717:
410:
1084:
712:{\displaystyle s=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {dq}{d\lambda }},{\frac {dq}{d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}}
3791:
3283:
751:
signature convention) be negative and the negative square root of the square of the line element along the curve would measure the proper time passing for an observer moving along the curve. From this point of view, the metric also defines in addition to line element the
3436:
2491:
1681:
3592:
3974:
721:
To compute a sensible length of curves in pseudo
Riemannian manifolds, it is best to assume that the infinitesimal displacements have the same sign everywhere. E.g. in physics the square of a line element along a timeline curve would (in the
2749:
2079:
1281:
1920:
4072:
266:
2615:
1412:
1748:
3137:
3528:
2261:
2979:
3113:
3296:
4146:
1532:
1548:
2841:
3801:
2334:
3587:
1028:
2364:
2158:
2899:
1163:
1184:
3019:
1763:
401:
365:
3994:
791:
188:
183:
3049:
3786:{\displaystyle ={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}}
325:
1288:
1686:
887:
2645:
917:
851:
821:
749:
1982:
79:
4216:
3443:
2497:
2904:
4079:
4206:
1417:
4305:
2184:
3278:{\displaystyle =\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}
3057:
106:
4337:
4321:
4284:
4265:
952:
2755:
2621:
1048:
3431:{\displaystyle \mathbf {x} =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,\mathbf {r} )\,\Rightarrow \,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r} )}
1122:
4360:
4231:
4370:
4365:
2340:
1958:
2267:
4300:
Vector
Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009,
3544:
2486:{\displaystyle ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}}
4194:
153:
102:
1676:{\displaystyle ={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix}}}
3538:
2085:
185:(in pseudo Riemannian manifolds possibly negative) whose square root should be used for computing curve length:
3969:{\displaystyle ds^{2}=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}
4355:
856:
4191:
2164:
1757:
924:
4211:
4180:
2856:
1542:
4316:
An introduction to Tensor
Analysis: For Engineers and Applied Scientists, J.R. Tyldesley, Longman, 1975,
1112:
295:
2986:
1170:
370:
334:
1096:
771:
163:
149:
42:
3024:
4184:
4176:
4168:
4164:
3117:
The coordinate basis is a special type of basis that is regularly used in differential geometry.
853:
as a definition of the metric tensor itself, written in a suggestive but non tensorial notation:
753:
301:
157:
94:
2744:{\displaystyle ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
823:
completely defines the metric, and it is therefore usually best to consider the expression for
19:
This article is about lines in mathematics. For Long
Interspersed Nuclear Elements in DNA, see
4333:
4317:
4301:
4280:
4261:
1092:
1052:
122:
4188:
3131:
2074:{\displaystyle ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
1063:
892:
826:
796:
1276:{\displaystyle ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
1116:
1078:
725:
20:
3285:
where one sign or the other is chosen, both conventions are used. This applies only for
1915:{\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}+h_{2}^{2}(dq^{2})^{2}+h_{3}^{2}(dq^{3})^{2}}
61:
4236:
4226:
3286:
1033:
949:, where it is written as a symmetric rank 2 tensor coinciding with the metric tensor:
757:
118:
4067:{\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g(d\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )}
261:{\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g(d\mathbf {q} ,d\mathbf {q} )}
4349:
4221:
2610:{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ d\phi \ ^{2}}
292:
281:
273:
54:
39:
1407:{\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})=(x,y,z)\,\Rightarrow \,d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}
46:
1743:{\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}
4260:
Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973,
90:
3290:
328:
134:
50:
4172:
3988:
1066:
146:
98:
49:. The length of the line element, which may be thought of as a differential
1103:
Following are examples of how the line elements are found from the metric.
3795:(note the similitudes with the metric in 3D spherical polar coordinates).
3523:{\displaystyle ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} ).}
1083:
3983:
The coordinate-independent definition of the square of the line element d
404:
27:
3021:
and the inner product is with respect to the ambient space (usually its
4279:
Tensor
Calculus, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988,
764:
Identification of the square of the line element with the metric tensor
86:
2256:{\displaystyle ={\begin{pmatrix}1&0\\0&r^{2}\\\end{pmatrix}}}
1285:
The general curvilinear coordinates reduce to
Cartesian coordinates:
2974:{\displaystyle g_{ij}=\langle {\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\rangle }
2901:, the metric is defined as the inner product of the basis vectors.
160:) is the "square of the length" of an infinitesimal displacement
3108:{\displaystyle {\hat {b}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
1082:
1055:
38:
can be informally thought of as a line segment associated with an
1059:
4141:{\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}
1924:
Some examples of line elements in these coordinates are below.
1051:
is used. Common examples of (pseudo) Riemannian spaces include
298:
on the (pseudo) Riemannian manifold. By parametrizing a curve
4332:
Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006,
1527:{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}
4296:
4294:
4292:
4167:- the measure of separation between two arbitrarily close
137:-independent definition of the square of the line element
2836:{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+dz^{2}}
3623:
3171:
2676:
2395:
2215:
2013:
1579:
1215:
4256:
4254:
4252:
4082:
3997:
3804:
3595:
3547:
3446:
3299:
3140:
3060:
3027:
2989:
2907:
2859:
2758:
2648:
2500:
2367:
2270:
2187:
2088:
1985:
1766:
1689:
1551:
1420:
1291:
1187:
1125:
955:
895:
859:
829:
799:
774:
728:
413:
373:
337:
304:
191:
166:
64:
4140:
4066:
3968:
3785:
3581:
3522:
3430:
3277:
3107:
3043:
3013:
2973:
2893:
2835:
2743:
2609:
2485:
2328:
2255:
2152:
2073:
1914:
1742:
1675:
1526:
1406:
1275:
1157:
1022:
911:
881:
845:
815:
785:
743:
711:
395:
359:
319:
260:
177:
73:
2853:Given an arbitrary basis of a space of dimension
889:This identification of the square of arc length
2329:{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}
3582:{\displaystyle \left(t,r,\theta ,\phi \right)}
4217:List of integration and measure theory topics
8:
2968:
2924:
2888:
2866:
1023:{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g.}
919:with the metric is even more easy to see in
793:is an arbitrary "square of the arc length",
129:Definition of the line element and arclength
16:Line segment of infinitesimally small length
2153:{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}
4132:
4119:
4103:
4090:
4081:
4056:
4045:
4028:
4017:
4005:
3996:
3957:
3949:
3937:
3927:
3914:
3906:
3900:
3887:
3879:
3873:
3851:
3843:
3837:
3812:
3803:
3763:
3753:
3719:
3685:
3642:
3618:
3603:
3594:
3546:
3509:
3498:
3486:
3473:
3454:
3445:
3420:
3394:
3390:
3386:
3378:
3354:
3341:
3328:
3315:
3300:
3298:
3166:
3148:
3139:
3096:
3083:
3074:
3063:
3062:
3059:
3032:
3026:
2988:
2962:
2951:
2950:
2940:
2929:
2928:
2912:
2906:
2882:
2871:
2870:
2858:
2827:
2811:
2795:
2782:
2766:
2757:
2705:
2671:
2656:
2647:
2601:
2576:
2566:
2553:
2537:
2524:
2508:
2499:
2463:
2453:
2424:
2390:
2375:
2366:
2320:
2307:
2294:
2278:
2269:
2239:
2210:
2195:
2186:
2144:
2128:
2112:
2096:
2087:
2008:
1993:
1984:
1906:
1896:
1880:
1875:
1862:
1852:
1836:
1831:
1818:
1808:
1792:
1787:
1774:
1765:
1727:
1713:
1707:
1694:
1688:
1659:
1654:
1625:
1620:
1591:
1586:
1574:
1559:
1550:
1518:
1502:
1486:
1470:
1457:
1441:
1428:
1419:
1366:
1362:
1358:
1325:
1312:
1299:
1290:
1210:
1195:
1186:
1146:
1130:
1124:
1005:
992:
976:
963:
954:
903:
894:
867:
858:
837:
828:
807:
798:
778:
773:
727:
685:
675:
658:
648:
639:
628:
614:
609:
602:
597:
558:
535:
520:
506:
501:
494:
489:
469:
455:
441:
436:
429:
424:
412:
384:
372:
348:
336:
331:of the curve length of the curve between
303:
250:
239:
222:
211:
199:
190:
170:
165:
63:
4207:Covariance and contravariance of vectors
3589:, being the general metric of the form:
1926:
1760:, so the square of the line element is:
4248:
1115:- in which case the metric is just the
4275:
4273:
7:
2894:{\displaystyle n,\{{\hat {b}}_{i}\}}
4160:run over 0, 1, 2, 3 for spacetime.
3289:. The coordinates are given by the
1158:{\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}
3089:
3085:
1720:
1710:
1537:Orthogonal curvilinear coordinates
14:
1099:of the space curve (light green).
4187:it is invariant under arbitrary
4148:where for this case the indices
4057:
4046:
4029:
4018:
3510:
3499:
3421:
3395:
3379:
3301:
1714:
1367:
1111:The simplest line element is in
1073:Line elements in Euclidean space
779:
251:
240:
223:
212:
171:
3014:{\displaystyle 1\leq i,j\leq n}
2849:General curvilinear coordinates
396:{\displaystyle q(\lambda _{2})}
360:{\displaystyle q(\lambda _{1})}
4061:
4039:
3870:
3863:
3834:
3827:
3682:
3675:
3639:
3632:
3612:
3596:
3514:
3466:
3425:
3402:
3387:
3383:
3366:
3360:
3308:
3157:
3141:
3068:
2956:
2934:
2876:
2665:
2649:
2384:
2368:
2204:
2188:
2002:
1986:
1903:
1886:
1859:
1842:
1815:
1798:
1568:
1552:
1401:
1374:
1359:
1355:
1337:
1331:
1292:
1204:
1188:
1095:Euclidean space, where λ is a
390:
377:
354:
341:
314:
308:
255:
233:
1:
3121:Line elements in 4d spacetime
1049:Einstein summation convention
786:{\displaystyle d\mathbf {q} }
178:{\displaystyle d\mathbf {q} }
4232:Raising and lowering indices
3044:{\displaystyle \delta _{ij}}
89:, especially in theories of
21:Retrotransposon § LINEs
1169:= 1, 2, 3 for space) or in
320:{\displaystyle q(\lambda )}
4387:
4195:coordinate transformations
1076:
1043:take values 1, 2, 3, ...,
154:Pseudo Riemannian manifold
116:
103:Pseudo-Riemannian manifold
85:Line elements are used in
18:
4076:In terms of coordinates:
3539:Schwarzschild coordinates
3533:Schwarzschild coordinates
1062:coordinates), and indeed
3798:so the line element is:
3440:so the line element is:
1545:the metric is given by:
882:{\displaystyle ds^{2}=g}
101:is modelled as a curved
4181:Lorentz transformations
925:curvilinear coordinates
117:For notation used, see
53:, is a function of the
4212:First fundamental form
4179:it is invariant under
4142:
4068:
3970:
3787:
3583:
3524:
3432:
3279:
3109:
3054:In a coordinate basis
3045:
3015:
2975:
2895:
2837:
2745:
2611:
2487:
2330:
2257:
2154:
2075:
1916:
1744:
1677:
1543:orthogonal coordinates
1528:
1408:
1277:
1159:
1100:
1024:
913:
912:{\displaystyle ds^{2}}
883:
847:
846:{\displaystyle ds^{2}}
817:
816:{\displaystyle ds^{2}}
787:
745:
713:
397:
361:
321:
262:
179:
156:(in physics usually a
75:
4143:
4069:
3971:
3788:
3584:
3525:
3433:
3280:
3110:
3046:
3016:
2976:
2896:
2838:
2746:
2612:
2488:
2331:
2258:
2155:
2076:
1917:
1745:
1678:
1529:
1409:
1278:
1160:
1113:Cartesian coordinates
1107:Cartesian coordinates
1087:Vector line element d
1086:
1025:
923:-dimensional general
914:
884:
848:
818:
788:
746:
714:
398:
362:
322:
263:
180:
76:
4080:
3995:
3802:
3593:
3545:
3444:
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