1502:
1093:
933:
1352:
1292:
799:
239:
1770:
942:
660:
738:
577:
1357:
804:
1199:
144:
1497:{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{p}:G_{\mathbf {Q} }&\to \mathbf {Z} _{p}^{\times }\cong \mathrm {GL_{1}} (\mathbf {Z} _{p})\\\sigma &\mapsto (a(\sigma ,n))_{n}\end{aligned}}}
1783:
1633:
1600:
1531:
352:
1332:
1699:
522:
420:
1571:
1191:
488:
454:
386:
323:
1088:{\displaystyle G_{\mathbf {Q} }\to \mathrm {Aut} (\mu _{p^{n}})\cong (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathrm {GL} _{1}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )}
1661:
1136:
758:
928:{\displaystyle {\begin{aligned}{\chi _{p^{n}}}:G_{\mathbf {Q} }&\to (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\\\sigma &\mapsto a(\sigma ,n),\end{aligned}}}
266:
584:
1156:
1116:
778:
667:
2100:
1668:-adic cyclotomic characters (when considering compatible systems of representations, the standard terminology is to use the symbol
2137:
527:
2092:
1916:
44:
2029:
936:
269:
36:
1287:{\displaystyle \varprojlim _{n}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathbf {Z} _{p}^{\times },}
234:{\displaystyle \mu _{p^{n}}=\left\{\zeta \in {\bar {\mathbf {Q} }}^{\times }\mid \zeta ^{p^{n}}=1\right\}}
1942:
1866:
134:
1765:{\displaystyle \chi _{\ell }:G_{\mathbf {Q} }\rightarrow \operatorname {GL} _{1}(\mathbf {Z} _{\ell })}
1609:
1576:
1507:
328:
1301:
69:
56:
493:
391:
1876:
1856:
48:
1542:
1161:
459:
425:
357:
294:
1891:
1335:
781:
60:
2096:
2091:, Proceedings of the Symposium in Pure Mathematics (in French), vol. 33, Providence, RI:
2073:
2004:
1121:
743:
2114:
1986:
2110:
244:
17:
2118:
2106:
1895:
1811:
138:
2069:
1603:
1141:
1101:
763:
52:
2131:
1835:
1295:
1194:
28:
2084:
119:
40:
1807:
2048:
1975:
655:{\displaystyle \sigma .\zeta :=\sigma (\zeta )=\zeta _{p^{n}}^{a(\sigma ,n)}}
1775:
satisfying certain compatibilities between different primes. In fact, the
733:{\displaystyle a(\sigma ,n)\in (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }}
1644:
topology makes this a continuous representation of a topological group.
1193:
form a compatible system in the sense that they give an element of the
1636:
1970:-adic cyclotomic character satisfies several nice properties.
572:{\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }}
1834:. As such, its representation space can be viewed as the
388:
by automorphisms. After fixing a primitive root of unity
1702:
1612:
1579:
1545:
1510:
1355:
1304:
1202:
1164:
1144:
1124:
1104:
945:
802:
766:
746:
670:
587:
530:
496:
462:
428:
394:
360:
331:
297:
247:
147:
1890:. It can also be found in the étale cohomology of a
1784:
strictly compatible system of ℓ-adic representations
2089:
Automorphic Forms, Representations, and L-Functions
1764:
1627:
1594:
1565:
1525:
1496:
1326:
1286:
1185:
1150:
1130:
1110:
1087:
927:
772:
752:
740:is the unique element as above, depending on both
732:
654:
571:
516:
482:
448:
414:
380:
346:
317:
260:
233:
939:since the action corresponds to a homomorphism
8:
524:, where the exponent is a unique element in
1662:compatible system of ℓ-adic representations
1753:
1748:
1735:
1721:
1720:
1707:
1701:
1619:
1614:
1611:
1585:
1584:
1578:
1555:
1550:
1544:
1516:
1515:
1509:
1484:
1436:
1431:
1420:
1412:
1403:
1398:
1393:
1378:
1377:
1364:
1356:
1354:
1315:
1310:
1305:
1303:
1275:
1270:
1265:
1255:
1246:
1240:
1231:
1226:
1214:
1204:
1201:
1163:
1143:
1123:
1103:
1077:
1071:
1062:
1057:
1048:
1040:
1030:
1021:
1015:
1006:
1001:
984:
979:
961:
951:
950:
944:
880:
871:
865:
856:
851:
834:
833:
817:
812:
807:
803:
801:
765:
745:
724:
715:
709:
700:
695:
669:
631:
624:
619:
586:
563:
554:
548:
539:
534:
529:
506:
501:
495:
472:
467:
461:
438:
433:
427:
404:
399:
393:
370:
365:
359:
337:
336:
330:
307:
302:
296:
252:
246:
212:
207:
194:
183:
181:
180:
157:
152:
146:
2060:
325:are Galois conjugate, the Galois group
7:
291:Since all of the primitive roots in
1925:-adic cyclotomic character is the
1865:-adic cyclotomic character is the
1800:-adic cyclotomic character is the
1573:simultaneously. In fact equipping
1417:
1413:
1044:
1041:
968:
965:
962:
25:
1945:, the Tate motive is the dual of
79:(that is, it is a representation
1749:
1722:
1628:{\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}
1615:
1595:{\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}
1586:
1526:{\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}
1517:
1432:
1394:
1379:
1266:
1247:
1227:
1078:
1058:
1022:
1002:
952:
872:
852:
835:
716:
696:
555:
535:
347:{\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}
338:
184:
1327:{\displaystyle {\chi _{p^{n}}}}
268:, generated by any choice of a
1759:
1744:
1728:
1481:
1477:
1465:
1459:
1456:
1442:
1427:
1389:
1252:
1223:
1180:
1168:
1082:
1054:
1027:
998:
992:
972:
958:
915:
903:
897:
877:
848:
845:
721:
692:
686:
674:
647:
635:
609:
603:
560:
531:
517:{\displaystyle \zeta _{p^{n}}}
415:{\displaystyle \zeta _{p^{n}}}
188:
1:
2087:; Casselman, William (eds.),
1672:to denote a prime instead of
490:can be written as a power of
241:form a cyclic group of order
1566:{\displaystyle \mu _{p^{n}}}
1186:{\displaystyle a(\sigma ,n)}
483:{\displaystyle \mu _{p^{n}}}
449:{\displaystyle \mu _{p^{n}}}
381:{\displaystyle \mu _{p^{n}}}
318:{\displaystyle \mu _{p^{n}}}
1812:multiplicative group scheme
18:P-adic cyclotomic character
2154:
1660:over all prime numbers, a
1648:As a compatible system of
1345:-adic cyclotomic character
108:-adic cyclotomic character
2078:et périodes d'intégrales"
1931:-adic realization of the
1294:the units in the ring of
72:is generally denoted by
2138:Algebraic number theory
1504:encoding the action of
1131:{\displaystyle \sigma }
753:{\displaystyle \sigma }
55:. As a one-dimensional
2074:"Valeurs de fonctions
1790:Geometric realizations
1766:
1693:-adic representations
1629:
1596:
1567:
1539:-power roots of unity
1527:
1498:
1328:
1288:
1187:
1152:
1132:
1112:
1089:
929:
774:
754:
734:
656:
573:
518:
484:
450:
416:
382:
348:
319:
262:
235:
141:. The roots of unity
1844:th roots of unity in
1767:
1664:is obtained from the
1652:-adic representations
1630:
1597:
1568:
1528:
1499:
1329:
1289:
1188:
1153:
1133:
1113:
1090:
935:which is viewed as a
930:
775:
755:
735:
657:
579:. One can thus write
574:
519:
485:
451:
417:
383:
349:
320:
263:
261:{\displaystyle p^{n}}
236:
135:absolute Galois group
1898:: it is the dual of
1700:
1610:
1577:
1543:
1508:
1353:
1302:
1200:
1162:
1142:
1122:
1102:
943:
800:
792:cyclotomic character
764:
744:
668:
585:
528:
494:
460:
426:
392:
358:
329:
295:
245:
145:
70:representation space
33:cyclotomic character
1943:Grothendieck motive
1678:). That is to say,
1408:
1280:
651:
1892:projective variety
1762:
1625:
1592:
1563:
1523:
1494:
1492:
1392:
1336:group homomorphism
1324:
1284:
1264:
1219:
1212:
1183:
1148:
1128:
1108:
1085:
925:
923:
782:group homomorphism
770:
750:
730:
652:
615:
569:
514:
480:
446:
412:
378:
344:
315:
258:
231:
43:giving the Galois
2005:Frobenius element
1838:of the groups of
1689:is a "family" of
1205:
1203:
1151:{\displaystyle n}
1111:{\displaystyle p}
780:. This defines a
773:{\displaystyle p}
456:, any element of
277:th root of unity
191:
16:(Redirected from
2145:
2122:
2121:
2082:
2065:
2037:
2025:
2013:
2002:
1993:acts trivially).
1992:
1987:inertia subgroup
1984:
1969:
1955:
1940:
1930:
1924:
1911:
1889:
1877:étale cohomology
1874:
1864:
1851:
1850:
1843:
1833:
1827:
1805:
1799:
1781:
1771:
1769:
1768:
1763:
1758:
1757:
1752:
1740:
1739:
1727:
1726:
1725:
1712:
1711:
1692:
1688:
1677:
1671:
1667:
1659:
1651:
1641:
1634:
1632:
1631:
1626:
1624:
1623:
1618:
1601:
1599:
1598:
1593:
1591:
1590:
1589:
1572:
1570:
1569:
1564:
1562:
1561:
1560:
1559:
1538:
1532:
1530:
1529:
1524:
1522:
1521:
1520:
1503:
1501:
1500:
1495:
1493:
1489:
1488:
1441:
1440:
1435:
1426:
1425:
1424:
1407:
1402:
1397:
1384:
1383:
1382:
1369:
1368:
1344:
1333:
1331:
1330:
1325:
1323:
1322:
1321:
1320:
1319:
1293:
1291:
1290:
1285:
1279:
1274:
1269:
1260:
1259:
1250:
1245:
1244:
1235:
1230:
1218:
1213:
1192:
1190:
1189:
1184:
1157:
1155:
1154:
1149:
1137:
1135:
1134:
1129:
1117:
1115:
1114:
1109:
1094:
1092:
1091:
1086:
1081:
1076:
1075:
1066:
1061:
1053:
1052:
1047:
1035:
1034:
1025:
1020:
1019:
1010:
1005:
991:
990:
989:
988:
971:
957:
956:
955:
934:
932:
931:
926:
924:
885:
884:
875:
870:
869:
860:
855:
840:
839:
838:
825:
824:
823:
822:
821:
791:
779:
777:
776:
771:
759:
757:
756:
751:
739:
737:
736:
731:
729:
728:
719:
714:
713:
704:
699:
661:
659:
658:
653:
650:
630:
629:
628:
578:
576:
575:
570:
568:
567:
558:
553:
552:
543:
538:
523:
521:
520:
515:
513:
512:
511:
510:
489:
487:
486:
481:
479:
478:
477:
476:
455:
453:
452:
447:
445:
444:
443:
442:
421:
419:
418:
413:
411:
410:
409:
408:
387:
385:
384:
379:
377:
376:
375:
374:
353:
351:
350:
345:
343:
342:
341:
324:
322:
321:
316:
314:
313:
312:
311:
287:
276:
267:
265:
264:
259:
257:
256:
240:
238:
237:
232:
230:
226:
219:
218:
217:
216:
199:
198:
193:
192:
187:
182:
164:
163:
162:
161:
139:rational numbers
132:
117:
100:
99:
78:
67:
21:
2153:
2152:
2148:
2147:
2146:
2144:
2143:
2142:
2128:
2127:
2126:
2125:
2103:
2095:, p. 325,
2080:
2070:Deligne, Pierre
2068:
2066:
2062:
2057:
2045:
2033:
2023:
2019:
2015:
2008:
2001:
1997:
1990:
1979:
1965:
1962:
1946:
1935:
1926:
1920:
1905:
1899:
1896:projective line
1888:
1880:
1870:
1860:
1846:
1845:
1839:
1829:
1826:
1814:
1801:
1795:
1792:
1780:
1776:
1747:
1731:
1716:
1703:
1698:
1697:
1690:
1687:
1683:
1679:
1673:
1669:
1665:
1657:
1654:
1649:
1637:
1613:
1608:
1607:
1580:
1575:
1574:
1551:
1546:
1541:
1540:
1534:
1511:
1506:
1505:
1491:
1490:
1480:
1452:
1446:
1445:
1430:
1416:
1385:
1373:
1360:
1351:
1350:
1340:
1311:
1306:
1300:
1299:
1296:p-adic integers
1251:
1236:
1198:
1197:
1160:
1159:
1140:
1139:
1120:
1119:
1100:
1099:
1067:
1039:
1026:
1011:
980:
975:
946:
941:
940:
922:
921:
893:
887:
886:
876:
861:
841:
829:
813:
808:
798:
797:
787:
762:
761:
742:
741:
720:
705:
666:
665:
620:
583:
582:
559:
544:
526:
525:
502:
497:
492:
491:
468:
463:
458:
457:
434:
429:
424:
423:
400:
395:
390:
389:
366:
361:
356:
355:
332:
327:
326:
303:
298:
293:
292:
286:
278:
272:
248:
243:
242:
208:
203:
179:
172:
168:
153:
148:
143:
142:
131:
123:
113:
110:
89:
81:
80:
73:
63:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
2151:
2149:
2141:
2140:
2130:
2129:
2124:
2123:
2101:
2059:
2058:
2056:
2053:
2052:
2051:
2044:
2041:
2040:
2039:
2026:
2021:
2017:
1999:
1994:
1978:at all primes
1961:
1958:
1903:
1884:
1818:
1791:
1788:
1778:
1773:
1772:
1761:
1756:
1751:
1746:
1743:
1738:
1734:
1730:
1724:
1719:
1715:
1710:
1706:
1685:
1681:
1653:
1646:
1622:
1617:
1604:Krull topology
1588:
1583:
1558:
1554:
1549:
1519:
1514:
1487:
1483:
1479:
1476:
1473:
1470:
1467:
1464:
1461:
1458:
1455:
1453:
1451:
1448:
1447:
1444:
1439:
1434:
1429:
1423:
1419:
1415:
1411:
1406:
1401:
1396:
1391:
1388:
1386:
1381:
1376:
1372:
1367:
1363:
1359:
1358:
1334:assemble to a
1318:
1314:
1309:
1283:
1278:
1273:
1268:
1263:
1258:
1254:
1249:
1243:
1239:
1234:
1229:
1225:
1222:
1217:
1211:
1208:
1182:
1179:
1176:
1173:
1170:
1167:
1147:
1127:
1107:
1084:
1080:
1074:
1070:
1065:
1060:
1056:
1051:
1046:
1043:
1038:
1033:
1029:
1024:
1018:
1014:
1009:
1004:
1000:
997:
994:
987:
983:
978:
974:
970:
967:
964:
960:
954:
949:
920:
917:
914:
911:
908:
905:
902:
899:
896:
894:
892:
889:
888:
883:
879:
874:
868:
864:
859:
854:
850:
847:
844:
842:
837:
832:
828:
820:
816:
811:
806:
805:
769:
749:
727:
723:
718:
712:
708:
703:
698:
694:
691:
688:
685:
682:
679:
676:
673:
649:
646:
643:
640:
637:
634:
627:
623:
618:
614:
611:
608:
605:
602:
599:
596:
593:
590:
566:
562:
557:
551:
547:
542:
537:
533:
509:
505:
500:
475:
471:
466:
441:
437:
432:
407:
403:
398:
373:
369:
364:
340:
335:
310:
306:
301:
282:
255:
251:
229:
225:
222:
215:
211:
206:
202:
197:
190:
186:
178:
175:
171:
167:
160:
156:
151:
127:
109:
103:
87:
57:representation
53:roots of unity
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
2150:
2139:
2136:
2135:
2133:
2120:
2116:
2112:
2108:
2104:
2102:0-8218-1437-0
2098:
2094:
2090:
2086:
2085:Borel, Armand
2079:
2077:
2071:
2067:Section 3 of
2064:
2061:
2054:
2050:
2047:
2046:
2042:
2036:
2031:
2027:
2012:
2006:
1995:
1988:
1983:
1977:
1973:
1972:
1971:
1968:
1959:
1957:
1953:
1949:
1944:
1938:
1934:
1929:
1923:
1918:
1913:
1909:
1902:
1897:
1894:, namely the
1893:
1887:
1883:
1878:
1873:
1869:of the first
1868:
1863:
1858:
1853:
1849:
1842:
1837:
1836:inverse limit
1832:
1825:
1821:
1817:
1813:
1809:
1804:
1798:
1789:
1787:
1785:
1754:
1741:
1736:
1732:
1717:
1713:
1708:
1704:
1696:
1695:
1694:
1676:
1663:
1647:
1645:
1643:
1640:
1620:
1605:
1581:
1556:
1552:
1547:
1537:
1512:
1485:
1474:
1471:
1468:
1462:
1454:
1449:
1437:
1421:
1409:
1404:
1399:
1387:
1374:
1370:
1365:
1361:
1348:
1346:
1343:
1337:
1316:
1312:
1307:
1297:
1281:
1276:
1271:
1261:
1256:
1241:
1237:
1232:
1220:
1215:
1209:
1206:
1196:
1195:inverse limit
1177:
1174:
1171:
1165:
1145:
1125:
1105:
1096:
1072:
1068:
1063:
1049:
1036:
1031:
1016:
1012:
1007:
995:
985:
981:
976:
947:
938:
918:
912:
909:
906:
900:
895:
890:
881:
866:
862:
857:
843:
830:
826:
818:
814:
809:
795:
793:
790:
783:
767:
747:
725:
710:
706:
701:
689:
683:
680:
677:
671:
662:
644:
641:
638:
632:
625:
621:
616:
612:
606:
600:
597:
594:
591:
588:
580:
564:
549:
545:
540:
507:
503:
498:
473:
469:
464:
439:
435:
430:
405:
401:
396:
371:
367:
362:
333:
308:
304:
299:
289:
285:
281:
275:
271:
253:
249:
227:
223:
220:
213:
209:
204:
200:
195:
176:
173:
169:
165:
158:
154:
149:
140:
136:
130:
126:
121:
116:
107:
104:
102:
97:
94:(1)) ≈ GL(1,
93:
85:
76:
71:
66:
62:
58:
54:
50:
46:
42:
38:
34:
30:
29:number theory
19:
2088:
2075:
2063:
2034:
2010:
1981:
1966:
1963:
1951:
1947:
1936:
1932:
1927:
1921:
1915:In terms of
1914:
1907:
1900:
1885:
1881:
1871:
1861:
1855:In terms of
1854:
1847:
1840:
1830:
1823:
1819:
1815:
1802:
1796:
1793:
1774:
1674:
1655:
1638:
1535:
1349:
1341:
1339:
1138:and varying
1097:
796:
788:
785:
663:
581:
290:
283:
279:
273:
128:
124:
114:
111:
105:
95:
91:
83:
74:
64:
41:Galois group
32:
26:
2030:crystalline
1933:Tate motive
1808:Tate module
1656:By varying
1298:. Thus the
784:called the
422:generating
133:denote the
2119:0449.10022
2055:References
2049:Tate twist
2024:) = ℓ
1985:(i.e. the
1976:unramified
1960:Properties
1857:cohomology
122:, and let
1879:group of
1755:ℓ
1742:
1729:→
1709:ℓ
1705:χ
1635:with the
1602:with the
1548:μ
1469:σ
1457:↦
1450:σ
1410:≅
1405:×
1390:→
1362:χ
1308:χ
1277:×
1262:≅
1257:×
1221:
1210:←
1172:σ
1126:σ
1037:≅
1032:×
996:≅
977:μ
959:→
937:character
907:σ
898:↦
891:σ
882:×
846:→
810:χ
748:σ
726:×
690:∈
678:σ
639:σ
617:ζ
607:ζ
601:σ
595:ζ
589:σ
565:×
499:ζ
465:μ
431:μ
397:ζ
363:μ
300:μ
270:primitive
205:ζ
201:∣
196:×
189:¯
177:∈
174:ζ
150:μ
82:χ :
37:character
2132:Category
2072:(1979),
2043:See also
354:acts on
2111:0546622
2014:, then
1941:. As a
1917:motives
1810:of the
1782:form a
1680:χ = { χ
1533:on all
1338:called
1098:Fixing
137:of the
59:over a
2117:
2109:
2099:
2028:It is
1974:It is
1919:, the
1875:-adic
1859:, the
1806:-adic
1158:, the
664:where
68:, its
45:action
2083:, in
2081:(PDF)
2020:(Frob
2003:is a
1828:over
1642:-adic
120:prime
86:→ Aut
49:group
47:on a
39:of a
35:is a
2097:ISBN
2009:ℓ ≠
2007:for
1998:Frob
1980:ℓ ≠
1964:The
1867:dual
1794:The
1606:and
1118:and
786:mod
760:and
112:Fix
61:ring
31:, a
2115:Zbl
2093:AMS
2032:at
1996:If
1989:at
1939:(1)
1207:lim
288:.
101:).
77:(1)
51:of
27:In
2134::
2113:,
2107:MR
2105:,
1956:.
1950:(
1912:.
1904:ét
1852:.
1786:.
1733:GL
1347::
1095:.
794::
598::=
118:a
2076:L
2038:.
2035:p
2022:ℓ
2018:p
2016:χ
2011:p
2000:ℓ
1991:ℓ
1982:p
1967:p
1954:)
1952:P
1948:H
1937:Z
1928:p
1922:p
1910:)
1908:P
1906:(
1901:H
1886:m
1882:G
1872:p
1862:p
1848:Q
1841:p
1831:Q
1824:Q
1822:,
1820:m
1816:G
1803:p
1797:p
1779:ℓ
1777:χ
1760:)
1750:Z
1745:(
1737:1
1723:Q
1718:G
1714::
1691:ℓ
1686:ℓ
1684:}
1682:ℓ
1675:p
1670:ℓ
1666:ℓ
1658:ℓ
1650:ℓ
1639:p
1621:p
1616:Z
1587:Q
1582:G
1557:n
1553:p
1536:p
1518:Q
1513:G
1486:n
1482:)
1478:)
1475:n
1472:,
1466:(
1463:a
1460:(
1443:)
1438:p
1433:Z
1428:(
1422:1
1418:L
1414:G
1400:p
1395:Z
1380:Q
1375:G
1371::
1366:p
1342:p
1317:n
1313:p
1282:,
1272:p
1267:Z
1253:)
1248:Z
1242:n
1238:p
1233:/
1228:Z
1224:(
1216:n
1181:)
1178:n
1175:,
1169:(
1166:a
1146:n
1106:p
1083:)
1079:Z
1073:n
1069:p
1064:/
1059:Z
1055:(
1050:1
1045:L
1042:G
1028:)
1023:Z
1017:n
1013:p
1008:/
1003:Z
999:(
993:)
986:n
982:p
973:(
969:t
966:u
963:A
953:Q
948:G
919:,
916:)
913:n
910:,
904:(
901:a
878:)
873:Z
867:n
863:p
858:/
853:Z
849:(
836:Q
831:G
827::
819:n
815:p
789:p
768:p
722:)
717:Z
711:n
707:p
702:/
697:Z
693:(
687:)
684:n
681:,
675:(
672:a
648:)
645:n
642:,
636:(
633:a
626:n
622:p
613:=
610:)
604:(
592:.
561:)
556:Z
550:n
546:p
541:/
536:Z
532:(
508:n
504:p
474:n
470:p
440:n
436:p
406:n
402:p
372:n
368:p
339:Q
334:G
309:n
305:p
284:p
280:ζ
274:p
254:n
250:p
228:}
224:1
221:=
214:n
210:p
185:Q
170:{
166:=
159:n
155:p
129:Q
125:G
115:p
106:p
98:)
96:R
92:R
90:(
88:R
84:G
75:R
65:R
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.