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to a canonical
Boolean, ie. an integer with a value of either 0 or 1 and no other. Although any integer other than 0 is logically true in C and 1 is not special in this regard, it is sometimes important to ensure that a canonical value is used, for example for printing or if the number is
4923:" or the negative sign since this is equivalent to taking the arithmetic negative value of the number) as it basically creates the opposite (negative value equivalent) or mathematical complement of the value (where both values are added together they create a whole).
5092:
Inverting the condition and reversing the outcomes produces code that is logically equivalent to the original code, i.e. will have identical results for any input (depending on the compiler used, the actual instructions performed by the computer may differ).
3747:
3950:
4599:
is false (classically) or refutable (intuitionistically) or etc.). Negation elimination states that anything follows from an absurdity. Sometimes negation elimination is formulated using a primitive absurdity sign
4295:
4190:
4128:
3479:
3418:
2897:
3140:, a proposition implies its double negation, but not conversely. This marks one important difference between classical and intuitionistic negation. Algebraically, classical negation is called an
3824:
3596:
2835:
5469:
Tettamanti, Marco; Manenti, Rosa; Della Rosa, Pasquale A.; Falini, Andrea; Perani, Daniela; Cappa, Stefano F.; Moro, Andrea (2008). "Negation in the brain: Modulating action representation".
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1552:
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follows an absurdity. Together with double negation elimination one may infer our originally formulated rule, namely that anything follows from an absurdity.
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7143:
3331:
As a result, in the propositional case, a sentence is classically provable if its double negation is intuitionistically provable. This result is known as
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8316:
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is notated in different ways, in various contexts of discussion and fields of application. The following table documents some of these variants:
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There are a number of equivalent ways to formulate rules for negation. One usual way to formulate classical negation in a
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2794:: ¬ has higher precedence than ∧, ∧ higher than ∨, and ∨ higher than →. So for example,
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35:
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7301:
4536:). One obtains the rules for intuitionistic negation the same way but by excluding double negation elimination.
3742:{\displaystyle f(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \dots \oplus (a_{n}\land b_{n})}
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2212:, where contradictions are not necessarily false. In classical logic, we also get a further identity,
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6220:
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5759:
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4892:, which allows sometimes, when the compiler/interpreter is not able to optimize it, faster programs.
4872:. Some languages (C++, Perl, etc.) provide more than one operator for negation. A few languages like
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3137:
3081:
2545:
2209:
2208:
is false, and while these ideas work in both classical and intuitionistic logic, they do not work in
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213:
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To get the absolute (positive equivalent) value of a given integer the following would work as the "
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4735:. Then negation introduction and elimination are just special cases of implication introduction (
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means "a person x in all humans is mortal" or "all humans are mortal". The negation of it is
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5314:
Richard E. Ladner (January 1975). "The circuit value problem is log space complete for P".
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to signify negation occasionally surfaces in ordinary written speech, as computer-related
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of the operation, or it never makes a difference. Negation is a linear logical operator.
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for negation. Most modern languages allow the above statement to be shortened from
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Another way to express this is that each variable always makes a difference in the
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Negation introduction states that if an absurdity can be drawn as conclusion from
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8648:
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4068:(means "there exists"). The negation of one quantifier is the other quantifier (
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in all humans who is not mortal", or "there exists someone who lives forever".
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4757:"!vote" redirects here. For use of !votes in Knowledge (XXG) discussions, see
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6647:
6626:
6556:
6508:
6488:
6158:
5887:
5709:
5553:
5173:
2901:
Here is a table that shows a commonly used precedence of logical operators.
2790:
As a way of reducing the number of necessary parentheses, one may introduce
1184:
5490:
4759:
Knowledge (XXG):Polling is not a substitute for discussion § Not-votes
2030:
Negation can be defined in terms of other logical operations. For example,
17:
5327:
3945:{\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{n})=\neg f(\neg a_{1},\dots ,\neg a_{n})}
3060:, double negation, that is, the negation of the negation of a proposition
8835:
8633:
7786:
7380:
6817:
6267:
6101:
6017:
5934:
5858:
5203:
4849:
5549:
8431:
7223:
6316:
5792:
5168:
7121:
6225:
5427:
4877:
134:
5096:
In C (and some other languages descended from C), double negation (
4825:
7975:
7321:
7166:
6682:
6192:
5113:
4869:
4853:
1512:
5292:. The basics (1. publ ed.). London: Routledge. p. 57.
4930:" changes it from negative to positive (it is negative because "
4873:
4856:, and languages with an ALGOL- or BASIC-inspired syntax such as
4837:
4200:
is mortal" and the domain of x as the collection of all humans,
7125:
6422:
6105:
5620:
4841:
4048:(means "for all") and the other is the existential quantifier
3511:
4028:, there are two quantifiers, one is the universal quantifier
1883:(pronounced "not P") would then be false; and conversely, if
5570:"Table of truth for a NOT clause applied to an END sentence"
2302:, and intuitionistic negation to pseudocomplementation in a
4290:{\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}
4185:{\displaystyle \neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)}
4123:{\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}
5457:
Wansing, Heinrich, 2001, "Negation", in Goble, Lou, ed.,
5312:
Used as makeshift in early typewriter publications, e.g.
3474:{\displaystyle \neg (P\land Q)\equiv (\neg P\lor \neg Q)}
3413:{\displaystyle \neg (P\lor Q)\equiv (\neg P\land \neg Q)}
5128:
which is used as a synonym for "no-clue" or "clueless".
2892:{\displaystyle (P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S.}
3270:. Composing that last implication with triple negation
1778:
is the proposition whose proofs are the refutations of
4745:). In this case one must also add as a primitive rule
6063:
6026:
5997:
5972:
5943:
5896:
5867:
5838:
5801:
5772:
5743:
5718:
5672:
5261:"Logic and Mathematical Statements - Worked Examples"
4800:/*...statements executed when r does NOT equal t...*/
4715:
4695:
4672:
4646:
4626:
4606:
4585:
4565:
4545:
4522:
4496:
4468:
4445:
4425:
4392:
4369:
4349:
4329:
4241:
4206:
4136:
4074:
4054:
4034:
3958:
3853:
3755:
3604:
3527:
3496:
3428:
3367:
3308:
3276:
3244:
3218:
3195:
3157:
3110:
3090:
3066:
3024:
2998:
2972:
2946:
2920:
2843:
2800:
2747:
2706:
2686:
2652:
2601:
2548:
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2463:
2426:
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2344:
2273:
2244:
2218:
2186:
2153:
2133:
2109:
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2059:
2036:
1990:
1969:
1939:
1912:
1889:
1866:
1846:
1784:
1764:
1697:
1677:
1650:
1623:
1600:
1580:
1560:
1540:
1355:
1329:
1303:
1269:
1236:
1194:
1160:
1134:
1108:
1082:
1051:
1024:
1001:
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790:
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630:
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578:
544:
518:
492:
455:
429:
406:
380:
354:
223:
190:
157:
104:
71:
3189:
does hold. This is because in intuitionistic logic,
8777:
8672:
8504:
8397:
8249:
7942:
7865:
7759:
7663:
7552:
7479:
7414:
7329:
7320:
7242:
7159:
7058:
6943:
6847:
6840:
6635:
6544:
6537:
6456:
5341:O'Donnell, John; Hall, Cordelia; Page, Rex (2007),
5124:means "not voting". Another example is the phrase
4319:setting is to take as primitive rules of inference
3819:{\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in \{0,1\}}
3591:{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}
2830:{\displaystyle P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S}
1671:. It is interpreted intuitively as being true when
291:
281:
271:
263:
255:
246:
212:
179:
146:
141:
127:
93:
62:
48:
6069:
6032:
6003:
5978:
5949:
5902:
5873:
5844:
5807:
5778:
5749:
5724:
5678:
5370:"Double Negation Operator Convert to Boolean in C"
5140:where the semantic values of formulae are sets of
4899:. This takes the value given and switches all the
4727:
4701:
4681:
4655:
4632:
4612:
4591:
4571:
4551:
4528:
4508:
4474:
4454:
4431:
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4378:
4355:
4335:
4289:
4227:
4184:
4122:
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4040:
4008:
3944:
3818:
3741:
3590:
3502:
3473:
3412:
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3262:
3230:
3204:
3181:
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3072:
3030:
3004:
2978:
2952:
2926:
2891:
2829:
2756:
2718:
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2661:
2610:
2561:
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2192:
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2115:
2091:
2071:
2045:
1999:
1975:
1948:
1918:
1898:
1875:
1852:
1790:
1770:
1703:
1683:
1663:
1636:
1609:
1586:
1566:
1546:
1367:
1341:
1315:
1281:
1255:
1214:
1172:
1146:
1120:
1094:
1060:
1037:
1010:
987:
956:
921:
895:
854:
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802:
770:
735:
709:
683:
642:
616:
590:
556:
530:
504:
470:
441:
415:
392:
366:
235:
201:
168:
116:
82:
4824:, and languages with a C-inspired syntax such as
2294:Algebraically, classical negation corresponds to
6915:Segmented discourse representation theory (SDRT)
3845:, a self dual function is a function such that:
2700:is also used to indicate 'not in the set of':
7137:
6434:
6117:
5632:
5105:subsequently used for arithmetic operations.
4009:{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}
3182:{\displaystyle \neg \neg \neg P\equiv \neg P}
2786:Logical connective § Order of precedence
1840:when its operand is true. Thus if statement
1492:
311:
8:
4016:. Negation is a self dual logical operator.
4003:
3991:
3813:
3801:
3585:
3573:
3295:{\displaystyle \neg \neg P\rightarrow \bot }
43:
5406:, p. 148 (John Benjamins Publishing, 2007).
1738:, negation is normally identified with the
7963:
7558:
7326:
7144:
7130:
7122:
6844:
6541:
6441:
6427:
6419:
6142:
6124:
6110:
6102:
5639:
5625:
5617:
5459:The Blackwell Guide to Philosophical Logic
4753:Programming language and ordinary language
1836:when its operand is false, and a value of
1499:
1485:
329:
318:
304:
6062:
6025:
5996:
5971:
5942:
5895:
5866:
5837:
5800:
5771:
5742:
5717:
5671:
4714:
4694:
4671:
4645:
4625:
4605:
4584:
4564:
4544:
4521:
4495:
4467:
4444:
4424:
4391:
4368:
4348:
4328:
4240:
4205:
4135:
4073:
4053:
4033:
3982:
3963:
3957:
3933:
3911:
3883:
3864:
3852:
3792:
3773:
3760:
3754:
3730:
3717:
3692:
3679:
3663:
3647:
3628:
3615:
3603:
3564:
3545:
3532:
3526:
3495:
3427:
3366:
3307:
3275:
3243:
3217:
3194:
3156:
3109:
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3065:
3023:
2997:
2971:
2945:
2919:
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2813:
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2547:
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2185:
2152:
2132:
2108:
2084:
2058:
2035:
1989:
1968:
1938:
1911:
1888:
1865:
1845:
1783:
1763:
1756:Brouwer–Heyting–Kolmogorov interpretation
1696:
1676:
1651:
1649:
1625:
1624:
1622:
1599:
1579:
1559:
1539:
1354:
1328:
1302:
1268:
1240:
1235:
1201:
1193:
1159:
1133:
1107:
1081:
1050:
1025:
1023:
1000:
977:
936:
934:
908:
880:
875:
841:
815:
789:
750:
748:
722:
696:
668:
663:
629:
603:
577:
543:
517:
491:
454:
428:
405:
379:
353:
222:
194:
189:
161:
156:
103:
75:
70:
3263:{\displaystyle P\rightarrow \neg \neg P}
2903:
2764:can be read as "it is not the case that
2324:
2310:for classical and intuitionistic logic.
1960:
5450:, 1953–59, "On the Logic of Negation",
5226:
4764:As in mathematics, negation is used in
4620:. In this case the rule says that from
2710:
2687:
1718:. It may be applied as an operation on
1435:
1382:
829:{\displaystyle A\not \Leftrightarrow B}
332:
5513:Horn, Laurence R.; Wansing, Heinrich.
5452:Commentationes Physico-Mathematicae 22
4666:Typically the intuitionistic negation
3518:, a linear function is one such that:
1256:{\displaystyle A{\underline {\lor }}B}
771:{\displaystyle {\overline {A\cdot B}}}
684:{\displaystyle A{\overline {\land }}B}
42:
6870:Discourse representation theory (DRT)
5874:{\displaystyle \not \leftrightarrow }
5600:from the original on 17 January 2000.
5422:, and Wansing, Heinrich, eds., 1999.
5404:Lexical Creativity, Texts and Context
5344:Discrete Mathematics Using a Computer
5283:
5281:
896:{\displaystyle A{\overline {\lor }}B}
557:{\displaystyle A\leftrightharpoons B}
7:
8905:Formal semantics (natural language)
6783:Quantificational variability effect
6450:Formal semantics (natural language)
5606:"NOT clause of an IF...THEN period"
5524:Stanford Encyclopedia of Philosophy
4192:). For example, with the predicate
3129:{\displaystyle \neg \neg P\equiv P}
2399:{\displaystyle {\mathord {\sim }}p}
1637:{\displaystyle {\mathord {\sim }}P}
1215:{\displaystyle A\ {\text{XNOR}}\ B}
855:{\displaystyle A\nleftrightarrow B}
6064:
5839:
5673:
5612:from the original on 1 March 2000.
5588:from the original on 1 March 2000.
5576:from the original on 1 March 2000.
4895:In computer science there is also
4728:{\displaystyle P\rightarrow \bot }
4722:
4673:
4647:
4607:
4500:
4497:
4446:
4393:
4370:
4272:
4266:
4245:
4242:
4207:
4167:
4161:
4140:
4137:
4105:
4099:
4078:
4075:
4055:
4035:
3926:
3904:
3895:
3462:
3453:
3429:
3401:
3392:
3368:
3321:{\displaystyle P\rightarrow \bot }
3315:
3289:
3280:
3277:
3254:
3251:
3231:{\displaystyle P\rightarrow \bot }
3225:
3196:
3173:
3164:
3161:
3158:
3114:
3111:
2921:
2865:
2814:
2772:", or usually more simply as "not
2748:
2345:
2245:
2160:
2134:
2110:
2072:{\displaystyle P\rightarrow \bot }
2066:
2037:
1991:
1940:
1890:
1867:
1601:
979:
531:{\displaystyle A\Leftrightarrow B}
462:
459:
433:
191:
158:
72:
25:
5100:) is used as an idiom to convert
5010:To demonstrate logical negation:
4768:to construct logical statements.
4297:, meaning "there exists a person
957:{\displaystyle {\overline {A+B}}}
30:For negation in linguistics, see
8863:
6403:
6392:
6086:
5903:{\displaystyle \leftrightarrow }
5692:
5483:10.1016/j.neuroimage.2008.08.004
5144:, negation can be taken to mean
4907:. This is often used to create
3104:. Expressed in symbolic terms,
3031:{\displaystyle \leftrightarrow }
2737:Regardless how it is notated or
1758:, the negation of a proposition
1470:
1469:
133:
54:
5582:"NOT clause of an END sentence"
2562:{\displaystyle {\overline {p}}}
1962:
1664:{\displaystyle {\overline {P}}}
1038:{\displaystyle {\overline {A}}}
6865:Combinatory categorial grammar
5944:
5897:
5773:
5744:
5719:
5594:"NOT clause of an OR sentence"
4719:
4482:; this rule also being called
4409:; this rule also being called
4284:
4278:
4260:
4254:
4222:
4216:
4179:
4173:
4155:
4149:
4117:
4111:
4093:
4087:
3939:
3901:
3889:
3857:
3736:
3710:
3698:
3672:
3653:
3608:
3468:
3450:
3444:
3432:
3407:
3389:
3383:
3371:
3312:
3286:
3248:
3222:
3025:
2999:
2880:
2877:
2874:
2871:
2862:
2853:
2844:
2821:
2318:The negation of a proposition
2231:{\displaystyle P\rightarrow Q}
2222:
2127:). Conversely, one can define
2086:
2063:
1801:An operand of a negation is a
1359:
1307:
913:
803:{\displaystyle A\not \equiv B}
701:
643:{\displaystyle A\rightarrow B}
634:
591:{\displaystyle A\Rightarrow B}
582:
548:
522:
471:{\displaystyle A\&\&B}
111:
105:
1:
8824:History of mathematical logic
6643:Antecedent-contained deletion
5979:{\displaystyle \nrightarrow }
5438:A Natural History of Negation
5146:set-theoretic complementation
4228:{\displaystyle \forall xP(x)}
2726:is the set of all members of
2204:). The idea here is that any
2169:{\displaystyle Q\land \neg Q}
1368:{\displaystyle A\leftarrow B}
1316:{\displaystyle A\Leftarrow B}
922:{\displaystyle A\downarrow B}
8749:Primitive recursive function
6004:{\displaystyle \nleftarrow }
5779:{\displaystyle \rightarrow }
4903:1s to 0s and 0s to 1s. See
2719:{\displaystyle U\setminus A}
2554:
2260:{\displaystyle \neg P\lor Q}
2092:{\displaystyle \rightarrow }
1711:is true. Negation is thus a
1656:
1554:to another proposition "not
1173:{\displaystyle A\parallel B}
1030:
949:
885:
763:
673:
5950:{\displaystyle \downarrow }
5750:{\displaystyle \leftarrow }
5538:Encyclopedia of Mathematics
5442:University of Chicago Press
5391:The New Hacker's Dictionary
5120:. For example, the phrase
4816:" signifies logical NOT in
4579:must not be the case (i.e.
4509:{\displaystyle \neg \neg P}
4488:double negation elimination
2306:. These algebras provide a
1832:, that produces a value of
1828:, typically the value of a
710:{\displaystyle A\uparrow B}
8921:
7813:Schröder–Bernstein theorem
7540:Monadic predicate calculus
7199:Foundations of mathematics
6524:Syntax–semantics interface
5288:Beall, Jeffrey C. (2010).
4848:" is the operator used in
4756:
4308:
2783:
2693:{\displaystyle \setminus }
1342:{\displaystyle A\subset B}
617:{\displaystyle A\supset B}
29:
8859:
8846:Philosophy of mathematics
8795:Automated theorem proving
7966:
7920:Von Neumann–Bernays–Gödel
7561:
7016:Question under discussion
6966:Conversational scoreboard
6743:Intersective modification
6728:Homogeneity (linguistics)
6389:
6140:
6083:
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5926:
5821:
5725:{\displaystyle \uparrow }
5701:
5690:
5655:
5393:, p. 18 (MIT Press 1996).
5347:, Springer, p. 120,
3212:is just a shorthand for
3151:, the weaker equivalence
1691:is false, and false when
1282:{\displaystyle A\oplus B}
505:{\displaystyle A\equiv B}
299:
236:{\displaystyle 1\oplus x}
202:{\displaystyle \lnot {x}}
169:{\displaystyle \lnot {x}}
83:{\displaystyle \lnot {x}}
53:
36:Negation (disambiguation)
7076:Distributional semantics
5163:Affirmation and negation
5150:possible world semantics
5108:The convention of using
5012:
4936:
4770:
4061:{\displaystyle \exists }
4041:{\displaystyle \forall }
4020:Negations of quantifiers
2730:that are not members of
442:{\displaystyle A\&B}
393:{\displaystyle A\cdot B}
367:{\displaystyle A\land B}
32:Affirmation and negation
8496:Self-verifying theories
8317:Tarski's axiomatization
7268:Tarski's undefinability
7263:incompleteness theorems
7071:Computational semantics
6808:Subsective modification
6612:Propositional attitudes
5989:Converse nonimplication
3503:{\displaystyle \oplus }
1422:Functional completeness
1147:{\displaystyle A\mid B}
1095:{\displaystyle A\lor B}
736:{\displaystyle A\mid B}
8870:Mathematics portal
8481:Proof of impossibility
8129:propositional variable
7439:Propositional calculus
7101:Philosophy of language
6738:Inalienable possession
6718:Free choice inferences
6713:Faultless disagreement
6484:Generalized quantifier
6410:Mathematics portal
6071:
6034:
6033:{\displaystyle \land }
6005:
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5680:
5165:(grammatical polarity)
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84:
34:. For other uses, see
8739:Kolmogorov complexity
8692:Computably enumerable
8592:Model complete theory
8384:Principia Mathematica
7444:Propositional formula
7273:Banach–Tarski paradox
6996:Plural quantification
6890:Inquisitive semantics
6855:Alternative semantics
6399:Philosophy portal
6093:Philosophy portal
6072:
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5679:{\displaystyle \top }
5328:10.1145/990518.990519
5240:mathworld.wolfram.com
4919:(just simplified to "
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2140:{\displaystyle \bot }
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2116:{\displaystyle \bot }
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6981:Function application
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8491:Reverse mathematics
8417:Logical consequence
8294:primitive recursive
8289:elementary function
8062:Free/bound variable
7915:Tarski–Grothendieck
7434:Logical connectives
7364:Logical equivalence
7214:Logical consequence
7066:Cognitive semantics
7031:Strawson entailment
6976:Existential closure
6920:Situation semantics
6823:Temperature paradox
6793:Rising declaratives
6758:Modal subordination
6733:Hurford disjunction
6693:Discourse relations
5649:logical connectives
5234:Weisstein, Eric W.
5199:Negation as failure
4739:) and elimination (
3510:denote the logical
3238:, and we also have
3056:Within a system of
2289:logical disjunction
2202:logical conjunction
2101:logical consequence
1754:, according to the
1734:more generally. In
1460:Philosophy of logic
1121:{\displaystyle A+B}
334:Logical connectives
45:
8639:Transfer principle
8602:Semantics of logic
8587:Categorical theory
8563:Non-standard model
8077:Logical connective
7204:Information theory
7153:Mathematical logic
7111:Semantics of logic
7036:Strict conditional
7006:Quantifier raising
6971:Downward entailing
6951:Autonomy of syntax
6880:Generative grammar
6860:Categorial grammar
6798:Scalar implicature
6703:Epistemic modality
6678:De dicto and de re
6067:
6030:
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5706:Alternative denial
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4915:" in C or C++ and
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2257:
2238:can be defined as
2228:
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2125:absolute falsehood
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2053:can be defined as
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1519:, also called the
1455:Mathematical logic
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8876:
8809:Abstract category
8612:Theories of truth
8422:Rule of inference
8412:Natural deduction
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7643:Cartesian product
7548:
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7454:Many-valued logic
7429:Boolean functions
7312:Russell's paradox
7287:diagonal argument
7184:First-order logic
7119:
7118:
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7053:
7046:Universal grinder
7026:Squiggle operator
6986:Meaning postulate
6925:Supervaluationism
6895:Intensional logic
6875:Dynamic semantics
6836:
6835:
6668:Crossover effects
6617:Tense–aspect–mood
6597:Lexical semantics
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