2933:
2366:
2280:
2928:{\displaystyle {\hat {C}}_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}{\hat {\Upsilon }}_{b}(0){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{2}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{3})}{{\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}
1800:
8607:
365:
8001:
2275:{\displaystyle C_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}\Upsilon _{b}'(0)\Upsilon _{b}(2\alpha _{1})\Upsilon _{b}(2\alpha _{2})\Upsilon _{b}(2\alpha _{3})}{\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q)\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\Upsilon _{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1})\Upsilon _{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}
4581:
4053:
1629:
3353:
5097:
898:
5174:
On the other hand, when the central charge is sent to one while conformal dimensions stay continuous, Liouville theory tends to Runkel–Watts theory, a nontrivial conformal field theory (CFT) with a continuous spectrum whose three-point function is not analytic as a function of the momenta.
4362:
5773:
4373:
1432:
3863:
5965:
of the particle. This has applications to extreme value statistics of the two-dimensional
Gaussian free field, and allows to predict certain universal properties of the log-correlated random energy models (in two dimensions and beyond).
5154:, and this is how the DOZZ formula was first guessed in the 1990s. It is only in the 2010s that a rigorous probabilistic construction of the path integral was found, which led to a proof of the DOZZ formula and the conformal bootstrap.
3693:
3817:
3582:
3197:
4918:
3039:
1336:
783:
5239:
7005:
Cao, Xiangyu; Doussal, Pierre Le; Rosso, Alberto; Santachiara, Raoul (2018-01-30). "Operator
Product Expansion in Liouville Field Theory and Seiberg type transitions in log-correlated Random Energy Models".
4198:
5649:
4183:
1033:
1421:
1093:
3132:
one-point function. Due to remarkable identities of conformal blocks and structure constants, this modular invariance property can be deduced from crossing symmetry of the sphere four-point function.
5167:
When the central charge and conformal dimensions are sent to the relevant discrete values, correlation functions of
Liouville theory reduce to correlation functions of diagonal (A-series) Virasoro
5919:
in this background is then identical to
Liouville field theory, with the linear dilaton being responsible for the background charge term while the tachyon contributing the exponential potential.
4576:{\displaystyle T=T_{zz}=(\partial _{z}\varphi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\varphi \;,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\varphi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\varphi \ .}
970:
5284:
668:
279:
4719:
932:
463:
1624:{\displaystyle R(\alpha )=\pm \lambda ^{Q-2\alpha }{\frac {\Gamma (b(2\alpha -Q))\Gamma ({\frac {1}{b}}(2\alpha -Q))}{\Gamma (b(Q-2\alpha ))\Gamma ({\frac {1}{b}}(Q-2\alpha ))}}\ .}
716:
514:
5413:
5333:
4672:
1788:
339:
4048:{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\varphi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\varphi (x_{1},x_{2})}\ ,}
4846:
137:
2358:
1696:
1140:
419:
5628:
5598:
1278:
519:
While the exponential potential breaks momentum conservation, it does not break conformal symmetry, and
Liouville theory is a conformal field theory with the central charge
4882:
4759:
3463:
1236:
1200:
767:
179:
4801:
2310:
568:
7230:
5458:
3851:
3386:
5852:
5816:
5286:, two distinct CFTs with the same spectrum are known: Liouville theory, whose three-point function is analytic, and another CFT with a non-analytic three-point function.
5140:
4636:
725:
of
Liouville theory are covariant under this duality, and under reflections of the momenta. These quantum symmetries of Liouville theory are however not manifest in the
5490:
5372:
8037:
5951:
5552:
3483:
3438:
1739:
218:
6050:
3122:
618:
591:
386:
359:
7798:
5529:
1719:
1655:
8460:
8270:
7431:
5151:
4910:
4094:
3414:
3348:{\displaystyle S={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi +QR\varphi +\lambda 'e^{2b\varphi })\ ,}
3169:
3085:
3061:
302:
82:
3701:
8352:
8311:
5534:. More general conformal Toda theories can be viewed as generalizations of Liouville theory, whose Lagrangians involve several bosons rather than one boson
3593:
5957:. These models describe a thermal particle in a random potential that is logarithmically correlated. In two dimensions, such potential coincides with the
5102:
It has been difficult to define and to compute this path integral. In the path integral representation, it is not obvious that
Liouville theory has exact
5092:{\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\varphi \ e^{-S}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\varphi (z_{i})}\ .}
7969:
3491:
5339:
5998:
2944:
1286:
893:{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,}
8090:
7981:
7280:
6771:
Bernard, Denis; LeClair, André (2021-12-10). "The sinh-Gordon model beyond the self dual point and the freezing transition in disordered systems".
5415:
WZW model) can be expressed in terms of correlation functions of
Liouville theory. This is also true of correlation functions of the 2d black hole
6896:
6064:
when it was found to actually exist, and to be spacelike rather than timelike. As of 2022, not one of these three names is universally accepted.
8115:
7665:
7223:
43:
8219:
7599:
8450:
5178:
8342:
8030:
7522:
7188:
8198:
4357:{\displaystyle T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\;,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\;,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .}
8080:
5961:. In that case, certain correlation functions between primary fields in the Liouville theory are mapped to correlation functions of the
5768:{\displaystyle S={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\left(\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi +\lambda \cosh(2b\varphi )\right).}
6989:
6472:
Guillarmou, Colin; Kupiainen, Antti; Rhodes, RĂ©mi; Vargas, Vincent (2021-12-29). "Segal's axioms and bootstrap for
Liouville Theory".
8610:
8290:
7253:
7216:
5335:
5915:
background. The tachyon field equation of motion in the linear dilaton background requires it to take an exponential solution. The
4105:
982:
1344:
1044:
972:
denote the same Verma module, viewed as a representation of the left- and right-moving
Virasoro algebra respectively. In terms of
8540:
8347:
8110:
7363:
8143:
7645:
7640:
1098:
The reflection relation is responsible for the momentum taking values on a half-line, instead of a full line for a free theory.
8629:
8500:
8403:
8383:
8023:
7936:
7348:
7620:
8639:
8306:
8065:
8060:
7948:
743:
7497:
5884:
3820:
7926:
7703:
7625:
7393:
7263:
8455:
7660:
8579:
8105:
7594:
7589:
7560:
7258:
6451:
Kupiainen, Antti; Rhodes, RĂ©mi; Vargas, Vincent (2017). "Integrability of Liouville theory: Proof of the DOZZ Formula".
1281:
7635:
8574:
8368:
7728:
8148:
7545:
4189:
937:
8004:
7766:
7574:
6901:
5244:
5143:
1147:
626:
230:
8316:
7477:
7413:
7788:
7655:
7579:
7540:
7456:
7306:
5900:
4680:
726:
8552:
7855:
7835:
7825:
7815:
7771:
7331:
5142:
and obey the reflection relation. Nevertheless, the path integral representation can be used for computing the
4074:
3064:
422:
8424:
8249:
8224:
6355:
Hadasz, Leszek; Jaskolski, Zbigniew; Suchanek, Paulina (2010). "Modular bootstrap in Liouville field theory".
4065:
Once compactified on a cylinder, Liouville field theory can be equivalently formulated as a worldline theory.
906:
430:
8280:
8163:
7964:
7550:
7512:
7461:
5872:
5168:
5147:
4059:
2313:
682:
51:
5460:
coset model. Moreover, there exist theories that continuously interpolate between Liouville theory and the
474:
8634:
8591:
8515:
8510:
8445:
8373:
8178:
8168:
8153:
8070:
7875:
7650:
7630:
7555:
7451:
7408:
6735:
6002:
5983:
5377:
5297:
4644:
1752:
311:
89:
8326:
8229:
8193:
8138:
8564:
8559:
8398:
8393:
8183:
7900:
7398:
7378:
6828:
5904:
4812:
3393:
674:
98:
7301:
5175:
Generalizations of Runkel-Watts theory are obtained from Liouville theory by taking limits of the type
2322:
1660:
1104:
395:
6928:
6888:
6824:
5603:
5573:
1241:
8505:
8239:
8075:
8046:
7931:
7860:
7805:
7535:
7343:
7151:
7090:
7025:
6951:
6920:
6854:
6790:
6727:
6674:
6621:
6568:
6512:
6374:
6334:
Guillarmou, C; Kupiainen, A; Rhodes, R; V, Vargas (2020). "Conformal Bootstrap in Liouville Theory".
6297:
6244:
6225:
Ribault, Sylvain; Santachiara, Raoul (2015). "Liouville theory with a central charge less than one".
6184:
6128:
5779:
5103:
3389:
722:
6740:
5974:
Liouville theory is related to other subjects in physics and mathematics, such as three-dimensional
4854:
4731:
1205:
1169:
748:
152:
8569:
8535:
8470:
8388:
8378:
8173:
7916:
7885:
7830:
7810:
7718:
7675:
7530:
7441:
7368:
7358:
7270:
5958:
5954:
4771:
3141:
2288:
1163:
598:
525:
185:
7068:
5418:
3826:
3361:
8203:
7845:
7743:
7436:
7383:
7275:
7167:
7141:
7114:
7080:
7049:
7015:
6910:
6870:
6844:
6806:
6780:
6753:
6717:
6690:
6664:
6637:
6611:
6584:
6558:
6528:
6502:
6473:
6452:
6421:
6390:
6364:
6335:
6313:
6287:
6260:
6234:
6200:
6174:
6144:
6118:
6089:
6009:
5975:
5868:
5821:
5789:
5109:
4725:
4596:
3125:
3063:-point functions on the sphere can be expressed in terms of three-point structure constants, and
47:
7976:
6892:
6165:
Zamolodchikov, A.; Zamolodchikov, Al. (1996). "Conformal bootstrap in Liouville field theory".
5463:
5345:
3443:
8254:
7986:
7895:
7865:
7793:
7756:
7751:
7733:
7698:
7688:
7492:
7388:
7353:
7336:
7239:
7041:
6985:
6977:
5930:
5537:
5501:
4762:
3468:
3423:
3088:
1724:
305:
203:
6029:
3101:
603:
576:
371:
344:
220:
called the Liouville field, which is defined on a two-dimensional space. This field is not a
8525:
7713:
7708:
7565:
7446:
7159:
7098:
7033:
6959:
6862:
6798:
6745:
6682:
6629:
6576:
6520:
6431:
6382:
6305:
6252:
6192:
6136:
4587:
4097:
3854:
3189:
774:
85:
7110:
6602:
Hikida, Yasuaki; Schomerus, Volker (2007). "H^+_3 WZNW model from Liouville field theory".
5507:
8547:
8285:
8234:
7943:
7870:
7850:
7820:
7783:
7778:
7683:
7507:
7202:
7198:
7192:
7106:
5987:
5916:
5876:
4851:
between the background charge and the coupling constant. If this relation is obeyed, then
3144:
approach, Liouville theory can be shown to be the unique conformal field theory such that
3095:
143:
3812:{\displaystyle \Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })}
3087:-point function may have several different expressions: that they agree is equivalent to
729:
formulation, in particular the exponential potential is not invariant under the duality.
7155:
7094:
7029:
6955:
6924:
6858:
6794:
6731:
6686:
6678:
6633:
6625:
6580:
6572:
6524:
6516:
6378:
6301:
6248:
6188:
6132:
3091:
of the four-point function, which has been checked numerically and proved analytically.
1701:
1637:
8490:
8465:
8244:
7921:
7890:
7880:
7502:
7482:
7311:
6655:
Ribault, Sylvain (2008). "A family of solvable non-rational conformal field theories".
6005:
4895:
4079:
3399:
3154:
3070:
3046:
287:
67:
62:
58:
7132:
Zamolodchikov, Al (2005). "On the Three-point Function in Minimal Liouville Gravity".
6866:
8623:
8586:
8520:
8495:
8095:
7840:
7693:
7584:
7487:
7403:
7373:
7326:
7053:
6963:
6874:
6810:
6757:
6588:
6549:
Ribault, Sylvain; Teschner, Joerg (2005). "H(3)+ correlators from Liouville theory".
6394:
6204:
6196:
6140:
5991:
5962:
5896:
5567:
5531:
3688:{\displaystyle \Delta \varphi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\varphi (x)}\ ,}
594:
7171:
7118:
6532:
6317:
6264:
6148:
364:
8530:
8440:
8158:
8100:
8085:
7723:
7321:
7316:
6694:
6641:
6386:
6109:
Dorn, H.; Otto, H.-J. (1994). "Two and three point functions in Liouville theory".
5979:
5782:. The model can be viewed as a perturbation of Liouville theory. The model's exact
3465:, which is sometimes called the cosmological constant, is related to the parameter
3417:
1143:
770:
188:, Liouville theory has been solved. In particular, its three-point function on the
3577:{\displaystyle \lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}.}
421:, and two eigenvectors are linearly dependent if their momenta are related by the
8188:
7761:
6802:
6436:
6409:
6256:
3034:{\displaystyle {\hat {\Upsilon }}_{b}(x)={\frac {1}{\Upsilon _{ib}(-ix+ib)}}\ .}
17:
7102:
7037:
1331:{\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}
361:
is conserved in interactions. In Liouville theory, momentum is not conserved.
7163:
6749:
6708:
Nakayama, Yu (2004). "Liouville Field Theory: A Decade After the Revolution".
6309:
5880:
221:
8321:
7615:
7296:
5995:
5555:
1159:
7045:
392:
Moreover, the potential reflects the energy eigenvectors before they reach
8419:
8015:
6052:
first appeared as a model of time-dependent string theory under the name
5783:
973:
5106:, and it is not manifest that correlation functions are invariant under
7146:
7085:
6915:
6849:
6722:
6563:
6507:
6292:
6179:
6123:
5912:
5908:
4884:
is actually exactly marginal, and the theory is conformally invariant.
31:
5854:. However, it has been argued that the model itself is not invariant.
5234:{\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}
7020:
6785:
6478:
6329:
6327:
5899:
when trying to formulate a non-critical version of the theory in the
5879:
that is called Liouville gravity. It should not be confused with the
5643:
In flat space, the sinh-Gordon model is defined by the local action:
573:
Under conformal transformations, an energy eigenvector with momentum
189:
7208:
6832:
6493:
Schomerus, Volker (2003). "Rolling Tachyons from Liouville theory".
3148:
the spectrum is a continuum, with no multiplicities higher than one,
673:
The central charge and conformal dimensions are invariant under the
6457:
6426:
6340:
6278:
Teschner, J (2003). "A lecture on the Liouville vertex operators".
6239:
6669:
6616:
6369:
6094:
3129:
363:
6088:
Ribault, Sylvain (2014). "Conformal field theory on the plane".
3094:
Liouville theory exists not only on the sphere, but also on any
8019:
7212:
7189:
Mathematicians Prove 2D Version of Quantum Gravity Really Works
1146:. A vacuum state can be defined, but it does not contribute to
6942:
Polyakov, A.M. (1981). "Quantum geometry of bosonic strings".
6982:
String Theory Volume I: An Introduction to the Bosonic String
4178:{\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}},}
1028:{\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}
5609:
5579:
1416:{\displaystyle V_{\alpha }(z)=R(\alpha )V_{Q-\alpha }(z)\ ,}
1312:
1293:
1088:{\displaystyle \alpha \in {\frac {Q}{2}}+i\mathbb {R} _{+}.}
946:
913:
868:
849:
789:
754:
5927:
There is an exact mapping between Liouville theory with
5778:
The corresponding classical equation of motion is the
1142:. The spectrum of Liouville theory does not include a
6032:
5933:
5824:
5792:
5652:
5606:
5576:
5540:
5510:
5466:
5421:
5380:
5348:
5300:
5247:
5181:
5112:
4921:
4898:
4857:
4815:
4774:
4734:
4683:
4647:
4599:
4376:
4201:
4108:
4082:
3866:
3829:
3704:
3596:
3494:
3471:
3446:
3426:
3402:
3364:
3200:
3157:
3104:
3073:
3049:
2947:
2369:
2325:
2291:
1803:
1790:, the three-point structure constant is given by the
1755:
1727:
1704:
1663:
1640:
1435:
1347:
1289:
1244:
1208:
1172:
1107:
1047:
985:
940:
909:
786:
751:
685:
629:
606:
579:
528:
477:
433:
398:
374:
347:
314:
290:
233:
206:
155:
101:
70:
3587:
The equation of motion associated to this action is
8483:
8433:
8412:
8361:
8335:
8299:
8263:
8212:
8131:
8124:
8053:
7957:
7909:
7742:
7674:
7608:
7521:
7470:
7424:
7289:
7246:
6410:"Cylinder quantum field theories at small coupling"
6408:Andrei Ioan, Dogaru; Campos Delgado, Ruben (2022).
200:Liouville theory describes the dynamics of a field
6044:
5945:
5846:
5810:
5767:
5622:
5592:
5546:
5523:
5484:
5452:
5407:
5366:
5327:
5278:
5233:
5134:
5091:
4912:-point correlation function of primary fields is
4904:
4876:
4840:
4795:
4753:
4713:
4666:
4630:
4575:
4356:
4177:
4088:
4047:
3845:
3811:
3687:
3576:
3477:
3457:
3432:
3408:
3380:
3347:
3163:
3116:
3079:
3055:
3033:
2927:
2352:
2304:
2274:
1794:(for Dorn–Otto and Zamolodchikov–Zamolodchikov),
1782:
1733:
1713:
1690:
1649:
1623:
1415:
1330:
1272:
1230:
1194:
1134:
1087:
1027:
964:
926:
892:
761:
710:
662:
612:
585:
562:
508:
457:
413:
380:
368:Reflection of an energy eigenvector with momentum
353:
333:
308:. In a free field theory, the energy eigenvectors
296:
273:
212:
173:
131:
76:
4674:is a primary field with the conformal dimension
3151:the correlation functions depend analytically on
769:of Liouville theory is a diagonal combination of
7067:Strominger, Andrew; Takayanagi, Tadashi (2003).
6984:. Cambridge University Press. pp. 323–325.
5903:. The theory also appears as the description of
1158:In Liouville theory, primary fields are usually
224:due to the presence of an exponential potential
7069:"Correlators in Timelike Bulk Liouville Theory"
965:{\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}
5500:Liouville theory is the simplest example of a
8031:
7224:
5279:{\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}
5158:Relations with other conformal field theories
4641:For both of these Virasoro algebras, a field
4586:Each one of these two components generates a
1338:, and are related by the reflection relation
663:{\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha )\ .}
274:{\displaystyle V(\varphi )=e^{2b\varphi }\ ,}
8:
388:off Liouville theory's exponential potential
184:Although it is an interacting theory with a
5895:Liouville theory appears in the context of
4714:{\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha ).}
1721:otherwise, and the normalization parameter
1101:Liouville theory is unitary if and only if
341:are linearly independent, and the momentum
8128:
8038:
8024:
8016:
7231:
7217:
7209:
7201:, Talk at Institute for Advanced Study by
5907:in two spacetime dimensions with a linear
5294:Liouville theory can be obtained from the
5146:of correlation functions at some of their
4449:
4296:
4255:
3485:that appears in correlation functions by
7145:
7084:
7019:
6914:
6848:
6784:
6739:
6721:
6710:International Journal of Modern Physics A
6668:
6615:
6562:
6506:
6477:
6456:
6435:
6425:
6368:
6339:
6291:
6280:International Journal of Modern Physics A
6238:
6178:
6122:
6093:
6031:
5932:
5835:
5823:
5791:
5721:
5708:
5690:
5668:
5651:
5608:
5607:
5605:
5578:
5577:
5575:
5539:
5515:
5509:
5476:
5471:
5465:
5444:
5435:
5429:
5420:
5398:
5397:
5388:
5379:
5358:
5353:
5347:
5342:. Moreover, correlation functions of the
5318:
5317:
5308:
5299:
5267:
5263:
5262:
5252:
5246:
5222:
5218:
5217:
5207:
5196:
5195:
5186:
5180:
5123:
5111:
5072:
5056:
5048:
5038:
5027:
5005:
4972:
4957:
4952:
4942:
4931:
4920:
4897:
4862:
4856:
4828:
4814:
4773:
4739:
4733:
4682:
4652:
4646:
4619:
4598:
4558:
4547:
4546:
4530:
4511:
4510:
4487:
4486:
4475:
4474:
4473:
4455:
4454:
4440:
4435:
4419:
4406:
4387:
4375:
4329:
4328:
4317:
4316:
4315:
4305:
4281:
4265:
4264:
4233:
4232:
4231:
4211:
4210:
4206:
4200:
4161:
4160:
4142:
4129:
4113:
4107:
4081:
4028:
4015:
3998:
3971:
3958:
3934:
3929:
3915:
3909:
3897:
3892:
3878:
3872:
3865:
3834:
3828:
3800:
3787:
3773:
3769:
3764:
3755:
3746:
3732:
3725:
3720:
3711:
3703:
3658:
3615:
3595:
3565:
3549:
3528:
3509:
3493:
3470:
3445:
3425:
3401:
3369:
3363:
3324:
3288:
3275:
3262:
3248:
3247:
3238:
3216:
3199:
3188:Liouville theory is defined by the local
3156:
3124:. Technically, this is equivalent to the
3103:
3072:
3048:
2989:
2979:
2961:
2950:
2949:
2946:
2907:
2894:
2881:
2868:
2857:
2856:
2846:
2833:
2820:
2807:
2796:
2795:
2785:
2772:
2759:
2746:
2735:
2734:
2718:
2705:
2692:
2679:
2668:
2667:
2655:
2639:
2628:
2627:
2617:
2601:
2590:
2589:
2579:
2563:
2552:
2551:
2535:
2524:
2523:
2514:
2501:
2488:
2477:
2448:
2447:
2425:
2414:
2401:
2388:
2383:
2372:
2371:
2368:
2324:
2296:
2290:
2254:
2241:
2228:
2215:
2202:
2189:
2176:
2163:
2150:
2137:
2124:
2111:
2092:
2079:
2066:
2053:
2038:
2022:
2009:
1993:
1980:
1964:
1942:
1930:
1917:
1904:
1893:
1864:
1863:
1850:
1839:
1826:
1813:
1808:
1802:
1754:
1726:
1703:
1662:
1639:
1581:
1512:
1473:
1458:
1434:
1386:
1352:
1346:
1322:
1311:
1309:
1308:
1298:
1292:
1291:
1288:
1249:
1243:
1213:
1207:
1177:
1171:
1106:
1076:
1072:
1071:
1054:
1046:
1019:
1015:
1014:
992:
984:
956:
945:
943:
942:
939:
918:
912:
911:
908:
878:
867:
865:
864:
854:
848:
847:
829:
825:
824:
802:
801:
788:
787:
785:
753:
752:
750:
692:
684:
628:
605:
578:
548:
527:
490:
476:
432:
397:
373:
346:
319:
313:
289:
253:
232:
205:
154:
100:
69:
2360:, the three-point structure constant is
927:{\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }}
6544:
6542:
6083:
6081:
6079:
6077:
6073:
4892:The path integral representation of an
1280:correspond to the primary state of the
458:{\displaystyle \alpha \to Q-\alpha \ ,}
8116:Two-dimensional conformal field theory
6220:
6218:
6216:
6214:
5566:Liouville theory admits two different
3440:is the Liouville field. The parameter
1745:Correlation functions and DOZZ formula
711:{\displaystyle b\to {\frac {1}{b}}\ ,}
44:two-dimensional conformal field theory
27:Two-dimensional conformal field theory
5818:, and it is formally invariant under
5786:is known in the weak coupling regime
4765:, i.e. have the conformal dimension
509:{\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}\ .}
7:
7134:Theoretical and Mathematical Physics
6160:
6158:
5600:supersymmetric Liouville theory and
5408:{\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}
5374:model (the Euclidean version of the
5328:{\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}
5150:as Dotsenko–Fateev integrals in the
4667:{\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}
1783:{\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}
1426:where the reflection coefficient is
1162:by their momentum rather than their
334:{\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}
57:Liouville theory is defined for all
7199:An Introduction to Liouville Theory
7195:article by Charlie Wood, June 2021.
6833:"Dilaton Gravity in Two Dimensions"
4761:that appears in the action must be
3396:on which the theory is formulated,
5718:
5705:
5558:rather than the Virasoro algebra.
5554:, and whose symmetry algebras are
4841:{\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}}
4775:
4684:
4543:
4507:
4432:
4403:
4302:
4261:
3922:
3912:
3885:
3875:
3797:
3743:
3705:
3597:
3539:
3512:
3285:
3272:
2986:
2952:
2859:
2798:
2737:
2670:
2630:
2592:
2554:
2526:
2338:
2293:
2212:
2160:
2108:
2050:
2019:
1990:
1961:
1939:
1768:
1676:
1575:
1545:
1506:
1476:
1323:
1299:
1126:
986:
957:
919:
879:
855:
840:
733:Spectrum and correlation functions
630:
607:
408:
192:has been determined analytically.
165:
132:{\displaystyle c\in (1,+\infty ),}
120:
25:
8611:Template:Quantum mechanics topics
5875:, so Liouville theory provides a
5630:supersymmetric Liouville theory.
4367:The non-vanishing components are
2353:{\displaystyle c\in (-\infty ,1)}
1691:{\displaystyle c\in (-\infty ,1)}
1135:{\displaystyle c\in (1,+\infty )}
414:{\displaystyle \varphi =+\infty }
8606:
8605:
8000:
7999:
5634:Relations with integrable models
5623:{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
5593:{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
1273:{\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)}
468:where the background charge is
5562:Supersymmetric Liouville theory
5163:Some limits of Liouville theory
4453:
4300:
4259:
7949:Relativistic quantum mechanics
6773:Journal of High Energy Physics
6657:Journal of High Energy Physics
6604:Journal of High Energy Physics
6551:Journal of High Energy Physics
6495:Journal of High Energy Physics
6387:10.1016/j.physletb.2010.01.036
6227:Journal of High Energy Physics
6001:in a certain four-dimensional
5828:
5754:
5742:
5662:
5656:
5402:
5394:
5322:
5314:
5213:
5116:
5078:
5065:
5018:
5012:
4978:
4965:
4877:{\displaystyle e^{2b\varphi }}
4784:
4778:
4754:{\displaystyle e^{2b\varphi }}
4705:
4693:
4552:
4527:
4516:
4503:
4492:
4480:
4460:
4416:
4399:
4334:
4322:
4270:
4238:
4216:
4166:
4034:
4008:
3977:
3951:
3806:
3765:
3756:
3752:
3721:
3712:
3674:
3668:
3637:
3631:
3609:
3603:
3555:
3542:
3534:
3515:
3336:
3255:
3210:
3204:
3136:Uniqueness of Liouville theory
3019:
2998:
2973:
2967:
2955:
2913:
2874:
2862:
2852:
2813:
2801:
2791:
2752:
2740:
2730:
2685:
2673:
2661:
2645:
2633:
2623:
2607:
2595:
2585:
2569:
2557:
2547:
2541:
2529:
2444:
2434:
2377:
2347:
2332:
2260:
2221:
2208:
2169:
2156:
2117:
2104:
2059:
2044:
2028:
2015:
1999:
1986:
1970:
1957:
1951:
1777:
1762:
1685:
1670:
1609:
1606:
1591:
1578:
1572:
1569:
1554:
1548:
1540:
1537:
1522:
1509:
1503:
1500:
1485:
1479:
1445:
1439:
1404:
1398:
1379:
1373:
1364:
1358:
1316:
1267:
1261:
1231:{\displaystyle V_{\alpha }(z)}
1225:
1219:
1195:{\displaystyle V_{\alpha }(z)}
1189:
1183:
1154:Fields and reflection relation
1129:
1114:
950:
872:
762:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
689:
651:
639:
437:
243:
237:
174:{\displaystyle c\to +\infty .}
159:
123:
108:
1:
7927:Quantum statistical mechanics
7704:Quantum differential calculus
7626:Delayed-choice quantum eraser
7394:Symmetry in quantum mechanics
6867:10.1016/S0370-1573(02)00267-3
6687:10.1088/1126-6708/2008/05/073
6634:10.1088/1126-6708/2007/10/064
6581:10.1088/1126-6708/2005/06/014
6525:10.1088/1126-6708/2003/11/043
5953:, and certain log-correlated
4796:{\displaystyle \Delta (b)=1.}
3184:Action and equation of motion
2305:{\displaystyle \Upsilon _{b}}
563:{\displaystyle c=1+6Q^{2}\ .}
6964:10.1016/0370-2693(81)90743-7
6197:10.1016/0550-3213(96)00351-3
6141:10.1016/0550-3213(94)00352-1
6056:. It has also been called a
5453:{\displaystyle SL_{2}/U_{1}}
3846:{\displaystyle g_{\mu \nu }}
3381:{\displaystyle g_{\mu \nu }}
8575:Quantum information science
7729:Quantum stochastic calculus
7719:Quantum measurement problem
7641:Mach–Zehnder interferometer
6897:"Ramifications of Lineland"
5847:{\displaystyle b\to b^{-1}}
5811:{\displaystyle 0<b<1}
5135:{\displaystyle b\to b^{-1}}
4806:This leads to the relation
4631:{\displaystyle c=1+6Q^{2}.}
3857:, this equation reduces to
2285:where the special function
1148:operator product expansions
8656:
7103:10.4310/atmp.2003.v7.n2.a6
7038:10.1103/PhysRevE.97.042111
6902:Turkish Journal of Physics
5340:Drinfeld–Sokolov reduction
8600:
7995:
7789:Quantum complexity theory
7767:Quantum cellular automata
7457:Path integral formulation
7164:10.1007/s11232-005-0048-3
6750:10.1142/S0217751X04019500
6310:10.1142/S0217751X04020567
6058:generalized minimal model
6054:timelike Liouville theory
5901:path integral formulation
5885:Jackiw–Teitelboim gravity
5877:quantum theory of gravity
5485:{\displaystyle H_{3}^{+}}
5367:{\displaystyle H_{3}^{+}}
4590:with the central charge
4075:complex coordinate system
3821:Laplace–Beltrami operator
3458:{\displaystyle \lambda '}
86:Virasoro symmetry algebra
7856:Quantum machine learning
7836:Quantum key distribution
7826:Quantum image processing
7816:Quantum error correction
7666:Wheeler's delayed choice
6839:(Submitted manuscript).
5994:. It is also related to
5990:, and other problems in
5946:{\displaystyle c\geq 25}
5547:{\displaystyle \varphi }
5336:Wess–Zumino–Witten model
3478:{\displaystyle \lambda }
3433:{\displaystyle \varphi }
3174:degenerate fields exist.
1734:{\displaystyle \lambda }
213:{\displaystyle \varphi }
8271:2D free massless scalar
8164:Quantum electrodynamics
8091:QFT in curved spacetime
7772:Quantum finite automata
6803:10.1007/JHEP05(2022)022
6437:10.1007/JHEP10(2022)110
6257:10.1007/JHEP08(2015)109
6045:{\displaystyle c\leq 1}
5867:In two dimensions, the
4724:For the theory to have
4058:which is equivalent to
3117:{\displaystyle g\geq 1}
2314:multiple gamma function
613:{\displaystyle \Delta }
586:{\displaystyle \alpha }
381:{\displaystyle \alpha }
354:{\displaystyle \alpha }
50:is a generalization of
8630:Conformal field theory
8592:Quantum thermodynamics
8516:On shell and off shell
8511:Loop quantum cosmology
8353:N = 4 super Yang–Mills
8312:N = 1 super Yang–Mills
8179:Scalar electrodynamics
8169:Quantum chromodynamics
8071:Conformal field theory
8047:Quantum field theories
7876:Quantum neural network
7073:Adv. Theor. Math. Phys
6060:. It was first called
6046:
6026:Liouville theory with
5984:uniformization problem
5947:
5848:
5812:
5769:
5624:
5594:
5548:
5525:
5486:
5454:
5409:
5368:
5329:
5280:
5235:
5136:
5093:
5043:
4947:
4906:
4878:
4842:
4797:
4755:
4715:
4668:
4632:
4577:
4358:
4190:energy–momentum tensor
4179:
4090:
4049:
3847:
3813:
3689:
3578:
3479:
3459:
3434:
3410:
3382:
3349:
3179:Lagrangian formulation
3165:
3118:
3081:
3057:
3035:
2929:
2354:
2306:
2276:
1784:
1735:
1715:
1692:
1651:
1625:
1417:
1332:
1274:
1232:
1196:
1136:
1089:
1029:
966:
928:
894:
763:
712:
664:
614:
587:
564:
510:
459:
415:
389:
382:
355:
335:
298:
275:
214:
175:
133:
78:
36:Liouville field theory
8640:Differential geometry
8565:Quantum hydrodynamics
8560:Quantum hadrodynamics
8184:Scalar chromodynamics
7901:Quantum teleportation
7414:Wave–particle duality
6047:
6016:Naming confusion for
5948:
5905:bosonic string theory
5849:
5813:
5770:
5625:
5595:
5549:
5526:
5524:{\displaystyle A_{1}}
5496:Conformal Toda theory
5487:
5455:
5410:
5369:
5330:
5281:
5236:
5152:Coulomb gas formalism
5137:
5094:
5023:
4927:
4907:
4879:
4843:
4798:
4756:
4716:
4669:
4633:
4578:
4359:
4180:
4091:
4050:
3848:
3814:
3690:
3579:
3480:
3460:
3435:
3411:
3394:two-dimensional space
3383:
3350:
3166:
3119:
3082:
3058:
3036:
2930:
2355:
2307:
2277:
1785:
1736:
1716:
1693:
1652:
1626:
1418:
1333:
1275:
1233:
1197:
1137:
1090:
1030:
967:
929:
895:
764:
723:correlation functions
713:
665:
615:
588:
565:
511:
460:
416:
383:
367:
356:
336:
299:
276:
215:
176:
134:
79:
8536:Quantum fluctuations
8506:Loop quantum gravity
8076:Lattice field theory
7932:Quantum field theory
7861:Quantum metamaterial
7806:Quantum cryptography
7536:Consistent histories
6827:; Kummer, Wolfgang;
6716:(17n18): 2771–2930.
6030:
5955:random energy models
5931:
5923:Random energy models
5873:Liouville's equation
5822:
5790:
5780:sinh-Gordon equation
5650:
5604:
5574:
5538:
5508:
5504:, associated to the
5464:
5419:
5378:
5346:
5298:
5245:
5179:
5110:
5104:conformal invariance
4919:
4896:
4855:
4813:
4772:
4732:
4726:conformal invariance
4681:
4645:
4597:
4374:
4199:
4106:
4080:
4060:Liouville's equation
3864:
3827:
3702:
3594:
3492:
3469:
3444:
3424:
3400:
3362:
3198:
3155:
3102:
3071:
3047:
2945:
2367:
2323:
2289:
1801:
1753:
1725:
1702:
1661:
1638:
1433:
1345:
1287:
1242:
1206:
1170:
1105:
1045:
983:
938:
907:
784:
749:
683:
627:
604:
577:
526:
475:
431:
396:
372:
345:
312:
288:
284:where the parameter
231:
204:
153:
99:
68:
52:Liouville's equation
8570:Quantum information
8174:Quartic interaction
7917:Quantum fluctuation
7886:Quantum programming
7846:Quantum logic gates
7831:Quantum information
7811:Quantum electronics
7271:Classical mechanics
7156:2005TMP...142..183Z
7095:2003hep.th....3221S
7030:2018PhRvE..97d2111C
6956:1981PhLB..103..207P
6925:2006TJPh...30..349G
6859:2002PhR...369..327G
6829:Vassilevich, Dmitri
6795:2022JHEP...05..022B
6732:2004IJMPA..19.2771N
6679:2008JHEP...05..073R
6626:2007JHEP...10..064H
6573:2005JHEP...06..014R
6517:2003JHEP...11..043S
6414:J. High Energy Phys
6379:2010PhLB..685...79H
6302:2004IJMPA..19S.436T
6249:2015JHEP...08..109R
6189:1996NuPhB.477..577Z
6133:1994NuPhB......375D
5999:partition functions
5959:Gaussian free field
5481:
5363:
4563:
4445:
4192:'s components obey
3939:
3902:
3420:of that space, and
3142:conformal bootstrap
1950:
1164:conformal dimension
599:conformal dimension
186:continuous spectrum
8456:Nambu–Jona-Lasinio
8384:Higher dimensional
8291:Wess–Zumino–Witten
8081:Noncommutative QFT
7970:in popular culture
7752:Quantum algorithms
7600:Von Neumann–Wigner
7580:Objective collapse
7276:Old quantum theory
6931:on 22 August 2011.
6042:
6010:AGT correspondence
5976:general relativity
5970:Other applications
5943:
5869:Einstein equations
5844:
5808:
5765:
5620:
5590:
5570:extensions called
5544:
5521:
5482:
5467:
5450:
5405:
5364:
5349:
5325:
5276:
5231:
5132:
5089:
4902:
4874:
4838:
4793:
4751:
4711:
4664:
4628:
4573:
4542:
4431:
4354:
4175:
4086:
4069:Conformal symmetry
4045:
3925:
3888:
3843:
3809:
3685:
3574:
3475:
3455:
3430:
3406:
3378:
3345:
3161:
3126:modular invariance
3114:
3077:
3053:
3031:
2925:
2350:
2302:
2272:
1938:
1780:
1731:
1714:{\displaystyle -1}
1711:
1688:
1650:{\displaystyle +1}
1647:
1621:
1413:
1328:
1270:
1228:
1192:
1132:
1085:
1025:
962:
924:
890:
759:
708:
660:
610:
583:
560:
506:
455:
411:
390:
378:
351:
331:
294:
271:
210:
171:
129:
74:
48:equation of motion
8617:
8616:
8479:
8478:
8013:
8012:
7987:Quantum mysticism
7965:Schrödinger's cat
7896:Quantum simulator
7866:Quantum metrology
7794:Quantum computing
7757:Quantum amplifier
7734:Quantum spacetime
7699:Quantum cosmology
7689:Quantum chemistry
7389:Scattering theory
7337:Zero-point energy
7332:Degenerate levels
7240:Quantum mechanics
7008:Physical Review E
6944:Physics Letters B
6889:Grumiller, Daniel
6825:Grumiller, Daniel
6357:Physics Letters B
6167:Nuclear Physics B
5992:conformal mapping
5863:Liouville gravity
5681:
5639:Sinh-Gordon model
5502:Toda field theory
5085:
5000:
4905:{\displaystyle N}
4836:
4569:
4555:
4519:
4495:
4483:
4463:
4350:
4337:
4325:
4273:
4241:
4219:
4169:
4089:{\displaystyle z}
4041:
3941:
3904:
3681:
3623:
3559:
3409:{\displaystyle R}
3341:
3253:
3229:
3164:{\displaystyle b}
3089:crossing symmetry
3080:{\displaystyle N}
3056:{\displaystyle N}
3027:
3023:
2958:
2921:
2917:
2865:
2804:
2743:
2676:
2636:
2598:
2560:
2532:
2456:
2380:
2268:
2264:
1872:
1617:
1613:
1589:
1520:
1409:
1319:
1062:
1008:
953:
886:
875:
845:
818:
704:
700:
656:
556:
502:
498:
451:
306:coupling constant
297:{\displaystyle b}
267:
77:{\displaystyle c}
16:(Redirected from
8647:
8609:
8608:
8526:Quantum dynamics
8199:Yang–Mills–Higgs
8154:Non-linear sigma
8144:Euler–Heisenberg
8129:
8040:
8033:
8026:
8017:
8003:
8002:
7714:Quantum geometry
7709:Quantum dynamics
7566:Superdeterminism
7498:Rarita–Schwinger
7447:Matrix mechanics
7302:Bra–ket notation
7233:
7226:
7219:
7210:
7176:
7175:
7149:
7129:
7123:
7122:
7088:
7064:
7058:
7057:
7023:
7002:
6996:
6995:
6974:
6968:
6967:
6939:
6933:
6932:
6927:. Archived from
6918:
6885:
6879:
6878:
6852:
6831:(October 2002).
6821:
6815:
6814:
6788:
6768:
6762:
6761:
6743:
6725:
6705:
6699:
6698:
6672:
6652:
6646:
6645:
6619:
6599:
6593:
6592:
6566:
6546:
6537:
6536:
6510:
6490:
6484:
6483:
6481:
6469:
6463:
6462:
6460:
6448:
6442:
6441:
6439:
6429:
6405:
6399:
6398:
6372:
6352:
6346:
6345:
6343:
6331:
6322:
6321:
6295:
6275:
6269:
6268:
6242:
6222:
6209:
6208:
6182:
6162:
6153:
6152:
6126:
6106:
6100:
6099:
6097:
6085:
6062:Liouville theory
6051:
6049:
6048:
6043:
6022:
5988:Riemann surfaces
5952:
5950:
5949:
5944:
5853:
5851:
5850:
5845:
5843:
5842:
5817:
5815:
5814:
5809:
5774:
5772:
5771:
5766:
5761:
5757:
5726:
5725:
5713:
5712:
5695:
5694:
5682:
5680:
5669:
5629:
5627:
5626:
5621:
5613:
5612:
5599:
5597:
5596:
5591:
5583:
5582:
5553:
5551:
5550:
5545:
5530:
5528:
5527:
5522:
5520:
5519:
5491:
5489:
5488:
5483:
5480:
5475:
5459:
5457:
5456:
5451:
5449:
5448:
5439:
5434:
5433:
5414:
5412:
5411:
5406:
5401:
5393:
5392:
5373:
5371:
5370:
5365:
5362:
5357:
5334:
5332:
5331:
5326:
5321:
5313:
5312:
5285:
5283:
5282:
5277:
5275:
5274:
5266:
5257:
5256:
5240:
5238:
5237:
5232:
5230:
5229:
5221:
5212:
5211:
5199:
5191:
5190:
5141:
5139:
5138:
5133:
5131:
5130:
5098:
5096:
5095:
5090:
5083:
5082:
5081:
5077:
5076:
5061:
5060:
5042:
5037:
5022:
5021:
4998:
4985:
4981:
4977:
4976:
4964:
4963:
4962:
4961:
4946:
4941:
4911:
4909:
4908:
4903:
4883:
4881:
4880:
4875:
4873:
4872:
4847:
4845:
4844:
4839:
4837:
4829:
4802:
4800:
4799:
4794:
4760:
4758:
4757:
4752:
4750:
4749:
4720:
4718:
4717:
4712:
4673:
4671:
4670:
4665:
4663:
4662:
4637:
4635:
4634:
4629:
4624:
4623:
4588:Virasoro algebra
4582:
4580:
4579:
4574:
4567:
4562:
4557:
4556:
4548:
4535:
4534:
4522:
4521:
4520:
4512:
4499:
4498:
4497:
4496:
4488:
4485:
4484:
4476:
4465:
4464:
4456:
4444:
4439:
4424:
4423:
4411:
4410:
4395:
4394:
4363:
4361:
4360:
4355:
4348:
4341:
4340:
4339:
4338:
4330:
4327:
4326:
4318:
4310:
4309:
4289:
4288:
4276:
4275:
4274:
4266:
4248:
4247:
4243:
4242:
4234:
4223:
4222:
4221:
4220:
4212:
4184:
4182:
4181:
4176:
4171:
4170:
4162:
4147:
4146:
4134:
4133:
4121:
4120:
4098:Euclidean metric
4095:
4093:
4092:
4087:
4054:
4052:
4051:
4046:
4039:
4038:
4037:
4033:
4032:
4020:
4019:
3990:
3976:
3975:
3963:
3962:
3947:
3943:
3942:
3940:
3938:
3933:
3920:
3919:
3910:
3905:
3903:
3901:
3896:
3883:
3882:
3873:
3855:Euclidean metric
3852:
3850:
3849:
3844:
3842:
3841:
3818:
3816:
3815:
3810:
3805:
3804:
3795:
3794:
3782:
3781:
3777:
3768:
3759:
3751:
3750:
3741:
3740:
3736:
3724:
3715:
3694:
3692:
3691:
3686:
3679:
3678:
3677:
3650:
3624:
3616:
3583:
3581:
3580:
3575:
3570:
3569:
3560:
3558:
3554:
3553:
3537:
3533:
3532:
3510:
3502:
3484:
3482:
3481:
3476:
3464:
3462:
3461:
3456:
3454:
3439:
3437:
3436:
3431:
3415:
3413:
3412:
3407:
3387:
3385:
3384:
3379:
3377:
3376:
3354:
3352:
3351:
3346:
3339:
3335:
3334:
3319:
3293:
3292:
3280:
3279:
3270:
3269:
3254:
3249:
3243:
3242:
3230:
3228:
3217:
3171:and the momenta,
3170:
3168:
3167:
3162:
3123:
3121:
3120:
3115:
3086:
3084:
3083:
3078:
3065:conformal blocks
3062:
3060:
3059:
3054:
3040:
3038:
3037:
3032:
3025:
3024:
3022:
2997:
2996:
2980:
2966:
2965:
2960:
2959:
2951:
2934:
2932:
2931:
2926:
2919:
2918:
2916:
2912:
2911:
2899:
2898:
2886:
2885:
2873:
2872:
2867:
2866:
2858:
2851:
2850:
2838:
2837:
2825:
2824:
2812:
2811:
2806:
2805:
2797:
2790:
2789:
2777:
2776:
2764:
2763:
2751:
2750:
2745:
2744:
2736:
2723:
2722:
2710:
2709:
2697:
2696:
2684:
2683:
2678:
2677:
2669:
2664:
2660:
2659:
2644:
2643:
2638:
2637:
2629:
2622:
2621:
2606:
2605:
2600:
2599:
2591:
2584:
2583:
2568:
2567:
2562:
2561:
2553:
2540:
2539:
2534:
2533:
2525:
2521:
2520:
2519:
2518:
2506:
2505:
2493:
2492:
2476:
2472:
2468:
2467:
2457:
2449:
2426:
2421:
2420:
2419:
2418:
2406:
2405:
2393:
2392:
2382:
2381:
2373:
2359:
2357:
2356:
2351:
2311:
2309:
2308:
2303:
2301:
2300:
2281:
2279:
2278:
2273:
2266:
2265:
2263:
2259:
2258:
2246:
2245:
2233:
2232:
2220:
2219:
2207:
2206:
2194:
2193:
2181:
2180:
2168:
2167:
2155:
2154:
2142:
2141:
2129:
2128:
2116:
2115:
2097:
2096:
2084:
2083:
2071:
2070:
2058:
2057:
2047:
2043:
2042:
2027:
2026:
2014:
2013:
1998:
1997:
1985:
1984:
1969:
1968:
1946:
1937:
1936:
1935:
1934:
1922:
1921:
1909:
1908:
1892:
1888:
1884:
1883:
1873:
1865:
1851:
1846:
1845:
1844:
1843:
1831:
1830:
1818:
1817:
1789:
1787:
1786:
1781:
1740:
1738:
1737:
1732:
1720:
1718:
1717:
1712:
1697:
1695:
1694:
1689:
1656:
1654:
1653:
1648:
1630:
1628:
1627:
1622:
1615:
1614:
1612:
1590:
1582:
1543:
1521:
1513:
1474:
1472:
1471:
1422:
1420:
1419:
1414:
1407:
1397:
1396:
1357:
1356:
1337:
1335:
1334:
1329:
1327:
1326:
1321:
1320:
1315:
1310:
1303:
1302:
1297:
1296:
1279:
1277:
1276:
1271:
1260:
1259:
1237:
1235:
1234:
1229:
1218:
1217:
1201:
1199:
1198:
1193:
1182:
1181:
1141:
1139:
1138:
1133:
1094:
1092:
1091:
1086:
1081:
1080:
1075:
1063:
1055:
1038:corresponds to
1034:
1032:
1031:
1026:
1024:
1023:
1018:
1009:
1004:
993:
971:
969:
968:
963:
961:
960:
955:
954:
949:
944:
933:
931:
930:
925:
923:
922:
917:
916:
899:
897:
896:
891:
884:
883:
882:
877:
876:
871:
866:
859:
858:
853:
852:
843:
836:
835:
834:
833:
828:
819:
814:
803:
793:
792:
775:Virasoro algebra
768:
766:
765:
760:
758:
757:
717:
715:
714:
709:
702:
701:
693:
669:
667:
666:
661:
654:
619:
617:
616:
611:
593:transforms as a
592:
590:
589:
584:
569:
567:
566:
561:
554:
553:
552:
515:
513:
512:
507:
500:
499:
491:
464:
462:
461:
456:
449:
420:
418:
417:
412:
387:
385:
384:
379:
360:
358:
357:
352:
340:
338:
337:
332:
330:
329:
303:
301:
300:
295:
280:
278:
277:
272:
265:
264:
263:
219:
217:
216:
211:
180:
178:
177:
172:
138:
136:
135:
130:
83:
81:
80:
75:
46:whose classical
40:Liouville theory
21:
18:Liouville theory
8655:
8654:
8650:
8649:
8648:
8646:
8645:
8644:
8620:
8619:
8618:
8613:
8596:
8548:Quantum gravity
8475:
8434:Particle theory
8429:
8408:
8357:
8331:
8295:
8259:
8213:Low dimensional
8208:
8149:Ginzburg–Landau
8120:
8111:Topological QFT
8049:
8044:
8014:
8009:
7991:
7977:Wigner's friend
7953:
7944:Quantum gravity
7905:
7891:Quantum sensing
7871:Quantum network
7851:Quantum machine
7821:Quantum imaging
7784:Quantum circuit
7779:Quantum channel
7738:
7684:Quantum biology
7670:
7646:Elitzur–Vaidman
7621:Davisson–Germer
7604:
7556:Hidden-variable
7546:de Broglie–Bohm
7523:Interpretations
7517:
7466:
7420:
7307:Complementarity
7285:
7242:
7237:
7203:Antti Kupiainen
7193:Quanta Magazine
7185:
7180:
7179:
7131:
7130:
7126:
7066:
7065:
7061:
7004:
7003:
6999:
6992:
6976:
6975:
6971:
6941:
6940:
6936:
6887:
6886:
6882:
6837:Physics Reports
6823:
6822:
6818:
6770:
6769:
6765:
6741:10.1.1.266.6964
6707:
6706:
6702:
6654:
6653:
6649:
6601:
6600:
6596:
6548:
6547:
6540:
6492:
6491:
6487:
6471:
6470:
6466:
6450:
6449:
6445:
6407:
6406:
6402:
6354:
6353:
6349:
6333:
6332:
6325:
6277:
6276:
6272:
6224:
6223:
6212:
6164:
6163:
6156:
6108:
6107:
6103:
6087:
6086:
6075:
6070:
6028:
6027:
6024:
6017:
5972:
5929:
5928:
5925:
5917:Polyakov action
5893:
5865:
5860:
5831:
5820:
5819:
5788:
5787:
5717:
5704:
5703:
5699:
5686:
5673:
5648:
5647:
5641:
5636:
5602:
5601:
5572:
5571:
5564:
5536:
5535:
5511:
5506:
5505:
5498:
5462:
5461:
5440:
5425:
5417:
5416:
5384:
5376:
5375:
5344:
5343:
5304:
5296:
5295:
5292:
5261:
5248:
5243:
5242:
5216:
5203:
5182:
5177:
5176:
5165:
5160:
5119:
5108:
5107:
5068:
5052:
5044:
5001:
4968:
4953:
4948:
4926:
4922:
4917:
4916:
4894:
4893:
4890:
4858:
4853:
4852:
4811:
4810:
4770:
4769:
4735:
4730:
4729:
4679:
4678:
4648:
4643:
4642:
4615:
4595:
4594:
4526:
4506:
4469:
4415:
4402:
4383:
4372:
4371:
4311:
4301:
4277:
4260:
4227:
4202:
4197:
4196:
4138:
4125:
4109:
4104:
4103:
4078:
4077:
4071:
4024:
4011:
3994:
3983:
3967:
3954:
3921:
3911:
3884:
3874:
3871:
3867:
3862:
3861:
3830:
3825:
3824:
3796:
3783:
3763:
3742:
3719:
3700:
3699:
3654:
3643:
3592:
3591:
3561:
3545:
3538:
3524:
3511:
3495:
3490:
3489:
3467:
3466:
3447:
3442:
3441:
3422:
3421:
3398:
3397:
3365:
3360:
3359:
3320:
3312:
3284:
3271:
3258:
3234:
3221:
3196:
3195:
3186:
3181:
3153:
3152:
3138:
3100:
3099:
3096:Riemann surface
3069:
3068:
3045:
3044:
2985:
2984:
2948:
2943:
2942:
2903:
2890:
2877:
2855:
2842:
2829:
2816:
2794:
2781:
2768:
2755:
2733:
2714:
2701:
2688:
2666:
2665:
2651:
2626:
2613:
2588:
2575:
2550:
2522:
2510:
2497:
2484:
2443:
2433:
2429:
2428:
2427:
2410:
2397:
2384:
2370:
2365:
2364:
2321:
2320:
2292:
2287:
2286:
2250:
2237:
2224:
2211:
2198:
2185:
2172:
2159:
2146:
2133:
2120:
2107:
2088:
2075:
2062:
2049:
2048:
2034:
2018:
2005:
1989:
1976:
1960:
1926:
1913:
1900:
1859:
1858:
1854:
1853:
1852:
1835:
1822:
1809:
1804:
1799:
1798:
1751:
1750:
1747:
1741:is arbitrary.)
1723:
1722:
1700:
1699:
1659:
1658:
1636:
1635:
1544:
1475:
1454:
1431:
1430:
1382:
1348:
1343:
1342:
1307:
1290:
1285:
1284:
1245:
1240:
1239:
1209:
1204:
1203:
1173:
1168:
1167:
1156:
1103:
1102:
1070:
1043:
1042:
1013:
994:
981:
980:
941:
936:
935:
910:
905:
904:
863:
846:
823:
804:
797:
782:
781:
747:
746:
740:
735:
681:
680:
625:
624:
602:
601:
575:
574:
544:
524:
523:
473:
472:
429:
428:
394:
393:
370:
369:
343:
342:
315:
310:
309:
286:
285:
249:
229:
228:
202:
201:
198:
151:
150:
144:classical limit
97:
96:
66:
65:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
8653:
8651:
8643:
8642:
8637:
8632:
8622:
8621:
8615:
8614:
8601:
8598:
8597:
8595:
8594:
8589:
8584:
8583:
8582:
8572:
8567:
8562:
8557:
8556:
8555:
8545:
8544:
8543:
8533:
8528:
8523:
8518:
8513:
8508:
8503:
8498:
8493:
8491:Casimir effect
8487:
8485:
8481:
8480:
8477:
8476:
8474:
8473:
8468:
8466:Standard Model
8463:
8458:
8453:
8448:
8443:
8437:
8435:
8431:
8430:
8428:
8427:
8422:
8416:
8414:
8410:
8409:
8407:
8406:
8401:
8396:
8391:
8386:
8381:
8376:
8371:
8365:
8363:
8359:
8358:
8356:
8355:
8350:
8345:
8339:
8337:
8336:Superconformal
8333:
8332:
8330:
8329:
8324:
8319:
8317:Seiberg–Witten
8314:
8309:
8303:
8301:
8300:Supersymmetric
8297:
8296:
8294:
8293:
8288:
8283:
8278:
8273:
8267:
8265:
8261:
8260:
8258:
8257:
8252:
8247:
8242:
8237:
8232:
8227:
8222:
8216:
8214:
8210:
8209:
8207:
8206:
8201:
8196:
8191:
8186:
8181:
8176:
8171:
8166:
8161:
8156:
8151:
8146:
8141:
8135:
8133:
8126:
8122:
8121:
8119:
8118:
8113:
8108:
8103:
8098:
8093:
8088:
8083:
8078:
8073:
8068:
8063:
8057:
8055:
8051:
8050:
8045:
8043:
8042:
8035:
8028:
8020:
8011:
8010:
8008:
8007:
7996:
7993:
7992:
7990:
7989:
7984:
7979:
7974:
7973:
7972:
7961:
7959:
7955:
7954:
7952:
7951:
7946:
7941:
7940:
7939:
7929:
7924:
7922:Casimir effect
7919:
7913:
7911:
7907:
7906:
7904:
7903:
7898:
7893:
7888:
7883:
7881:Quantum optics
7878:
7873:
7868:
7863:
7858:
7853:
7848:
7843:
7838:
7833:
7828:
7823:
7818:
7813:
7808:
7803:
7802:
7801:
7791:
7786:
7781:
7776:
7775:
7774:
7764:
7759:
7754:
7748:
7746:
7740:
7739:
7737:
7736:
7731:
7726:
7721:
7716:
7711:
7706:
7701:
7696:
7691:
7686:
7680:
7678:
7672:
7671:
7669:
7668:
7663:
7658:
7656:Quantum eraser
7653:
7648:
7643:
7638:
7633:
7628:
7623:
7618:
7612:
7610:
7606:
7605:
7603:
7602:
7597:
7592:
7587:
7582:
7577:
7572:
7571:
7570:
7569:
7568:
7553:
7548:
7543:
7538:
7533:
7527:
7525:
7519:
7518:
7516:
7515:
7510:
7505:
7500:
7495:
7490:
7485:
7480:
7474:
7472:
7468:
7467:
7465:
7464:
7459:
7454:
7449:
7444:
7439:
7434:
7428:
7426:
7422:
7421:
7419:
7418:
7417:
7416:
7411:
7401:
7396:
7391:
7386:
7381:
7376:
7371:
7366:
7361:
7356:
7351:
7346:
7341:
7340:
7339:
7334:
7329:
7324:
7314:
7312:Density matrix
7309:
7304:
7299:
7293:
7291:
7287:
7286:
7284:
7283:
7278:
7273:
7268:
7267:
7266:
7256:
7250:
7248:
7244:
7243:
7238:
7236:
7235:
7228:
7221:
7213:
7207:
7206:
7196:
7184:
7183:External links
7181:
7178:
7177:
7147:hep-th/0505063
7140:(2): 183–196.
7124:
7086:hep-th/0303221
7079:(2): 369–379.
7059:
6997:
6991:978-0143113799
6990:
6978:Polchinski, J.
6969:
6950:(3): 207–210.
6934:
6916:hep-th/0604049
6909:(5): 349–378.
6880:
6850:hep-th/0204253
6843:(4): 327–430.
6816:
6763:
6723:hep-th/0402009
6700:
6647:
6594:
6564:hep-th/0502048
6538:
6508:hep-th/0306026
6485:
6464:
6443:
6400:
6347:
6323:
6293:hep-th/0303150
6286:(2): 436–458.
6270:
6210:
6180:hep-th/9506136
6173:(2): 577–605.
6154:
6124:hep-th/9403141
6101:
6072:
6071:
6069:
6066:
6041:
6038:
6035:
6023:
6014:
6006:gauge theories
6003:superconformal
5978:in negatively
5971:
5968:
5942:
5939:
5936:
5924:
5921:
5892:
5889:
5864:
5861:
5859:
5856:
5841:
5838:
5834:
5830:
5827:
5807:
5804:
5801:
5798:
5795:
5776:
5775:
5764:
5760:
5756:
5753:
5750:
5747:
5744:
5741:
5738:
5735:
5732:
5729:
5724:
5720:
5716:
5711:
5707:
5702:
5698:
5693:
5689:
5685:
5679:
5676:
5672:
5667:
5664:
5661:
5658:
5655:
5640:
5637:
5635:
5632:
5619:
5616:
5611:
5589:
5586:
5581:
5568:supersymmetric
5563:
5560:
5543:
5518:
5514:
5497:
5494:
5479:
5474:
5470:
5447:
5443:
5438:
5432:
5428:
5424:
5404:
5400:
5396:
5391:
5387:
5383:
5361:
5356:
5352:
5324:
5320:
5316:
5311:
5307:
5303:
5291:
5288:
5273:
5270:
5265:
5260:
5255:
5251:
5228:
5225:
5220:
5215:
5210:
5206:
5202:
5198:
5194:
5189:
5185:
5169:minimal models
5164:
5161:
5159:
5156:
5129:
5126:
5122:
5118:
5115:
5100:
5099:
5088:
5080:
5075:
5071:
5067:
5064:
5059:
5055:
5051:
5047:
5041:
5036:
5033:
5030:
5026:
5020:
5017:
5014:
5011:
5008:
5004:
4997:
4994:
4991:
4988:
4984:
4980:
4975:
4971:
4967:
4960:
4956:
4951:
4945:
4940:
4937:
4934:
4930:
4925:
4901:
4889:
4886:
4871:
4868:
4865:
4861:
4849:
4848:
4835:
4832:
4827:
4824:
4821:
4818:
4804:
4803:
4792:
4789:
4786:
4783:
4780:
4777:
4748:
4745:
4742:
4738:
4722:
4721:
4710:
4707:
4704:
4701:
4698:
4695:
4692:
4689:
4686:
4661:
4658:
4655:
4651:
4639:
4638:
4627:
4622:
4618:
4614:
4611:
4608:
4605:
4602:
4584:
4583:
4572:
4566:
4561:
4554:
4551:
4545:
4541:
4538:
4533:
4529:
4525:
4518:
4515:
4509:
4505:
4502:
4494:
4491:
4482:
4479:
4472:
4468:
4462:
4459:
4452:
4448:
4443:
4438:
4434:
4430:
4427:
4422:
4418:
4414:
4409:
4405:
4401:
4398:
4393:
4390:
4386:
4382:
4379:
4365:
4364:
4353:
4347:
4344:
4336:
4333:
4324:
4321:
4314:
4308:
4304:
4299:
4295:
4292:
4287:
4284:
4280:
4272:
4269:
4263:
4258:
4254:
4251:
4246:
4240:
4237:
4230:
4226:
4218:
4215:
4209:
4205:
4186:
4185:
4174:
4168:
4165:
4159:
4156:
4153:
4150:
4145:
4141:
4137:
4132:
4128:
4124:
4119:
4116:
4112:
4085:
4070:
4067:
4056:
4055:
4044:
4036:
4031:
4027:
4023:
4018:
4014:
4010:
4007:
4004:
4001:
3997:
3993:
3989:
3986:
3982:
3979:
3974:
3970:
3966:
3961:
3957:
3953:
3950:
3946:
3937:
3932:
3928:
3924:
3918:
3914:
3908:
3900:
3895:
3891:
3887:
3881:
3877:
3870:
3840:
3837:
3833:
3808:
3803:
3799:
3793:
3790:
3786:
3780:
3776:
3772:
3767:
3762:
3758:
3754:
3749:
3745:
3739:
3735:
3731:
3728:
3723:
3718:
3714:
3710:
3707:
3696:
3695:
3684:
3676:
3673:
3670:
3667:
3664:
3661:
3657:
3653:
3649:
3646:
3642:
3639:
3636:
3633:
3630:
3627:
3622:
3619:
3614:
3611:
3608:
3605:
3602:
3599:
3585:
3584:
3573:
3568:
3564:
3557:
3552:
3548:
3544:
3541:
3536:
3531:
3527:
3523:
3520:
3517:
3514:
3508:
3505:
3501:
3498:
3474:
3453:
3450:
3429:
3405:
3375:
3372:
3368:
3356:
3355:
3344:
3338:
3333:
3330:
3327:
3323:
3318:
3315:
3311:
3308:
3305:
3302:
3299:
3296:
3291:
3287:
3283:
3278:
3274:
3268:
3265:
3261:
3257:
3252:
3246:
3241:
3237:
3233:
3227:
3224:
3220:
3215:
3212:
3209:
3206:
3203:
3185:
3182:
3180:
3177:
3176:
3175:
3172:
3160:
3149:
3137:
3134:
3113:
3110:
3107:
3076:
3052:
3042:
3041:
3030:
3021:
3018:
3015:
3012:
3009:
3006:
3003:
3000:
2995:
2992:
2988:
2983:
2978:
2975:
2972:
2969:
2964:
2957:
2954:
2936:
2935:
2924:
2915:
2910:
2906:
2902:
2897:
2893:
2889:
2884:
2880:
2876:
2871:
2864:
2861:
2854:
2849:
2845:
2841:
2836:
2832:
2828:
2823:
2819:
2815:
2810:
2803:
2800:
2793:
2788:
2784:
2780:
2775:
2771:
2767:
2762:
2758:
2754:
2749:
2742:
2739:
2732:
2729:
2726:
2721:
2717:
2713:
2708:
2704:
2700:
2695:
2691:
2687:
2682:
2675:
2672:
2663:
2658:
2654:
2650:
2647:
2642:
2635:
2632:
2625:
2620:
2616:
2612:
2609:
2604:
2597:
2594:
2587:
2582:
2578:
2574:
2571:
2566:
2559:
2556:
2549:
2546:
2543:
2538:
2531:
2528:
2517:
2513:
2509:
2504:
2500:
2496:
2491:
2487:
2483:
2480:
2475:
2471:
2466:
2463:
2460:
2455:
2452:
2446:
2442:
2439:
2436:
2432:
2424:
2417:
2413:
2409:
2404:
2400:
2396:
2391:
2387:
2379:
2376:
2349:
2346:
2343:
2340:
2337:
2334:
2331:
2328:
2299:
2295:
2283:
2282:
2271:
2262:
2257:
2253:
2249:
2244:
2240:
2236:
2231:
2227:
2223:
2218:
2214:
2210:
2205:
2201:
2197:
2192:
2188:
2184:
2179:
2175:
2171:
2166:
2162:
2158:
2153:
2149:
2145:
2140:
2136:
2132:
2127:
2123:
2119:
2114:
2110:
2106:
2103:
2100:
2095:
2091:
2087:
2082:
2078:
2074:
2069:
2065:
2061:
2056:
2052:
2046:
2041:
2037:
2033:
2030:
2025:
2021:
2017:
2012:
2008:
2004:
2001:
1996:
1992:
1988:
1983:
1979:
1975:
1972:
1967:
1963:
1959:
1956:
1953:
1949:
1945:
1941:
1933:
1929:
1925:
1920:
1916:
1912:
1907:
1903:
1899:
1896:
1891:
1887:
1882:
1879:
1876:
1871:
1868:
1862:
1857:
1849:
1842:
1838:
1834:
1829:
1825:
1821:
1816:
1812:
1807:
1779:
1776:
1773:
1770:
1767:
1764:
1761:
1758:
1746:
1743:
1730:
1710:
1707:
1687:
1684:
1681:
1678:
1675:
1672:
1669:
1666:
1646:
1643:
1632:
1631:
1620:
1611:
1608:
1605:
1602:
1599:
1596:
1593:
1588:
1585:
1580:
1577:
1574:
1571:
1568:
1565:
1562:
1559:
1556:
1553:
1550:
1547:
1542:
1539:
1536:
1533:
1530:
1527:
1524:
1519:
1516:
1511:
1508:
1505:
1502:
1499:
1496:
1493:
1490:
1487:
1484:
1481:
1478:
1470:
1467:
1464:
1461:
1457:
1453:
1450:
1447:
1444:
1441:
1438:
1424:
1423:
1412:
1406:
1403:
1400:
1395:
1392:
1389:
1385:
1381:
1378:
1375:
1372:
1369:
1366:
1363:
1360:
1355:
1351:
1325:
1318:
1314:
1306:
1301:
1295:
1282:representation
1269:
1266:
1263:
1258:
1255:
1252:
1248:
1227:
1224:
1221:
1216:
1212:
1202:. Both fields
1191:
1188:
1185:
1180:
1176:
1166:, and denoted
1155:
1152:
1131:
1128:
1125:
1122:
1119:
1116:
1113:
1110:
1096:
1095:
1084:
1079:
1074:
1069:
1066:
1061:
1058:
1053:
1050:
1036:
1035:
1022:
1017:
1012:
1007:
1003:
1000:
997:
991:
988:
959:
952:
948:
921:
915:
901:
900:
889:
881:
874:
870:
862:
857:
851:
842:
839:
832:
827:
822:
817:
813:
810:
807:
800:
796:
791:
756:
739:
736:
734:
731:
719:
718:
707:
699:
696:
691:
688:
671:
670:
659:
653:
650:
647:
644:
641:
638:
635:
632:
609:
582:
571:
570:
559:
551:
547:
543:
540:
537:
534:
531:
517:
516:
505:
497:
494:
489:
486:
483:
480:
466:
465:
454:
448:
445:
442:
439:
436:
410:
407:
404:
401:
377:
350:
328:
325:
322:
318:
304:is called the
293:
282:
281:
270:
262:
259:
256:
252:
248:
245:
242:
239:
236:
209:
197:
194:
182:
181:
170:
167:
164:
161:
158:
140:
139:
128:
125:
122:
119:
116:
113:
110:
107:
104:
73:
63:central charge
59:complex values
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
8652:
8641:
8638:
8636:
8635:String theory
8633:
8631:
8628:
8627:
8625:
8612:
8604:
8599:
8593:
8590:
8588:
8587:Quantum logic
8585:
8581:
8578:
8577:
8576:
8573:
8571:
8568:
8566:
8563:
8561:
8558:
8554:
8551:
8550:
8549:
8546:
8542:
8539:
8538:
8537:
8534:
8532:
8529:
8527:
8524:
8522:
8521:Quantum chaos
8519:
8517:
8514:
8512:
8509:
8507:
8504:
8502:
8499:
8497:
8496:Cosmic string
8494:
8492:
8489:
8488:
8486:
8482:
8472:
8469:
8467:
8464:
8462:
8459:
8457:
8454:
8452:
8449:
8447:
8444:
8442:
8439:
8438:
8436:
8432:
8426:
8423:
8421:
8418:
8417:
8415:
8411:
8405:
8402:
8400:
8397:
8395:
8392:
8390:
8387:
8385:
8382:
8380:
8377:
8375:
8372:
8370:
8369:Pure 4D N = 1
8367:
8366:
8364:
8360:
8354:
8351:
8349:
8346:
8344:
8341:
8340:
8338:
8334:
8328:
8325:
8323:
8320:
8318:
8315:
8313:
8310:
8308:
8305:
8304:
8302:
8298:
8292:
8289:
8287:
8284:
8282:
8279:
8277:
8274:
8272:
8269:
8268:
8266:
8262:
8256:
8253:
8251:
8250:Thirring–Wess
8248:
8246:
8243:
8241:
8238:
8236:
8233:
8231:
8228:
8226:
8225:Bullough–Dodd
8223:
8221:
8220:2D Yang–Mills
8218:
8217:
8215:
8211:
8205:
8202:
8200:
8197:
8195:
8192:
8190:
8187:
8185:
8182:
8180:
8177:
8175:
8172:
8170:
8167:
8165:
8162:
8160:
8157:
8155:
8152:
8150:
8147:
8145:
8142:
8140:
8137:
8136:
8134:
8130:
8127:
8123:
8117:
8114:
8112:
8109:
8107:
8104:
8102:
8099:
8097:
8096:String theory
8094:
8092:
8089:
8087:
8084:
8082:
8079:
8077:
8074:
8072:
8069:
8067:
8066:Axiomatic QFT
8064:
8062:
8061:Algebraic QFT
8059:
8058:
8056:
8052:
8048:
8041:
8036:
8034:
8029:
8027:
8022:
8021:
8018:
8006:
7998:
7997:
7994:
7988:
7985:
7983:
7980:
7978:
7975:
7971:
7968:
7967:
7966:
7963:
7962:
7960:
7956:
7950:
7947:
7945:
7942:
7938:
7935:
7934:
7933:
7930:
7928:
7925:
7923:
7920:
7918:
7915:
7914:
7912:
7908:
7902:
7899:
7897:
7894:
7892:
7889:
7887:
7884:
7882:
7879:
7877:
7874:
7872:
7869:
7867:
7864:
7862:
7859:
7857:
7854:
7852:
7849:
7847:
7844:
7842:
7841:Quantum logic
7839:
7837:
7834:
7832:
7829:
7827:
7824:
7822:
7819:
7817:
7814:
7812:
7809:
7807:
7804:
7800:
7797:
7796:
7795:
7792:
7790:
7787:
7785:
7782:
7780:
7777:
7773:
7770:
7769:
7768:
7765:
7763:
7760:
7758:
7755:
7753:
7750:
7749:
7747:
7745:
7741:
7735:
7732:
7730:
7727:
7725:
7722:
7720:
7717:
7715:
7712:
7710:
7707:
7705:
7702:
7700:
7697:
7695:
7694:Quantum chaos
7692:
7690:
7687:
7685:
7682:
7681:
7679:
7677:
7673:
7667:
7664:
7662:
7661:Stern–Gerlach
7659:
7657:
7654:
7652:
7649:
7647:
7644:
7642:
7639:
7637:
7634:
7632:
7629:
7627:
7624:
7622:
7619:
7617:
7614:
7613:
7611:
7607:
7601:
7598:
7596:
7595:Transactional
7593:
7591:
7588:
7586:
7585:Quantum logic
7583:
7581:
7578:
7576:
7573:
7567:
7564:
7563:
7562:
7559:
7558:
7557:
7554:
7552:
7549:
7547:
7544:
7542:
7539:
7537:
7534:
7532:
7529:
7528:
7526:
7524:
7520:
7514:
7511:
7509:
7506:
7504:
7501:
7499:
7496:
7494:
7491:
7489:
7486:
7484:
7481:
7479:
7476:
7475:
7473:
7469:
7463:
7460:
7458:
7455:
7453:
7450:
7448:
7445:
7443:
7440:
7438:
7435:
7433:
7430:
7429:
7427:
7423:
7415:
7412:
7410:
7407:
7406:
7405:
7404:Wave function
7402:
7400:
7397:
7395:
7392:
7390:
7387:
7385:
7382:
7380:
7379:Superposition
7377:
7375:
7374:Quantum state
7372:
7370:
7367:
7365:
7362:
7360:
7357:
7355:
7352:
7350:
7347:
7345:
7342:
7338:
7335:
7333:
7330:
7328:
7327:Excited state
7325:
7323:
7320:
7319:
7318:
7315:
7313:
7310:
7308:
7305:
7303:
7300:
7298:
7295:
7294:
7292:
7288:
7282:
7279:
7277:
7274:
7272:
7269:
7265:
7262:
7261:
7260:
7257:
7255:
7252:
7251:
7249:
7245:
7241:
7234:
7229:
7227:
7222:
7220:
7215:
7214:
7211:
7204:
7200:
7197:
7194:
7190:
7187:
7186:
7182:
7173:
7169:
7165:
7161:
7157:
7153:
7148:
7143:
7139:
7135:
7128:
7125:
7120:
7116:
7112:
7108:
7104:
7100:
7096:
7092:
7087:
7082:
7078:
7074:
7070:
7063:
7060:
7055:
7051:
7047:
7043:
7039:
7035:
7031:
7027:
7022:
7017:
7014:(4): 042111.
7013:
7009:
7001:
6998:
6993:
6987:
6983:
6980:(1998). "9".
6979:
6973:
6970:
6965:
6961:
6957:
6953:
6949:
6945:
6938:
6935:
6930:
6926:
6922:
6917:
6912:
6908:
6904:
6903:
6898:
6894:
6890:
6884:
6881:
6876:
6872:
6868:
6864:
6860:
6856:
6851:
6846:
6842:
6838:
6834:
6830:
6826:
6820:
6817:
6812:
6808:
6804:
6800:
6796:
6792:
6787:
6782:
6778:
6774:
6767:
6764:
6759:
6755:
6751:
6747:
6742:
6737:
6733:
6729:
6724:
6719:
6715:
6711:
6704:
6701:
6696:
6692:
6688:
6684:
6680:
6676:
6671:
6666:
6662:
6658:
6651:
6648:
6643:
6639:
6635:
6631:
6627:
6623:
6618:
6613:
6609:
6605:
6598:
6595:
6590:
6586:
6582:
6578:
6574:
6570:
6565:
6560:
6556:
6552:
6545:
6543:
6539:
6534:
6530:
6526:
6522:
6518:
6514:
6509:
6504:
6500:
6496:
6489:
6486:
6480:
6475:
6468:
6465:
6459:
6454:
6447:
6444:
6438:
6433:
6428:
6423:
6419:
6415:
6411:
6404:
6401:
6396:
6392:
6388:
6384:
6380:
6376:
6371:
6366:
6362:
6358:
6351:
6348:
6342:
6337:
6330:
6328:
6324:
6319:
6315:
6311:
6307:
6303:
6299:
6294:
6289:
6285:
6281:
6274:
6271:
6266:
6262:
6258:
6254:
6250:
6246:
6241:
6236:
6232:
6228:
6221:
6219:
6217:
6215:
6211:
6206:
6202:
6198:
6194:
6190:
6186:
6181:
6176:
6172:
6168:
6161:
6159:
6155:
6150:
6146:
6142:
6138:
6134:
6130:
6125:
6120:
6116:
6112:
6111:Nucl. Phys. B
6105:
6102:
6096:
6091:
6084:
6082:
6080:
6078:
6074:
6067:
6065:
6063:
6059:
6055:
6039:
6036:
6033:
6020:
6015:
6013:
6011:
6007:
6004:
6000:
5997:
5993:
5989:
5985:
5981:
5980:curved spaces
5977:
5969:
5967:
5964:
5963:Gibbs measure
5960:
5956:
5940:
5937:
5934:
5922:
5920:
5918:
5914:
5910:
5906:
5902:
5898:
5897:string theory
5891:String theory
5890:
5888:
5886:
5882:
5878:
5874:
5870:
5862:
5857:
5855:
5839:
5836:
5832:
5825:
5805:
5802:
5799:
5796:
5793:
5785:
5781:
5762:
5758:
5751:
5748:
5745:
5739:
5736:
5733:
5730:
5727:
5722:
5714:
5709:
5700:
5696:
5691:
5687:
5683:
5677:
5674:
5670:
5665:
5659:
5653:
5646:
5645:
5644:
5638:
5633:
5631:
5617:
5614:
5587:
5584:
5569:
5561:
5559:
5557:
5541:
5533:
5532:Cartan matrix
5516:
5512:
5503:
5495:
5493:
5477:
5472:
5468:
5445:
5441:
5436:
5430:
5426:
5422:
5389:
5385:
5381:
5359:
5354:
5350:
5341:
5338:by a quantum
5337:
5309:
5305:
5301:
5289:
5287:
5271:
5268:
5258:
5253:
5249:
5226:
5223:
5208:
5204:
5200:
5192:
5187:
5183:
5172:
5170:
5162:
5157:
5155:
5153:
5149:
5145:
5127:
5124:
5120:
5113:
5105:
5086:
5073:
5069:
5062:
5057:
5053:
5049:
5045:
5039:
5034:
5031:
5028:
5024:
5015:
5009:
5006:
5002:
4995:
4992:
4989:
4986:
4982:
4973:
4969:
4958:
4954:
4949:
4943:
4938:
4935:
4932:
4928:
4923:
4915:
4914:
4913:
4899:
4888:Path integral
4887:
4885:
4869:
4866:
4863:
4859:
4833:
4830:
4825:
4822:
4819:
4816:
4809:
4808:
4807:
4790:
4787:
4781:
4768:
4767:
4766:
4764:
4746:
4743:
4740:
4736:
4727:
4708:
4702:
4699:
4696:
4690:
4687:
4677:
4676:
4675:
4659:
4656:
4653:
4649:
4625:
4620:
4616:
4612:
4609:
4606:
4603:
4600:
4593:
4592:
4591:
4589:
4570:
4564:
4559:
4549:
4539:
4536:
4531:
4523:
4513:
4500:
4489:
4477:
4470:
4466:
4457:
4450:
4446:
4441:
4436:
4428:
4425:
4420:
4412:
4407:
4396:
4391:
4388:
4384:
4380:
4377:
4370:
4369:
4368:
4351:
4345:
4342:
4331:
4319:
4312:
4306:
4297:
4293:
4290:
4285:
4282:
4278:
4267:
4256:
4252:
4249:
4244:
4235:
4228:
4224:
4213:
4207:
4203:
4195:
4194:
4193:
4191:
4172:
4163:
4157:
4154:
4151:
4148:
4143:
4139:
4135:
4130:
4126:
4122:
4117:
4114:
4110:
4102:
4101:
4100:
4099:
4083:
4076:
4068:
4066:
4063:
4061:
4042:
4029:
4025:
4021:
4016:
4012:
4005:
4002:
3999:
3995:
3991:
3987:
3984:
3980:
3972:
3968:
3964:
3959:
3955:
3948:
3944:
3935:
3930:
3926:
3916:
3906:
3898:
3893:
3889:
3879:
3868:
3860:
3859:
3858:
3856:
3838:
3835:
3831:
3822:
3801:
3791:
3788:
3784:
3778:
3774:
3770:
3760:
3747:
3737:
3733:
3729:
3726:
3716:
3708:
3682:
3671:
3665:
3662:
3659:
3655:
3651:
3647:
3644:
3640:
3634:
3628:
3625:
3620:
3617:
3612:
3606:
3600:
3590:
3589:
3588:
3571:
3566:
3562:
3550:
3546:
3529:
3525:
3521:
3518:
3506:
3503:
3499:
3496:
3488:
3487:
3486:
3472:
3451:
3448:
3427:
3419:
3403:
3395:
3391:
3373:
3370:
3366:
3342:
3331:
3328:
3325:
3321:
3316:
3313:
3309:
3306:
3303:
3300:
3297:
3294:
3289:
3281:
3276:
3266:
3263:
3259:
3250:
3244:
3239:
3235:
3231:
3225:
3222:
3218:
3213:
3207:
3201:
3194:
3193:
3192:
3191:
3183:
3178:
3173:
3158:
3150:
3147:
3146:
3145:
3143:
3135:
3133:
3131:
3127:
3111:
3108:
3105:
3097:
3092:
3090:
3074:
3066:
3050:
3028:
3016:
3013:
3010:
3007:
3004:
3001:
2993:
2990:
2981:
2976:
2970:
2962:
2941:
2940:
2939:
2922:
2908:
2904:
2900:
2895:
2891:
2887:
2882:
2878:
2869:
2847:
2843:
2839:
2834:
2830:
2826:
2821:
2817:
2808:
2786:
2782:
2778:
2773:
2769:
2765:
2760:
2756:
2747:
2727:
2724:
2719:
2715:
2711:
2706:
2702:
2698:
2693:
2689:
2680:
2656:
2652:
2648:
2640:
2618:
2614:
2610:
2602:
2580:
2576:
2572:
2564:
2544:
2536:
2515:
2511:
2507:
2502:
2498:
2494:
2489:
2485:
2481:
2478:
2473:
2469:
2464:
2461:
2458:
2453:
2450:
2440:
2437:
2430:
2422:
2415:
2411:
2407:
2402:
2398:
2394:
2389:
2385:
2374:
2363:
2362:
2361:
2344:
2341:
2335:
2329:
2326:
2317:
2315:
2312:is a kind of
2297:
2269:
2255:
2251:
2247:
2242:
2238:
2234:
2229:
2225:
2216:
2203:
2199:
2195:
2190:
2186:
2182:
2177:
2173:
2164:
2151:
2147:
2143:
2138:
2134:
2130:
2125:
2121:
2112:
2101:
2098:
2093:
2089:
2085:
2080:
2076:
2072:
2067:
2063:
2054:
2039:
2035:
2031:
2023:
2010:
2006:
2002:
1994:
1981:
1977:
1973:
1965:
1954:
1947:
1943:
1931:
1927:
1923:
1918:
1914:
1910:
1905:
1901:
1897:
1894:
1889:
1885:
1880:
1877:
1874:
1869:
1866:
1860:
1855:
1847:
1840:
1836:
1832:
1827:
1823:
1819:
1814:
1810:
1805:
1797:
1796:
1795:
1793:
1774:
1771:
1765:
1759:
1756:
1744:
1742:
1728:
1708:
1705:
1682:
1679:
1673:
1667:
1664:
1644:
1641:
1634:(The sign is
1618:
1603:
1600:
1597:
1594:
1586:
1583:
1566:
1563:
1560:
1557:
1551:
1534:
1531:
1528:
1525:
1517:
1514:
1497:
1494:
1491:
1488:
1482:
1468:
1465:
1462:
1459:
1455:
1451:
1448:
1442:
1436:
1429:
1428:
1427:
1410:
1401:
1393:
1390:
1387:
1383:
1376:
1370:
1367:
1361:
1353:
1349:
1341:
1340:
1339:
1304:
1283:
1264:
1256:
1253:
1250:
1246:
1222:
1214:
1210:
1186:
1178:
1174:
1165:
1161:
1153:
1151:
1149:
1145:
1123:
1120:
1117:
1111:
1108:
1099:
1082:
1077:
1067:
1064:
1059:
1056:
1051:
1048:
1041:
1040:
1039:
1020:
1010:
1005:
1001:
998:
995:
989:
979:
978:
977:
975:
887:
860:
837:
830:
820:
815:
811:
808:
805:
798:
794:
780:
779:
778:
776:
772:
771:Verma modules
745:
737:
732:
730:
728:
724:
705:
697:
694:
686:
679:
678:
677:
676:
657:
648:
645:
642:
636:
633:
623:
622:
621:
600:
596:
595:primary field
580:
557:
549:
545:
541:
538:
535:
532:
529:
522:
521:
520:
503:
495:
492:
487:
484:
481:
478:
471:
470:
469:
452:
446:
443:
440:
434:
427:
426:
425:
424:
405:
402:
399:
375:
366:
362:
348:
326:
323:
320:
316:
307:
291:
268:
260:
257:
254:
250:
246:
240:
234:
227:
226:
225:
223:
207:
195:
193:
191:
187:
168:
162:
156:
149:
148:
147:
145:
126:
117:
114:
111:
105:
102:
95:
94:
93:
91:
87:
71:
64:
60:
55:
53:
49:
45:
41:
37:
33:
19:
8602:
8531:Quantum foam
8471:Stueckelberg
8425:Chern–Simons
8362:Supergravity
8275:
8101:Supergravity
8086:Gauge theory
7724:Quantum mind
7636:Franck–Hertz
7478:Klein–Gordon
7432:Formulations
7425:Formulations
7354:Interference
7344:Entanglement
7322:Ground state
7317:Energy level
7290:Fundamentals
7254:Introduction
7137:
7133:
7127:
7076:
7072:
7062:
7021:1801.09991v1
7011:
7007:
7000:
6981:
6972:
6947:
6943:
6937:
6929:the original
6906:
6900:
6883:
6840:
6836:
6819:
6786:2112.05490v1
6776:
6772:
6766:
6713:
6709:
6703:
6660:
6656:
6650:
6607:
6603:
6597:
6554:
6550:
6498:
6494:
6488:
6479:2112.14859v1
6467:
6446:
6417:
6413:
6403:
6363:(1): 79–85.
6360:
6356:
6350:
6283:
6279:
6273:
6230:
6226:
6170:
6166:
6114:
6110:
6104:
6061:
6057:
6053:
6025:
6018:
5973:
5926:
5894:
5866:
5858:Applications
5777:
5642:
5565:
5499:
5293:
5173:
5166:
5101:
4891:
4850:
4805:
4728:, the field
4723:
4640:
4585:
4366:
4187:
4072:
4064:
4057:
3697:
3586:
3418:Ricci scalar
3357:
3187:
3139:
3093:
3043:
2937:
2318:
2284:
1792:DOZZ formula
1791:
1748:
1633:
1425:
1160:parametrized
1157:
1144:vacuum state
1100:
1097:
1037:
902:
741:
720:
672:
572:
518:
467:
391:
283:
199:
196:Introduction
183:
141:
88:, but it is
56:
39:
35:
29:
8413:Topological
8327:Wess–Zumino
8240:Sine-Gordon
8230:Gross–Neveu
8139:Born–Infeld
8106:Thermal QFT
7982:EPR paradox
7762:Quantum bus
7631:Double-slit
7609:Experiments
7575:Many-worlds
7513:Schrödinger
7462:Phase space
7452:Schrödinger
7442:Interaction
7399:Uncertainty
7369:Nonlocality
7364:Measurement
7359:Decoherence
7349:Hamiltonian
7205:, May 2018.
6893:Meyer, Rene
6610:(10): 064.
6501:(11): 043.
6420:(10): 110.
6117:: 375–388.
38:(or simply
8624:Categories
8194:Yang–Mills
7910:Extensions
7744:Technology
7590:Relational
7541:Copenhagen
7437:Heisenberg
7384:Tunnelling
7247:Background
6663:(5): 073.
6557:(6): 014.
6458:1707.08785
6427:2205.07363
6341:2005.11530
6240:1503.02067
6233:(8): 109.
6068:References
5881:CGHS model
5871:reduce to
5556:W-algebras
5290:WZW models
5241:. So, for
3140:Using the
727:Lagrangian
423:reflection
222:free field
8603:See also:
8322:Super QCD
8276:Liouville
8264:Conformal
8235:Schwinger
7616:Bell test
7471:Equations
7297:Born rule
7054:206258354
6875:119497628
6811:245117303
6779:(5): 22.
6758:119519820
6736:CiteSeerX
6670:0803.2099
6617:0706.1030
6589:119441269
6395:118625083
6370:0911.4296
6205:204929527
6095:1406.4290
6037:≤
6021:≤ 1
5996:instanton
5938:≥
5837:−
5829:→
5752:φ
5740:
5734:λ
5728:φ
5723:μ
5719:∂
5715:φ
5710:μ
5706:∂
5684:∫
5678:π
5660:φ
5542:φ
5259:∈
5214:→
5193:∉
5125:−
5117:→
5063:φ
5054:α
5025:∏
5016:φ
5007:−
4996:φ
4990:∫
4955:α
4929:∏
4870:φ
4776:Δ
4747:φ
4703:α
4700:−
4691:α
4685:Δ
4660:φ
4657:α
4565:φ
4553:¯
4544:∂
4524:φ
4517:¯
4508:∂
4493:¯
4481:¯
4461:¯
4447:φ
4433:∂
4413:φ
4404:∂
4335:¯
4323:¯
4303:∂
4271:¯
4262:∂
4239:¯
4217:¯
4167:¯
4144:ν
4131:μ
4118:ν
4115:μ
4006:φ
3985:λ
3949:φ
3923:∂
3913:∂
3886:∂
3876:∂
3839:ν
3836:μ
3802:ν
3798:∂
3792:ν
3789:μ
3748:μ
3744:∂
3727:−
3706:Δ
3666:φ
3645:λ
3601:φ
3598:Δ
3563:λ
3540:Γ
3522:−
3513:Γ
3497:λ
3473:λ
3449:λ
3428:φ
3374:ν
3371:μ
3332:φ
3314:λ
3307:φ
3295:φ
3290:ν
3286:∂
3282:φ
3277:μ
3273:∂
3267:ν
3264:μ
3232:∫
3226:π
3208:φ
3109:≥
3098:of genus
3002:−
2987:Υ
2956:^
2953:Υ
2905:α
2901:−
2892:α
2879:α
2863:^
2860:Υ
2844:α
2840:−
2831:α
2818:α
2802:^
2799:Υ
2783:α
2779:−
2770:α
2757:α
2741:^
2738:Υ
2725:−
2716:α
2703:α
2690:α
2674:^
2671:Υ
2653:α
2634:^
2631:Υ
2615:α
2596:^
2593:Υ
2577:α
2558:^
2555:Υ
2530:^
2527:Υ
2512:α
2508:−
2499:α
2495:−
2486:α
2482:−
2470:λ
2459:−
2412:α
2399:α
2386:α
2378:^
2339:∞
2336:−
2330:∈
2294:Υ
2252:α
2248:−
2239:α
2226:α
2213:Υ
2200:α
2196:−
2187:α
2174:α
2161:Υ
2148:α
2144:−
2135:α
2122:α
2109:Υ
2099:−
2090:α
2077:α
2064:α
2051:Υ
2036:α
2020:Υ
2007:α
1991:Υ
1978:α
1962:Υ
1940:Υ
1928:α
1924:−
1915:α
1911:−
1902:α
1898:−
1886:λ
1875:−
1837:α
1824:α
1811:α
1769:∞
1766:−
1760:∉
1729:λ
1706:−
1677:∞
1674:−
1668:∈
1604:α
1598:−
1576:Γ
1567:α
1561:−
1546:Γ
1532:−
1529:α
1507:Γ
1495:−
1492:α
1477:Γ
1469:α
1463:−
1456:λ
1452:±
1443:α
1394:α
1391:−
1377:α
1354:α
1324:Δ
1317:¯
1305:⊗
1300:Δ
1257:α
1254:−
1215:α
1179:α
1127:∞
1112:∈
1052:∈
1049:α
999:−
990:∈
987:Δ
958:Δ
951:¯
920:Δ
880:Δ
873:¯
861:⊗
856:Δ
841:Δ
809:−
799:∫
690:→
649:α
646:−
637:α
631:Δ
608:Δ
597:with the
581:α
447:α
444:−
438:→
435:α
409:∞
400:φ
376:α
349:α
327:φ
324:α
261:φ
241:φ
208:φ
166:∞
160:→
121:∞
106:∈
92:only if
8399:Type IIB
8394:Type IIA
8379:4D N = 8
8374:4D N = 1
8343:6D (2,0)
8307:4D N = 1
8286:Polyakov
8245:Thirring
8054:Theories
8005:Category
7799:Timeline
7551:Ensemble
7531:Bayesian
7493:Majorana
7409:Collapse
7281:Glossary
7264:Timeline
7172:55961140
7119:15080926
7046:29758633
6895:(2006).
6533:15608105
6318:14792780
6265:54193340
6149:15413971
5784:S-matrix
5144:residues
4983:⟩
4924:⟨
4763:marginal
4073:Using a
3988:′
3648:′
3500:′
3452:′
3317:′
1948:′
744:spectrum
738:Spectrum
142:and its
8501:History
8484:Related
8281:Minimal
8132:Regular
7958:Related
7937:History
7676:Science
7508:Rydberg
7259:History
7152:Bibcode
7111:2015169
7091:Bibcode
7026:Bibcode
6952:Bibcode
6921:Bibcode
6855:Bibcode
6791:Bibcode
6728:Bibcode
6695:2591498
6675:Bibcode
6642:1807250
6622:Bibcode
6569:Bibcode
6513:Bibcode
6375:Bibcode
6298:Bibcode
6245:Bibcode
6185:Bibcode
6129:Bibcode
6008:by the
5913:tachyon
5909:dilaton
5492:model.
3853:is the
3819:is the
3416:is the
3392:of the
3388:is the
3128:of the
2938:where
974:momenta
773:of the
675:duality
90:unitary
84:of its
61:of the
42:) is a
32:physics
8441:Chiral
8389:Type I
8204:Yukawa
8125:Models
7651:Popper
7170:
7117:
7109:
7052:
7044:
6988:
6873:
6809:
6756:
6738:
6693:
6640:
6587:
6531:
6393:
6316:
6263:
6203:
6147:
5982:, the
5911:and a
5084:
4999:
4568:
4349:
4096:and a
4040:
3698:where
3680:
3390:metric
3358:where
3340:
3190:action
3026:
2920:
2267:
1616:
1408:
903:where
885:
844:
703:
655:
555:
501:
450:
266:
190:sphere
8580:links
8553:links
8541:links
8461:NMSSM
8446:Fermi
8189:Soler
8159:Proca
7561:Local
7503:Pauli
7483:Dirac
7168:S2CID
7142:arXiv
7115:S2CID
7081:arXiv
7050:S2CID
7016:arXiv
6911:arXiv
6871:S2CID
6845:arXiv
6807:S2CID
6781:arXiv
6754:S2CID
6718:arXiv
6691:S2CID
6665:arXiv
6638:S2CID
6612:arXiv
6585:S2CID
6559:arXiv
6529:S2CID
6503:arXiv
6474:arXiv
6453:arXiv
6422:arXiv
6391:S2CID
6365:arXiv
6336:arXiv
6314:S2CID
6288:arXiv
6261:S2CID
6235:arXiv
6201:S2CID
6175:arXiv
6145:S2CID
6119:arXiv
6090:arXiv
5148:poles
3823:. If
3130:torus
3067:. An
8451:MSSM
8348:ABJM
8255:Toda
7488:Weyl
7042:PMID
6986:ISBN
6777:2022
6661:2008
6608:2007
6555:2005
6499:2003
6418:2022
6231:2015
5803:<
5797:<
5737:cosh
5269:<
5224:<
4188:the
2319:For
1749:For
1698:and
1238:and
934:and
742:The
721:The
146:is
8404:11D
7160:doi
7138:142
7099:doi
7034:doi
6960:doi
6948:103
6863:doi
6841:369
6799:doi
6746:doi
6683:doi
6630:doi
6577:doi
6521:doi
6432:doi
6383:doi
6361:685
6306:doi
6253:doi
6193:doi
6171:477
6137:doi
6115:429
5986:of
5883:or
1657:if
976:,
620:by
30:In
8626::
8420:BF
7191:,
7166:.
7158:.
7150:.
7136:.
7113:.
7107:MR
7105:.
7097:.
7089:.
7075:.
7071:.
7048:.
7040:.
7032:.
7024:.
7012:97
7010:.
6958:.
6946:.
6919:.
6907:30
6905:.
6899:.
6891:;
6869:.
6861:.
6853:.
6835:.
6805:.
6797:.
6789:.
6775:.
6752:.
6744:.
6734:.
6726:.
6714:19
6712:.
6689:.
6681:.
6673:.
6659:.
6636:.
6628:.
6620:.
6606:.
6583:.
6575:.
6567:.
6553:.
6541:^
6527:.
6519:.
6511:.
6497:.
6430:.
6416:.
6412:.
6389:.
6381:.
6373:.
6359:.
6326:^
6312:.
6304:.
6296:.
6284:19
6282:.
6259:.
6251:.
6243:.
6229:.
6213:^
6199:.
6191:.
6183:.
6169:.
6157:^
6143:.
6135:.
6127:.
6113:.
6076:^
6012:.
5941:25
5887:.
5171:.
4791:1.
4062:.
2316:.
1150:.
1006:24
816:24
777:,
54:.
34:,
8039:e
8032:t
8025:v
7232:e
7225:t
7218:v
7174:.
7162::
7154::
7144::
7121:.
7101::
7093::
7083::
7077:7
7056:.
7036::
7028::
7018::
6994:.
6966:.
6962::
6954::
6923::
6913::
6877:.
6865::
6857::
6847::
6813:.
6801::
6793::
6783::
6760:.
6748::
6730::
6720::
6697:.
6685::
6677::
6667::
6644:.
6632::
6624::
6614::
6591:.
6579::
6571::
6561::
6535:.
6523::
6515::
6505::
6482:.
6476::
6461:.
6455::
6440:.
6434::
6424::
6397:.
6385::
6377::
6367::
6344:.
6338::
6320:.
6308::
6300::
6290::
6267:.
6255::
6247::
6237::
6207:.
6195::
6187::
6177::
6151:.
6139::
6131::
6121::
6098:.
6092::
6040:1
6034:c
6019:c
5935:c
5840:1
5833:b
5826:b
5806:1
5800:b
5794:0
5763:.
5759:)
5755:)
5749:b
5746:2
5743:(
5731:+
5701:(
5697:x
5692:2
5688:d
5675:4
5671:1
5666:=
5663:]
5657:[
5654:S
5618:2
5615:=
5610:N
5588:1
5585:=
5580:N
5517:1
5513:A
5478:+
5473:3
5469:H
5446:1
5442:U
5437:/
5431:2
5427:L
5423:S
5403:)
5399:R
5395:(
5390:2
5386:L
5382:S
5360:+
5355:3
5351:H
5323:)
5319:R
5315:(
5310:2
5306:L
5302:S
5272:0
5264:Q
5254:2
5250:b
5227:0
5219:Q
5209:2
5205:b
5201:,
5197:R
5188:2
5184:b
5128:1
5121:b
5114:b
5087:.
5079:)
5074:i
5070:z
5066:(
5058:i
5050:2
5046:e
5040:N
5035:1
5032:=
5029:i
5019:]
5013:[
5010:S
5003:e
4993:D
4987:=
4979:)
4974:i
4970:z
4966:(
4959:i
4950:V
4944:N
4939:1
4936:=
4933:i
4900:N
4867:b
4864:2
4860:e
4834:b
4831:1
4826:+
4823:b
4820:=
4817:Q
4788:=
4785:)
4782:b
4779:(
4744:b
4741:2
4737:e
4709:.
4706:)
4697:Q
4694:(
4688:=
4654:2
4650:e
4626:.
4621:2
4617:Q
4613:6
4610:+
4607:1
4604:=
4601:c
4571:.
4560:2
4550:z
4540:Q
4537:+
4532:2
4528:)
4514:z
4504:(
4501:=
4490:z
4478:z
4471:T
4467:=
4458:T
4451:,
4442:2
4437:z
4429:Q
4426:+
4421:2
4417:)
4408:z
4400:(
4397:=
4392:z
4389:z
4385:T
4381:=
4378:T
4352:.
4346:0
4343:=
4332:z
4320:z
4313:T
4307:z
4298:,
4294:0
4291:=
4286:z
4283:z
4279:T
4268:z
4257:,
4253:0
4250:=
4245:z
4236:z
4229:T
4225:=
4214:z
4208:z
4204:T
4173:,
4164:z
4158:d
4155:z
4152:d
4149:=
4140:x
4136:d
4127:x
4123:d
4111:g
4084:z
4043:,
4035:)
4030:2
4026:x
4022:,
4017:1
4013:x
4009:(
4003:b
4000:2
3996:e
3992:b
3981:=
3978:)
3973:2
3969:x
3965:,
3960:1
3956:x
3952:(
3945:)
3936:2
3931:2
3927:x
3917:2
3907:+
3899:2
3894:1
3890:x
3880:2
3869:(
3832:g
3807:)
3785:g
3779:2
3775:/
3771:1
3766:|
3761:g
3757:|
3753:(
3738:2
3734:/
3730:1
3722:|
3717:g
3713:|
3709:=
3683:,
3675:)
3672:x
3669:(
3663:b
3660:2
3656:e
3652:b
3641:+
3638:)
3635:x
3632:(
3629:R
3626:Q
3621:2
3618:1
3613:=
3610:)
3607:x
3604:(
3572:.
3567:b
3556:)
3551:2
3547:b
3543:(
3535:)
3530:2
3526:b
3519:1
3516:(
3507:4
3504:=
3404:R
3367:g
3343:,
3337:)
3329:b
3326:2
3322:e
3310:+
3304:R
3301:Q
3298:+
3260:g
3256:(
3251:g
3245:x
3240:2
3236:d
3223:4
3219:1
3214:=
3211:]
3205:[
3202:S
3159:b
3112:1
3106:g
3075:N
3051:N
3029:.
3020:)
3017:b
3014:i
3011:+
3008:x
3005:i
2999:(
2994:b
2991:i
2982:1
2977:=
2974:)
2971:x
2968:(
2963:b
2923:,
2914:)
2909:2
2896:1
2888:+
2883:3
2875:(
2870:b
2853:)
2848:1
2835:3
2827:+
2822:2
2814:(
2809:b
2792:)
2787:3
2774:2
2766:+
2761:1
2753:(
2748:b
2731:)
2728:Q
2720:3
2712:+
2707:2
2699:+
2694:1
2686:(
2681:b
2662:)
2657:3
2649:2
2646:(
2641:b
2624:)
2619:2
2611:2
2608:(
2603:b
2586:)
2581:1
2573:2
2570:(
2565:b
2548:)
2545:0
2542:(
2537:b
2516:3
2503:2
2490:1
2479:Q
2474:]
2465:b
2462:2
2454:b
2451:2
2445:)
2441:b
2438:i
2435:(
2431:[
2423:=
2416:3
2408:,
2403:2
2395:,
2390:1
2375:C
2348:)
2345:1
2342:,
2333:(
2327:c
2298:b
2270:,
2261:)
2256:2
2243:1
2235:+
2230:3
2222:(
2217:b
2209:)
2204:1
2191:3
2183:+
2178:2
2170:(
2165:b
2157:)
2152:3
2139:2
2131:+
2126:1
2118:(
2113:b
2105:)
2102:Q
2094:3
2086:+
2081:2
2073:+
2068:1
2060:(
2055:b
2045:)
2040:3
2032:2
2029:(
2024:b
2016:)
2011:2
2003:2
2000:(
1995:b
1987:)
1982:1
1974:2
1971:(
1966:b
1958:)
1955:0
1952:(
1944:b
1932:3
1919:2
1906:1
1895:Q
1890:]
1881:b
1878:2
1870:b
1867:2
1861:b
1856:[
1848:=
1841:3
1833:,
1828:2
1820:,
1815:1
1806:C
1778:)
1775:1
1772:,
1763:(
1757:c
1709:1
1686:)
1683:1
1680:,
1671:(
1665:c
1645:1
1642:+
1619:.
1610:)
1607:)
1601:2
1595:Q
1592:(
1587:b
1584:1
1579:(
1573:)
1570:)
1564:2
1558:Q
1555:(
1552:b
1549:(
1541:)
1538:)
1535:Q
1526:2
1523:(
1518:b
1515:1
1510:(
1504:)
1501:)
1498:Q
1489:2
1486:(
1483:b
1480:(
1466:2
1460:Q
1449:=
1446:)
1440:(
1437:R
1411:,
1405:)
1402:z
1399:(
1388:Q
1384:V
1380:)
1374:(
1371:R
1368:=
1365:)
1362:z
1359:(
1350:V
1313:V
1294:V
1268:)
1265:z
1262:(
1251:Q
1247:V
1226:)
1223:z
1220:(
1211:V
1190:)
1187:z
1184:(
1175:V
1130:)
1124:+
1121:,
1118:1
1115:(
1109:c
1083:.
1078:+
1073:R
1068:i
1065:+
1060:2
1057:Q
1021:+
1016:R
1011:+
1002:1
996:c
947:V
914:V
888:,
869:V
850:V
838:d
831:+
826:R
821:+
812:1
806:c
795:=
790:S
755:S
706:,
698:b
695:1
687:b
658:.
652:)
643:Q
640:(
634:=
558:.
550:2
546:Q
542:6
539:+
536:1
533:=
530:c
504:.
496:b
493:1
488:+
485:b
482:=
479:Q
453:,
441:Q
406:+
403:=
321:2
317:e
292:b
269:,
258:b
255:2
251:e
247:=
244:)
238:(
235:V
169:.
163:+
157:c
127:,
124:)
118:+
115:,
112:1
109:(
103:c
72:c
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
