1914:
964:
1125:
803:
1286:
202:
628:
196:
963:
802:
1124:
1285:
2063:
1441:
1278:
1117:
956:
1998:
479:
1377:
1214:
1053:
892:
1770:
1899:
467:
41:
794:
672:
753:
726:
699:
380:
353:
326:
1827:
1695:
1668:
1641:
1606:
1579:
1552:
292:
265:
238:
2223:
1913:
2093:
1448:
2476:
1794:, 12a427, 12a1019, 12a1105, 12a1202, 12n706). Since this is so rare, ′most′ prime Lissajous knots lie in the even case.
969:
2004:
1382:
1219:
1058:
897:
623:{\displaystyle n_{x}\phi _{y}-n_{y}\phi _{x},\quad n_{y}\phi _{z}-n_{z}\phi _{y},\quad n_{z}\phi _{x}-n_{x}\phi _{z}}
2316:
Przytycki, Jozef H. (2004). "Symmetric knots and billiard knots". In
Stasiak, A.; Katrich, V.; Kauffman, L. (eds.).
1920:
1500:
1299:
1136:
1130:
975:
814:
400:
transforms every
Lissajous knot isotopically into a billiard curve inside a cube, the simplest case of so-called
1704:
1836:
404:. Billiard knots can also be studied in other domains, for instance in a cylinder or in a (flat) solid torus (
191:{\displaystyle x=\cos(n_{x}t+\phi _{x}),\qquad y=\cos(n_{y}t+\phi _{y}),\qquad z=\cos(n_{z}t+\phi _{z}),}
1527:
Lissajous knots are highly symmetric, though the type of symmetry depends on whether or not the numbers
2274:
Boocher, Adam; Daigle, Jay; Hoste, Jim; Zheng, Wenjing (2007). "Sampling
Lissajous and Fourier knots".
419:
2331:
2180:
2069:
405:
32:
1901:
is a symmetry of the
Lissajous knot. In general, a knot that has a symmetry of this type is called
393:, and many of the properties of these knots are closely related to properties of Lissajous curves.
2452:
2417:
2380:
2358:
2321:
2296:
2275:
2256:
2196:
2170:
2077:
766:
28:
2379:
Lamm, Christoph (2023). "Strongly positive amphicheiral knots with doubly symmetric diagrams".
731:
704:
677:
358:
331:
304:
2219:
1778:
2444:
2409:
2368:
2248:
2188:
2143:
2073:
1775:
In general, a knot that has an orientation-preserving point reflection symmetry is known as
1698:
808:
640:
470:
1805:
1673:
1646:
1619:
1584:
1557:
1530:
270:
243:
216:
2295:
Hoste, Jim; Zirbel, Laura (2006). "Lissajous knots and knots with
Lissajous projections".
390:
1447:
There are infinitely many different
Lissajous knots, and other examples with 10 or fewer
2335:
2184:
2134:
Bogle, M. G. V.; Hearst, J. E.; Jones, V. F. R.; Stoilov, L. (1994). "Lissajous knots".
2470:
2456:
2421:
2260:
2110:
2081:
2072:. In the odd case, the Alexander polynomial of the Lissajous knot must be a perfect
1516:
397:
2320:. Series on Knots and Everything. Vol. 19. World Scientific. pp. 374–414.
2200:
2107:
2089:
201:
2372:
389:
The projection of a
Lissajous knot onto any of the three coordinate planes is a
383:
299:
20:
2377:
A complete list of prime strongly positive amphicheiral knots is available in
2192:
2147:
2100:
1783:
1512:
2161:
Lamm, Christoph; Obermeyer, Daniel (1999). "Billiard knots in a cylinder".
1772:
is a symmetry of the
Lissajous knot which preserves the knot orientation.
2301:
2448:
2413:
2252:
2076:. In the even case, the Alexander polynomial must be a perfect square
295:
2400:
Hartley, R.; Kawauchi, A (1979). "Polynomials of amphicheiral knots".
2326:
2175:
2349:
Lamm, Christoph (2019). "The Search for
Nonsymmetric Ribbon Knots".
2385:
2363:
2280:
200:
1786:
with twelve or fewer crossings are strongly plus amphicheiral (10
2068:
The symmetry of a
Lissajous knot puts severe constraints on the
416:
Because a knot cannot be self-intersecting, the three integers
2239:
Lamm, C. (1997). "There are infinitely many Lissajous knots".
16:
Knot defined by parametric equations defining Lissajous curves
763:
Here are some examples of Lissajous knots, all of which have
634:
396:
Replacing the cosine function in the parametrization by a
2218:. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 13.
1782:. This is a fairly rare property: only seven or eight
2007:
1923:
1839:
1808:
1707:
1676:
1649:
1622:
1587:
1560:
1533:
1385:
1302:
1222:
1139:
1061:
978:
900:
817:
769:
734:
707:
680:
643:
482:
422:
361:
334:
307:
273:
246:
219:
44:
2084:
of a Lissajous knot must be zero. It follows that:
674:, one may assume that any of the three phase shifts
1905:, so every even Lissajous knot must be 2-periodic.
2057:
1992:
1893:
1821:
1764:
1689:
1662:
1635:
1600:
1573:
1546:
1435:
1371:
1272:
1208:
1111:
1047:
950:
886:
788:
747:
720:
693:
666:
637:. Moreover, by making a substitution of the form
622:
461:
374:
347:
320:
286:
259:
232:
190:
2058:{\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.01,0.16)}
1436:{\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.1,0.7)}
1273:{\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,1.0)}
1112:{\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(1.5,0.2)}
951:{\displaystyle (\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,0.2)}
1829:) is even, then the 180° rotation around the
8:
2163:Journal of Knot Theory and Its Ramifications
2136:Journal of Knot Theory and Its Ramifications
1993:{\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(4,5,41)}
1372:{\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,4,7)}
1209:{\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,5,7)}
1048:{\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,2,5)}
887:{\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})=(3,2,7)}
2435:Murasugi, K. (1971). "On periodic knots".
2384:
2362:
2325:
2300:
2279:
2174:
2028:
2015:
2006:
1957:
1944:
1931:
1922:
1838:
1813:
1807:
1765:{\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}
1706:
1681:
1675:
1654:
1648:
1627:
1621:
1592:
1586:
1565:
1559:
1538:
1532:
1406:
1393:
1384:
1336:
1323:
1310:
1301:
1243:
1230:
1221:
1173:
1160:
1147:
1138:
1082:
1069:
1060:
1012:
999:
986:
977:
921:
908:
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825:
816:
774:
768:
739:
733:
712:
706:
685:
679:
642:
614:
604:
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510:
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366:
360:
339:
333:
312:
306:
278:
272:
251:
245:
224:
218:
176:
160:
128:
112:
80:
64:
43:
1912:
1894:{\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,-y,-z)}
2129:
2127:
2123:
1511:. In addition, it is known that every
798:
1917:A Lissajous knot with three factors:
7:
14:
2437:Commentarii Mathematici Helvetici
462:{\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}
1284:
1123:
962:
801:
1802:If one of the frequencies (say
576:
529:
140:
92:
2052:
2040:
2034:
2008:
1987:
1969:
1963:
1924:
1888:
1864:
1861:
1858:
1840:
1759:
1732:
1729:
1726:
1708:
1471:knot, and the composite knot 5
1430:
1418:
1412:
1386:
1366:
1348:
1342:
1303:
1267:
1255:
1249:
1223:
1203:
1185:
1179:
1140:
1106:
1094:
1088:
1062:
1042:
1024:
1018:
979:
945:
933:
927:
901:
881:
863:
857:
818:
633:may be an integer multiple of
182:
153:
134:
105:
86:
57:
1:
2373:10.1080/10586458.2018.1540313
473:, and none of the quantities
2214:Cromwell, Peter R. (2004).
789:{\displaystyle \phi _{z}=0}
2493:
1519:zero is a Lissajous knot.
1503:, and the composite knot 5
2193:10.1142/S0218216599000225
2148:10.1142/S0218216594000095
748:{\displaystyle \phi _{z}}
721:{\displaystyle \phi _{y}}
694:{\displaystyle \phi _{x}}
375:{\displaystyle \phi _{z}}
348:{\displaystyle \phi _{y}}
321:{\displaystyle \phi _{x}}
2351:Experimental Mathematics
2241:Manuscripta Mathematica
2065:
2059:
1994:
1895:
1823:
1766:
1697:are all odd, then the
1691:
1664:
1637:
1602:
1575:
1548:
1437:
1373:
1274:
1210:
1113:
1049:
952:
888:
790:
749:
722:
695:
668:
667:{\displaystyle t'=t+c}
624:
463:
376:
349:
322:
288:
261:
234:
210:
192:
2402:Mathematische Annalen
2080:2. In addition, the
2060:
1995:
1916:
1896:
1824:
1822:{\displaystyle n_{x}}
1767:
1692:
1690:{\displaystyle n_{z}}
1665:
1663:{\displaystyle n_{y}}
1638:
1636:{\displaystyle n_{x}}
1603:
1601:{\displaystyle n_{z}}
1576:
1574:{\displaystyle n_{y}}
1549:
1547:{\displaystyle n_{x}}
1438:
1374:
1275:
1211:
1114:
1050:
953:
889:
791:
750:
723:
696:
669:
625:
464:
377:
350:
323:
289:
287:{\displaystyle n_{z}}
262:
260:{\displaystyle n_{y}}
235:
233:{\displaystyle n_{x}}
204:
193:
2070:Alexander polynomial
2005:
1921:
1837:
1806:
1705:
1674:
1647:
1620:
1585:
1558:
1531:
1383:
1300:
1220:
1137:
1059:
976:
898:
815:
767:
732:
705:
678:
641:
480:
420:
406:Lissajous-toric knot
359:
332:
305:
271:
244:
217:
42:
33:parametric equations
2477:Knots (knot theory)
2336:2004math......5151P
2185:1998math.....11006L
2449:10.1007/bf02566836
2414:10.1007/bf01420207
2253:10.1007/BF02677455
2096:are not Lissajous.
2066:
2055:
1990:
1891:
1819:
1762:
1701:across the origin
1687:
1660:
1633:
1598:
1571:
1544:
1479:, as well as the 9
1433:
1369:
1270:
1206:
1109:
1045:
948:
884:
786:
755:is equal to zero.
745:
718:
691:
664:
620:
459:
372:
345:
318:
284:
257:
230:
211:
188:
2225:978-0-521-54831-1
2113:can be Lissajous.
2103:can be Lissajous.
2094:figure-eight knot
469:must be pairwise
2484:
2461:
2460:
2432:
2426:
2425:
2397:
2391:
2390:
2388:
2376:
2366:
2346:
2340:
2339:
2329:
2313:
2307:
2306:
2304:
2292:
2286:
2285:
2283:
2271:
2265:
2264:
2236:
2230:
2229:
2211:
2205:
2204:
2178:
2158:
2152:
2151:
2131:
2064:
2062:
2061:
2056:
2033:
2032:
2020:
2019:
1999:
1997:
1996:
1991:
1962:
1961:
1949:
1948:
1936:
1935:
1900:
1898:
1897:
1892:
1828:
1826:
1825:
1820:
1818:
1817:
1771:
1769:
1768:
1763:
1699:point reflection
1696:
1694:
1693:
1688:
1686:
1685:
1669:
1667:
1666:
1661:
1659:
1658:
1642:
1640:
1639:
1634:
1632:
1631:
1607:
1605:
1604:
1599:
1597:
1596:
1580:
1578:
1577:
1572:
1570:
1569:
1553:
1551:
1550:
1545:
1543:
1542:
1442:
1440:
1439:
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1411:
1410:
1398:
1397:
1378:
1376:
1375:
1370:
1341:
1340:
1328:
1327:
1315:
1314:
1288:
1279:
1277:
1276:
1271:
1248:
1247:
1235:
1234:
1215:
1213:
1212:
1207:
1178:
1177:
1165:
1164:
1152:
1151:
1127:
1118:
1116:
1115:
1110:
1087:
1086:
1074:
1073:
1054:
1052:
1051:
1046:
1017:
1016:
1004:
1003:
991:
990:
966:
957:
955:
954:
949:
926:
925:
913:
912:
893:
891:
890:
885:
856:
855:
843:
842:
830:
829:
809:Three-twist knot
805:
795:
793:
792:
787:
779:
778:
754:
752:
751:
746:
744:
743:
727:
725:
724:
719:
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716:
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596:
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