283:
2624:
2417:
493:
2268:
2427:
1967:
2276:
348:
1668:
4152:
688:
1835:
1290:
2132:
2742:
1192:
3056:
3857:
3381:
1355:
1414:
1564:
2124:
906:
2975:
1472:
3749:
4496:
1729:
1065:
2820:
3474:
3271:
2882:
2026:
3975:
1118:
2619:{\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(|n|)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {|n|}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {|n|-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}
3657:
3543:
4225:
3180:
4283:
3913:
942:
525:
277:
826:
781:
736:
3115:
984:
4447:
4254:
4087:
2675:
219:
135:
99:
626:
4019:
555:
4050:
1858:
3589:
3566:
2902:
1880:
1007:
599:
579:
340:
239:
175:
155:
2412:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(n)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}
488:{\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}
1570:
4103:
631:
2263:{\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}
1737:
1203:
2684:
1142:
2980:
3760:
3284:
4546:
4406:
4355:
1298:
4576:
1360:
1483:
2031:
831:
2907:
1419:
4316:
3665:
3121:
4457:
1676:
1015:
2753:
2643:
3396:
3193:
4581:
3391:
3186:
2828:
1976:
3921:
1074:
4390:
4321:
4094:
3594:
4231:
3479:
193:
4326:
4163:
3128:
1872:
4259:
3872:
914:
501:
253:
4398:
4311:
4057:
786:
741:
696:
379:
4306:
4022:
3755:
3077:
947:
185:
4426:
4237:
4070:
2658:
202:
2651:
104:
68:
4542:
4402:
4351:
4090:
3752:
3277:
604:
4533:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 206. Springer-Verlag, New York. pp. 147–148.
3987:
534:
4534:
4556:
4028:
1843:
4552:
2655:
1962:{\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}}}
1133:
3571:
3867:
3551:
2887:
992:
584:
564:
528:
325:
224:
189:
160:
140:
286:
Distribution of natural numbers by their 2-adic valuation, labeled with corresponding
4570:
4386:
4298:
3660:
3546:
242:
20:
4064:
304:
287:
52:
3915:
makes no difference for most of the properties, but supports the product formula:
1663:{\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}
4147:{\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}
197:
196:
of the rational numbers with respect to the usual absolute value results in the
683:{\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}
4538:
1830:{\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}
1285:{\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}
48:
2737:{\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}
558:
282:
59:
41:
1187:{\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}
3051:{\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}
281:
2422:
This formula can be extended to negative integer values to give:
3852:{\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}
3376:{\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}
221:, the completion of the rational numbers with respect to the
1350:{\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}
1409:{\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}
481:
1559:{\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}
3064:-adic absolute value satisfies the following properties.
2119:{\displaystyle \nu _{p}(n)=\nu _{p}(n!)-\nu _{p}((n-1)!)}
2992:
2956:
1424:
1382:
1320:
901:{\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}
4460:
4429:
4262:
4240:
4166:
4106:
4073:
4031:
3990:
3924:
3875:
3763:
3668:
3597:
3574:
3554:
3482:
3399:
3287:
3196:
3131:
3080:
2983:
2910:
2890:
2831:
2756:
2687:
2661:
2430:
2279:
2135:
2034:
1979:
1883:
1846:
1740:
1679:
1573:
1486:
1422:
1363:
1301:
1206:
1145:
1077:
1018:
995:
950:
917:
834:
789:
744:
699:
634:
607:
587:
567:
537:
504:
351:
328:
256:
227:
205:
163:
143:
107:
71:
4490:
4441:
4277:
4248:
4219:
4146:
4081:
4044:
4013:
3969:
3907:
3851:
3743:
3651:
3583:
3560:
3537:
3468:
3375:
3265:
3174:
3109:
3050:
2970:{\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}
2969:
2896:
2876:
2814:
2736:
2669:
2618:
2411:
2262:
2118:
2020:
1961:
1852:
1829:
1723:
1662:
1558:
1466:
1408:
1349:
1284:
1186:
1112:
1059:
1001:
978:
936:
900:
820:
775:
730:
682:
620:
593:
573:
549:
519:
487:
334:
271:
233:
213:
169:
149:
129:
93:
2610:
2520:
2403:
2335:
2254:
2186:
1467:{\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}
4373:A Classical Introduction to Modern Number Theory
3793:
3317:
1847:
1769:
1602:
1860:is the minimum (i.e. the smaller of the two).
4256:with respect to this metric leads to the set
3744:{\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}
3006:
2986:
1822:
1774:
1655:
1607:
1395:
1376:
1333:
1314:
8:
4346:Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003).
2603:
2565:
2557:
2525:
2509:
2471:
2396:
2368:
2360:
2340:
2324:
2296:
2247:
2219:
2211:
2191:
1953:
1933:
1181:
1175:
677:
671:
433:
393:
4491:{\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }
3980:where the product is taken over all primes
1724:{\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}
290:in decimal. Zero has an infinite valuation.
188:and gives rise to an analogue of the usual
3162:
3158:
1060:{\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}
16:Highest power of p dividing a given number
4459:
4428:
4350:(3rd ed.). Wiley. pp. 758–759.
4269:
4265:
4264:
4261:
4242:
4241:
4239:
4208:
4203:
4188:
4165:
4135:
4131:
4130:
4122:
4121:
4114:
4113:
4105:
4075:
4074:
4072:
4056:-adic absolute value, and then the usual
4036:
4030:
4005:
4000:
3991:
3989:
3955:
3950:
3941:
3929:
3923:
3888:
3880:
3874:
3838:
3833:
3824:
3815:
3810:
3801:
3784:
3779:
3764:
3762:
3735:
3730:
3721:
3712:
3707:
3698:
3689:
3684:
3669:
3667:
3640:
3635:
3626:
3617:
3612:
3603:
3598:
3596:
3573:
3553:
3529:
3524:
3512:
3497:
3492:
3483:
3481:
3460:
3455:
3446:
3440:
3435:
3426:
3417:
3412:
3400:
3398:
3362:
3357:
3348:
3339:
3334:
3325:
3308:
3303:
3288:
3286:
3257:
3252:
3243:
3237:
3232:
3223:
3214:
3209:
3197:
3195:
3146:
3141:
3132:
3130:
3095:
3090:
3081:
3079:
3024:
3011:
3005:
3004:
2991:
2985:
2984:
2982:
2955:
2943:
2930:
2925:
2916:
2911:
2909:
2889:
2859:
2846:
2841:
2832:
2830:
2815:{\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}
2792:
2784:
2771:
2766:
2757:
2755:
2725:
2721:
2720:
2712:
2711:
2702:
2697:
2688:
2686:
2663:
2662:
2660:
2609:
2608:
2606:
2595:
2579:
2571:
2568:
2560:
2549:
2539:
2531:
2528:
2519:
2518:
2517:
2512:
2500:
2492:
2488:
2479:
2474:
2470:
2459:
2437:
2435:
2429:
2402:
2401:
2399:
2388:
2371:
2363:
2352:
2343:
2334:
2333:
2332:
2327:
2313:
2304:
2299:
2295:
2284:
2278:
2253:
2252:
2250:
2239:
2222:
2214:
2203:
2194:
2185:
2184:
2183:
2179:
2175:
2164:
2142:
2140:
2134:
2086:
2061:
2039:
2033:
1986:
1978:
1956:
1945:
1936:
1932:
1928:
1924:
1913:
1888:
1882:
1845:
1821:
1820:
1805:
1783:
1773:
1772:
1745:
1739:
1706:
1684:
1678:
1654:
1653:
1638:
1616:
1606:
1605:
1578:
1572:
1541:
1519:
1491:
1485:
1458:
1442:
1423:
1421:
1394:
1393:
1381:
1375:
1374:
1368:
1362:
1332:
1331:
1319:
1313:
1312:
1306:
1300:
1264:
1242:
1221:
1211:
1205:
1168:
1167:
1160:
1159:
1150:
1144:
1093:
1088:
1076:
1045:
1023:
1017:
994:
961:
949:
922:
916:
892:
879:
866:
848:
840:
835:
833:
794:
788:
749:
743:
704:
698:
662:
658:
657:
649:
648:
639:
633:
612:
606:
586:
566:
536:
511:
507:
506:
503:
461:
438:
421:
408:
404:
403:
382:
374:
356:
350:
327:
263:
259:
258:
255:
226:
207:
206:
204:
162:
142:
112:
106:
76:
70:
4518:. Kluwer Academic Publishers. p. 9.
4395:An Introduction to the Theory of Numbers
3068:
4516:-adic Deterministic and Random Dynamics
4375:. New York: Springer-Verlag. p. 3.
4338:
3469:{\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}
3266:{\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}
1132:-adic valuation can be extended to the
4421:with the usual order relation, namely
4021:. This follows from simply taking the
3984:and the usual absolute value, denoted
2877:{\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}
2021:{\displaystyle n={\frac {n!}{(n-1)!}}}
157:appears in the prime factorization of
4452:and rules for arithmetic operations,
3970:{\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}
1113:{\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}
7:
4511:Khrennikov, A.; Nilsson, M. (2004).
4060:absolute value cancels all of them.
2273:This infinite sum can be reduced to
241:-adic absolute value results in the
3652:{\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}
4531:Problems in analytic number theory
4485:
4479:
4461:
4430:
4052:contributes its reciprocal to its
3538:{\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}
2863:
2176:
1925:
1178:
674:
456:
389:
386:
383:
14:
4220:{\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}
3175:{\displaystyle |r|_{p}=0\iff r=0}
4278:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
3908:{\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}
937:{\displaystyle p^{k}\parallel n}
520:{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
272:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
4371:Ireland, K.; Rosen, M. (2000).
821:{\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}
776:{\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}
731:{\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}
4204:
4189:
4182:
4170:
4126:
4001:
3992:
3951:
3942:
3900:
3894:
3834:
3825:
3811:
3802:
3780:
3765:
3731:
3722:
3708:
3699:
3685:
3670:
3636:
3627:
3613:
3599:
3525:
3513:
3493:
3484:
3456:
3447:
3436:
3427:
3413:
3401:
3358:
3349:
3335:
3326:
3304:
3289:
3253:
3244:
3233:
3224:
3210:
3198:
3159:
3142:
3133:
3091:
3082:
3037:
3028:
2926:
2912:
2842:
2833:
2804:
2798:
2767:
2758:
2716:
2698:
2689:
2580:
2572:
2540:
2532:
2505:
2501:
2493:
2489:
2449:
2443:
2320:
2314:
2154:
2148:
2113:
2107:
2095:
2092:
2076:
2067:
2051:
2045:
2009:
1997:
1903:
1894:
1817:
1811:
1795:
1789:
1763:
1751:
1718:
1712:
1696:
1690:
1650:
1644:
1628:
1622:
1596:
1584:
1553:
1547:
1531:
1525:
1509:
1497:
1276:
1270:
1254:
1248:
1164:
1105:
1099:
1035:
1029:
973:
967:
849:
836:
809:
800:
764:
755:
719:
710:
653:
368:
362:
124:
118:
88:
82:
1:
3110:{\displaystyle |r|_{p}\geq 0}
2654:in the sense of analysis) on
979:{\displaystyle k=\nu _{p}(n)}
4501:on the extended number line.
4442:{\displaystyle \infty >n}
4249:{\displaystyle \mathbb {Q} }
4082:{\displaystyle \mathbb {Q} }
2670:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1009:is a positive integer, then
214:{\displaystyle \mathbb {R} }
51:of the highest power of the
1969:. For any positive integer
1868:-adic valuation of Integers
1071:this follows directly from
130:{\displaystyle \nu _{p}(n)}
94:{\displaystyle \nu _{p}(n)}
4598:
4317:Multiplicity (mathematics)
4025:: each prime power factor
944:is sometimes used to mean
4539:10.1007/978-1-4757-3441-6
4389:; Zuckerman, Herbert S.;
4067:can be formed on the set
2650:-adic norm, though not a
295:Definition and properties
137:is the exponent to which
621:{\displaystyle \nu _{p}}
4577:Algebraic number theory
4014:{\displaystyle |r|_{0}}
550:{\displaystyle m\mid n}
4529:Murty, M. Ram (2001).
4492:
4443:
4279:
4250:
4221:
4148:
4083:
4046:
4015:
3971:
3909:
3853:
3745:
3653:
3591:and consequently also
3585:
3562:
3539:
3470:
3377:
3267:
3176:
3111:
3052:
2971:
2898:
2878:
2816:
2738:
2671:
2620:
2516:
2413:
2331:
2264:
2182:
2120:
2022:
1963:
1931:
1854:
1831:
1725:
1664:
1560:
1468:
1410:
1351:
1286:
1188:
1114:
1061:
1003:
980:
938:
902:
822:
777:
732:
684:
622:
595:
575:
551:
521:
489:
336:
291:
273:
235:
215:
171:
151:
131:
95:
4493:
4444:
4399:John Wiley & Sons
4280:
4251:
4222:
4149:
4095:translation-invariant
4084:
4047:
4045:{\displaystyle p^{k}}
4016:
3972:
3910:
3854:
3746:
3654:
3586:
3563:
3540:
3471:
3378:
3268:
3177:
3122:Positive-definiteness
3112:
3053:
2972:
2899:
2879:
2817:
2739:
2672:
2621:
2455:
2414:
2280:
2265:
2160:
2121:
2023:
1964:
1909:
1855:
1853:{\displaystyle \min }
1832:
1726:
1665:
1561:
1477:Some properties are:
1469:
1411:
1352:
1287:
1189:
1115:
1062:
1004:
981:
939:
903:
823:
778:
733:
685:
623:
596:
576:
552:
531:(including zero) and
522:
490:
337:
285:
274:
236:
216:
184:-adic valuation is a
172:
152:
132:
96:
4458:
4427:
4312:Archimedean property
4260:
4238:
4164:
4104:
4071:
4029:
3988:
3922:
3873:
3761:
3666:
3595:
3572:
3552:
3480:
3397:
3285:
3194:
3129:
3078:
2981:
2908:
2888:
2829:
2754:
2685:
2659:
2632:-adic absolute value
2428:
2277:
2133:
2032:
1977:
1881:
1844:
1738:
1677:
1571:
1484:
1420:
1361:
1299:
1204:
1143:
1075:
1016:
993:
948:
915:
832:
787:
742:
697:
632:
605:
585:
565:
535:
502:
349:
326:
254:
225:
203:
161:
141:
105:
69:
4391:Montgomery, Hugh L.
4322:Ostrowski's theorem
4307:Valuation (algebra)
4023:prime factorization
3862:The choice of base
3756:triangle inequality
527:denotes the set of
4488:
4439:
4327:Legendre's formula
4275:
4246:
4217:
4144:
4079:
4042:
4011:
3967:
3940:
3905:
3849:
3741:
3649:
3584:{\displaystyle -1}
3581:
3558:
3535:
3466:
3373:
3263:
3172:
3107:
3048:
3001:
2967:
2965:
2904:and for example,
2894:
2874:
2812:
2734:
2667:
2616:
2409:
2260:
2116:
2018:
1959:
1873:Legendre's formula
1850:
1827:
1721:
1660:
1556:
1464:
1433:
1406:
1391:
1347:
1329:
1282:
1184:
1110:
1057:
999:
976:
934:
898:
818:
773:
728:
680:
618:
591:
571:
547:
517:
485:
480:
332:
292:
269:
231:
211:
167:
147:
127:
91:
3925:
3751:follows from the
3561:{\displaystyle 1}
3386:
3385:
3000:
2964:
2897:{\displaystyle p}
2678:is the function
2601:
2555:
2394:
2358:
2245:
2209:
2016:
1951:
1432:
1390:
1328:
1229:
1002:{\displaystyle n}
601:. In particular,
594:{\displaystyle m}
574:{\displaystyle n}
464:
441:
342:is defined to be
335:{\displaystyle n}
234:{\displaystyle p}
170:{\displaystyle n}
150:{\displaystyle p}
4589:
4561:
4560:
4526:
4520:
4519:
4515:
4508:
4502:
4497:
4495:
4494:
4489:
4448:
4446:
4445:
4440:
4419:
4413:
4412:
4397:(5th ed.).
4383:
4377:
4376:
4368:
4362:
4361:
4348:Abstract Algebra
4343:
4301:
4288:
4284:
4282:
4281:
4276:
4274:
4273:
4268:
4255:
4253:
4252:
4247:
4245:
4226:
4224:
4223:
4218:
4213:
4212:
4207:
4192:
4153:
4151:
4150:
4145:
4143:
4142:
4134:
4125:
4117:
4088:
4086:
4085:
4080:
4078:
4055:
4051:
4049:
4048:
4043:
4041:
4040:
4020:
4018:
4017:
4012:
4010:
4009:
4004:
3995:
3983:
3976:
3974:
3973:
3968:
3960:
3959:
3954:
3945:
3939:
3914:
3912:
3911:
3906:
3904:
3903:
3893:
3892:
3865:
3858:
3856:
3855:
3850:
3848:
3844:
3843:
3842:
3837:
3828:
3820:
3819:
3814:
3805:
3789:
3788:
3783:
3768:
3750:
3748:
3747:
3742:
3740:
3739:
3734:
3725:
3717:
3716:
3711:
3702:
3694:
3693:
3688:
3673:
3658:
3656:
3655:
3650:
3645:
3644:
3639:
3630:
3622:
3621:
3616:
3610:
3602:
3590:
3588:
3587:
3582:
3567:
3565:
3564:
3559:
3544:
3542:
3541:
3536:
3534:
3533:
3528:
3516:
3502:
3501:
3496:
3487:
3476:it follows that
3475:
3473:
3472:
3467:
3465:
3464:
3459:
3450:
3445:
3444:
3439:
3430:
3422:
3421:
3416:
3404:
3392:multiplicativity
3382:
3380:
3379:
3374:
3372:
3368:
3367:
3366:
3361:
3352:
3344:
3343:
3338:
3329:
3313:
3312:
3307:
3292:
3272:
3270:
3269:
3264:
3262:
3261:
3256:
3247:
3242:
3241:
3236:
3227:
3219:
3218:
3213:
3201:
3187:Multiplicativity
3181:
3179:
3178:
3173:
3151:
3150:
3145:
3136:
3116:
3114:
3113:
3108:
3100:
3099:
3094:
3085:
3069:
3063:
3057:
3055:
3054:
3049:
3041:
3040:
3016:
3015:
3010:
3009:
3002:
2993:
2990:
2989:
2976:
2974:
2973:
2968:
2966:
2957:
2951:
2950:
2935:
2934:
2929:
2923:
2915:
2903:
2901:
2900:
2895:
2883:
2881:
2880:
2875:
2867:
2866:
2851:
2850:
2845:
2836:
2821:
2819:
2818:
2813:
2808:
2807:
2797:
2796:
2776:
2775:
2770:
2761:
2743:
2741:
2740:
2735:
2733:
2732:
2724:
2715:
2707:
2706:
2701:
2692:
2676:
2674:
2673:
2668:
2666:
2649:
2641:
2631:
2625:
2623:
2622:
2617:
2615:
2614:
2613:
2607:
2602:
2600:
2599:
2590:
2583:
2575:
2569:
2561:
2556:
2554:
2553:
2544:
2543:
2535:
2529:
2524:
2523:
2515:
2514:
2513:
2508:
2504:
2496:
2484:
2483:
2469:
2442:
2441:
2436:
2418:
2416:
2415:
2410:
2408:
2407:
2406:
2400:
2395:
2393:
2392:
2383:
2372:
2364:
2359:
2357:
2356:
2344:
2339:
2338:
2330:
2329:
2328:
2323:
2309:
2308:
2294:
2269:
2267:
2266:
2261:
2259:
2258:
2257:
2251:
2246:
2244:
2243:
2234:
2223:
2215:
2210:
2208:
2207:
2195:
2190:
2189:
2181:
2180:
2174:
2147:
2146:
2141:
2125:
2123:
2122:
2117:
2091:
2090:
2066:
2065:
2044:
2043:
2027:
2025:
2024:
2019:
2017:
2015:
1995:
1987:
1972:
1968:
1966:
1965:
1960:
1958:
1957:
1952:
1950:
1949:
1937:
1930:
1929:
1923:
1893:
1892:
1867:
1864:Formula for the
1859:
1857:
1856:
1851:
1836:
1834:
1833:
1828:
1826:
1825:
1810:
1809:
1788:
1787:
1778:
1777:
1750:
1749:
1730:
1728:
1727:
1722:
1711:
1710:
1689:
1688:
1669:
1667:
1666:
1661:
1659:
1658:
1643:
1642:
1621:
1620:
1611:
1610:
1583:
1582:
1565:
1563:
1562:
1557:
1546:
1545:
1524:
1523:
1496:
1495:
1473:
1471:
1470:
1465:
1463:
1462:
1450:
1449:
1434:
1425:
1415:
1413:
1412:
1407:
1399:
1398:
1392:
1383:
1380:
1379:
1373:
1372:
1356:
1354:
1353:
1348:
1337:
1336:
1330:
1321:
1318:
1317:
1311:
1310:
1291:
1289:
1288:
1283:
1269:
1268:
1247:
1246:
1234:
1230:
1222:
1216:
1215:
1193:
1191:
1190:
1185:
1171:
1163:
1155:
1154:
1136:as the function
1134:rational numbers
1131:
1124:Rational numbers
1119:
1117:
1116:
1111:
1109:
1108:
1098:
1097:
1066:
1064:
1063:
1058:
1050:
1049:
1028:
1027:
1008:
1006:
1005:
1000:
985:
983:
982:
977:
966:
965:
943:
941:
940:
935:
927:
926:
907:
905:
904:
899:
897:
896:
884:
883:
871:
870:
852:
847:
839:
827:
825:
824:
819:
799:
798:
782:
780:
779:
774:
754:
753:
737:
735:
734:
729:
709:
708:
689:
687:
686:
681:
667:
666:
661:
652:
644:
643:
627:
625:
624:
619:
617:
616:
600:
598:
597:
592:
580:
578:
577:
572:
556:
554:
553:
548:
526:
524:
523:
518:
516:
515:
510:
494:
492:
491:
486:
484:
483:
465:
462:
442:
439:
426:
425:
413:
412:
407:
392:
361:
360:
341:
339:
338:
333:
319:
302:
278:
276:
275:
270:
268:
267:
262:
248:
246:
240:
238:
237:
232:
220:
218:
217:
212:
210:
183:
176:
174:
173:
168:
156:
154:
153:
148:
136:
134:
133:
128:
117:
116:
101:. Equivalently,
100:
98:
97:
92:
81:
80:
65:. It is denoted
64:
57:
46:
37:
30:
28:
4597:
4596:
4592:
4591:
4590:
4588:
4587:
4586:
4567:
4566:
4565:
4564:
4549:
4528:
4527:
4523:
4513:
4510:
4509:
4505:
4456:
4455:
4425:
4424:
4420:
4416:
4409:
4385:
4384:
4380:
4370:
4369:
4365:
4358:
4345:
4344:
4340:
4335:
4299:
4295:
4289:-adic numbers.
4286:
4263:
4258:
4257:
4236:
4235:
4202:
4162:
4161:
4129:
4102:
4101:
4091:non-Archimedean
4069:
4068:
4053:
4032:
4027:
4026:
3999:
3986:
3985:
3981:
3949:
3920:
3919:
3884:
3876:
3871:
3870:
3863:
3832:
3809:
3800:
3796:
3778:
3759:
3758:
3753:non-Archimedean
3729:
3706:
3683:
3664:
3663:
3634:
3611:
3593:
3592:
3570:
3569:
3550:
3549:
3523:
3491:
3478:
3477:
3454:
3434:
3411:
3395:
3394:
3356:
3333:
3324:
3320:
3302:
3283:
3282:
3278:Non-Archimedean
3251:
3231:
3208:
3192:
3191:
3140:
3127:
3126:
3089:
3076:
3075:
3061:
3020:
3003:
2979:
2978:
2939:
2924:
2906:
2905:
2886:
2885:
2855:
2840:
2827:
2826:
2788:
2780:
2765:
2752:
2751:
2719:
2696:
2683:
2682:
2657:
2656:
2647:
2639:
2634:
2629:
2591:
2570:
2545:
2530:
2475:
2434:
2426:
2425:
2384:
2373:
2348:
2300:
2275:
2274:
2235:
2224:
2199:
2139:
2131:
2130:
2082:
2057:
2035:
2030:
2029:
1996:
1988:
1975:
1974:
1970:
1941:
1884:
1879:
1878:
1870:
1865:
1842:
1841:
1801:
1779:
1741:
1736:
1735:
1702:
1680:
1675:
1674:
1634:
1612:
1574:
1569:
1568:
1537:
1515:
1487:
1482:
1481:
1454:
1438:
1418:
1417:
1364:
1359:
1358:
1302:
1297:
1296:
1260:
1238:
1217:
1207:
1202:
1201:
1146:
1141:
1140:
1129:
1126:
1089:
1084:
1073:
1072:
1041:
1019:
1014:
1013:
991:
990:
957:
946:
945:
918:
913:
912:
888:
875:
862:
830:
829:
790:
785:
784:
745:
740:
739:
700:
695:
694:
656:
635:
630:
629:
608:
603:
602:
583:
582:
563:
562:
533:
532:
529:natural numbers
505:
500:
499:
479:
478:
459:
453:
452:
436:
417:
402:
375:
352:
347:
346:
324:
323:
320:-adic valuation
317:
313:
300:
297:
257:
252:
251:
244:
243:
223:
222:
201:
200:
181:
159:
158:
139:
138:
108:
103:
102:
72:
67:
66:
62:
55:
44:
35:
26:
25:
17:
12:
11:
5:
4595:
4593:
4585:
4584:
4582:P-adic numbers
4579:
4569:
4568:
4563:
4562:
4547:
4521:
4503:
4500:
4499:
4487:
4484:
4481:
4478:
4475:
4472:
4469:
4466:
4463:
4451:
4450:
4438:
4435:
4432:
4414:
4407:
4378:
4363:
4356:
4337:
4336:
4334:
4331:
4330:
4329:
4324:
4319:
4314:
4309:
4304:
4294:
4291:
4272:
4267:
4244:
4228:
4227:
4216:
4211:
4206:
4201:
4198:
4195:
4191:
4187:
4184:
4181:
4178:
4175:
4172:
4169:
4155:
4154:
4141:
4138:
4133:
4128:
4124:
4120:
4116:
4112:
4109:
4077:
4039:
4035:
4008:
4003:
3998:
3994:
3978:
3977:
3966:
3963:
3958:
3953:
3948:
3944:
3938:
3935:
3932:
3928:
3902:
3899:
3896:
3891:
3887:
3883:
3879:
3868:exponentiation
3847:
3841:
3836:
3831:
3827:
3823:
3818:
3813:
3808:
3804:
3799:
3795:
3792:
3787:
3782:
3777:
3774:
3771:
3767:
3738:
3733:
3728:
3724:
3720:
3715:
3710:
3705:
3701:
3697:
3692:
3687:
3682:
3679:
3676:
3672:
3648:
3643:
3638:
3633:
3629:
3625:
3620:
3615:
3609:
3606:
3601:
3580:
3577:
3557:
3547:roots of unity
3532:
3527:
3522:
3519:
3515:
3511:
3508:
3505:
3500:
3495:
3490:
3486:
3463:
3458:
3453:
3449:
3443:
3438:
3433:
3429:
3425:
3420:
3415:
3410:
3407:
3403:
3388:
3387:
3384:
3383:
3371:
3365:
3360:
3355:
3351:
3347:
3342:
3337:
3332:
3328:
3323:
3319:
3316:
3311:
3306:
3301:
3298:
3295:
3291:
3280:
3274:
3273:
3260:
3255:
3250:
3246:
3240:
3235:
3230:
3226:
3222:
3217:
3212:
3207:
3204:
3200:
3189:
3183:
3182:
3171:
3168:
3165:
3161:
3157:
3154:
3149:
3144:
3139:
3135:
3124:
3118:
3117:
3106:
3103:
3098:
3093:
3088:
3084:
3073:
3072:Non-negativity
3047:
3044:
3039:
3036:
3033:
3030:
3027:
3023:
3019:
3014:
3008:
2999:
2996:
2988:
2963:
2960:
2954:
2949:
2946:
2942:
2938:
2933:
2928:
2922:
2919:
2914:
2893:
2873:
2870:
2865:
2862:
2858:
2854:
2849:
2844:
2839:
2835:
2823:
2822:
2811:
2806:
2803:
2800:
2795:
2791:
2787:
2783:
2779:
2774:
2769:
2764:
2760:
2745:
2744:
2731:
2728:
2723:
2718:
2714:
2710:
2705:
2700:
2695:
2691:
2665:
2644:absolute value
2633:
2627:
2612:
2605:
2598:
2594:
2589:
2586:
2582:
2578:
2574:
2567:
2564:
2559:
2552:
2548:
2542:
2538:
2534:
2527:
2522:
2511:
2507:
2503:
2499:
2495:
2491:
2487:
2482:
2478:
2473:
2468:
2465:
2462:
2458:
2454:
2451:
2448:
2445:
2440:
2433:
2405:
2398:
2391:
2387:
2382:
2379:
2376:
2370:
2367:
2362:
2355:
2351:
2347:
2342:
2337:
2326:
2322:
2319:
2316:
2312:
2307:
2303:
2298:
2293:
2290:
2287:
2283:
2256:
2249:
2242:
2238:
2233:
2230:
2227:
2221:
2218:
2213:
2206:
2202:
2198:
2193:
2188:
2178:
2173:
2170:
2167:
2163:
2159:
2156:
2153:
2150:
2145:
2138:
2115:
2112:
2109:
2106:
2103:
2100:
2097:
2094:
2089:
2085:
2081:
2078:
2075:
2072:
2069:
2064:
2060:
2056:
2053:
2050:
2047:
2042:
2038:
2014:
2011:
2008:
2005:
2002:
1999:
1994:
1991:
1985:
1982:
1955:
1948:
1944:
1940:
1935:
1927:
1922:
1919:
1916:
1912:
1908:
1905:
1902:
1899:
1896:
1891:
1887:
1869:
1862:
1849:
1838:
1837:
1824:
1819:
1816:
1813:
1808:
1804:
1800:
1797:
1794:
1791:
1786:
1782:
1776:
1771:
1768:
1765:
1762:
1759:
1756:
1753:
1748:
1744:
1720:
1717:
1714:
1709:
1705:
1701:
1698:
1695:
1692:
1687:
1683:
1671:
1670:
1657:
1652:
1649:
1646:
1641:
1637:
1633:
1630:
1627:
1624:
1619:
1615:
1609:
1604:
1601:
1598:
1595:
1592:
1589:
1586:
1581:
1577:
1566:
1555:
1552:
1549:
1544:
1540:
1536:
1533:
1530:
1527:
1522:
1518:
1514:
1511:
1508:
1505:
1502:
1499:
1494:
1490:
1461:
1457:
1453:
1448:
1445:
1441:
1437:
1431:
1428:
1405:
1402:
1397:
1389:
1386:
1378:
1371:
1367:
1346:
1343:
1340:
1335:
1327:
1324:
1316:
1309:
1305:
1293:
1292:
1281:
1278:
1275:
1272:
1267:
1263:
1259:
1256:
1253:
1250:
1245:
1241:
1237:
1233:
1228:
1225:
1220:
1214:
1210:
1195:
1194:
1183:
1180:
1177:
1174:
1170:
1166:
1162:
1158:
1153:
1149:
1125:
1122:
1107:
1104:
1101:
1096:
1092:
1087:
1083:
1080:
1069:
1068:
1056:
1053:
1048:
1044:
1040:
1037:
1034:
1031:
1026:
1022:
998:
975:
972:
969:
964:
960:
956:
953:
933:
930:
925:
921:
895:
891:
887:
882:
878:
874:
869:
865:
861:
858:
855:
851:
846:
843:
838:
817:
814:
811:
808:
805:
802:
797:
793:
772:
769:
766:
763:
760:
757:
752:
748:
727:
724:
721:
718:
715:
712:
707:
703:
679:
676:
673:
670:
665:
660:
655:
651:
647:
642:
638:
628:is a function
615:
611:
590:
570:
546:
543:
540:
514:
509:
496:
495:
482:
477:
474:
471:
468:
460:
458:
455:
454:
451:
448:
445:
437:
435:
432:
429:
424:
420:
416:
411:
406:
401:
398:
395:
391:
388:
385:
381:
380:
378:
373:
370:
367:
364:
359:
355:
331:
322:of an integer
312:
309:
296:
293:
266:
261:
230:
209:
192:. Whereas the
190:absolute value
166:
146:
126:
123:
120:
115:
111:
90:
87:
84:
79:
75:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
4594:
4583:
4580:
4578:
4575:
4574:
4572:
4558:
4554:
4550:
4548:0-387-95143-1
4544:
4540:
4536:
4532:
4525:
4522:
4517:
4507:
4504:
4482:
4476:
4473:
4470:
4467:
4464:
4454:
4453:
4436:
4433:
4423:
4422:
4418:
4415:
4410:
4408:0-471-62546-9
4404:
4401:. p. 4.
4400:
4396:
4392:
4388:
4382:
4379:
4374:
4367:
4364:
4359:
4357:0-471-43334-9
4353:
4349:
4342:
4339:
4332:
4328:
4325:
4323:
4320:
4318:
4315:
4313:
4310:
4308:
4305:
4303:
4297:
4296:
4292:
4290:
4270:
4233:
4214:
4209:
4199:
4196:
4193:
4185:
4179:
4176:
4173:
4167:
4160:
4159:
4158:
4139:
4136:
4118:
4110:
4107:
4100:
4099:
4098:
4096:
4092:
4066:
4061:
4059:
4037:
4033:
4024:
4006:
3996:
3964:
3961:
3956:
3946:
3936:
3933:
3930:
3926:
3918:
3917:
3916:
3897:
3889:
3885:
3881:
3877:
3869:
3860:
3845:
3839:
3829:
3821:
3816:
3806:
3797:
3790:
3785:
3775:
3772:
3769:
3757:
3754:
3736:
3726:
3718:
3713:
3703:
3695:
3690:
3680:
3677:
3674:
3662:
3661:subadditivity
3646:
3641:
3631:
3623:
3618:
3607:
3604:
3578:
3575:
3555:
3548:
3530:
3520:
3517:
3509:
3506:
3503:
3498:
3488:
3461:
3451:
3441:
3431:
3423:
3418:
3408:
3405:
3393:
3369:
3363:
3353:
3345:
3340:
3330:
3321:
3314:
3309:
3299:
3296:
3293:
3281:
3279:
3276:
3275:
3258:
3248:
3238:
3228:
3220:
3215:
3205:
3202:
3190:
3188:
3185:
3184:
3169:
3166:
3163:
3155:
3152:
3147:
3137:
3125:
3123:
3120:
3119:
3104:
3101:
3096:
3086:
3074:
3071:
3070:
3067:
3066:
3065:
3058:
3045:
3042:
3034:
3031:
3025:
3021:
3017:
3012:
2997:
2994:
2961:
2958:
2952:
2947:
2944:
2940:
2936:
2931:
2920:
2917:
2891:
2871:
2868:
2860:
2856:
2852:
2847:
2837:
2809:
2801:
2793:
2789:
2785:
2781:
2777:
2772:
2762:
2750:
2749:
2748:
2729:
2726:
2708:
2703:
2693:
2681:
2680:
2679:
2677:
2653:
2645:
2636:
2628:
2626:
2596:
2592:
2587:
2584:
2576:
2562:
2550:
2546:
2536:
2497:
2485:
2480:
2476:
2466:
2463:
2460:
2456:
2452:
2446:
2438:
2431:
2423:
2420:
2389:
2385:
2380:
2377:
2374:
2365:
2353:
2349:
2345:
2317:
2310:
2305:
2301:
2291:
2288:
2285:
2281:
2271:
2240:
2236:
2231:
2228:
2225:
2216:
2204:
2200:
2196:
2171:
2168:
2165:
2161:
2157:
2151:
2143:
2136:
2127:
2110:
2104:
2101:
2098:
2087:
2083:
2079:
2073:
2070:
2062:
2058:
2054:
2048:
2040:
2036:
2012:
2006:
2003:
2000:
1992:
1989:
1983:
1980:
1946:
1942:
1938:
1920:
1917:
1914:
1910:
1906:
1900:
1897:
1889:
1885:
1876:
1874:
1863:
1861:
1814:
1806:
1802:
1798:
1792:
1784:
1780:
1766:
1760:
1757:
1754:
1746:
1742:
1734:
1733:
1732:
1715:
1707:
1703:
1699:
1693:
1685:
1681:
1673:Moreover, if
1647:
1639:
1635:
1631:
1625:
1617:
1613:
1599:
1593:
1590:
1587:
1579:
1575:
1567:
1550:
1542:
1538:
1534:
1528:
1520:
1516:
1512:
1506:
1503:
1500:
1492:
1488:
1480:
1479:
1478:
1475:
1459:
1455:
1451:
1446:
1443:
1439:
1435:
1429:
1426:
1403:
1400:
1387:
1384:
1369:
1365:
1344:
1341:
1338:
1325:
1322:
1307:
1303:
1295:For example,
1279:
1273:
1265:
1261:
1257:
1251:
1243:
1239:
1235:
1231:
1226:
1223:
1218:
1212:
1208:
1200:
1199:
1198:
1172:
1156:
1151:
1147:
1139:
1138:
1137:
1135:
1123:
1121:
1102:
1094:
1090:
1085:
1081:
1078:
1054:
1051:
1046:
1042:
1038:
1032:
1024:
1020:
1012:
1011:
1010:
996:
987:
970:
962:
958:
954:
951:
931:
928:
923:
919:
911:The notation
909:
893:
889:
885:
880:
876:
872:
867:
863:
859:
856:
853:
844:
841:
815:
812:
806:
803:
795:
791:
770:
767:
761:
758:
750:
746:
725:
722:
716:
713:
705:
701:
693:For example,
691:
668:
663:
645:
640:
636:
613:
609:
588:
568:
560:
544:
541:
538:
530:
512:
475:
472:
469:
466:
449:
446:
443:
430:
427:
422:
418:
414:
409:
399:
396:
376:
371:
365:
357:
353:
345:
344:
343:
329:
321:
310:
308:
306:
294:
289:
288:powers of two
284:
280:
264:
250:
228:
199:
195:
191:
187:
178:
164:
144:
121:
113:
109:
85:
77:
73:
61:
54:
50:
43:
39:
32:
22:
21:number theory
4530:
4524:
4512:
4506:
4417:
4394:
4381:
4372:
4366:
4347:
4341:
4302:-adic number
4229:
4156:
4065:metric space
4062:
3979:
3861:
3389:
3059:
2824:
2746:
2637:
2635:
2424:
2421:
2272:
2128:
1877:
1875:shows that:
1871:
1839:
1672:
1476:
1294:
1196:
1127:
1070:
988:
910:
692:
559:divisibility
497:
316:
314:
305:prime number
298:
198:real numbers
179:
53:prime number
34:
24:
18:
4387:Niven, Ivan
4157:defined by
4058:Archimedean
2747:defined by
2129:Therefore,
1197:defined by
38:-adic order
4571:Categories
4333:References
4232:completion
194:completion
4486:∞
4480:∞
4462:∞
4431:∞
4197:−
4137:≥
4127:→
4119:×
4111::
4097:) metric
3927:∏
3886:ν
3882:−
3791:≤
3696:≤
3605:−
3576:−
3518:−
3390:From the
3315:≤
3160:⟺
3102:≥
3032:−
3026:−
2945:−
2918:−
2864:∞
2861:−
2825:Thereby,
2790:ν
2786:−
2727:≥
2717:→
2709::
2694:⋅
2604:⌋
2585:−
2566:⌊
2563:−
2558:⌋
2526:⌊
2510:⌋
2486:
2472:⌊
2457:∑
2432:ν
2397:⌋
2378:−
2369:⌊
2366:−
2361:⌋
2341:⌊
2325:⌋
2311:
2297:⌊
2282:∑
2248:⌋
2229:−
2220:⌊
2217:−
2212:⌋
2192:⌊
2177:∞
2162:∑
2137:ν
2102:−
2084:ν
2080:−
2059:ν
2037:ν
2004:−
1954:⌋
1934:⌊
1926:∞
1911:∑
1886:ν
1803:ν
1781:ν
1743:ν
1704:ν
1700:≠
1682:ν
1636:ν
1614:ν
1600:≥
1576:ν
1539:ν
1517:ν
1504:⋅
1489:ν
1452:⋅
1444:−
1366:ν
1342:−
1304:ν
1262:ν
1258:−
1240:ν
1209:ν
1179:∞
1173:∪
1165:→
1148:ν
1091:ν
1082:≥
1052:
1039:≤
1021:ν
959:ν
929:∥
886:⋅
873:⋅
842:−
804:−
792:ν
759:−
747:ν
714:−
702:ν
675:∞
669:∪
654:→
646::
637:ν
610:ν
542:∣
457:∞
447:≠
428:∣
400:∈
354:ν
186:valuation
110:ν
74:ν
31:valuation
4393:(1991).
4293:See also
4089:with a (
3545:for the
2884:for all
557:denotes
463:if
440:if
311:Integers
49:exponent
4557:1803093
3866:in the
1731:, then
249:numbers
60:divides
47:is the
42:integer
4555:
4545:
4405:
4354:
2642:-adic
1840:where
1416:since
828:since
783:, and
498:where
40:of an
23:, the
303:be a
247:-adic
58:that
29:-adic
4543:ISBN
4434:>
4403:ISBN
4352:ISBN
4230:The
3659:The
3568:and
3060:The
2977:and
2652:norm
2646:(or
2638:The
2028:and
1357:and
1128:The
315:The
299:Let
180:The
4535:doi
4285:of
4234:of
3794:max
3318:max
2477:log
2302:log
1848:min
1770:min
1603:min
1043:log
989:If
581:by
561:of
33:or
19:In
4573::
4553:MR
4551:.
4541:.
4093:,
4063:A
3859:.
3046:8.
2921:12
2419:.
2270:.
2126:.
1973:,
1474:.
1120:.
986:.
908:.
857:12
845:12
807:12
762:12
738:,
717:12
690:.
307:.
279:.
177:.
4559:.
4537::
4514:p
4498:,
4483:=
4477:+
4474:n
4471:=
4468:n
4465:+
4449:,
4437:n
4411:.
4360:.
4300:p
4287:p
4271:p
4266:Q
4243:Q
4215:.
4210:p
4205:|
4200:s
4194:r
4190:|
4186:=
4183:)
4180:s
4177:,
4174:r
4171:(
4168:d
4140:0
4132:R
4123:Q
4115:Q
4108:d
4076:Q
4054:p
4038:k
4034:p
4007:0
4002:|
3997:r
3993:|
3982:p
3965:1
3962:=
3957:p
3952:|
3947:r
3943:|
3937:p
3934:,
3931:0
3901:)
3898:r
3895:(
3890:p
3878:p
3864:p
3846:)
3840:p
3835:|
3830:s
3826:|
3822:,
3817:p
3812:|
3807:r
3803:|
3798:(
3786:p
3781:|
3776:s
3773:+
3770:r
3766:|
3737:p
3732:|
3727:s
3723:|
3719:+
3714:p
3709:|
3704:r
3700:|
3691:p
3686:|
3681:s
3678:+
3675:r
3671:|
3647:.
3642:p
3637:|
3632:r
3628:|
3624:=
3619:p
3614:|
3608:r
3600:|
3579:1
3556:1
3531:p
3526:|
3521:1
3514:|
3510:=
3507:1
3504:=
3499:p
3494:|
3489:1
3485:|
3462:p
3457:|
3452:s
3448:|
3442:p
3437:|
3432:r
3428:|
3424:=
3419:p
3414:|
3409:s
3406:r
3402:|
3370:)
3364:p
3359:|
3354:s
3350:|
3346:,
3341:p
3336:|
3331:r
3327:|
3322:(
3310:p
3305:|
3300:s
3297:+
3294:r
3290:|
3259:p
3254:|
3249:s
3245:|
3239:p
3234:|
3229:r
3225:|
3221:=
3216:p
3211:|
3206:s
3203:r
3199:|
3170:0
3167:=
3164:r
3156:0
3153:=
3148:p
3143:|
3138:r
3134:|
3105:0
3097:p
3092:|
3087:r
3083:|
3062:p
3043:=
3038:)
3035:3
3029:(
3022:2
3018:=
3013:2
3007:|
2998:8
2995:9
2987:|
2962:4
2959:1
2953:=
2948:2
2941:2
2937:=
2932:2
2927:|
2913:|
2892:p
2872:0
2869:=
2857:p
2853:=
2848:p
2843:|
2838:0
2834:|
2810:.
2805:)
2802:r
2799:(
2794:p
2782:p
2778:=
2773:p
2768:|
2763:r
2759:|
2730:0
2722:R
2713:Q
2704:p
2699:|
2690:|
2664:Q
2648:p
2640:p
2630:p
2611:)
2597:i
2593:p
2588:1
2581:|
2577:n
2573:|
2551:i
2547:p
2541:|
2537:n
2533:|
2521:(
2506:)
2502:|
2498:n
2494:|
2490:(
2481:p
2467:1
2464:=
2461:i
2453:=
2450:)
2447:n
2444:(
2439:p
2404:)
2390:i
2386:p
2381:1
2375:n
2354:i
2350:p
2346:n
2336:(
2321:)
2318:n
2315:(
2306:p
2292:1
2289:=
2286:i
2255:)
2241:i
2237:p
2232:1
2226:n
2205:i
2201:p
2197:n
2187:(
2172:1
2169:=
2166:i
2158:=
2155:)
2152:n
2149:(
2144:p
2114:)
2111:!
2108:)
2105:1
2099:n
2096:(
2093:(
2088:p
2077:)
2074:!
2071:n
2068:(
2063:p
2055:=
2052:)
2049:n
2046:(
2041:p
2013:!
2010:)
2007:1
2001:n
1998:(
1993:!
1990:n
1984:=
1981:n
1971:n
1947:i
1943:p
1939:n
1921:1
1918:=
1915:i
1907:=
1904:)
1901:!
1898:n
1895:(
1890:p
1866:p
1823:}
1818:)
1815:s
1812:(
1807:p
1799:,
1796:)
1793:r
1790:(
1785:p
1775:{
1767:=
1764:)
1761:s
1758:+
1755:r
1752:(
1747:p
1719:)
1716:s
1713:(
1708:p
1697:)
1694:r
1691:(
1686:p
1656:}
1651:)
1648:s
1645:(
1640:p
1632:,
1629:)
1626:r
1623:(
1618:p
1608:{
1597:)
1594:s
1591:+
1588:r
1585:(
1580:p
1554:)
1551:s
1548:(
1543:p
1535:+
1532:)
1529:r
1526:(
1521:p
1513:=
1510:)
1507:s
1501:r
1498:(
1493:p
1460:2
1456:3
1447:3
1440:2
1436:=
1430:8
1427:9
1404:2
1401:=
1396:)
1388:8
1385:9
1377:(
1370:3
1345:3
1339:=
1334:)
1326:8
1323:9
1315:(
1308:2
1280:.
1277:)
1274:s
1271:(
1266:p
1255:)
1252:r
1249:(
1244:p
1236:=
1232:)
1227:s
1224:r
1219:(
1213:p
1182:}
1176:{
1169:Z
1161:Q
1157::
1152:p
1130:p
1106:)
1103:n
1100:(
1095:p
1086:p
1079:n
1067:;
1055:n
1047:p
1036:)
1033:n
1030:(
1025:p
997:n
974:)
971:n
968:(
963:p
955:=
952:k
932:n
924:k
920:p
894:0
890:5
881:1
877:3
868:2
864:2
860:=
854:=
850:|
837:|
816:0
813:=
810:)
801:(
796:5
771:1
768:=
765:)
756:(
751:3
726:2
723:=
720:)
711:(
706:2
678:}
672:{
664:0
659:N
650:Z
641:p
614:p
589:m
569:n
545:n
539:m
513:0
508:N
476:,
473:0
470:=
467:n
450:0
444:n
434:}
431:n
423:k
419:p
415::
410:0
405:N
397:k
394:{
390:x
387:a
384:m
377:{
372:=
369:)
366:n
363:(
358:p
330:n
318:p
301:p
265:p
260:Q
245:p
229:p
208:R
182:p
165:n
145:p
125:)
122:n
119:(
114:p
89:)
86:n
83:(
78:p
63:n
56:p
45:n
36:p
27:p
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
