3692:
4259:
2396:
4071:
558:
3430:
814:
2247:
2053:
2654:
4254:{\displaystyle u_{k}={\begin{pmatrix}\cos {\theta }\\\sin {\theta }\cos {\varphi _{k}}\\\sin {\theta }\sin {\varphi _{k}}\end{pmatrix}},\quad \cos {\theta }={\frac {1}{\sqrt{5}}},\quad \varphi _{k}={\frac {2\pi k}{5}}}
2799:
4469:
A representation of vertices by standard basis vectors will not be faithful, meaning that adjacent vertices are represented by non-orthogonal vectors, unless the graph is edgeless. A faithful representation in
3016:
444:
1761:
3687:
272:
1459:
2909:
2549:
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4395:
3818:
3625:
3932:
1649:
1796:
708:
4066:
3274:
3236:
2455:
1922:
2120:
1351:
932:
863:
617:
325:
3768:
3178:
71:
2690:
4400:
However, there exist graphs for which the Lovász number and
Shannon capacity differ, so the Lovász number cannot in general be used to compute exact Shannon capacities.
3459:
3045:
2830:
1956:
1951:
1851:
683:
4303:
1695:
1507:
1210:
3102:
1547:
1249:
4496:
is also possible by associating each vertex to a basis vector as before, but mapping each vertex to the sum of basis vectors associated with its closed neighbourhood.
1144:
160:
4529:
4576:
3959:
3724:
3537:
1022:
379:
352:
2391:{\displaystyle \vartheta (C_{n})={\begin{cases}{\frac {n\cos(\pi /n)}{1+\cos(\pi /n)}}&{\text{for odd }}n,\\{\frac {n}{2}}&{\text{for even }}n\end{cases}}}
5152:
4494:
1275:
978:
584:
4596:
4549:
3581:
3561:
3510:
3486:
3306:
3146:
3126:
3069:
2929:
2850:
2734:
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1611:
1587:
1567:
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1375:
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1295:
1184:
1164:
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657:
637:
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204:
184:
2739:
2950:
1703:
2562:
5124:
5001:
4855:
3630:
1400:
2855:
3934:, since "11", "23", "35", "54", "42" are five mutually non-confusable messages (forming a five-vertex independent set in the strong square of
5164:
4977:
5026:
Howard, Mark; Wallman, Joel; Veitch, Victor; Emerson, Joseph (19 June 2014), "Contextuality supplies the 'magic' for quantum computation",
3276:
and then rounding to the nearest integer value, the chromatic number and clique number of these graphs can be computed in polynomial time.
5087:
211:
2468:
3489:
553:{\displaystyle u_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}={\begin{cases}1,&{\text{if }}i=j,\\0,&{\text{if }}ij\notin E.\end{cases}}}
4905:
3826:
3466:
1510:
163:
25:
4308:
5286:
3285:
2555:
37:
3964:
1027:
4996:
2193:
2133:
5281:
4853:(2013), "Zero-error communication via quantum channels, non-commutative graphs and a quantum Lovász ϑ function",
4354:
3777:
3425:{\displaystyle \Theta (G)=\sup _{k}{\sqrt{\alpha (G^{k})}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\sqrt{\alpha (G^{k})}},}
5228:
Todd, Mike; Cheung, Sin-Shuen (February 21, 2012), "Lecture 9: SDP formulations of the Lovász theta function",
3586:
93:
3890:
1616:
1766:
4799:
4013:
3241:
3203:
2932:
2409:
2943:
The Lovász "sandwich theorem" states that the Lovász number always lies between two other numbers that are
1876:
1590:
5173:
5140:
5119:
4951:
4897:
2083:
1320:
78:
4413:
908:
839:
593:
301:
5047:
3540:
3181:
2693:
112:
of the graph, and can be used to compute these numbers on graphs for which they are equal, including
3737:
2278:
483:
77:
to contrast with the upright theta used for
Shannon capacity. This quantity was first introduced by
4955:
4947:
4901:
4893:
3462:
3154:
47:
2669:
5096:
5071:
5037:
4928:
4882:
4864:
4834:
4808:
4437:
3435:
3021:
2806:
1927:
1827:
809:{\displaystyle \vartheta (G)=\min _{c,U}\max _{i\in V}{\frac {1}{(c^{\mathrm {T} }u_{i})^{2}}},}
668:
4264:
1674:
1486:
1189:
5250:
5229:
5160:
5063:
4973:
4959:
4826:
4417:
3078:
1516:
1218:
5156:
3627:. However, the Lovász number provides an upper bound on the Shannon capacity of graph, hence
1111:
127:
5217:
5194:
5129:
5106:
5055:
5028:
5010:
4965:
4920:
4874:
4818:
4508:
4436:
that can be computed in polynomial time and has been used to prove lower bounds in monotone
4433:
3185:
3105:
1822:
1212:
105:
101:
97:
4987:
4554:
3937:
3702:
3515:
1007:
357:
330:
4983:
4846:
4794:
4786:
4429:
4409:
3189:
981:
89:
4473:
1254:
957:
563:
5051:
5205:
5145:
4850:
4790:
4581:
4534:
3566:
3546:
3495:
3471:
3291:
3131:
3111:
3054:
2914:
2835:
2719:
2699:
2402:
2076:
1856:
1801:
1697:
1654:
1596:
1572:
1552:
1466:
1380:
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1300:
1280:
1169:
1149:
1083:
987:
937:
888:
868:
819:
688:
642:
622:
587:
424:
404:
384:
281:
189:
169:
4408:
The Lovász number has been generalized for "non-commutative graphs" in the context of
5275:
4964:, Algorithms and Combinatorics, vol. 2 (2nd ed.), Springer-Verlag, Berlin,
3197:
3048:
113:
109:
5258:
4932:
4838:
3200:, the chromatic number and clique number are equal, and therefore are both equal to
5082:
5075:
4886:
4822:
2461:
2048:{\displaystyle \vartheta (G)=\max _{d,U}\sum _{i\in V}(d^{\mathrm {T} }u_{i})^{2}.}
17:
5254:
2944:
2240:
2126:
206:
33:
29:
4936:
4969:
1354:
5221:
5133:
5014:
4878:
2649:{\displaystyle \vartheta (K_{n_{1},\dots ,n_{k}})=\max _{1\leq i\leq k}n_{i}}
980:. Intuitively, this corresponds to minimizing the half-angle of a rotational
5263:
3691:
5177:
5067:
4830:
4305:. By using this choice in the initial definition of Lovász number, we get
5190:
Sandwich
Theorem and Calculation of the Theta Function for Several Graphs
5188:
4906:"The ellipsoid method and its consequences in combinatorial optimization"
3727:
2185:
5059:
5018:
984:
containing all representing vectors of an orthonormal representation of
5198:
4997:"On Some Problems of Lovász Concerning the Shannon Capacity of a Graph"
4924:
5143:(1986), "Chapter 3.2: Chromatic number, cliques, and perfect graphs",
5101:
4531:
then one can always achieve a smaller objective value by restricting
3072:
2794:{\displaystyle \vartheta (G\boxtimes H)=\vartheta (G)\vartheta (H).}
934:. Here minimization implicitly is performed also over the dimension
88:
Accurate numerical approximations to this number can be computed in
3011:{\displaystyle \omega (G)\leq \vartheta ({\bar {G}})\leq \chi (G),}
5111:
5042:
4869:
4813:
74:
3128:(the smallest number of colors needed to color the vertices of
1756:{\displaystyle \vartheta (G)=\max _{B}\operatorname {Tr} (BJ).}
560:
Clearly, every graph admits an orthonormal representation with
2062:
The Lovász number has been computed for the following graphs:
4068:
be the following orthonormal representation of the pentagon:
954:, however without loss of generality it suffices to consider
3682:{\displaystyle \alpha (G)\leq \Theta (G)\leq \vartheta (G).}
1377:. Then an alternative way of computing the Lovász number of
267:{\displaystyle U=(u_{i}\mid i\in V)\subset \mathbb {R} ^{N}}
3699:
For example, let the confusability graph of the channel be
2384:
1454:{\displaystyle \vartheta (G)=\min _{A}\lambda _{\max }(A).}
546:
4767:
3148:
so that no two adjacent vertices receive the same color).
2904:{\displaystyle \vartheta (G)\vartheta ({\bar {G}})\geq n,}
4703:
2544:{\displaystyle \vartheta (KG_{n,k})={\binom {n-1}{k-1}}}
4432:, a monotone approximation to the Lovász number of the
1821:
The Lovász number can be computed also in terms of the
586:: just represent vertices by distinct vectors from the
5208:(1956), "The zero error capacity of a noisy channel",
5147:
4093:
1463:
The following method is dual to the previous one. Let
639:
considerably smaller than the number of vertices
619:. Depending on the graph it might be possible to take
4755:
4584:
4557:
4537:
4511:
4476:
4357:
4311:
4267:
4074:
4016:
3967:
3940:
3893:
3829:
3780:
3740:
3705:
3633:
3589:
3569:
3549:
3518:
3498:
3474:
3438:
3314:
3294:
3244:
3206:
3157:
3134:
3114:
3081:
3057:
3024:
2953:
2917:
2858:
2838:
2809:
2742:
2722:
2702:
2672:
2565:
2471:
2412:
2250:
2196:
2136:
2086:
1959:
1930:
1879:
1859:
1830:
1804:
1769:
1706:
1677:
1657:
1619:
1599:
1575:
1555:
1519:
1489:
1469:
1403:
1383:
1363:
1323:
1303:
1283:
1257:
1221:
1192:
1172:
1152:
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1086:
1030:
1010:
990:
960:
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891:
871:
842:
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711:
691:
671:
645:
625:
596:
566:
447:
427:
407:
387:
360:
333:
304:
284:
214:
192:
172:
130:
50:
5179:
Semidefinite programs and combinatorial optimization
4961:
Geometric algorithms and combinatorial optimization
3880:{\displaystyle \Theta (C_{5})\geq \alpha (C_{5})=2}
5231:Lecture Notes for OR6327, Semidefinite Programming
5144:
4795:"Graph-theoretic approach to quantum correlations"
4743:
4590:
4570:
4543:
4523:
4488:
4389:
4343:
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4253:
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3999:
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3762:
3718:
3681:
3619:
3575:
3555:
3531:
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3424:
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3140:
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3096:
3063:
3039:
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2923:
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2844:
2824:
2793:
2728:
2708:
2684:
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2449:
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2173:
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2047:
1945:
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1581:
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319:
290:
266:
198:
178:
154:
65:
4344:{\displaystyle \vartheta (C_{5})\leq {\sqrt {5}}}
3734:it was an open problem to determine the value of
2535:
2506:
3374:
3331:
2615:
1976:
1723:
1434:
1420:
1329:
744:
728:
5153:Society for Industrial and Applied Mathematics
5122:(1979), "On the Shannon capacity of a graph",
4000:{\displaystyle \Theta (C_{5})\geq {\sqrt {5}}}
1100:corresponds to the symmetry axis of the cone.
1073:{\displaystyle \vartheta (G)=1/\cos ^{2}\phi }
2229:{\displaystyle \vartheta (C_{5})={\sqrt {5}}}
8:
2174:{\displaystyle \vartheta ({\bar {K}}_{n})=n}
4607:
4707:
4390:{\displaystyle \Theta (C_{5})={\sqrt {5}}}
3813:{\displaystyle \Theta (C_{5})={\sqrt {5}}}
73:, using a script form of the Greek letter
5193:(M.S. thesis), Brigham Young University,
5110:
5100:
5041:
4868:
4812:
4583:
4562:
4556:
4536:
4510:
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3620:{\displaystyle \Theta (G)\geq \alpha (G)}
3588:
3568:
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1226:
1220:
1191:
1171:
1151:
1113:
1085:
1058:
1049:
1029:
1009:
989:
959:
939:
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913:
910:
890:
870:
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841:
821:
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784:
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772:
759:
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731:
710:
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670:
644:
624:
603:
599:
598:
595:
565:
523:
494:
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458:
457:
452:
446:
426:
406:
386:
365:
359:
338:
332:
311:
307:
306:
303:
283:
258:
254:
253:
228:
213:
191:
171:
129:
49:
4704:Grötschel, Lovász & Schrijver (1981)
3927:{\displaystyle \alpha (C_{5}^{2})\geq 5}
3690:
2064:
1644:{\displaystyle \operatorname {Tr} (B)=1}
5125:IEEE Transactions on Information Theory
5002:IEEE Transactions on Information Theory
4856:IEEE Transactions on Information Theory
4731:
4450:
3731:
1791:{\displaystyle \operatorname {Tr} (BJ)}
104:of any graph is sandwiched between the
5210:IRE Transactions on Information Theory
4719:
4679:
4667:
4655:
4643:
4631:
4619:
4457:
4416:in an attempt to explain the power of
4061:{\displaystyle U=(u_{1},\dots ,u_{5})}
4010:To show that this bound is tight, let
3771:
3269:{\displaystyle \vartheta ({\bar {G}})}
3231:{\displaystyle \vartheta ({\bar {G}})}
2450:{\displaystyle \vartheta (KG_{5,2})=4}
4756:Cabello, Severini & Winter (2014)
4691:
7:
3184:and numerically approximated by the
1924:be an orthonormal representation of
1917:{\displaystyle U=(u_{i}\mid i\in V)}
885:is an orthonormal representation of
5088:Electronic Journal of Combinatorics
4551:to the subspace spanned by vectors
4412:. The Lovasz number also arises in
3238:. By computing an approximation of
2115:{\displaystyle \vartheta (K_{n})=1}
1346:{\displaystyle \lambda _{\max }(A)}
4744:Duan, Severini & Winter (2013)
4358:
3968:
3830:
3781:
3741:
3649:
3590:
3384:
3315:
2510:
2016:
1798:is just the sum of all entries of
774:
459:
83:On the Shannon Capacity of a Graph
40:of the graph. It is also known as
14:
381:are orthogonal whenever vertices
5085:(1994), "The sandwich theorem",
1589:are adjacent, and such that the
927:{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}
858:{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}
612:{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}
320:{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}
4219:
4184:
4823:10.1103/PhysRevLett.112.040401
4374:
4361:
4328:
4315:
4292:
4274:
4055:
4023:
3984:
3971:
3915:
3897:
3868:
3855:
3846:
3833:
3797:
3784:
3770:. It was first established by
3763:{\displaystyle \Theta (C_{5})}
3757:
3744:
3730:. Since the original paper of
3673:
3667:
3658:
3652:
3643:
3637:
3614:
3608:
3599:
3593:
3448:
3442:
3408:
3395:
3381:
3359:
3346:
3324:
3318:
3263:
3257:
3248:
3225:
3219:
3210:
3167:
3161:
3091:
3085:
3034:
3028:
3002:
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2987:
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2972:
2963:
2957:
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2883:
2874:
2868:
2862:
2816:
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2779:
2773:
2767:
2758:
2746:
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2569:
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2475:
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2267:
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2200:
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2150:
2140:
2103:
2090:
2033:
2007:
1969:
1963:
1937:
1911:
1886:
1837:
1785:
1776:
1747:
1738:
1716:
1710:
1632:
1626:
1511:positive semidefinite matrices
1445:
1439:
1413:
1407:
1340:
1334:
1133:
1121:
1040:
1034:
791:
765:
721:
715:
246:
221:
149:
137:
60:
54:
1:
3192:in the number of vertices of
3173:{\displaystyle \vartheta (G)}
1593:(sum of diagonal entries) of
66:{\displaystyle \vartheta (G)}
5187:Riddle, Marcia Ling (2003),
4682:, Corollary 2 and Theorem 8.
3280:Relation to Shannon capacity
2947:to compute. More precisely,
2685:{\displaystyle G\boxtimes H}
2556:Complete multipartite graphs
186:vertices. An ordered set of
4995:Haemers, Willem H. (1979),
4578:; this subspace is at most
2058:Value for well-known graphs
100:. The Lovász number of the
44:and is commonly denoted by
5303:
3454:{\displaystyle \alpha (G)}
3040:{\displaystyle \omega (G)}
2825:{\displaystyle {\bar {G}}}
1946:{\displaystyle {\bar {G}}}
1846:{\displaystyle {\bar {G}}}
1317:are not adjacent, and let
1004:. If the optimal angle is
678:{\displaystyle \vartheta }
276:orthonormal representation
4970:10.1007/978-3-642-78240-4
4610:, Proposition 5.1, p. 28.
4298:{\displaystyle c=(1,0,0)}
3071:(the size of the largest
2939:Lovász "sandwich theorem"
1690:{\displaystyle n\times n}
1502:{\displaystyle n\times n}
1205:{\displaystyle n\times n}
5222:10.1109/TIT.1956.1056798
5134:10.1109/tit.1979.1055985
5015:10.1109/tit.1979.1056027
4879:10.1109/TIT.2012.2221677
4708:Todd & Cheung (2012)
4670:, Lemma 2 and Theorem 7.
3097:{\displaystyle \chi (G)}
1542:{\displaystyle b_{ij}=0}
1244:{\displaystyle a_{ij}=1}
94:semidefinite programming
4800:Physical Review Letters
3488:(the size of a largest
3308:is defined as follows:
3180:can be formulated as a
1139:{\displaystyle G=(V,E)}
705:is defined as follows:
155:{\displaystyle G=(V,E)}
4592:
4572:
4545:
4525:
4524:{\displaystyle N>n}
4490:
4391:
4345:
4299:
4255:
4062:
4001:
3955:
3928:
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3814:
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3720:
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3683:
3621:
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3557:
3533:
3506:
3482:
3455:
3426:
3302:
3270:
3232:
3174:
3142:
3122:
3098:
3065:
3041:
3012:
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2905:
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2826:
2795:
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2710:
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2650:
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2451:
2392:
2230:
2175:
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1918:
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1847:
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1645:
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1563:
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1347:
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1271:
1245:
1206:
1180:
1160:
1140:
1104:Equivalent expressions
1094:
1074:
1018:
998:
974:
948:
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200:
180:
156:
67:
4593:
4573:
4571:{\displaystyle u_{i}}
4546:
4526:
4491:
4414:quantum contextuality
4410:quantum communication
4392:
4346:
4300:
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3929:
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3719:{\displaystyle C_{5}}
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3578:
3558:
3534:
3532:{\displaystyle G^{k}}
3507:
3483:
3456:
3427:
3303:
3271:
3233:
3188:in time bounded by a
3175:
3143:
3123:
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3042:
3013:
2926:
2906:
2847:
2832:is the complement of
2827:
2796:
2731:
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2651:
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2452:
2393:
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2117:
2050:
1948:
1919:
1873:be a unit vector and
1868:
1848:
1813:
1793:
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1075:
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1017:{\displaystyle \phi }
999:
975:
949:
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700:
680:
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376:
374:{\displaystyle u_{j}}
349:
347:{\displaystyle u_{i}}
322:
293:
269:
201:
181:
157:
68:
42:Lovász theta function
5237:, Cornell University
4956:Schrijver, Alexander
4902:Schrijver, Alexander
4793:(January 27, 2014),
4768:Howard et al. (2014)
4582:
4555:
4535:
4509:
4474:
4355:
4309:
4265:
4072:
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3965:
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3778:
3738:
3703:
3631:
3587:
3567:
3547:
3541:strong graph product
3516:
3496:
3472:
3436:
3312:
3292:
3242:
3204:
3182:semidefinite program
3155:
3132:
3112:
3079:
3055:
3022:
2951:
2915:
2856:
2836:
2807:
2740:
2720:
2700:
2694:strong graph product
2670:
2563:
2469:
2410:
2248:
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2134:
2084:
1957:
1928:
1877:
1857:
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1767:
1704:
1675:
1655:
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1573:
1553:
1517:
1487:
1467:
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1361:
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1301:
1281:
1255:
1219:
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1008:
988:
958:
938:
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889:
869:
840:
836:is a unit vector in
820:
709:
689:
669:
643:
623:
594:
564:
445:
425:
421:are not adjacent in
405:
385:
358:
331:
302:
282:
212:
190:
170:
128:
48:
5060:10.1038/nature13460
5052:2014Natur.510..351H
4489:{\displaystyle N=n}
3914:
3463:independence number
1353:denote the largest
1270:{\displaystyle i=j}
973:{\displaystyle N=n}
579:{\displaystyle N=n}
464:
5287:Information theory
5251:Weisstein, Eric W.
5128:, IT-25 (1): 1–7,
4925:10.1007/BF02579273
4608:Lovász (1995–2001)
4588:
4568:
4541:
4521:
4486:
4438:circuit complexity
4387:
4341:
4295:
4251:
4175:
4058:
3997:
3951:
3924:
3900:
3877:
3810:
3760:
3716:
3697:
3679:
3617:
3573:
3553:
3529:
3502:
3478:
3451:
3422:
3388:
3339:
3298:
3266:
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3138:
3118:
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3037:
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2706:
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2171:
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2045:
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1990:
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1641:
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1559:
1549:whenever vertices
1539:
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1473:
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1343:
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1213:symmetric matrices
1202:
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371:
344:
317:
288:
264:
196:
176:
152:
81:in his 1979 paper
63:
5166:978-0-89871-203-2
4979:978-3-642-78242-8
4948:Grötschel, Martin
4894:Grötschel, Martin
4591:{\displaystyle n}
4544:{\displaystyle c}
4418:quantum computers
4385:
4339:
4249:
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4213:
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3576:{\displaystyle k}
3556:{\displaystyle G}
3505:{\displaystyle G}
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3141:{\displaystyle G}
3121:{\displaystyle G}
3064:{\displaystyle G}
2984:
2933:vertex-transitive
2924:{\displaystyle G}
2911:with equality if
2886:
2845:{\displaystyle G}
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2729:{\displaystyle H}
2709:{\displaystyle G}
2659:
2658:
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1991:
1975:
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1840:
1811:{\displaystyle B}
1722:
1664:{\displaystyle J}
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1582:{\displaystyle j}
1562:{\displaystyle i}
1476:{\displaystyle B}
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1390:{\displaystyle G}
1370:{\displaystyle A}
1310:{\displaystyle j}
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1179:{\displaystyle A}
1159:{\displaystyle n}
1093:{\displaystyle c}
997:{\displaystyle G}
947:{\displaystyle N}
898:{\displaystyle G}
878:{\displaystyle U}
829:{\displaystyle c}
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