2917:
2689:
3361:
2694:
2466:
1581:
1236:
1307:
843:
701:
2461:
1973:
1372:
1055:
93:. Nevertheless if one goes through the natural numbers, the squares become increasingly scarce. The notion of natural density makes this intuition precise for many, but not all, subsets of the naturals (see
3140:
81:, since every perfect square is already positive, and many other positive integers exist besides. However, the set of positive integers is not in fact larger than the set of perfect squares: both sets are
954:
3254:
2981:
1161:
1450:
2028:
1765:
469:
344:
2151:
2088:
2317:
1445:
2266:
2198:
1696:
747:
605:
3071:
372:
2912:{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.}
2463:
of numbers whose binary expansion contains an odd number of digits is an example of a set which does not have an asymptotic density, since the upper density of this set is
1166:
2684:{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},}
1722:
1649:
1100:
117:
1240:
772:
523:
3182:
1851:
1816:
630:
2365:
2346:
1414:
983:
896:
401:
3387:
3617:
3202:
1078:
867:
767:
625:
563:
543:
295:
3013:
1856:
1312:
991:
3076:
3224:
3553:
3445:
3593:
1105:
3657:
2359:
has non-zero density. Marc Deléglise showed in 1998 that the density of the set of abundant numbers is between 0.2474 and 0.2480.
3370:
3356:{\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}\ .}
901:
2938:
2925:
begins with the digit 1 similarly has no natural density: the lower density is 1/9 and the upper density is 5/9. (See
147:
3687:
3437:
1980:
1727:
406:
300:
2101:
3212:
2044:
2933:
2279:
1419:
2232:
3540:, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 118, Cambridge University Press, Cambridge, Theorem 0.2, p. 5,
1626:
2156:
1673:
3730:
3725:
3482:
3220:
194:
63:
716:
3240:
Other density functions on subsets of the natural numbers may be defined analogously. For example, the
2349:
574:
3018:
1576:{\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}.}
349:
2211:
94:
3487:
3429:
2226:
131:
1701:
1632:
1083:
100:
3709:
474:
3145:
1821:
1774:
2322:
122:
If an integer is randomly selected from the interval , then the probability that it belongs to
3589:
3549:
3500:
3441:
3382:
2922:
1383:
51:
3691:
3644:
3626:
3599:
3541:
3535:
3516:
3492:
3451:
2926:
74:
3640:
3563:
3512:
142:. This notion can be understood as a kind of probability of choosing a number from the set
3695:
3648:
3636:
3603:
3585:
3559:
3520:
3508:
3455:
2356:
959:
872:
377:
146:. Indeed, the asymptotic density (as well as some other types of densities) is studied in
3664:
3187:
1063:
852:
846:
752:
704:
610:
548:
528:
280:
171:
55:
3373:
states that the natural density, when it exists, is equal to the logarithmic density.
2986:
1231:{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}
3719:
1060:
These definitions may equivalently be expressed in the following way. Given a subset
78:
31:
3631:
1302:{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}
838:{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
3496:
2207:
696:{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
82:
17:
3612:
2456:{\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}}
3470:
59:
138:
tends to infinity, then this limit is referred to as the asymptotic density of
3705:
1592:
3545:
3504:
90:
86:
130:
in to the total number of elements in . If this probability tends to some
1968:{\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}
3366:
Upper and lower logarithmic densities are defined analogously as well.
62:
of encountering members of the desired subset when combing through the
1102:, write it as an increasing sequence indexed by the natural numbers:
97:, which is similar to natural density but defined for all subsets of
47:
1367:{\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}
1050:{\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}
3704:
This article incorporates material from
Asymptotic density on
3135:{\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha _{n}<x\}.}
3436:. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 90. Cambridge:
3686:. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46.
3684:
Introduction to analytic and probabilistic number theory
189:
More explicitly, if one defines for any natural number
2284:
2237:
2176:
988:
This definition can be restated in the following way:
949:{\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}
3369:
For the set of multiples of an integer sequence, the
3257:
3190:
3148:
3079:
3021:
2989:
2941:
2697:
2469:
2368:
2325:
2282:
2235:
2159:
2104:
2098:) = 0.5. Similarly, for any arithmetical progression
2047:
1983:
1859:
1824:
1777:
1730:
1704:
1676:
1635:
1453:
1422:
1386:
1315:
1243:
1169:
1108:
1086:
1066:
994:
962:
904:
875:
855:
775:
755:
719:
633:
613:
577:
551:
531:
477:
409:
380:
352:
303:
283:
103:
2976:{\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
3355:
3196:
3176:
3134:
3065:
3007:
2975:
2911:
2683:
2455:
2340:
2311:
2260:
2192:
2145:
2082:
2022:
1967:
1845:
1810:
1759:
1716:
1690:
1643:
1575:
1439:
1408:
1366:
1301:
1230:
1155:
1094:
1072:
1049:
977:
948:
890:
861:
837:
761:
741:
695:
619:
599:
557:
537:
517:
463:
395:
366:
338:
289:
111:
3710:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
3584:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 195.
3276:
2811:
2721:
2583:
2493:
1920:
1860:
1477:
1332:
1267:
1193:
1156:{\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}.}
1011:
799:
657:
73:Intuitively, it is thought that there are more
3618:Bulletin of the American Mathematical Society
3471:"Bounds for the density of abundant integers"
2023:{\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}
1760:{\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1.}
464:{\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A,}
339:{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}
253:It follows from the definition that if a set
8:
3126:
3093:
3036:
3022:
2956:
2942:
2146:{\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}}
2140:
2111:
2077:
2054:
2017:
1990:
1959:
1923:
1893:
1863:
1542:
1512:
1147:
1115:
449:
425:
330:
312:
3388:Erdős conjecture on arithmetic progressions
1377:A somewhat weaker notion of density is the
2083:{\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}}
297:be a subset of the set of natural numbers
126:is the ratio of the number of elements of
3630:
3486:
3337:
3313:
3291:
3279:
3258:
3256:
3189:
3159:
3147:
3114:
3103:
3102:
3084:
3078:
3039:
3029:
3020:
2988:
2967:
2966:
2959:
2949:
2940:
2896:
2866:
2833:
2826:
2814:
2783:
2768:
2749:
2736:
2724:
2698:
2696:
2668:
2638:
2605:
2598:
2586:
2555:
2540:
2521:
2508:
2496:
2470:
2468:
2427:
2405:
2390:
2379:
2367:
2324:
2283:
2281:
2246:
2236:
2234:
2175:
2158:
2136:
2135:
2103:
2073:
2072:
2046:
2013:
2012:
1997:
1982:
1858:
1823:
1776:
1738:
1737:
1729:
1703:
1684:
1683:
1675:
1637:
1636:
1634:
1545:
1501:
1498:
1480:
1458:
1452:
1430:
1429:
1421:
1391:
1385:
1356:
1347:
1335:
1314:
1291:
1282:
1270:
1244:
1242:
1217:
1208:
1196:
1170:
1168:
1135:
1122:
1107:
1088:
1087:
1085:
1065:
1026:
1014:
993:
961:
927:
905:
903:
874:
854:
814:
802:
776:
774:
754:
720:
718:
672:
660:
634:
632:
612:
578:
576:
550:
530:
510:
493:
476:
408:
379:
360:
359:
351:
305:
304:
302:
282:
162:of positive integers has natural density
105:
104:
102:
46:, is one method to measure how "large" a
3405:
3403:
3211:is a set of positive upper density then
2312:{\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}
1440:{\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} .}
3399:
3248:is defined as the limit (if it exists)
2261:{\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}
1742:
3613:"The asymptotic density of sequences"
2193:{\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}
2090:is the set of all even numbers, then
1691:{\displaystyle F\subset \mathbb {N} }
769:(also called the "lower density") by
627:(also called the "upper density") by
7:
2272:-power-free numbers for any natural
3582:Elementary Methods in Number Theory
742:{\displaystyle {\underline {d}}(A)}
3286:
3219:contains arbitrarily large finite
2821:
2731:
2593:
2503:
2391:
1711:
1493:
1342:
1277:
1203:
1021:
809:
667:
600:{\displaystyle {\overline {d}}(A)}
273:Upper and lower asymptotic density
25:
3066:{\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in }}
367:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
166:if the proportion of elements of
3227:states that some two members of
2030:is the set of all squares, then
3632:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9
2268:More generally, the set of all
985:is equal to this common value.
3708:, which is licensed under the
3497:10.1080/10586458.1998.10504363
3283:
3269:
3263:
3165:
3152:
3058:
3046:
3002:
2990:
2887:
2859:
2818:
2728:
2714:
2708:
2659:
2631:
2590:
2500:
2486:
2480:
2335:
2329:
2299:
2293:
2169:
2163:
1950:
1944:
1935:
1929:
1914:
1902:
1890:
1884:
1875:
1869:
1840:
1828:
1802:
1796:
1787:
1781:
1748:
1734:
1698:is finite (including the case
1546:
1502:
1490:
1470:
1464:
1403:
1397:
1339:
1325:
1319:
1274:
1260:
1254:
1200:
1186:
1180:
1038:
1032:
1018:
1004:
998:
972:
966:
943:
937:
921:
915:
885:
879:
826:
820:
806:
792:
786:
736:
730:
684:
678:
664:
650:
644:
594:
588:
511:
507:
501:
494:
487:
481:
419:
413:
390:
384:
215:, then the natural density of
1:
3658:"Probabilistic number theory"
3580:Nathanson, Melvyn B. (2000).
3015:and define a monotone family
2691:whereas its lower density is
525:be the number of elements of
207:as the number of elements of
58:is. It relies chiefly on the
2475:
1717:{\displaystyle F=\emptyset }
1644:{\displaystyle \mathbb {N} }
1249:
1095:{\displaystyle \mathbb {N} }
932:
639:
583:
112:{\displaystyle \mathbb {N} }
89:and can therefore be put in
3418:Nathanson (2000) pp.256–257
3225:Furstenberg–Sárközy theorem
518:{\displaystyle a(n)=|A(n)|}
148:probabilistic number theory
3747:
3688:Cambridge University Press
3682:Tenenbaum, Gérald (1995).
3438:Cambridge University Press
3231:differ by a square number.
3177:{\displaystyle d(A_{x})=x}
1846:{\displaystyle d(A\cup B)}
1811:{\displaystyle d(A),d(B),}
3534:Hall, Richard R. (1996),
2921:The set of numbers whose
2341:{\displaystyle \zeta (n)}
91:one-to-one correspondence
3546:10.1017/CBO9780511566011
3475:Experimental Mathematics
3469:Deléglise, Marc (1998).
2934:equidistributed sequence
1409:{\displaystyle d^{*}(A)}
712:lower asymptotic density
570:upper asymptotic density
27:Concept in number theory
3656:Steuding, Jörn (2002).
3371:Davenport–Erdős theorem
3236:Other density functions
3221:arithmetic progressions
1586:Properties and examples
869:has asymptotic density
403:to be the intersection
3409:Tenenbaum (1995) p.261
3357:
3198:
3178:
3136:
3067:
3009:
2977:
2913:
2685:
2457:
2395:
2342:
2313:
2262:
2194:
2147:
2084:
2024:
1969:
1847:
1812:
1761:
1718:
1692:
1645:
1617:) exists for some set
1598:of positive integers,
1577:
1441:
1410:
1368:
1303:
1232:
1157:
1096:
1074:
1057:if this limit exists.
1051:
979:
950:
892:
863:
839:
763:
743:
710:Similarly, define the
697:
621:
601:
559:
545:less than or equal to
539:
519:
465:
397:
368:
340:
291:
211:less than or equal to
113:
38:, also referred to as
3358:
3199:
3179:
3142:Then, by definition,
3137:
3068:
3010:
2978:
2914:
2686:
2458:
2375:
2350:Riemann zeta function
2343:
2314:
2263:
2195:
2148:
2085:
2025:
1970:
1848:
1813:
1762:
1719:
1693:
1646:
1578:
1442:
1411:
1374:if the limit exists.
1369:
1304:
1233:
1158:
1097:
1075:
1052:
980:
951:
893:
864:
845:where lim inf is the
840:
764:
744:
703:where lim sup is the
698:
622:
602:
560:
540:
520:
466:
398:
369:
341:
292:
114:
3670:on December 22, 2011
3611:Niven, Ivan (1951).
3255:
3188:
3146:
3077:
3019:
2987:
2939:
2695:
2467:
2366:
2323:
2280:
2233:
2227:square-free integers
2212:prime number theorem
2157:
2102:
2045:
1981:
1857:
1822:
1775:
1728:
1702:
1674:
1633:
1451:
1420:
1384:
1379:upper Banach density
1313:
1241:
1167:
1106:
1084:
1064:
992:
978:{\displaystyle d(A)}
960:
902:
891:{\displaystyle d(A)}
873:
853:
773:
753:
717:
631:
611:
575:
549:
529:
475:
407:
396:{\displaystyle A(n)}
378:
350:
301:
281:
257:has natural density
101:
95:Schnirelmann density
3242:logarithmic density
3213:Szemerédi's theorem
1447:This is defined as
223:exactly means that
186:tends to infinity.
18:Logarithmic density
3428:Hall, Richard R.;
3353:
3336:
3290:
3194:
3174:
3132:
3063:
3005:
2973:
2909:
2825:
2735:
2706:
2681:
2597:
2507:
2453:
2338:
2309:
2304:
2258:
2253:
2190:
2185:
2143:
2080:
2020:
1965:
1843:
1808:
1757:
1714:
1688:
1641:
1573:
1497:
1437:
1406:
1364:
1346:
1299:
1281:
1228:
1207:
1178:
1153:
1092:
1070:
1047:
1025:
975:
946:
913:
888:
859:
835:
813:
784:
759:
739:
728:
693:
671:
617:
597:
555:
535:
515:
461:
393:
364:
336:
287:
109:
44:arithmetic density
40:asymptotic density
3555:978-0-521-40424-2
3537:Sets of multiples
3447:978-0-521-34056-4
3430:Tenenbaum, Gérald
3383:Dirichlet density
3349:
3345:
3309:
3307:
3275:
3197:{\displaystyle x}
2923:decimal expansion
2904:
2891:
2810:
2805:
2720:
2699:
2676:
2663:
2582:
2577:
2492:
2478:
2303:
2252:
2184:
1568:
1476:
1362:
1331:
1297:
1266:
1252:
1223:
1192:
1171:
1073:{\displaystyle A}
1045:
1010:
935:
906:
862:{\displaystyle A}
833:
798:
777:
762:{\displaystyle A}
721:
691:
656:
642:
620:{\displaystyle A}
586:
558:{\displaystyle n}
538:{\displaystyle A}
290:{\displaystyle A}
75:positive integers
16:(Redirected from
3738:
3699:
3678:
3676:
3675:
3669:
3663:. Archived from
3662:
3652:
3634:
3607:
3567:
3566:
3531:
3525:
3524:
3490:
3466:
3460:
3459:
3425:
3419:
3416:
3410:
3407:
3362:
3360:
3359:
3354:
3347:
3346:
3338:
3335:
3308:
3306:
3292:
3289:
3262:
3203:
3201:
3200:
3195:
3183:
3181:
3180:
3175:
3164:
3163:
3141:
3139:
3138:
3133:
3119:
3118:
3106:
3089:
3088:
3072:
3070:
3069:
3064:
3062:
3061:
3034:
3033:
3014:
3012:
3011:
3008:{\displaystyle }
3006:
2982:
2980:
2979:
2974:
2972:
2971:
2970:
2954:
2953:
2918:
2916:
2915:
2910:
2905:
2897:
2892:
2890:
2880:
2879:
2854:
2847:
2846:
2827:
2824:
2806:
2804:
2797:
2796:
2777:
2776:
2775:
2754:
2753:
2737:
2734:
2707:
2690:
2688:
2687:
2682:
2677:
2669:
2664:
2662:
2652:
2651:
2626:
2619:
2618:
2599:
2596:
2578:
2576:
2569:
2568:
2549:
2548:
2547:
2526:
2525:
2509:
2506:
2479:
2471:
2462:
2460:
2459:
2454:
2452:
2448:
2441:
2440:
2413:
2412:
2394:
2389:
2357:abundant numbers
2347:
2345:
2344:
2339:
2318:
2316:
2315:
2310:
2305:
2302:
2285:
2267:
2265:
2264:
2259:
2254:
2251:
2250:
2238:
2210:we get from the
2199:
2197:
2196:
2191:
2186:
2177:
2152:
2150:
2149:
2144:
2139:
2089:
2087:
2086:
2081:
2076:
2029:
2027:
2026:
2021:
2016:
2002:
2001:
1974:
1972:
1971:
1966:
1852:
1850:
1849:
1844:
1817:
1815:
1814:
1809:
1766:
1764:
1763:
1758:
1741:
1723:
1721:
1720:
1715:
1697:
1695:
1694:
1689:
1687:
1650:
1648:
1647:
1642:
1640:
1629:with respect to
1582:
1580:
1579:
1574:
1569:
1567:
1550:
1549:
1505:
1499:
1496:
1463:
1462:
1446:
1444:
1443:
1438:
1433:
1415:
1413:
1412:
1407:
1396:
1395:
1373:
1371:
1370:
1365:
1363:
1361:
1360:
1348:
1345:
1308:
1306:
1305:
1300:
1298:
1296:
1295:
1283:
1280:
1253:
1245:
1237:
1235:
1234:
1229:
1224:
1222:
1221:
1209:
1206:
1179:
1162:
1160:
1159:
1154:
1140:
1139:
1127:
1126:
1101:
1099:
1098:
1093:
1091:
1079:
1077:
1076:
1071:
1056:
1054:
1053:
1048:
1046:
1041:
1027:
1024:
984:
982:
981:
976:
956:, in which case
955:
953:
952:
947:
936:
928:
914:
897:
895:
894:
889:
868:
866:
865:
860:
844:
842:
841:
836:
834:
829:
815:
812:
785:
768:
766:
765:
760:
748:
746:
745:
740:
729:
702:
700:
699:
694:
692:
687:
673:
670:
643:
635:
626:
624:
623:
618:
606:
604:
603:
598:
587:
579:
564:
562:
561:
556:
544:
542:
541:
536:
524:
522:
521:
516:
514:
497:
470:
468:
467:
462:
402:
400:
399:
394:
373:
371:
370:
365:
363:
345:
343:
342:
337:
308:
296:
294:
293:
288:
268:
260:
256:
249:
242:
222:
218:
214:
210:
206:
192:
185:
181:
177:
169:
165:
161:
145:
141:
137:
129:
125:
118:
116:
115:
110:
108:
69:
21:
3746:
3745:
3741:
3740:
3739:
3737:
3736:
3735:
3716:
3715:
3681:
3673:
3671:
3667:
3660:
3655:
3610:
3596:
3586:Springer-Verlag
3579:
3576:
3571:
3570:
3556:
3533:
3532:
3528:
3468:
3467:
3463:
3448:
3427:
3426:
3422:
3417:
3413:
3408:
3401:
3396:
3379:
3296:
3253:
3252:
3238:
3186:
3185:
3155:
3144:
3143:
3110:
3080:
3075:
3074:
3035:
3025:
3017:
3016:
2985:
2984:
2955:
2945:
2937:
2936:
2862:
2855:
2829:
2828:
2779:
2778:
2764:
2745:
2738:
2693:
2692:
2634:
2627:
2601:
2600:
2551:
2550:
2536:
2517:
2510:
2465:
2464:
2423:
2401:
2400:
2396:
2364:
2363:
2321:
2320:
2289:
2278:
2277:
2242:
2231:
2230:
2225:The set of all
2155:
2154:
2100:
2099:
2043:
2042:
1993:
1979:
1978:
1855:
1854:
1820:
1819:
1773:
1772:
1726:
1725:
1700:
1699:
1672:
1671:
1631:
1630:
1588:
1551:
1500:
1454:
1449:
1448:
1418:
1417:
1387:
1382:
1381:
1352:
1311:
1310:
1287:
1239:
1238:
1213:
1165:
1164:
1131:
1118:
1104:
1103:
1082:
1081:
1062:
1061:
1028:
990:
989:
958:
957:
900:
899:
871:
870:
851:
850:
816:
771:
770:
751:
750:
715:
714:
674:
629:
628:
609:
608:
573:
572:
547:
546:
527:
526:
473:
472:
405:
404:
376:
375:
348:
347:
299:
298:
279:
278:
275:
266:
262:
258:
254:
251:
247:
244:
241:
237:
233:
229:
226:
220:
216:
212:
208:
204:
200:
197:
190:
183:
179:
175:
172:natural numbers
167:
163:
159:
156:
143:
139:
135:
127:
123:
99:
98:
79:perfect squares
67:
56:natural numbers
36:natural density
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
3744:
3742:
3734:
3733:
3728:
3718:
3717:
3701:
3700:
3679:
3653:
3625:(6): 420–434.
3608:
3595:978-0387989129
3594:
3575:
3572:
3569:
3568:
3554:
3526:
3488:10.1.1.36.8272
3481:(2): 137–143.
3461:
3446:
3440:. p. 95.
3420:
3411:
3398:
3397:
3395:
3392:
3391:
3390:
3385:
3378:
3375:
3364:
3363:
3352:
3344:
3341:
3334:
3331:
3328:
3325:
3322:
3319:
3316:
3312:
3305:
3302:
3299:
3295:
3288:
3285:
3282:
3278:
3274:
3271:
3268:
3265:
3261:
3237:
3234:
3233:
3232:
3205:
3193:
3173:
3170:
3167:
3162:
3158:
3154:
3151:
3131:
3128:
3125:
3122:
3117:
3113:
3109:
3105:
3101:
3098:
3095:
3092:
3087:
3083:
3060:
3057:
3054:
3051:
3048:
3045:
3042:
3038:
3032:
3028:
3024:
3004:
3001:
2998:
2995:
2992:
2969:
2965:
2962:
2958:
2952:
2948:
2944:
2930:
2919:
2908:
2903:
2900:
2895:
2889:
2886:
2883:
2878:
2875:
2872:
2869:
2865:
2861:
2858:
2853:
2850:
2845:
2842:
2839:
2836:
2832:
2823:
2820:
2817:
2813:
2809:
2803:
2800:
2795:
2792:
2789:
2786:
2782:
2774:
2771:
2767:
2763:
2760:
2757:
2752:
2748:
2744:
2741:
2733:
2730:
2727:
2723:
2719:
2716:
2713:
2710:
2705:
2702:
2680:
2675:
2672:
2667:
2661:
2658:
2655:
2650:
2647:
2644:
2641:
2637:
2633:
2630:
2625:
2622:
2617:
2614:
2611:
2608:
2604:
2595:
2592:
2589:
2585:
2581:
2575:
2572:
2567:
2564:
2561:
2558:
2554:
2546:
2543:
2539:
2535:
2532:
2529:
2524:
2520:
2516:
2513:
2505:
2502:
2499:
2495:
2491:
2488:
2485:
2482:
2477:
2474:
2451:
2447:
2444:
2439:
2436:
2433:
2430:
2426:
2422:
2419:
2416:
2411:
2408:
2404:
2399:
2393:
2388:
2385:
2382:
2378:
2374:
2371:
2360:
2353:
2337:
2334:
2331:
2328:
2308:
2301:
2298:
2295:
2292:
2288:
2257:
2249:
2245:
2241:
2223:
2200:
2189:
2183:
2180:
2174:
2171:
2168:
2165:
2162:
2142:
2138:
2134:
2131:
2128:
2125:
2122:
2119:
2116:
2113:
2110:
2107:
2079:
2075:
2071:
2068:
2065:
2062:
2059:
2056:
2053:
2050:
2039:
2019:
2015:
2011:
2008:
2005:
2000:
1996:
1992:
1989:
1986:
1975:
1964:
1961:
1958:
1955:
1952:
1949:
1946:
1943:
1940:
1937:
1934:
1931:
1928:
1925:
1922:
1919:
1916:
1913:
1910:
1907:
1904:
1901:
1898:
1895:
1892:
1889:
1886:
1883:
1880:
1877:
1874:
1871:
1868:
1865:
1862:
1842:
1839:
1836:
1833:
1830:
1827:
1807:
1804:
1801:
1798:
1795:
1792:
1789:
1786:
1783:
1780:
1769:
1768:
1767:
1756:
1753:
1750:
1747:
1744:
1740:
1736:
1733:
1713:
1710:
1707:
1686:
1682:
1679:
1670:Corollary: If
1639:
1627:complement set
1607:
1587:
1584:
1572:
1566:
1563:
1560:
1557:
1554:
1548:
1544:
1541:
1538:
1535:
1532:
1529:
1526:
1523:
1520:
1517:
1514:
1511:
1508:
1504:
1495:
1492:
1489:
1486:
1483:
1479:
1478:lim sup
1475:
1472:
1469:
1466:
1461:
1457:
1436:
1432:
1428:
1425:
1405:
1402:
1399:
1394:
1390:
1359:
1355:
1351:
1344:
1341:
1338:
1334:
1330:
1327:
1324:
1321:
1318:
1294:
1290:
1286:
1279:
1276:
1273:
1269:
1268:lim sup
1265:
1262:
1259:
1256:
1251:
1248:
1227:
1220:
1216:
1212:
1205:
1202:
1199:
1195:
1194:lim inf
1191:
1188:
1185:
1182:
1177:
1174:
1152:
1149:
1146:
1143:
1138:
1134:
1130:
1125:
1121:
1117:
1114:
1111:
1090:
1069:
1044:
1040:
1037:
1034:
1031:
1023:
1020:
1017:
1013:
1009:
1006:
1003:
1000:
997:
974:
971:
968:
965:
945:
942:
939:
934:
931:
926:
923:
920:
917:
912:
909:
887:
884:
881:
878:
858:
849:. One may say
847:limit inferior
832:
828:
825:
822:
819:
811:
808:
805:
801:
800:lim inf
797:
794:
791:
788:
783:
780:
758:
738:
735:
732:
727:
724:
705:limit superior
690:
686:
683:
680:
677:
669:
666:
663:
659:
658:lim sup
655:
652:
649:
646:
641:
638:
616:
596:
593:
590:
585:
582:
554:
534:
513:
509:
506:
503:
500:
496:
492:
489:
486:
483:
480:
460:
457:
454:
451:
448:
445:
442:
439:
436:
433:
430:
427:
424:
421:
418:
415:
412:
392:
389:
386:
383:
362:
358:
355:
335:
332:
329:
326:
323:
320:
317:
314:
311:
307:
286:
274:
271:
264:
245:
239:
235:
231:
227:
225:
202:
198:
155:
152:
107:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
3743:
3732:
3731:Combinatorics
3729:
3727:
3726:Number theory
3724:
3723:
3721:
3714:
3713:
3711:
3707:
3697:
3693:
3689:
3685:
3680:
3666:
3659:
3654:
3650:
3646:
3642:
3638:
3633:
3628:
3624:
3620:
3619:
3614:
3609:
3605:
3601:
3597:
3591:
3587:
3583:
3578:
3577:
3573:
3565:
3561:
3557:
3551:
3547:
3543:
3539:
3538:
3530:
3527:
3522:
3518:
3514:
3510:
3506:
3502:
3498:
3494:
3489:
3484:
3480:
3476:
3472:
3465:
3462:
3457:
3453:
3449:
3443:
3439:
3435:
3431:
3424:
3421:
3415:
3412:
3406:
3404:
3400:
3393:
3389:
3386:
3384:
3381:
3380:
3376:
3374:
3372:
3367:
3350:
3342:
3339:
3332:
3329:
3326:
3323:
3320:
3317:
3314:
3310:
3303:
3300:
3297:
3293:
3280:
3272:
3266:
3259:
3251:
3250:
3249:
3247:
3243:
3235:
3230:
3226:
3222:
3218:
3214:
3210:
3206:
3191:
3171:
3168:
3160:
3156:
3149:
3129:
3123:
3120:
3115:
3111:
3107:
3099:
3096:
3090:
3085:
3081:
3055:
3052:
3049:
3043:
3040:
3030:
3026:
2999:
2996:
2993:
2963:
2960:
2950:
2946:
2935:
2931:
2928:
2927:Benford's law
2924:
2920:
2906:
2901:
2898:
2893:
2884:
2881:
2876:
2873:
2870:
2867:
2863:
2856:
2851:
2848:
2843:
2840:
2837:
2834:
2830:
2815:
2807:
2801:
2798:
2793:
2790:
2787:
2784:
2780:
2772:
2769:
2765:
2761:
2758:
2755:
2750:
2746:
2742:
2739:
2725:
2717:
2711:
2703:
2700:
2678:
2673:
2670:
2665:
2656:
2653:
2648:
2645:
2642:
2639:
2635:
2628:
2623:
2620:
2615:
2612:
2609:
2606:
2602:
2587:
2579:
2573:
2570:
2565:
2562:
2559:
2556:
2552:
2544:
2541:
2537:
2533:
2530:
2527:
2522:
2518:
2514:
2511:
2497:
2489:
2483:
2472:
2449:
2445:
2442:
2437:
2434:
2431:
2428:
2424:
2420:
2417:
2414:
2409:
2406:
2402:
2397:
2386:
2383:
2380:
2376:
2372:
2369:
2361:
2358:
2354:
2351:
2332:
2326:
2306:
2296:
2290:
2286:
2275:
2271:
2255:
2247:
2243:
2239:
2228:
2224:
2221:
2217:
2213:
2209:
2205:
2201:
2187:
2181:
2178:
2172:
2166:
2160:
2132:
2129:
2126:
2123:
2120:
2117:
2114:
2108:
2105:
2097:
2093:
2069:
2066:
2063:
2060:
2057:
2051:
2048:
2040:
2037:
2033:
2009:
2006:
2003:
1998:
1994:
1987:
1984:
1976:
1962:
1956:
1953:
1947:
1941:
1938:
1932:
1926:
1917:
1911:
1908:
1905:
1899:
1896:
1887:
1881:
1878:
1872:
1866:
1837:
1834:
1831:
1825:
1805:
1799:
1793:
1790:
1784:
1778:
1770:
1754:
1751:
1745:
1731:
1708:
1705:
1680:
1677:
1669:
1668:
1666:
1662:
1658:
1654:
1628:
1624:
1620:
1616:
1612:
1608:
1605:
1601:
1597:
1594:
1590:
1589:
1585:
1583:
1570:
1564:
1561:
1558:
1555:
1552:
1539:
1536:
1533:
1530:
1527:
1524:
1521:
1518:
1515:
1509:
1506:
1487:
1484:
1481:
1473:
1467:
1459:
1455:
1434:
1426:
1423:
1400:
1392:
1388:
1380:
1375:
1357:
1353:
1349:
1336:
1328:
1322:
1316:
1292:
1288:
1284:
1271:
1263:
1257:
1246:
1225:
1218:
1214:
1210:
1197:
1189:
1183:
1175:
1172:
1150:
1144:
1141:
1136:
1132:
1128:
1123:
1119:
1112:
1109:
1067:
1058:
1042:
1035:
1029:
1015:
1007:
1001:
995:
986:
969:
963:
940:
929:
924:
918:
910:
907:
882:
876:
856:
848:
830:
823:
817:
803:
795:
789:
781:
778:
756:
733:
725:
722:
713:
708:
706:
688:
681:
675:
661:
653:
647:
636:
614:
591:
580:
571:
566:
552:
532:
504:
498:
490:
484:
478:
458:
455:
452:
446:
443:
440:
437:
434:
431:
428:
422:
416:
410:
387:
381:
356:
353:
333:
327:
324:
321:
318:
315:
309:
284:
272:
270:
224:
196:
193:the counting
187:
178:converges to
173:
153:
151:
149:
133:
120:
96:
92:
88:
84:
80:
76:
71:
70:grows large.
65:
61:
57:
53:
49:
45:
41:
37:
33:
32:number theory
19:
3703:
3702:
3683:
3672:. Retrieved
3665:the original
3622:
3616:
3581:
3536:
3529:
3478:
3474:
3464:
3433:
3423:
3414:
3368:
3365:
3245:
3241:
3239:
3228:
3216:
3215:states that
3208:
2932:Consider an
2276:has density
2273:
2269:
2229:has density
2219:
2215:
2203:
2202:For the set
2095:
2091:
2035:
2031:
1853:exist, then
1664:
1660:
1656:
1652:
1625:denotes its
1622:
1618:
1614:
1610:
1603:
1599:
1595:
1378:
1376:
1059:
987:
711:
709:
569:
567:
276:
252:
188:
157:
121:
72:
43:
39:
35:
29:
2355:The set of
568:Define the
170:among all
60:probability
3720:Categories
3706:PlanetMath
3696:0831.11001
3674:2014-11-16
3649:0044.03603
3604:0953.11002
3574:References
3521:0923.11127
3456:0653.10001
3223:, and the
1593:finite set
174:from 1 to
154:Definition
3505:1058-6458
3483:CiteSeerX
3330:≤
3318:∈
3311:∑
3301:
3287:∞
3284:→
3260:δ
3244:of a set
3112:α
3100:∈
3073:of sets:
3044:∈
2964:∈
2947:α
2882:−
2849:−
2822:∞
2819:→
2799:−
2759:⋯
2732:∞
2729:→
2704:_
2654:−
2621:−
2594:∞
2591:→
2571:−
2531:⋯
2504:∞
2501:→
2476:¯
2443:−
2418:…
2392:∞
2377:⋃
2327:ζ
2291:ζ
2244:π
2133:∈
2070:∈
2010:∈
1918:≤
1909:∪
1897:≤
1835:∪
1743:∖
1712:∅
1681:⊂
1556:−
1534:…
1510:∩
1494:∞
1491:→
1485:−
1460:∗
1427:⊆
1416:of a set
1393:∗
1343:∞
1340:→
1278:∞
1275:→
1250:¯
1204:∞
1201:→
1176:_
1145:…
1022:∞
1019:→
933:¯
911:_
810:∞
807:→
782:_
726:_
668:∞
665:→
640:¯
584:¯
453:∩
441:…
374:, define
357:∈
328:…
158:A subset
87:countable
3434:Divisors
3432:(1988).
3377:See also
3184:for all
2362:The set
1659:) = 1 −
1591:For any
471:and let
346:For any
195:function
83:infinite
64:interval
3641:0044561
3564:1414678
3513:1677091
2348:is the
2206:of all
2153:we get
1651:, then
50:of the
3694:
3647:
3639:
3602:
3592:
3562:
3552:
3519:
3511:
3503:
3485:
3454:
3444:
3348:
2319:where
2222:) = 0.
2208:primes
2038:) = 0.
1606:) = 0.
219:being
48:subset
3668:(PDF)
3661:(PDF)
3394:Notes
2214:that
1163:Then
261:then
132:limit
77:than
3590:ISBN
3550:ISBN
3501:ISSN
3442:ISBN
3121:<
1818:and
1724:),
1621:and
1309:and
1142:<
1129:<
277:Let
263:0 ≤
85:and
3692:Zbl
3645:Zbl
3627:doi
3600:Zbl
3542:doi
3517:Zbl
3493:doi
3452:Zbl
3298:log
3277:lim
3207:If
2983:in
2812:lim
2722:lim
2584:lim
2494:lim
2041:If
1977:If
1921:min
1861:max
1771:If
1667:).
1609:If
1333:lim
1080:of
1012:lim
898:if
749:of
607:of
267:≤ 1
248:→ ∞
243:as
182:as
134:as
119:).
66:as
54:of
52:set
42:or
30:In
3722::
3690:.
3643:.
3637:MR
3635:.
3623:57
3621:.
3615:.
3598:.
3588:.
3560:MR
3558:,
3548:,
3515:.
3509:MR
3507:.
3499:.
3491:.
3477:.
3473:.
3450:.
3402:^
3091::=
2929:.)
1755:1.
707:.
565:.
269:.
238:→
234:)/
150:.
34:,
3712:.
3698:.
3677:.
3651:.
3629::
3606:.
3544::
3523:.
3495::
3479:7
3458:.
3351:.
3343:n
3340:1
3333:x
3327:n
3324:,
3321:A
3315:n
3304:x
3294:1
3281:x
3273:=
3270:)
3267:A
3264:(
3246:A
3229:S
3217:S
3209:S
3204:.
3192:x
3172:x
3169:=
3166:)
3161:x
3157:A
3153:(
3150:d
3130:.
3127:}
3124:x
3116:n
3108::
3104:N
3097:n
3094:{
3086:x
3082:A
3059:]
3056:1
3053:,
3050:0
3047:[
3041:x
3037:}
3031:x
3027:A
3023:{
3003:]
3000:1
2997:,
2994:0
2991:[
2968:N
2961:n
2957:}
2951:n
2943:{
2907:.
2902:3
2899:1
2894:=
2888:)
2885:1
2877:2
2874:+
2871:m
2868:2
2864:2
2860:(
2857:3
2852:1
2844:2
2841:+
2838:m
2835:2
2831:2
2816:m
2808:=
2802:1
2794:2
2791:+
2788:m
2785:2
2781:2
2773:m
2770:2
2766:2
2762:+
2756:+
2751:2
2747:2
2743:+
2740:1
2726:m
2718:=
2715:)
2712:A
2709:(
2701:d
2679:,
2674:3
2671:2
2666:=
2660:)
2657:1
2649:1
2646:+
2643:m
2640:2
2636:2
2632:(
2629:3
2624:1
2616:2
2613:+
2610:m
2607:2
2603:2
2588:m
2580:=
2574:1
2566:1
2563:+
2560:m
2557:2
2553:2
2545:m
2542:2
2538:2
2534:+
2528:+
2523:2
2519:2
2515:+
2512:1
2498:m
2490:=
2487:)
2484:A
2481:(
2473:d
2450:}
2446:1
2438:1
2435:+
2432:n
2429:2
2425:2
2421:,
2415:,
2410:n
2407:2
2403:2
2398:{
2387:0
2384:=
2381:n
2373:=
2370:A
2352:.
2336:)
2333:n
2330:(
2307:,
2300:)
2297:n
2294:(
2287:1
2274:n
2270:n
2256:.
2248:2
2240:6
2220:P
2218:(
2216:d
2204:P
2188:.
2182:a
2179:1
2173:=
2170:)
2167:A
2164:(
2161:d
2141:}
2137:N
2130:n
2127::
2124:b
2121:+
2118:n
2115:a
2112:{
2109:=
2106:A
2096:A
2094:(
2092:d
2078:}
2074:N
2067:n
2064::
2061:n
2058:2
2055:{
2052:=
2049:A
2036:A
2034:(
2032:d
2018:}
2014:N
2007:n
2004::
1999:2
1995:n
1991:{
1988:=
1985:A
1963:.
1960:}
1957:1
1954:,
1951:)
1948:B
1945:(
1942:d
1939:+
1936:)
1933:A
1930:(
1927:d
1924:{
1915:)
1912:B
1906:A
1903:(
1900:d
1894:}
1891:)
1888:B
1885:(
1882:d
1879:,
1876:)
1873:A
1870:(
1867:d
1864:{
1841:)
1838:B
1832:A
1829:(
1826:d
1806:,
1803:)
1800:B
1797:(
1794:d
1791:,
1788:)
1785:A
1782:(
1779:d
1752:=
1749:)
1746:F
1739:N
1735:(
1732:d
1709:=
1706:F
1685:N
1678:F
1665:A
1663:(
1661:d
1657:A
1655:(
1653:d
1638:N
1623:A
1619:A
1615:A
1613:(
1611:d
1604:F
1602:(
1600:d
1596:F
1571:.
1565:1
1562:+
1559:M
1553:N
1547:|
1543:}
1540:N
1537:,
1531:,
1528:1
1525:+
1522:M
1519:,
1516:M
1513:{
1507:A
1503:|
1488:M
1482:N
1474:=
1471:)
1468:A
1465:(
1456:d
1435:.
1431:N
1424:A
1404:)
1401:A
1398:(
1389:d
1358:n
1354:a
1350:n
1337:n
1329:=
1326:)
1323:A
1320:(
1317:d
1293:n
1289:a
1285:n
1272:n
1264:=
1261:)
1258:A
1255:(
1247:d
1226:,
1219:n
1215:a
1211:n
1198:n
1190:=
1187:)
1184:A
1181:(
1173:d
1151:.
1148:}
1137:2
1133:a
1124:1
1120:a
1116:{
1113:=
1110:A
1089:N
1068:A
1043:n
1039:)
1036:n
1033:(
1030:a
1016:n
1008:=
1005:)
1002:A
999:(
996:d
973:)
970:A
967:(
964:d
944:)
941:A
938:(
930:d
925:=
922:)
919:A
916:(
908:d
886:)
883:A
880:(
877:d
857:A
831:n
827:)
824:n
821:(
818:a
804:n
796:=
793:)
790:A
787:(
779:d
757:A
737:)
734:A
731:(
723:d
689:n
685:)
682:n
679:(
676:a
662:n
654:=
651:)
648:A
645:(
637:d
615:A
595:)
592:A
589:(
581:d
553:n
533:A
512:|
508:)
505:n
502:(
499:A
495:|
491:=
488:)
485:n
482:(
479:a
459:,
456:A
450:}
447:n
444:,
438:,
435:2
432:,
429:1
426:{
423:=
420:)
417:n
414:(
411:A
391:)
388:n
385:(
382:A
361:N
354:n
334:.
331:}
325:,
322:2
319:,
316:1
313:{
310:=
306:N
285:A
265:α
259:α
255:A
250:.
246:n
240:α
236:n
232:n
230:(
228:a
221:α
217:A
213:n
209:A
205:)
203:n
201:(
199:a
191:n
184:n
180:α
176:n
168:A
164:α
160:A
144:A
140:A
136:n
128:A
124:A
106:N
68:n
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.