3244:
1379:
20:
4225:
4980:
5097:
2862:
4603:. Furthermore, on its native domain, the radial coordinates of the inner loop are non-positive. The inner loop then is equivalently re-defined within the polar angle range of interest and with non-negative radial coordinates as
981:
5190:
1084:
4874:
1369:
The outer and inner loops of the limaçon trisectrix have angle trisection properties. Theoretically, an angle may be trisected using a method with either property, though practical considerations may limit use.
5259:
4693:
867:
2541:
4746:
1744:
573:
3108:
3038:
2963:
714:
5549:
5450:
5304:
4569:
3841:
4368:
4269:
4026:
3733:
3550:
2654:
4101:
1787:
3671:
3233:
3190:
5653:
4601:
2356:
5613:
2244:
660:
516:
74:
5711:
4468:
1147:
412:
257:
3759:
The inner loop of the limaçon trisectrix has the desirable property that the trisection of an angle is internal to the angle being trisected. Here, we examine the inner loop of
1199:
5885:
4325:
3798:
3286:
1687:
1421:
5406:
3939:
3436:
2151:
2056:
1967:
5482:
4425:
3147:
2577:
2461:
2425:
2390:
2113:
2082:
1826:
1456:
122:
4880:
2212:
1915:
362:
4394:
3576:
3518:
3487:
2893:
2716:
2685:
2608:
2310:
2279:
1642:
1611:
1580:
1549:
1518:
1487:
464:
4523:
3631:
5330:
4986:
2744:
4067:
4766:
2481:
5915:
5813:
5746:
4093:
1881:
1311:
1255:
612:
5778:
3991:
3404:
2019:
746:
435:
3753:
1340:
5578:
3887:
3332:
1285:
1229:
5836:
324:
5350:
4786:
4488:
3959:
3907:
3861:
3596:
3456:
3372:
3352:
3306:
2171:
1987:
1935:
1846:
301:
281:
2753:
6064:
6084:
by Robert C. Yates published in 1942 and reprinted by the
National Council of Teachers of Mathematics available at the U.S. Dept. of Education ERIC site.
879:
5103:
988:
4794:
5196:
4606:
1746:. Here, we examine the trisectrix property of the portion of the outer loop above the polar axis, i.e., defined on the interval
765:
5713:
trisects the line segment on the polar axis that serves as its axis of symmetry. Since the outer loop extends to the point
2486:
4698:
4571:
that defines the inner loop is problematic because the range of polar angles subject to trisection falls in the range
1692:
756:
521:
3043:
2973:
2898:
748:, and on the polar axis, is one-third of the distance from the pole compared to the furthest point of the outer loop.
665:
5491:
6125:
6046:(The National Council of Teachers of Mathematics ed.). Baton Rouge, Louisiana: Franklin Press. pp. 23–25.
5922:
5414:
5268:
4531:
4220:{\displaystyle r={\frac {-k}{\sin \theta -k\cos \theta }}={\frac {-k}{\cos(\theta -\phi )}}=-k\sec(\theta -\phi )}
3803:
716:, and is symmetric about the polar axis. The point furthest from the pole on the inner loop has the coordinates
4341:
4230:
3999:
3676:
3523:
2613:
5967:
1749:
3636:
3195:
3152:
6120:
5780:, the limaçon trisects the segment with endpoints at the pole (where the two loops intersect) and the point
5618:
4574:
2318:
1346:
183:
6017:
5946:
5583:
2217:
624:
480:
174:. The curve is one among a number of plane curve trisectrixes that includes the Conchoid of Nicomedes, the
26:
6100:
5666:
4430:
1313:. As a rose, the curve has the structure of a single petal with two loops that is inscribed in the circle
1102:
367:
212:
167:
1152:
179:
5849:
4975:{\displaystyle \rightarrow (\sin \alpha -k\cos \alpha )-2\cos \alpha \sin \alpha +2k\cos ^{2}\alpha =k}
4274:
3762:
3250:
1651:
1385:
1378:
5838:
is three times the length running from the pole to the other end of the inner loop along the segment.
5358:
3912:
3409:
2118:
2029:
1940:
6105:
5455:
4399:
3117:
2551:
2435:
2395:
2361:
2087:
2061:
1796:
1426:
1358:
191:
93:
6092:
animation of the outer loop angle trisection property produced by the
Wolfram Demonstration Project.
6089:
2176:
1886:
333:
4373:
3555:
576:
327:
187:
151:
5092:{\displaystyle \rightarrow \cos(\alpha -\phi )-\sin(2\alpha )+2k({\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}})=k}
3492:
3461:
2867:
2690:
2659:
2582:
2284:
2253:
1616:
1585:
1554:
1523:
1492:
1461:
443:
1092:
163:
4493:
3601:
3243:
5309:
2721:
5992:
4031:
579:
about the polar axis. The point furthest from the pole on the outer loop has the coordinates
6095:
4751:
2466:
5890:
5783:
5716:
4072:
1851:
1290:
1234:
582:
5751:
3964:
3377:
1992:
719:
417:
6058:
3738:
1316:
162:. The shape of the limaçon trisectrix can be specified by other curves particularly as a
5557:
3866:
3311:
1260:
1204:
5995:
5818:
306:
5335:
4771:
4473:
3944:
3892:
3846:
3581:
3441:
3357:
3337:
3291:
2857:{\displaystyle m\angle {PMB}=m\angle {QMB}-m\angle {QMP}=2\alpha -\alpha /2=3\alpha /2}
2156:
1972:
1920:
1831:
286:
266:
203:
19:
6114:
1345:
The inverse of this rose is a trisectrix since the inverse has the same shape as the
175:
6081:
6038:
976:{\displaystyle x=(a+2a\cos \theta )\cos \theta =a(1+\cos \theta +\cos(2\theta ))}
5185:{\displaystyle \rightarrow \cos(\alpha -\phi )-\sin(2\alpha )+k\cos(2\alpha )=0}
171:
1689:
reveals its angle trisection properties. The outer loop exists on the interval
1079:{\displaystyle y=(a+2a\cos \theta )\sin \theta =a(\sin \theta +\sin(2\theta ))}
90:, the resulting curve is the reflection of this curve with respect to the line
3843:. The trisection property is that given a central angle that includes a point
3247:
Angle trisection property of the (green) inner loop of the limaçon trisectrix
1382:
Angle trisection property of the (green) outer loop of the limaçon trisectrix
159:
155:
137:
3800:
that lies above the polar axis, which is defined on the polar angle interval
6000:
5926:
5918:
438:
4869:{\displaystyle -(1-2\cos \alpha )={\frac {-k}{\sin \alpha -k\cos \alpha }}}
6106:"Limaçon Trisecteur" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
143:
3889:, has a measure three times the measure of the polar angle of the point
4335:(y,x) gives the polar angle of the Cartesian coordinate point (x,y).)
5254:{\displaystyle \rightarrow \cos(\alpha -\phi )=\cos(2\alpha -\phi )}
5554:
The upper half of the inner loop can trisect any central angle of
4332:
3242:
3114:
The upper half of the outer loop can trisect any central angle of
1883:
on the polar axis, and has a diameter that is tangent to the line
1377:
18:
6057:
5332:, the polar axis, a line that intersects both curves but not at
132:. The inner and outer loops of the curve intersect at the pole.
4688:{\displaystyle r=-(1+2\cos(\theta +\pi ))=-(1-2\cos \theta )}
283:
may be positive or negative. The two curves with constants
6101:"Trisectrix" at A Visual Dictionary of Special Plane Curves
862:{\displaystyle a^{2}(x^{2}+y^{2})=(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}}
4528:
With respect to the limaçon, the range of polar angles
23:
The limaçon trisectrix specified as the polar equation
5265:
The last equation has two solutions, the first being:
5893:
5852:
5821:
5786:
5754:
5719:
5669:
5621:
5586:
5560:
5494:
5458:
5417:
5361:
5338:
5312:
5271:
5199:
5106:
4989:
4883:
4797:
4774:
4754:
4701:
4609:
4577:
4534:
4496:
4476:
4433:
4402:
4376:
4344:
4277:
4233:
4104:
4075:
4034:
4002:
3967:
3947:
3915:
3895:
3869:
3849:
3806:
3765:
3741:
3679:
3639:
3604:
3584:
3558:
3526:
3495:
3464:
3444:
3412:
3380:
3360:
3340:
3314:
3294:
3253:
3198:
3155:
3120:
3046:
2976:
2901:
2870:
2756:
2724:
2693:
2662:
2616:
2585:
2554:
2489:
2469:
2438:
2398:
2364:
2321:
2287:
2256:
2220:
2179:
2159:
2121:
2090:
2064:
2032:
1995:
1975:
1943:
1923:
1889:
1854:
1834:
1799:
1752:
1695:
1654:
1619:
1588:
1557:
1526:
1495:
1464:
1429:
1388:
1319:
1293:
1263:
1237:
1207:
1155:
1105:
991:
882:
768:
722:
668:
627:
585:
524:
483:
446:
420:
370:
336:
309:
289:
269:
215:
96:
29:
5551:demonstrating the larger angle has been trisected.
2536:{\displaystyle m\angle {QAB}=m\angle {AQM}=\alpha }
6068:. Vol. 27 (11th ed.). 1911. p. 292.
5909:
5879:
5830:
5807:
5772:
5740:
5705:
5647:
5607:
5572:
5543:
5476:
5444:
5400:
5344:
5324:
5298:
5253:
5184:
5091:
4974:
4868:
4780:
4760:
4740:
4687:
4595:
4563:
4517:
4482:
4462:
4419:
4388:
4362:
4319:
4263:
4219:
4087:
4061:
4020:
3985:
3953:
3933:
3901:
3881:
3863:lying on the unit circle with center at the pole,
3855:
3835:
3792:
3747:
3727:
3665:
3625:
3590:
3570:
3544:
3512:
3481:
3450:
3430:
3398:
3366:
3346:
3326:
3300:
3280:
3227:
3184:
3141:
3102:
3032:
2957:
2887:
2856:
2738:
2710:
2679:
2648:
2602:
2571:
2535:
2475:
2455:
2419:
2384:
2350:
2304:
2273:
2238:
2206:
2165:
2145:
2107:
2076:
2050:
2013:
1981:
1961:
1929:
1909:
1875:
1840:
1820:
1781:
1738:
1681:
1636:
1605:
1574:
1543:
1512:
1481:
1450:
1415:
1334:
1305:
1279:
1249:
1223:
1201:. Corresponding points of the rose are a distance
1193:
1141:
1078:
975:
861:
740:
708:
654:
606:
567:
510:
458:
429:
406:
356:
318:
295:
275:
251:
116:
68:
469:The limaçon trisectrix is composed of two loops.
4741:{\displaystyle -\cos(\theta +\pi )=\cos \theta }
1739:{\displaystyle -2\pi /3\leq \theta \leq 2\pi /3}
1489:. The (red) construction results in two angles,
751:The outer and inner loops intersect at the pole.
568:{\displaystyle -2\pi /3\leq \theta \leq 2\pi /3}
5925:equal to 2, a curve that is a trisectrix. (See
5655:which is in the domain of the re-defined loop.
3633:. The inner loop is re-defined on the interval
3103:{\displaystyle m\angle {PAB}/m\angle {QMB}=2/3}
3033:{\displaystyle m\angle {QPM}/m\angle {QMB}=1/3}
2958:{\displaystyle m\angle {QMP}/m\angle {PMB}=1/3}
709:{\displaystyle 2\pi /3\leq \theta \leq 4\pi /3}
5544:{\displaystyle m\angle {CAM}=3(m\angle {PAM})}
3755:where its radial coordinates are non-positive.
1937:. Denote the diameter containing the pole as
1361:on the limaçon as an instance of the sectrix.
5972:Harvard College Research Program project 2008
5355:The second solution is based on the identity
190:. The limaçon trisectrix a special case of a
8:
5445:{\displaystyle \alpha -\phi =\phi -2\alpha }
5299:{\displaystyle \alpha -\phi =2\alpha -\phi }
4564:{\displaystyle \pi \leq \theta \leq 4\pi /3}
4396:, it bisects the apex of isosceles triangle
3836:{\displaystyle \pi \leq \theta \leq 4\pi /3}
5842:Relationship with the trisectrix hyperbola
4363:{\displaystyle {\overleftrightarrow {CM}}}
4264:{\displaystyle \tan \phi ={\frac {1}{-k}}}
4021:{\displaystyle {\overleftrightarrow {CM}}}
3728:{\displaystyle r=-(1+2\cos(\theta +\pi ))}
3545:{\displaystyle {\overleftrightarrow {CM}}}
3235:which is in the domain of the outer loop.
2649:{\displaystyle m\angle {PQM}=\pi -\alpha }
2250:Given this construction, it is shown that
1353:Relationship with the sectrix of Maclaurin
5898:
5892:
5851:
5820:
5785:
5753:
5718:
5668:
5637:
5620:
5585:
5559:
5527:
5501:
5493:
5457:
5416:
5360:
5337:
5311:
5270:
5198:
5105:
5047:
4988:
4954:
4882:
4828:
4796:
4773:
4753:
4700:
4608:
4576:
4553:
4533:
4495:
4475:
4440:
4432:
4406:
4401:
4375:
4345:
4343:
4276:
4246:
4232:
4152:
4111:
4103:
4074:
4033:
4003:
4001:
3996:In Cartesian coordinates the equation of
3966:
3946:
3916:
3914:
3894:
3868:
3848:
3825:
3805:
3764:
3740:
3735:because its native range is greater than
3678:
3655:
3638:
3603:
3583:
3557:
3527:
3525:
3499:
3494:
3468:
3463:
3443:
3413:
3411:
3379:
3359:
3339:
3313:
3293:
3252:
3217:
3197:
3168:
3154:
3119:
3092:
3075:
3064:
3053:
3045:
3022:
3005:
2994:
2983:
2975:
2947:
2930:
2919:
2908:
2900:
2874:
2869:
2846:
2829:
2803:
2783:
2763:
2755:
2728:
2723:
2697:
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2666:
2661:
2623:
2615:
2589:
2584:
2558:
2553:
2516:
2496:
2488:
2468:
2442:
2437:
2397:
2366:
2365:
2363:
2328:
2320:
2291:
2286:
2260:
2255:
2219:
2178:
2158:
2120:
2094:
2089:
2063:
2033:
2031:
1994:
1974:
1944:
1942:
1922:
1899:
1888:
1853:
1833:
1798:
1782:{\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi /3}
1771:
1751:
1728:
1705:
1694:
1653:
1623:
1618:
1592:
1587:
1561:
1556:
1530:
1525:
1499:
1494:
1468:
1463:
1428:
1387:
1318:
1292:
1272:
1264:
1262:
1236:
1231:to the left of the limaçon's points when
1216:
1208:
1206:
1180:
1154:
1104:
990:
881:
853:
831:
818:
799:
786:
773:
767:
721:
698:
675:
667:
626:
584:
557:
534:
523:
482:
445:
419:
369:
346:
335:
308:
288:
268:
214:
106:
95:
28:
3666:{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /3}
5937:
3228:{\displaystyle 0<\alpha <2\pi /3}
3185:{\displaystyle 0<3\alpha /2<\pi }
1458:is required to prove the trisection of
1342:and is symmetric about the polar axis.
5648:{\displaystyle 0<\alpha <\pi /3}
4596:{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }
3438:(in red) intersects the inner loop at
2432:The base angles of isosceles triangle
2351:{\displaystyle m\angle {QMB}=2\alpha }
1648:The construction of the outer loop of
202:The limaçon trisectrix specified as a
5608:{\displaystyle 0<3\alpha <\pi }
2548:The apex angle of isosceles triangle
2239:{\displaystyle 0<\alpha \leq \pi }
1613:, that has two-thirds the measure of
1551:, that have one-third the measure of
655:{\displaystyle 1+2\cos \theta \leq 0}
511:{\displaystyle 1+2\cos \theta \geq 0}
69:{\displaystyle r=a(1+2\cos \theta ),}
7:
6090:"Trisecting an Angle with a Limaçon"
5706:{\displaystyle r=a(1+2\cos \theta )}
4463:{\displaystyle m\angle {CAM}=2\phi }
1142:{\displaystyle r=a(1+2\cos \theta )}
407:{\displaystyle r=a(1+2\cos \theta )}
252:{\displaystyle r=a(1+2\cos \theta )}
2058:of the circle with the polar angle
1194:{\displaystyle r=2a\cos(\theta /3)}
1099:In polar coordinates, the shape of
5524:
5498:
4437:
4403:
3496:
3465:
3072:
3050:
3002:
2980:
2927:
2905:
2871:
2800:
2780:
2760:
2694:
2663:
2620:
2586:
2555:
2513:
2493:
2439:
2325:
2288:
2257:
2173:on the outer loop has coordinates
2091:
1620:
1589:
1558:
1527:
1496:
1465:
14:
5880:{\displaystyle r=1+2\cos \theta }
4320:{\displaystyle \phi =atan2(1,-k)}
3793:{\displaystyle r=1+2\cos \theta }
3281:{\displaystyle r=1+2\cos \theta }
2656:. Consequently the base angles,
2358:, as it is the central angle for
1682:{\displaystyle r=1+2\cos \theta }
1416:{\displaystyle r=1+2\cos \theta }
5748:and the inner loop to the point
5659:Line segment trisection property
5401:{\displaystyle \cos(x)=\cos(-x)}
3934:{\displaystyle {\overline {CM}}}
3431:{\displaystyle {\overline {CM}}}
2146:{\displaystyle AQ=2\cos \alpha }
2051:{\displaystyle {\overline {AQ}}}
1962:{\displaystyle {\overline {AB}}}
1793:First, note that polar equation
1149:is the same as that of the rose
198:Specification and loop structure
5477:{\displaystyle 2\phi =3\alpha }
4420:{\displaystyle \triangle {CAM}}
3142:{\displaystyle r=2\cos \theta }
2572:{\displaystyle \triangle {PQM}}
2456:{\displaystyle \triangle {AMQ}}
2420:{\displaystyle r=2\cos \theta }
2385:{\displaystyle {\widehat {QB}}}
2108:{\displaystyle \triangle {AQB}}
2077:{\displaystyle \theta =\alpha }
1821:{\displaystyle r=2\cos \theta }
1451:{\displaystyle r=2\cos \theta }
1423:. The (blue) generating circle
117:{\displaystyle \theta =\pi /2.}
5802:
5787:
5767:
5755:
5735:
5720:
5700:
5679:
5538:
5518:
5395:
5386:
5374:
5368:
5248:
5233:
5221:
5209:
5200:
5173:
5164:
5149:
5140:
5128:
5116:
5107:
5080:
5071:
5062:
5044:
5032:
5023:
5011:
4999:
4990:
4914:
4887:
4884:
4822:
4801:
4723:
4711:
4682:
4661:
4652:
4649:
4637:
4619:
4512:
4497:
4314:
4299:
4214:
4202:
4181:
4169:
4095:, which is the polar equation
4056:
4044:
3980:
3968:
3722:
3719:
3707:
3689:
3620:
3605:
3393:
3381:
3239:Inner loop trisectrix property
2207:{\displaystyle (AQ+1,\alpha )}
2201:
2180:
2008:
1996:
1910:{\displaystyle \theta =\pi /2}
1870:
1858:
1374:Outer loop trisectrix property
1273:
1265:
1217:
1209:
1188:
1174:
1136:
1115:
1073:
1070:
1061:
1040:
1022:
998:
970:
967:
958:
931:
913:
889:
850:
811:
805:
779:
755:The curve can be specified in
735:
723:
601:
586:
401:
380:
357:{\displaystyle \theta =\pi /2}
330:of each other across the line
246:
225:
60:
39:
1:
5846:Given the limaçon trisectrix
4748:. Thus, the polar coordinate
4470:and the polar coordinates of
4389:{\displaystyle \theta =\phi }
3909:at the intersection of chord
3571:{\displaystyle \theta =\phi }
3520:. The (black) normal line to
2281:and two other angles trisect
5927:Hyperbola - angle trisection
5815:, where the total length of
3926:
3513:{\displaystyle \angle {CAM}}
3482:{\displaystyle \angle {PAM}}
3423:
2888:{\displaystyle \angle {PMB}}
2711:{\displaystyle \angle {QPM}}
2680:{\displaystyle \angle {QMP}}
2603:{\displaystyle \angle {AQM}}
2305:{\displaystyle \angle {PMB}}
2274:{\displaystyle \angle {QMP}}
2043:
1954:
1637:{\displaystyle \angle {PMB}}
1606:{\displaystyle \angle {PAB}}
1575:{\displaystyle \angle {PMB}}
1544:{\displaystyle \angle {QPM}}
1513:{\displaystyle \angle {QMP}}
1482:{\displaystyle \angle {PMB}}
662:on the polar angle interval
518:on the polar angle interval
459:{\displaystyle \cos \theta }
5917:is the polar equation of a
2153:. The corresponding point
2026:Second, consider any chord
6142:
4518:{\displaystyle (1,2\phi )}
3941:and the inner loop, where
3626:{\displaystyle (1,2\phi )}
3308:on the (blue) unit circle
135:
6096:"Limaçon" at 2dcurves.com
6037:Yates, Robert C. (1942).
5325:{\displaystyle \alpha =0}
4338:Since the normal line to
2739:{\displaystyle \alpha /2}
873:and parametric equations
6082:"The Trisection Problem"
5968:"Chonchoid of Nicomedes"
4062:{\displaystyle y=k(x-1)}
1828:is a circle with radius
437:given the period of the
6065:Encyclopædia Britannica
5663:The limaçon trisectrix
4761:{\displaystyle \alpha }
2476:{\displaystyle \alpha }
1347:trisectrix of Maclaurin
184:Trisectrix of Maclaurin
158:that is specified as a
6040:The Trisection Problem
5911:
5910:{\displaystyle r^{-1}}
5881:
5832:
5809:
5808:{\displaystyle (3a,0)}
5774:
5742:
5741:{\displaystyle (3a,0)}
5707:
5649:
5609:
5574:
5545:
5478:
5446:
5408:which is expressed as
5402:
5346:
5326:
5300:
5255:
5186:
5093:
4976:
4870:
4782:
4762:
4742:
4689:
4597:
4565:
4519:
4484:
4464:
4421:
4390:
4364:
4321:
4265:
4221:
4089:
4088:{\displaystyle k<0}
4063:
4022:
3987:
3955:
3935:
3903:
3883:
3857:
3837:
3794:
3756:
3749:
3729:
3667:
3627:
3592:
3572:
3546:
3514:
3483:
3452:
3432:
3400:
3368:
3348:
3328:
3302:
3282:
3229:
3186:
3143:
3104:
3034:
2959:
2889:
2858:
2740:
2712:
2681:
2650:
2604:
2579:is supplementary with
2573:
2537:
2477:
2457:
2421:
2386:
2352:
2306:
2275:
2240:
2208:
2167:
2147:
2109:
2078:
2052:
2015:
1983:
1963:
1931:
1911:
1877:
1876:{\displaystyle M(1,0)}
1842:
1822:
1783:
1740:
1683:
1645:
1638:
1607:
1576:
1545:
1514:
1483:
1452:
1417:
1336:
1307:
1306:{\displaystyle a<0}
1281:
1251:
1250:{\displaystyle a>0}
1225:
1195:
1143:
1080:
977:
863:
742:
710:
656:
608:
607:{\displaystyle (3a,0)}
569:
512:
460:
431:
408:
358:
320:
297:
277:
253:
133:
118:
70:
5912:
5882:
5833:
5810:
5775:
5773:{\displaystyle (a,0)}
5743:
5708:
5650:
5610:
5575:
5546:
5479:
5447:
5403:
5347:
5327:
5301:
5256:
5187:
5094:
4977:
4871:
4783:
4763:
4743:
4690:
4598:
4566:
4520:
4485:
4465:
4422:
4391:
4365:
4322:
4266:
4222:
4090:
4064:
4023:
3988:
3986:{\displaystyle (1,0)}
3956:
3936:
3904:
3884:
3858:
3838:
3795:
3750:
3730:
3668:
3628:
3593:
3573:
3547:
3515:
3484:
3453:
3433:
3401:
3399:{\displaystyle (1,0)}
3369:
3349:
3334:centered at the pole
3329:
3303:
3283:
3246:
3230:
3187:
3144:
3105:
3035:
2960:
2890:
2859:
2741:
2713:
2682:
2651:
2605:
2574:
2538:
2478:
2458:
2422:
2387:
2353:
2307:
2276:
2241:
2209:
2168:
2148:
2115:is a right triangle,
2110:
2079:
2053:
2016:
2014:{\displaystyle (2,0)}
1984:
1964:
1932:
1912:
1878:
1843:
1823:
1784:
1741:
1684:
1639:
1608:
1577:
1546:
1515:
1484:
1453:
1418:
1381:
1365:Trisection properties
1337:
1308:
1282:
1252:
1226:
1196:
1144:
1081:
978:
864:
757:Cartesian coordinates
743:
741:{\displaystyle (a,0)}
711:
657:
609:
570:
513:
461:
432:
430:{\displaystyle 2\pi }
409:
359:
321:
298:
278:
254:
180:Quadratrix of Hippias
150:is the name for the
119:
71:
22:
5891:
5850:
5819:
5784:
5752:
5717:
5667:
5619:
5584:
5558:
5492:
5456:
5415:
5359:
5352:on the unit circle.
5336:
5310:
5269:
5197:
5104:
4987:
4881:
4795:
4772:
4752:
4699:
4607:
4575:
4532:
4494:
4474:
4431:
4400:
4374:
4342:
4275:
4231:
4102:
4073:
4032:
4000:
3965:
3945:
3913:
3893:
3867:
3847:
3804:
3763:
3748:{\displaystyle \pi }
3739:
3677:
3637:
3602:
3582:
3556:
3524:
3493:
3462:
3442:
3410:
3378:
3358:
3338:
3312:
3292:
3251:
3196:
3153:
3118:
3044:
2974:
2899:
2895:is trisected, since
2868:
2754:
2722:
2691:
2660:
2614:
2583:
2552:
2487:
2467:
2436:
2396:
2362:
2319:
2285:
2254:
2218:
2177:
2157:
2119:
2088:
2062:
2030:
1993:
1973:
1941:
1921:
1887:
1852:
1832:
1797:
1750:
1693:
1652:
1617:
1586:
1555:
1524:
1493:
1462:
1427:
1386:
1359:Sectrix of Maclaurin
1335:{\displaystyle r=2a}
1317:
1291:
1261:
1235:
1205:
1153:
1103:
989:
880:
766:
720:
666:
625:
583:
522:
481:
444:
418:
368:
334:
307:
287:
267:
213:
192:sectrix of Maclaurin
94:
27:
5573:{\displaystyle r=1}
5306:, which results in
3882:{\displaystyle r=1}
3327:{\displaystyle r=1}
1280:{\displaystyle |a|}
1224:{\displaystyle |a|}
188:Tschirnhausen cubic
152:quartic plane curve
16:Quartic plane curve
6059:"Trisectrix"
5993:Weisstein, Eric W.
5907:
5877:
5831:{\displaystyle 3a}
5828:
5805:
5770:
5738:
5703:
5645:
5605:
5570:
5541:
5474:
5442:
5398:
5342:
5322:
5296:
5251:
5182:
5089:
4972:
4866:
4778:
4758:
4738:
4685:
4593:
4561:
4515:
4480:
4460:
4417:
4386:
4360:
4317:
4261:
4217:
4085:
4059:
4018:
3983:
3951:
3931:
3899:
3879:
3853:
3833:
3790:
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