
2027:
1913:
1893:
1873:
1849:
1820:
1796:
1772:
1724:
1700:
1618:
1534:
1482:
1430:
1410:
1386:
1354:
1326:
1294:
1262:
1227:
1178:
1139:
1044:
1005:
970:
803:
783:
763:
733:
472:
440:
420:
400:
376:
356:
336:
296:
269:
242:
218:
184:
160:
91:
71:
1013:can also be defined as the bilinear operation on
1140:{\displaystyle =\otimes (\alpha \wedge \beta )}
811:are Lie-algebra-valued one forms, then one has
2651:{\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\times V\to V}
37:differential form with values in a Lie algebra
2558:, the same formula can be used to define the
8:
5068:Wedge Product of Lie Algebra Valued One-Form
4263:and so one can form the associated bundle:
1045:{\displaystyle \Omega (M,{\mathfrak {g}})}
4865:
4745:
4689:
4454:
4386:
4362:
4341:
4335:
4334:
4331:
4304:
4303:
4297:
4281:
4275:
4274:
4271:
4243:
4242:
4240:
4220:
4181:
4180:
4178:
4158:
4138:
4029:
4006:
3986:
3966:
3945:
3944:
3942:
3922:
3897:
3896:
3894:
3874:
3814:
3806:With this notation, one has for example:
3766:
3732:
3704:
3676:
3645:
3614:
3596:
3577:
3553:
3506:
3459:
3439:
3419:
3399:
3379:
3346:
3345:
3343:
3323:
3300:
3280:
3260:
3244:{\displaystyle \rho =\operatorname {ad} }
3230:
3198:
3177:
3176:
3174:
3121:
3095:
3075:
3055:
2986:
2985:
2977:
2954:
2934:
2913:
2912:
2910:
2890:
2857:
2753:
2730:
2710:
2689:
2688:
2686:
2666:
2630:
2629:
2621:
2583:
2563:
2543:
2522:
2516:
2495:
2494:
2492:
2471:
2465:
2444:
2425:
2413:
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2344:
2327:
2314:
2287:
2276:
2248:
2235:
2204:
2185:
2173:
2154:
2138:
2119:
2107:
2082:
2081:
2075:
2070:
2063:
2043:
2013:
1994:
1966:
1947:
1926:
1906:
1886:
1865:
1864:
1862:
1833:
1812:
1811:
1809:
1789:
1764:
1763:
1754:
1753:
1745:
1716:
1715:
1713:
1689:
1688:
1667:
1634:
1595:
1550:
1523:
1522:
1507:
1495:
1471:
1470:
1455:
1443:
1423:
1403:
1367:
1346:
1345:
1343:
1307:
1275:
1243:
1218:
1217:
1191:
1170:
1169:
1155:
1060:
1033:
1032:
1018:
986:
953:
931:
903:
881:
856:
843:
819:
796:
776:
755:
749:
701:
667:
636:
608:
574:
549:
531:
512:
488:
453:
433:
413:
392:
391:
389:
369:
349:
328:
327:
325:
288:
282:
261:
255:
235:
207:
201:
176:
175:
173:
149:
139:
117:
116:
111:
84:
64:
4427:
2538:-forms. Moreover, given a vector space
4123:Forms with values in an adjoint bundle
1179:{\displaystyle g,h\in {\mathfrak {g}}}
5057:(Wiley Classics Library) Volume 1, 2.
3454:-form, then one more commonly writes
3193:), then we recover the definition of
2453:{\displaystyle q=q_{1}+\ldots +q_{k}}
7:
5073:groupoid of Lie-algebra valued forms
5054:Foundations of Differential Geometry
4437:Foundations of Differential Geometry
3050:and, conversely, any representation
1238:Some authors have used the notation
4357:-valued forms on the base space of
4350:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}
4336:
4305:
4276:
4244:
4182:
3946:
3898:
3367:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}
3350:
3347:
3308:{\displaystyle \operatorname {ad} }
3178:
2987:
2914:
2690:
2631:
2496:
2083:
1866:
1813:
1765:
1755:
1717:
1690:
1524:
1472:
1347:
1171:
1034:
393:
329:
177:
118:
1664:
1504:
1452:
1205:
1020:
59:A Lie-algebra-valued differential
25:
3913:-valued one-form (for example, a
2606:{\displaystyle f(\varphi ,\eta )}
1828:-valued form on a manifold, then
971:{\displaystyle (v_{1},v_{2})=-.}
4252:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3954:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3906:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3186:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2922:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2905:amounts to giving an action of
2862:
2698:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2504:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2058:is a multilinear functional on
1874:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
1821:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1725:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1355:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
401:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
337:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
185:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5023:
5011:
5008:
5005:
4996:
4990:
4984:
4978:
4972:
4966:
4954:
4951:
4945:
4939:
4933:
4930:
4924:
4918:
4906:
4903:
4897:
4891:
4885:
4882:
4876:
4870:
4845:
4839:
4827:
4824:
4821:
4809:
4806:
4794:
4782:
4779:
4776:
4764:
4761:
4755:
4739:
4727:
4724:
4715:
4712:
4700:
4697:
4691:
4669:
4666:
4660:
4654:
4648:
4645:
4639:
4633:
4624:
4621:
4615:
4609:
4603:
4600:
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4576:
4573:
4567:
4558:
4552:
4546:
4543:
4534:
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4516:
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4501:
4492:
4480:
4477:
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