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6347:
6416:
6389:
6369:
5857:
And even if the polynomial function is not an open map, then this theorem may nevertheless still be applied (possibly multiple times) to restrictions of the function to appropriately chosen subsets of the domain (based on consideration of the map's local
3968:
4328:
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339:
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191:
171:
147:
89:
1280:
is also a local homeomorphism. The restriction of a local homeomorphism to any open subset of the domain will again be a local homomorphism; explicitly, if
3997:
of two copies of the reals identifies every negative real of the first copy with the corresponding negative real of the second copy. The two copies of
3826:(and thus a discrete, and even compact, subspace), this example generalizes to such polynomials whenever the mapping induced by it is an open map.
6440:
6014:
5977:
5939:
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6053:
6407:
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5895:
5931:
5919:
6445:
6397:
4359:
3823:
5274:
As pointed out above, the
Hausdorff property is not local in this sense and need not be preserved by local homeomorphisms.
6299:
5803:
5383:
The idea of a local homeomorphism can be formulated in geometric settings different from that of topological spaces. For
4732:
3699:
4243:
3518:
5773:
2904:
6307:
5396:
4367:
3555:
3497:'s fibers are discrete (see this footnote for an example). One corollary is that every continuous open surjection
2722:
2341:
2004:
1891:
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5328:
3994:
3911:
2308:
1723:
is essential for the inclusion map to be a local homeomorphism because the inclusion map of a non-open subset of
594:
721:
Every homeomorphism is a local homeomorphism. But a local homeomorphism is a homeomorphism if and only if it is
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2064:
6455:
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5449:
5384:
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3640:
is a continuous open surjection with discrete fibers so this result guarantees that the maximal open subset
2980:
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728:
6327:
6322:
6248:
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6096:
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6279:
6211:
5753:
5750:
for this map is the empty set; that is, there does not exist any non-empty open subset
5553:
5533:
5480:
5420:
5354:
5334:
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3107:
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1706:
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1506:
1381:
1361:
1149:
1125:
1082:
is a local homeomorphism. In certain situations the converse is true. For example: if
1065:
1024:
921:
916:
898:
662:
576:
524:
324:
281:
227:
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156:
132:
74:
4558:
will continue to be a local homeomorphism when it is considered as the surjective map
6434:
6289:
6199:
6179:
6002:
5957:
5887:
5879:
5426:
2501:
2261:
2106:
1602:
652:
6382:
2050:
Thus restrictions of local homeomorphisms to open subsets are local homeomorphisms.
6274:
6194:
6140:
3525:
fibers is "almost everywhere" a local homeomorphism (in the topological sense that
3393:
3079:
194:
123:
39:
that, intuitively, preserves local (though not necessarily global) structure. If
5996:
6372:
6284:
5432:
3055:
725:. A local homeomorphism need not be a homeomorphism. For example, the function
20:
1937:
Since the composition of two local homeomorphisms is a local homeomorphism, if
6228:
6159:
6118:
2526:
1115:
6253:
5987:
5949:
4375:
962:
797:
722:
5429: – Mapping which preserves all topological properties of a given space
6024:
6238:
6206:
6155:
6062:
5441: – Theorem in topology about homeomorphic subsets of Euclidean space
5278:
4371:
4363:
3024:
221:
24:
5371:
in a natural way. All of this is explained in detail in the article on
4017:
are not identified and they do not have any disjoint neighborhoods, so
364:
but the converse is not always true. For example, the two dimensional
3963:{\displaystyle X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,}
1178:
of two local homeomorphisms is a local homeomorphism; explicitly, if
801:
365:
4323:{\displaystyle Y=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim }
5351:
gives rise to a uniquely defined local homeomorphism with codomain
5404:
1746:
yields a local homeomorphism (since it will not be an open map).
5666:{\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
2872:
is an invertible linear map (invertible square matrix) for every
6035:
4370:. In particular, every local homeomorphism is a continuous and
5049:
transfers "local" topological properties in both directions:
4168:
Similarly, it is possible to construct a local homeomorphisms
2979:). An analogous condition can be formulated for maps between
3552:
is a dense open subset of its domain). For example, the map
804:) is a local homeomorphism but not a homeomorphism. The map
2901:(The converse is false, as shown by the local homeomorphism
2540:
6031:
3477:
a conclusion that may be false without the assumption that
5934:. Berlin New York: Springer Science & Business Media.
4037:
is not
Hausdorff. One readily checks that the natural map
2752:
one can show that a continuously differentiable function
368:, being a manifold, is locally homeomorphic to the plane
5300:
stand in a natural one-to-one correspondence with the
4729:
be a local homeomorphism (as is the case with the map
4413:
is a local homeomorphism depends on its codomain. The
3824:
every fiber of every non-constant polynomial is finite
3202:-valued local homeomorphism on a dense open subset of
5806:
5776:
5756:
5723:
5679:
5635:
5576:
5556:
5536:
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4699:
4658:
4638:
4605:
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4503:
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4174:
4148:
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4077:
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4023:
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3840:
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3558:
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3092:
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2848:
2819:
2799:
2758:
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2707:
2681:
2661:
2641:
2599:
2570:
2534:
2509:
2486:
2452:
2416:
2396:
2376:
2353:
2340:
will be a local homeomorphism if and only if it is a
2311:
2270:
2225:
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45:
5841:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to \mathbb {R} }
5459:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
4358:
A map is a local homeomorphism if and only if it is
6298:
6262:
6148:
6069:
4378:local homeomorphism is therefore a homeomorphism.
1853:is equal to its composition with the inclusion map
5840:
5792:
5762:
5742:
5709:
5665:
5608:
5562:
5542:
5522:
5489:
5363:
5343:
5331:. Furthermore, every continuous map with codomain
5319:
5292:
5262:
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5174:
5152:
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5041:
5007:
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4765:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}
4764:
4717:
4685:
4644:
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3858:
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3739:{\displaystyle O_{f}=\mathbb {R} \setminus \{0\},}
3738:
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3316:
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2332:
2297:
2252:
2211:
2182:
2153:
2121:
2094:
2042:
1993:
1961:
1929:
1880:
1845:
1819:
1787:
1735:
1715:
1695:
1675:
1652:
1628:
1593:
1569:
1549:
1515:
1495:
1457:
1425:
1390:
1370:
1350:
1304:
1272:
1234:
1202:
1158:
1134:
1106:
1074:
1054:
1012:
983:
953:
930:
907:
887:
842:
788:
752:
700:
671:
643:
585:
565:
533:
510:
476:
437:
392:
356:
333:
313:
290:
268:
236:
212:
185:
165:
141:
110:
83:
63:
4269:{\displaystyle X=\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} }
1640:. But it is a local homeomorphism if and only if
1170:Local homeomorphisms and composition of functions
3771:This example also shows that it is possible for
3746:which confirms that this set is indeed dense in
16:Mathematical function revertible near each point
5793:{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }
5435: – In mathematics, invertible homomorphism
5423: – Isomorphism of differentiable manifolds
122:. Typical examples of local homeomorphisms are
4477:is necessarily an open subset of its codomain
2930:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
2525:) is a local homeomorphism precisely when the
1312:is a local homeomorphism then its restriction
1242:are local homeomorphisms then the composition
1023:Generalizing the previous two examples, every
118:Local homeomorphisms are used in the study of
6047:
5813:
5583:
4538:will also be a local homeomorphism (that is,
3591:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty )}
3291:
2842:) is a local homeomorphism if the derivative
2014:
1901:
1762:
1325:
1027:is a local homeomorphism; in particular, the
938:), is a local homeomorphism for all non-zero
609:
8:
4100:
4094:
3730:
3724:
3225:To clarify this statement's conclusion, let
2043:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}
1930:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}
644:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}
2333:{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
796:(so that geometrically, this map wraps the
6415:
6388:
6054:
6040:
6032:
5530:is equal to the union of all open subsets
5497:is continuous and open imply that the set
4652:). However, in general it is possible for
961:but it is a homeomorphism only when it is
717:Local homeomorphisms versus homeomorphisms
438:{\displaystyle S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}.}
5834:
5833:
5818:
5812:
5811:
5805:
5786:
5785:
5778:
5777:
5775:
5755:
5734:
5722:
5678:
5659:
5658:
5651:
5650:
5643:
5642:
5634:
5609:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}
5588:
5582:
5581:
5575:
5555:
5535:
5514:
5502:
5482:
5356:
5336:
5309:
5285:
5246:
5222:
5191:
5167:
5136:
5112:
5081:
5057:
5022:
4997:
4958:
4929:
4900:
4859:
4827:
4777:
4756:
4752:
4751:
4743:
4742:
4734:
4698:
4657:
4637:
4604:
4563:
4543:
4502:
4482:
4450:
4421:
4386:
4335:
4312:
4303:
4302:
4295:
4294:
4281:
4262:
4261:
4254:
4253:
4245:
4225:
4205:
4173:
4147:
4121:
4082:
4076:
4057:
4056:
4042:
4022:
4002:
3978:
3949:
3940:
3939:
3932:
3931:
3918:
3895:
3871:
3839:
3807:
3782:
3776:
3754:
3753:
3751:
3717:
3716:
3707:
3701:
3675:
3674:
3672:
3651:
3645:
3624:
3603:
3566:
3565:
3557:
3536:
3530:
3502:
3482:
3453:
3427:
3404:
3377:
3357:
3333:
3317:{\displaystyle f{\big \vert }_{O}:O\to Y}
3296:
3290:
3289:
3283:
3263:
3242:
3230:
3207:
3187:
3167:
3135:
3115:
3091:
3063:
3039:
2996:
2963:
2942:
2923:
2922:
2915:
2914:
2906:
2877:
2853:
2847:
2826:
2822:
2821:
2818:
2798:
2777:
2773:
2772:
2757:
2730:
2706:
2680:
2660:
2640:
2619:
2598:
2569:
2539:
2533:
2511:
2510:
2508:
2485:
2466:
2465:
2451:
2415:
2395:
2375:
2352:
2324:
2320:
2319:
2310:
2289:
2285:
2284:
2269:
2224:
2203:
2199:
2198:
2195:
2166:
2142:
2138:
2137:
2134:
2114:
2086:
2082:
2081:
2066:
2019:
2013:
2012:
2006:
1974:
1942:
1906:
1900:
1899:
1893:
1858:
1832:
1800:
1788:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}
1767:
1761:
1760:
1754:
1728:
1708:
1688:
1665:
1645:
1609:
1586:
1562:
1536:
1508:
1470:
1438:
1406:
1383:
1363:
1351:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}
1330:
1324:
1323:
1317:
1285:
1247:
1215:
1183:
1151:
1127:
1087:
1067:
1035:
996:
970:
943:
923:
900:
876:
855:
834:
821:
809:
777:
765:
744:
733:
732:
730:
684:
664:
614:
608:
607:
601:
578:
549:
526:
497:
457:
426:
422:
421:
411:
405:
381:
377:
376:
373:
346:
326:
303:
283:
257:
253:
252:
249:
229:
202:
178:
158:
134:
100:
76:
44:
5629:Consider the continuous open surjection
5871:
5470:
4854:is a local homomorphism if and only if
3721:
3461:
3435:
3258:be the (unique) largest open subset of
2786:{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}
2298:{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}
2095:{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}
278:If there is a local homeomorphism from
5379:Generalizations and analogous concepts
3830:Local homeomorphisms and Hausdorffness
4071:is a local homeomorphism. The fiber
895:which wraps the circle around itself
753:{\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}
7:
3696:for instance), it can be shown that
3324:is a local homeomorphism. If every
3130:(which is a necessary condition for
400:but there is no local homeomorphism
5457: – generalization of manifolds
4330:with the same equivalence relation
4064:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
3910:is not. Consider for instance the
3470:{\displaystyle O\neq \varnothing ;}
2473:{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }
2001:are local homomorphisms then so is
5327:this correspondence is in fact an
4240:is not: pick the natural map from
3692:with additional effort (using the
3582:
3441:{\displaystyle X\neq \varnothing }
3162:to be a local homeomorphism) then
2264:. Consequently, a continuous map
712:Examples and sufficient conditions
14:
3834:There exist local homeomorphisms
3521:second-countable spaces that has
2154:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
1557:is any subspace (where as usual,
393:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}
269:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
6414:
6387:
6377:
6367:
6356:
6346:
6345:
6139:
4693:to be a local homeomorphism but
2835:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2655:is not a local homeomorphism at
2434:Local homeomorphisms in analysis
2212:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1398:is also a local homeomorphism.
1118:local homeomorphism between two
843:{\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}
2987:Local homeomorphisms and fibers
1523:is also a local homeomorphism.
1503:are local homeomorphisms, then
1496:{\displaystyle g\circ f:X\to Z}
1273:{\displaystyle g\circ f:X\to Z}
789:{\displaystyle t\mapsto e^{it}}
6441:Theory of continuous functions
5921:General Topology: Chapters 1–4
5830:
5695:
5683:
5655:
5600:
5277:The local homeomorphisms with
5257:
5251:
5202:
5196:
5147:
5141:
5092:
5086:
5033:
4969:
4911:
4905:
4882:
4876:
4870:
4838:
4806:
4794:
4788:
4782:
4747:
4709:
4680:
4674:
4668:
4615:
4609:
4586:
4580:
4574:
4525:
4519:
4513:
4461:
4432:
4426:
4397:
4184:
4103:
4091:
4053:
3850:
3614:
3608:
3585:
3573:
3570:
3308:
3146:
3007:
2953:
2947:
2919:
2768:
2745:sheets come together there).
2609:
2603:
2557:{\displaystyle f^{\prime }(z)}
2551:
2545:
2462:
2280:
2247:
2241:
2235:
2177:
2171:
2077:
1985:
1953:
1869:
1811:
1779:
1620:
1487:
1449:
1417:
1342:
1296:
1264:
1226:
1194:
1098:
1046:
866:
860:
827:
770:
737:
695:
689:
638:
632:
626:
560:
554:
468:
417:
55:
1:
4895:is a local homeomorphism and
4109:{\displaystyle f^{-1}(\{y\})}
3764:{\displaystyle \mathbb {R} .}
3685:{\displaystyle \mathbb {R} ;}
2390:such that the restriction of
2347:(meaning that every point in
2518:{\displaystyle \mathbb {C} }
1846:{\displaystyle U\subseteq X}
1550:{\displaystyle U\subseteq X}
4888:{\displaystyle f:X\to f(X)}
4815:{\displaystyle f(x)=(x,0),}
4686:{\displaystyle f:X\to f(X)}
4592:{\displaystyle f:X\to f(X)}
4531:{\displaystyle f:X\to f(X)}
2253:{\displaystyle f:U\to f(U)}
888:{\displaystyle f(z)=z^{n},}
341:is locally homeomorphic to
244:is locally homeomorphic to
193:has a neighborhood that is
6472:
6308:Banach fixed-point theorem
5995:Willard, Stephen (2004) .
5800:for which the restriction
5570:such that the restriction
4381:Whether or not a function
3633:{\displaystyle f(x)=x^{2}}
3598:defined by the polynomial
2972:{\displaystyle f(x)=x^{3}}
2628:{\displaystyle f(x)=z^{n}}
71:is a local homeomorphism,
6341:
6137:
5710:{\displaystyle f(x,y)=x.}
5409:Ă©tale geometric morphisms
5329:equivalence of categories
4953:of a local homeomorphism
4445:of a local homeomorphism
2500:is an open subset of the
1881:{\displaystyle i:U\to X;}
1433:is continuous while both
5932:Éléments de mathématique
5397:formally Ă©tale morphisms
5385:differentiable manifolds
5042:{\displaystyle f:X\to Y}
4978:{\displaystyle f:X\to Y}
4847:{\displaystyle f:X\to Y}
4718:{\displaystyle f:X\to Y}
4470:{\displaystyle f:X\to Y}
4406:{\displaystyle f:X\to Y}
4193:{\displaystyle f:X\to Y}
3859:{\displaystyle f:X\to Y}
3694:inverse function theorem
3155:{\displaystyle f:X\to Y}
3016:{\displaystyle f:X\to Y}
2981:differentiable manifolds
2750:inverse function theorem
2694:{\displaystyle n\geq 2.}
1994:{\displaystyle i:U\to X}
1962:{\displaystyle f:X\to Y}
1820:{\displaystyle f:X\to Y}
1629:{\displaystyle i:U\to X}
1458:{\displaystyle g:Y\to Z}
1426:{\displaystyle f:X\to Y}
1305:{\displaystyle f:X\to Y}
1235:{\displaystyle g:Y\to Z}
1203:{\displaystyle f:X\to Y}
1107:{\displaystyle p:X\to Y}
1055:{\displaystyle p:C\to Y}
477:{\displaystyle f:X\to Y}
64:{\displaystyle f:X\to Y}
5743:{\displaystyle O=O_{f}}
5523:{\displaystyle O=O_{f}}
5450:Locally Hausdorff space
4161:{\displaystyle y<0.}
4135:{\displaystyle y\geq 0}
3251:{\displaystyle O=O_{f}}
3027:surjection between two
2894:{\displaystyle x\in U.}
2635:on an open disk around
2586:{\displaystyle z\in U.}
6446:Functions and mappings
6363:Mathematics portal
6263:Metrics and properties
6249:Second-countable space
5966:Upper Saddle River, NJ
5842:
5794:
5764:
5744:
5711:
5667:
5610:
5564:
5544:
5524:
5491:
5455:Non-Hausdorff manifold
5365:
5345:
5321:
5294:
5264:
5231:
5209:
5176:
5154:
5129:locally path-connected
5121:
5099:
5066:
5043:
5017:A local homeomorphism
5009:
4979:
4941:
4918:
4889:
4848:
4816:
4766:
4719:
4687:
4646:
4622:
4599:onto its image, where
4593:
4552:
4532:
4491:
4471:
4439:
4407:
4344:
4324:
4270:
4234:
4214:
4194:
4162:
4136:
4110:
4065:
4031:
4011:
3987:
3964:
3904:
3880:
3860:
3816:
3792:
3765:
3740:
3686:
3661:
3634:
3592:
3546:
3511:
3491:
3471:
3442:
3416:
3386:
3366:
3342:
3318:
3272:
3252:
3219:
3196:
3176:
3156:
3124:
3100:
3072:
3048:
3017:
2973:
2931:
2895:
2866:
2865:{\displaystyle D_{x}f}
2836:
2807:
2787:
2739:
2715:
2695:
2669:
2649:
2629:
2587:
2558:
2519:
2494:
2474:
2424:
2404:
2384:
2361:
2334:
2299:
2254:
2213:
2184:
2155:
2123:
2096:
2044:
1995:
1963:
1931:
1882:
1847:
1821:
1789:
1737:
1717:
1697:
1677:
1654:
1630:
1595:
1571:
1551:
1517:
1497:
1459:
1427:
1392:
1372:
1352:
1306:
1274:
1236:
1204:
1160:
1136:
1108:
1076:
1056:
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5964:(Second ed.).
5858:minimums/maximums).
4142:and one element if
3372:then this open set
2061:guarantees that if
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657:subspace topologies
490:local homeomorphism
29:local homeomorphism
6313:De Rham cohomology
6234:Polyhedral complex
6224:Simplicial complex
6007:Dover Publications
5970:Prentice Hall, Inc
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