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283:
2348:
2304:
2943:
84:
of the quasiregular forms are (squares or) rectangles; the vertex figures of the duals of the quasiregular forms are (equilateral triangles and equilateral triangles, or) equilateral triangles and squares, or equilateral triangles and regular pentagons.
31:
are defined by the property that they have symmetries taking any edge to any other edge. Polyhedra with this property can also be called "edge-transitive", but they should be distinguished from
1990:
Here are six (p q 2) families, each with two regular forms, and one quasiregular form. All have rhombic duals of the quasiregular form, but only one is shown:
2852:
3876:
3141:
794:) common cores of dual Kepler–Poinsot polyhedra (including four hemipolyhedra), and their six duals (including four (infinite) hemipolyhedron-duals):
3074:
783:(*) Faces, edges, and intersection points are the same; only, some other of these intersection points, not at infinity, are considered as vertices.
3881:
2830:
1391:
Finally, there are six other non-convex isotoxal polyhedra: the three quasiregular ditrigonal (3 | p q) star polyhedra, and their three duals:
2400:
Here's 3 example (p q r) families, each with 3 quasiregular forms. The duals are not shown, but have isotoxal hexagonal and octagonal faces.
3691:
3526:
3841:
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3086:
2635:
In addition as spherical tilings, there are two other families which are degenerate as polyhedra. Even ordered hosohedron can be
2517:
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1983:
There are infinitely many isotoxal polygonal tilings of the hyperbolic plane, including the
Wythoff constructions from the
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775:
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1581:
1419:
47:
polyhedra are isogonal and isotoxal, but not isohedral; their duals are isohedral and isotoxal, but not isogonal.
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2989:
603:
based on the quasiregular octahedron, cuboctahedron, and icosidodecahedron, and their five (infinite) duals:
3501:
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32:
2751:
Philosophical
Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences
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2863:
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1270:
1203:
699:
670:
2719:
1664:
There are at least 5 polygonal tilings of the
Euclidean plane that are isotoxal. (The self-dual
1493:
1128:
1094:
860:
754:
41:
are isohedral (face-transitive), isogonal (vertex-transitive), and isotoxal (edge-transitive).
3791:
3341:
3268:
3111:
2894:
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3182:
3006:
2916:
2790:
1378:
1349:
592:
The dual of a non-convex polyhedron is also a non-convex polyhedron. (By contraposition.)
533:
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1689:
3172:
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2839:
2632:
All isotoxal polyhedra listed above can be made as isotoxal tilings of the sphere.
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2259:
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The dual of an isotoxal polyhedron is also an isotoxal polyhedron. (See the
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2347:
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octahedron, cuboctahedron, and icosidodecahedron: the five (quasiregular)
3016:
2649:
17:
2749:; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), "Uniform polyhedra",
2226:
2182:
282:
2942:
2786:
307:
287:
35:, where the symmetries are combinatorial rather than geometric.
3204:
3054:
2954:
2850:
2812:
2808:
786:
There are sixteen non-convex isotoxal polyhedra based on the
77:) common cores of dual Platonic solids, and their two duals.
62:
The dual of a convex polyhedron is also a convex polyhedron.
748:(visually indistinct from Small dodecahemidodecacron) (*)
595:
There are ten non-convex isotoxal polyhedra based on the
790:: the four (regular) Kepler–Poinsot polyhedra, the six (
1670:
1393:
3360:
3287:
3256:
3218:
2723:
713:(visually indistinct from Hexahemioctacron) (*)
73:: the five (regular) Platonic solids, the two (
2824:
8:
2639:, alternating two lunes, and thus isotoxal:
3215:
3201:
3051:
2951:
2847:
2831:
2817:
2809:
3142:Dividing a square into similar rectangles
2353:
2309:
2265:
2221:
2177:
2133:
2402:
1992:
1979:Isotoxal tilings of the hyperbolic plane
796:
605:
87:
2662:
1660:Isotoxal tilings of the Euclidean plane
923:
1987:{p,q}, and non-right (p q r) groups.
1668:recreates itself in all four forms.)
7:
2691:
2689:
2675:, Cambridge University Press 1997,
1587:Small ditrigonal icosidodecahedron
1425:Great ditrigonal icosidodecahedron
14:
2941:
2934:
2615:
2606:
2597:
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1214:
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211:
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193:
183:
178:
173:
168:
163:
150:
69:isotoxal polyhedra based on the
2747:Coxeter, Harold Scott MacDonald
2742:(6.4 Isotoxal tilings, 309–321)
2628:Isotoxal tilings of the sphere
1326:Medial rhombic triacontahedron
1:
3167:Regular Division of the Plane
2354:
2310:
2266:
2222:
2178:
2134:
1504:Ditrigonal dodecadodecahedron
1058:Great rhombic triacontahedron
1373:Great dodecahemidodecahedron
1139:Small stellated dodecahedron
1105:Great dodecahemidodecahedron
871:Great stellated dodecahedron
765:Small dodecahemidodecahedron
3075:Architectonic and catoptric
2973:Aperiodic set of prototiles
2730:. New York: W. H. Freeman.
1569:Medial triambic icosahedron
1344:Small icosihemidodecahedron
1076:Great icosihemidodecahedron
735:Small icosihemidodecahedron
3932:
2722:; Shephard, G. C. (1987).
1985:regular hyperbolic tilings
1831:
1686:
1652:Small triambic icosahedron
1486:Great triambic icosahedron
1411:
1359:
1330:
1120:
1116:Great dodecahemidodecacron
1091:
1062:
852:
776:Small dodecahemidodecacron
751:
716:
686:
652:
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3214:
3200:
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3050:
2963:
2950:
2932:
2859:
2846:
1191:
1126:
1121:
1087:Great icosihemidodecacron
858:
853:
746:Small icosihemidodecacron
717:
653:
58:Convex isotoxal polyhedra
1384:Great dodecahemicosacron
1355:Small dodecahemicosacron
788:Kepler–Poinsot polyhedra
1003:Great icosidodecahedron
588:Isotoxal star-polyhedra
580:Rhombic triacontahedron
2771:10.1098/rsta.1954.0003
33:edge-transitive graphs
291:(Rhombic hexahedron)
2726:Tilings and Patterns
837:Vertex configuration
435:Rhombic dodecahedron
128:Vertex configuration
2763:1954RSPTA.246..401C
2669:Peter R. Cromwell,
1786:Trihexagonal tiling
637:Tetrahemihexahedron
2701:maths.ac-noumea.nc
1683:Quasiregular dual
1400:Quasiregular dual
1271:Dodecadodecahedron
1204:Great dodecahedron
812:Quasiregular dual
700:Octahemioctahedron
671:Cubohemioctahedron
615:Quasiregular dual
103:Quasiregular dual
3898:
3897:
3894:
3893:
3890:
3889:
3196:
3195:
3087:Computer graphics
3046:
3045:
2930:
2929:
2625:
2624:
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1975:
1738:Triangular tiling
1657:
1656:
1389:
1388:
936:Great icosahedron
781:
780:
648:Tetrahemihexacron
585:
584:
539:Icosidodecahedron
39:Regular polyhedra
3923:
3911:Isotoxal tilings
3216:
3202:
3154:Conway criterion
3081:Circle Limit III
3052:
2985:Einstein problem
2952:
2945:
2938:
2874:Schwarz triangle
2848:
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2819:
2810:
2805:
2757:(916): 401–450,
2741:
2729:
2720:Grünbaum, Branko
2711:
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2707:
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1827:Rhombille tiling
1824:
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254:
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2917:Wallpaper group
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