5330:
4472:
3966:
4779:
4986:
4212:
680:
4197:
425:
4607:
5316:
4803:
2984:
The conventional Padé approximation is determined to reproduce the
Maclaurin expansion up to a given order. Therefore, the approximation at the value apart from the expansion point may be poor. This is avoided by the 2-point Padé approximation, which is a type of multipoint summation method. At
98:
The reason the Padé approximant tends to be a better approximation than a truncating Taylor series is clear from the viewpoint of the multi-point summation method. Since there are many cases in which the asymptotic expansion at infinity becomes 0 or a constant, it can be interpreted as the
5134:
3607:. There is a method of using this to give an approximate solution of a differential equation with high accuracy. Also, for the nontrivial zeros of the Riemann zeta function, the first nontrivial zero can be estimated with some accuracy from the asymptotic behavior on the real axis.
4038:
139:
2041:
3456:, where the accuracy of the approximation may be the worst in the ordinary Padé approximation, good accuracy of the 2-point Padé approximant is guaranteed. Therefore, the 2-point Padé approximant can be a method that gives a good approximation globally for
4467:{\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}+{\frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}-{\frac {1}{30240}}x^{5}}}}
31:
5155:
441:
91:, though for sharp results ad hoc methods—in some sense inspired by the Padé theory—typically replace them. Since a Padé approximant is a rational function, an artificial singular point may occur as an approximation, but this can be avoided by
3339:
4589:
2730:
5001:
4774:{\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-{\frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{\frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{\frac {859490}{1575607}}z^{2}-{\frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{\frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}}
3848:
4981:{\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-{\frac {107}{28416000}}x^{7}+{\frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{\frac {151}{5550}}x^{2}+{\frac {1453}{3729600}}x^{4}+{\frac {1339}{358041600}}x^{6}+{\frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}}
2493:
940:
3171:
1720:
1144:
1829:
1368:
2148:
446:
2244:
1506:
1226:
1785:
2402:
4192:{\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {{\frac {12671}{4363920}}x^{5}-{\frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{\frac {445}{12122}}x^{2}+{\frac {601}{872784}}x^{4}+{\frac {121}{16662240}}x^{6}}}}
3685:
3547:
3399:
5675:
Introduction to multipoints summation method Modern applied mathematics that connects here and the infinite beyond: From Taylor expansion to application of differential equations
3238:
2839:
420:{\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}
2333:
3888:
4487:
3486:
2600:
3233:
3454:
3197:
2558:
3921:
2962:
1552:
1824:
1591:
3074:
1006:
2923:
3576:
3741:
2271:
3950:
3746:
3714:
3605:
3428:
3038:
1397:
796:
711:
5311:{\displaystyle C(x)\approx {\frac {1}{135}}\cdot {\frac {990791\pi ^{4}x^{9}-147189744\pi ^{2}x^{5}+8714684160x}{1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216}}}
3009:
767:
741:
675:{\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{aligned}}}
2407:
801:
3079:
5965:
2335:
give the Padé approximant. If one were to compute all steps of the extended greatest common divisor computation, one would obtain an anti-diagonal of the
2869:
are known, one can approximately extract the critical points and the critical exponents from respectively the poles and residues of the Padé approximants
1607:
1032:
5348:
3430:
such that simultaneously reproduce asymptotic behavior by developing the Padé approximation can be found in various cases. As a result, at the point
5969:
1255:
5129:{\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{15{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}}
5852:
5764:
5491:
3987:
2046:
5739:
2155:
1402:
5959:
5829:
1249:
2972:
A Padé approximant approximates a function in one variable. An approximant in two variables is called a
Chisholm approximant (after
1159:
5689:
4013:
99:"incomplete two-point Padé approximation", in which the ordinary Padé approximation improves the method truncating a Taylor series.
5979:
5714:
2354:
3615:
A further extension of the 2-point Padé approximant is the multi-point Padé approximant. This method treats singularity points
5836:
3991:
1826:. For the Bézout identities of the extended greatest common divisor one computes simultaneously the two polynomial sequences
2750:
are the coefficients in the Padé approximation. The subscript '0' means that the Padé is of order and hence, we have the
6001:
1245:
88:
2036:{\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}
6011:
6006:
2762:
Padé approximants can be used to extract critical points and exponents of functions. In thermodynamics, if a function
3976:
3923:. As a result, since the information of the peculiarity of the function is captured, the approximation of a function
5898:
5844:
5796:
1022:
3995:
3980:
2498:
1731:
4593:
84:
3618:
958:
3494:
3346:
56:
agrees with the power series of the function it is approximating. The technique was developed around 1890 by
1509:
1026:
5454:
5363:
3716:
which is to be approximated. Consider the cases when singularities of a function are expressed with index
3549:
are expressed by polynomials or series of negative powers, exponential function, logarithmic function or
92:
5814:
2786:
2751:
5329:
2285:
3855:
5639:
5561:
5520:
5411:
5357:
3459:
3202:
64:, who introduced the idea and investigated the features of rational approximations of power series.
5459:
2976:), in multiple variables a Canterbury approximant (after Graves-Morris at the University of Kent).
2584:
1234:
3433:
3176:
5918:
5427:
5335:
3893:
80:
5486:. Progress in Theoretical Computer Science. Birkhäuser. Problem 5.2b and Algorithm 5.2 (p. 46).
1515:
1790:
1557:
5985:
5938:
5848:
5825:
5612:
5487:
3043:
2973:
72:
49:
2872:
5910:
5803:
5647:
5602:
5569:
5528:
5464:
5419:
5138:
3552:
2928:
2348:
1238:
3719:
3334:{\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o{\big (}f_{\infty }(x){\big )},\quad x\to \infty .}
2249:
4783:
3926:
3690:
3581:
3404:
3014:
1512:
of one step in the computation of the extended greatest common divisor of the polynomials
1373:
772:
687:
67:
The Padé approximant often gives better approximation of the function than truncating its
61:
5901:(1966), "Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table",
2988:
746:
720:
5643:
5565:
5524:
5415:
4584:{\displaystyle \ln(1+x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}}
2725:{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}
5955:
5607:
5590:
944:
When it exists, the Padé approximant is unique as a formal power series for the given
5995:
5941:
5922:
5821:
5768:
5743:
5718:
5693:
5651:
5630:
Graves-Morris, P.R.; Roberts, D.E. (1975). "Calculation of
Canterbury approximants".
5468:
5402:
Wynn, Peter (Mar 1966). "On the
Convergence and Stability of the Epsilon Algorithm".
5383:
5343:
2336:
1147:
714:
68:
57:
34:
5858:
53:
17:
3965:
2152:
For the approximant, one thus carries out the extended
Euclidean algorithm for
76:
41:
30:
5574:
5549:
5325:
5616:
3843:{\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.}
5946:
5891:
Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles
5360: – Theory of getting acceptably close inexact mathematical calculations
5883:
The Pade Table and Its
Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis
5835:
Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007),
2404:
it can be useful to introduce the Padé or simply rational zeta function as
5673:
5445:
Brezenski, C. (1996). "Extrapolation algorithms and Padé approximations".
2488:{\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}
1237:, and, hence, Padé approximants can also be applied to the summation of
27:'Best' approximation of a function by a rational function of given order
5914:
5431:
1596:
Recall that, to compute the greatest common divisor of two polynomials
935:{\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots }
114:
75:. For these reasons Padé approximants are used extensively in computer
3166:{\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o{\big (}f_{0}(x){\big )},\quad x\to 0,}
5533:
5508:
5484:
Polynomial and Matrix computations - Volume 1. Fundamental
Algorithms
48:
is the "best" approximation of a function near a specific point by a
5423:
3852:
Besides the 2-point Padé approximant, which includes information at
5366: – Approximating an arbitrary function with a well-behaved one
1715:{\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}
1139:{\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}
5894:, Thesis, [Ann. École Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
3890:, this method approximates to reduce the property of diverging at
29:
5973:
5875:
Ueber
Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen
5807:
3959:
1333:
1363:{\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\bmod {x}}^{m+n+1}}
71:, and it may still work where the Taylor series does not
5591:"Rational approximants defined from double power series"
1604:, one computes via long division the remainder sequence
52:
of given order. Under this technique, the approximant's
5351: – formula to estimate sin(x), found by Bhaskara I
2597:
The functional equation for this Padé zeta function is
955:
The Padé approximant defined above is also denoted as
5158:
5004:
4806:
4610:
4490:
4215:
4041:
3929:
3896:
3858:
3749:
3722:
3693:
3621:
3584:
3555:
3497:
3462:
3436:
3407:
3349:
3241:
3205:
3179:
3082:
3046:
3017:
2991:
2931:
2875:
2789:
2603:
2501:
2410:
2357:
2288:
2252:
2158:
2049:
1832:
1793:
1734:
1610:
1560:
1518:
1405:
1376:
1258:
1162:
1035:
961:
804:
775:
749:
723:
690:
444:
142:
5353:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
2143:{\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}
5988:for Padé approximation of models with time delays.
5841:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
5310:
5128:
4980:
4773:
4583:
4466:
4191:
3944:
3915:
3882:
3842:
3735:
3708:
3679:
3599:
3570:
3541:
3480:
3448:
3422:
3393:
3333:
3227:
3191:
3165:
3068:
3032:
3003:
2956:
2917:
2833:
2724:
2552:
2487:
2396:
2327:
2265:
2239:{\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}
2238:
2142:
2035:
1818:
1779:
1714:
1585:
1546:
1501:{\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}
1500:
1391:
1362:
1220:
1138:
1000:
934:
790:
761:
735:
705:
674:
419:
2863:. If sufficient terms of the series expansion of
1244:One way to compute a Padé approximant is via the
5885:, Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
2594:is taken to be the sum of the divergent series.
438:to the highest possible order, which amounts to
1221:{\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}
1370:is equivalent to the existence of some factor
3310:
3284:
3142:
3116:
8:
5889:
5873:
1780:{\displaystyle \deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,}
5966:Data Analysis BriefBook: Pade Approximation
3994:. Unsourced material may be challenged and
3578:, we can apply 2-point Padé approximant to
2773:behaves in a non-analytic way near a point
2043:to obtain in each step the Bézout identity
5982:, Scott Dattalo, last accessed 2010-11-11.
5818:Extrapolation Methods. Theory and Practice
3040:which is expressed by asymptotic behavior
2397:{\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z),}
2308:
2197:
1974:
1892:
1852:
1630:
587:
5791:Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P.
5606:
5573:
5532:
5458:
5293:
5283:
5267:
5257:
5233:
5223:
5207:
5197:
5187:
5174:
5157:
5111:
5095:
5080:
5064:
5045:
5032:
5023:
5003:
4969:
4955:
4946:
4932:
4923:
4909:
4900:
4886:
4872:
4858:
4849:
4835:
4829:
4811:
4805:
4762:
4748:
4739:
4725:
4716:
4702:
4682:
4668:
4659:
4645:
4639:
4625:
4611:
4609:
4572:
4558:
4538:
4524:
4515:
4489:
4455:
4441:
4432:
4418:
4409:
4395:
4386:
4372:
4356:
4342:
4328:
4319:
4305:
4296:
4282:
4273:
4259:
4243:
4234:
4214:
4180:
4166:
4157:
4143:
4134:
4120:
4100:
4086:
4077:
4063:
4060:
4040:
4014:Learn how and when to remove this message
3928:
3907:
3895:
3857:
3831:
3806:
3801:
3791:
3771:
3765:
3748:
3727:
3721:
3692:
3680:{\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3,\dots ,N)}
3632:
3620:
3583:
3554:
3524:
3502:
3496:
3461:
3435:
3406:
3376:
3354:
3348:
3309:
3308:
3293:
3283:
3282:
3261:
3240:
3210:
3204:
3178:
3141:
3140:
3125:
3115:
3114:
3093:
3081:
3051:
3045:
3016:
2990:
2946:
2930:
2900:
2882:
2874:
2825:
2820:
2805:
2788:
2698:
2688:
2678:
2667:
2639:
2629:
2619:
2608:
2602:
2535:
2523:
2500:
2474:
2454:
2448:
2437:
2415:
2409:
2373:
2362:
2356:
2319:
2299:
2287:
2257:
2251:
2215:
2202:
2176:
2163:
2157:
2110:
2076:
2054:
2048:
2027:
2017:
1998:
1979:
1965:
1955:
1936:
1917:
1897:
1877:
1857:
1837:
1831:
1798:
1792:
1776:
1770:
1745:
1733:
1697:
1684:
1674:
1655:
1635:
1615:
1609:
1565:
1559:
1523:
1517:
1477:
1437:
1404:
1375:
1342:
1336:
1332:
1310:
1286:
1257:
1183:
1176:
1167:
1161:
1130:
1120:
1101:
1091:
1075:
1062:
1040:
1034:
980:
968:
960:
908:
886:
861:
839:
803:
774:
748:
722:
689:
638:
600:
586:
445:
443:
405:
395:
376:
366:
350:
332:
322:
303:
293:
277:
264:
257:
245:
235:
225:
214:
196:
186:
176:
165:
158:
141:
5970:European Laboratory for Particle Physics
5375:
5349:Bhaskara I's sine approximation formula
3952:can be performed with higher accuracy.
3542:{\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}
3394:{\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}
1021:, Padé approximants can be computed by
5878:, . Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17.
2246:and stops it at the last instant that
7:
5667:
5665:
5663:
5661:
3992:adding citations to reliable sources
2857:the associated critical exponent of
1025:'s epsilon algorithm and also other
3343:By selecting the major behavior of
2560:is the Padé approximation of order
713:is expanded in a Maclaurin series (
134:of order is the rational function
5960:The Wolfram Demonstrations Project
5404:SIAM Journal on Numerical Analysis
4615:
4612:
3877:
3525:
3475:
3443:
3377:
3325:
3294:
3262:
3211:
3186:
3011:, consider a case that a function
2834:{\displaystyle f(x)\sim |x-r|^{p}}
2449:
2374:
1250:polynomial greatest common divisor
25:
5608:10.1090/S0025-5718-1973-0382928-6
5482:Bini, Dario; Pan, Victor (1994).
3199:, additional asymptotic behavior
2328:{\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}
5837:"Section 5.12 Padé Approximants"
5328:
3964:
3883:{\displaystyle x=0,x\to \infty }
1508:which can be interpreted as the
5632:Computer Physics Communications
3820:
3481:{\displaystyle x=0\sim \infty }
3318:
3150:
1912:
1872:
1650:
5740:"Padé approximant of log(1+x)"
5168:
5162:
5017:
5011:
4823:
4817:
4633:
4626:
4619:
4509:
4497:
4228:
4222:
4054:
4048:
3939:
3933:
3874:
3824:
3798:
3778:
3759:
3753:
3703:
3697:
3674:
3638:
3594:
3588:
3536:
3530:
3514:
3508:
3440:
3417:
3411:
3388:
3382:
3366:
3360:
3322:
3305:
3299:
3273:
3267:
3251:
3245:
3228:{\displaystyle f_{\infty }(x)}
3222:
3216:
3183:
3154:
3137:
3131:
3105:
3099:
3063:
3057:
3027:
3021:
2912:
2906:
2897:
2876:
2821:
2806:
2799:
2793:
2716:
2704:
2657:
2645:
2547:
2541:
2532:
2517:
2511:
2505:
2466:
2460:
2427:
2421:
2388:
2382:
2347:To study the resummation of a
2233:
2227:
2134:
2128:
2122:
2116:
2100:
2094:
2088:
2082:
2066:
2060:
1541:
1535:
1470:
1464:
1455:
1449:
1430:
1424:
1415:
1409:
1386:
1380:
1328:
1322:
1300:
1294:
1283:
1277:
1268:
1262:
1201:
1195:
1190:
1184:
1052:
1046:
992:
986:
977:
962:
829:
823:
814:
808:
785:
779:
700:
694:
662:
656:
651:
639:
624:
618:
613:
601:
573:
567:
549:
543:
525:
519:
501:
495:
477:
471:
458:
452:
152:
146:
79:. They have also been used as
1:
5765:"Padé approximant of sn(x|3)"
5447:Applied Numerical Mathematics
5715:"Padé approximant of exp(x)"
5690:"Padé approximant of sin(x)"
5652:10.1016/0010-4655(75)90068-5
5469:10.1016/0168-9274(95)00110-7
3611:Multi-point Padé approximant
3449:{\displaystyle x\to \infty }
3192:{\displaystyle x\to \infty }
2553:{\displaystyle R(x)=_{f}(x)}
1246:extended Euclidean algorithm
743:terms would equal the first
89:transcendental number theory
5589:Chisholm, J. S. R. (1973).
3916:{\displaystyle x\sim x_{j}}
2980:Two-points Padé approximant
6028:
5845:Cambridge University Press
5843:(3rd ed.), New York:
5595:Mathematics of Computation
2343:Riemann–Padé zeta function
1547:{\displaystyle T_{m+n}(x)}
5575:10.4249/scholarpedia.9756
5548:Baker, G. A. Jr. (2012).
1819:{\displaystyle r_{k+1}=0}
1586:{\displaystyle x^{m+n+1}}
85:Diophantine approximation
3401:, approximate functions
3069:{\displaystyle f_{0}(x)}
1027:sequence transformations
1001:{\displaystyle _{f}(x).}
2918:{\displaystyle _{g}(x)}
5890:
5874:
5364:Function approximation
5312:
5130:
4982:
4775:
4585:
4468:
4193:
3946:
3917:
3884:
3844:
3737:
3710:
3681:
3601:
3572:
3571:{\displaystyle x\ln x}
3543:
3482:
3450:
3424:
3395:
3335:
3229:
3193:
3167:
3070:
3034:
3005:
2958:
2957:{\displaystyle g=f'/f}
2919:
2835:
2726:
2683:
2624:
2554:
2489:
2453:
2398:
2378:
2329:
2267:
2240:
2144:
2037:
1820:
1781:
1716:
1587:
1548:
1502:
1393:
1364:
1222:
1140:
1029:from the partial sums
1002:
936:
792:
763:
737:
707:
676:
421:
230:
181:
37:
5903:Numerische Mathematik
5313:
5131:
4983:
4776:
4586:
4469:
4194:
3947:
3918:
3885:
3845:
3738:
3736:{\displaystyle n_{j}}
3711:
3682:
3602:
3573:
3544:
3483:
3451:
3425:
3396:
3336:
3230:
3194:
3168:
3071:
3035:
3006:
2959:
2920:
2851:a critical point and
2836:
2752:Riemann zeta function
2727:
2663:
2604:
2555:
2490:
2433:
2399:
2358:
2330:
2282:Then the polynomials
2268:
2266:{\displaystyle v_{k}}
2241:
2145:
2038:
1821:
1782:
1717:
1588:
1549:
1503:
1394:
1365:
1223:
1141:
1003:
937:
793:
764:
738:
708:
677:
422:
210:
161:
33:
5958:, Oleksandr Pavlyk,
5513:Computers in Physics
5507:Adler, Joan (1994).
5358:Approximation theory
5156:
5002:
4804:
4608:
4488:
4213:
4039:
3988:improve this section
3945:{\displaystyle f(x)}
3927:
3894:
3856:
3747:
3720:
3709:{\displaystyle f(x)}
3691:
3619:
3600:{\displaystyle f(x)}
3582:
3553:
3495:
3460:
3434:
3423:{\displaystyle F(x)}
3405:
3347:
3239:
3203:
3177:
3080:
3044:
3033:{\displaystyle f(x)}
3015:
2989:
2929:
2873:
2787:
2601:
2499:
2408:
2355:
2286:
2250:
2156:
2047:
1830:
1791:
1732:
1608:
1558:
1516:
1403:
1392:{\displaystyle K(x)}
1374:
1256:
1160:
1033:
959:
802:
791:{\displaystyle f(x)}
773:
747:
721:
706:{\displaystyle R(x)}
688:
442:
140:
6002:Continued fractions
5644:1975CoPhC..10..234G
5566:2012SchpJ...7.9756B
5525:1994ComPh...8..287A
5509:"Series expansions"
5416:1966SJNA....3...91W
3004:{\displaystyle x=0}
2585:zeta regularization
1235:formal power series
762:{\displaystyle m+n}
736:{\displaystyle m+n}
93:Borel–Padé analysis
81:auxiliary functions
60:, but goes back to
6012:Rational functions
6007:Numerical analysis
5968:, Rudolf K. Bock
5942:"Padé Approximant"
5939:Weisstein, Eric W.
5915:10.1007/BF02162562
5802:Baker, G. A., Jr.
5550:"Padé approximant"
5384:"Padé Approximant"
5336:Mathematics portal
5308:
5126:
4978:
4771:
4581:
4464:
4189:
3942:
3913:
3880:
3840:
3733:
3706:
3677:
3597:
3568:
3539:
3478:
3446:
3420:
3391:
3331:
3225:
3189:
3163:
3066:
3030:
3001:
2954:
2915:
2831:
2722:
2550:
2485:
2394:
2325:
2263:
2236:
2140:
2033:
1816:
1777:
1712:
1583:
1544:
1498:
1389:
1360:
1218:
1136:
998:
932:
788:
759:
733:
703:
672:
670:
427:which agrees with
417:
38:
18:Padé approximation
5956:Padé Approximants
5854:978-0-521-88068-8
5815:Redivo Zaglia, M.
5793:Padé Approximants
5493:978-0-8176-3786-6
5388:Wolfram MathWorld
5306:
5182:
5124:
5040:
5037:
4976:
4963:
4940:
4917:
4894:
4866:
4843:
4769:
4756:
4733:
4710:
4676:
4653:
4579:
4566:
4532:
4462:
4449:
4426:
4403:
4380:
4364:
4336:
4313:
4290:
4267:
4251:
4187:
4174:
4151:
4128:
4094:
4071:
4024:
4023:
4016:
3815:
2974:J. S. R. Chisholm
2480:
1213:
717:at 0), its first
684:Equivalently, if
412:
252:
107:Given a function
50:rational function
16:(Redirected from
6019:
5952:
5951:
5925:
5893:
5877:
5868:
5867:
5866:
5857:, archived from
5804:Padé approximant
5780:
5779:
5777:
5776:
5761:
5755:
5754:
5752:
5751:
5736:
5730:
5729:
5727:
5726:
5711:
5705:
5704:
5702:
5701:
5686:
5680:
5679:
5672:Ueoka, Yoshiki.
5669:
5656:
5655:
5627:
5621:
5620:
5610:
5601:(124): 841–848.
5586:
5580:
5579:
5577:
5545:
5539:
5538:
5536:
5534:10.1063/1.168493
5504:
5498:
5497:
5479:
5473:
5472:
5462:
5442:
5436:
5435:
5398:
5392:
5391:
5380:
5354:
5338:
5333:
5332:
5317:
5315:
5314:
5309:
5307:
5305:
5298:
5297:
5288:
5287:
5272:
5271:
5262:
5261:
5248:
5238:
5237:
5228:
5227:
5212:
5211:
5202:
5201:
5188:
5183:
5175:
5150:
5135:
5133:
5132:
5127:
5125:
5123:
5116:
5115:
5100:
5099:
5086:
5085:
5084:
5069:
5068:
5046:
5041:
5039:
5038:
5033:
5024:
4996:
4987:
4985:
4984:
4979:
4977:
4975:
4974:
4973:
4964:
4956:
4951:
4950:
4941:
4933:
4928:
4927:
4918:
4910:
4905:
4904:
4895:
4887:
4878:
4877:
4876:
4867:
4859:
4854:
4853:
4844:
4836:
4830:
4816:
4815:
4798:
4780:
4778:
4777:
4772:
4770:
4768:
4767:
4766:
4757:
4749:
4744:
4743:
4734:
4726:
4721:
4720:
4711:
4703:
4694:
4687:
4686:
4677:
4669:
4664:
4663:
4654:
4646:
4640:
4629:
4618:
4602:
4590:
4588:
4587:
4582:
4580:
4578:
4577:
4576:
4567:
4559:
4544:
4543:
4542:
4533:
4525:
4516:
4482:
4473:
4471:
4470:
4465:
4463:
4461:
4460:
4459:
4450:
4442:
4437:
4436:
4427:
4419:
4414:
4413:
4404:
4396:
4391:
4390:
4381:
4373:
4365:
4357:
4348:
4347:
4346:
4337:
4329:
4324:
4323:
4314:
4306:
4301:
4300:
4291:
4283:
4278:
4277:
4268:
4260:
4252:
4244:
4235:
4207:
4198:
4196:
4195:
4190:
4188:
4186:
4185:
4184:
4175:
4167:
4162:
4161:
4152:
4144:
4139:
4138:
4129:
4121:
4112:
4105:
4104:
4095:
4087:
4082:
4081:
4072:
4064:
4061:
4033:
4019:
4012:
4008:
4005:
3999:
3968:
3960:
3951:
3949:
3948:
3943:
3922:
3920:
3919:
3914:
3912:
3911:
3889:
3887:
3886:
3881:
3849:
3847:
3846:
3841:
3836:
3835:
3816:
3814:
3813:
3812:
3811:
3810:
3796:
3795:
3776:
3775:
3766:
3742:
3740:
3739:
3734:
3732:
3731:
3715:
3713:
3712:
3707:
3686:
3684:
3683:
3678:
3637:
3636:
3606:
3604:
3603:
3598:
3577:
3575:
3574:
3569:
3548:
3546:
3545:
3540:
3529:
3528:
3507:
3506:
3487:
3485:
3484:
3479:
3455:
3453:
3452:
3447:
3429:
3427:
3426:
3421:
3400:
3398:
3397:
3392:
3381:
3380:
3359:
3358:
3340:
3338:
3337:
3332:
3314:
3313:
3298:
3297:
3288:
3287:
3266:
3265:
3234:
3232:
3231:
3226:
3215:
3214:
3198:
3196:
3195:
3190:
3172:
3170:
3169:
3164:
3146:
3145:
3130:
3129:
3120:
3119:
3098:
3097:
3075:
3073:
3072:
3067:
3056:
3055:
3039:
3037:
3036:
3031:
3010:
3008:
3007:
3002:
2963:
2961:
2960:
2955:
2950:
2945:
2924:
2922:
2921:
2916:
2905:
2904:
2886:
2868:
2862:
2856:
2850:
2840:
2838:
2837:
2832:
2830:
2829:
2824:
2809:
2782:
2772:
2758:DLog Padé method
2749:
2740:
2731:
2729:
2728:
2723:
2703:
2702:
2693:
2692:
2682:
2677:
2644:
2643:
2634:
2633:
2623:
2618:
2593:
2582:
2572:of the function
2571:
2559:
2557:
2556:
2551:
2540:
2539:
2527:
2494:
2492:
2491:
2486:
2481:
2479:
2478:
2469:
2455:
2452:
2447:
2420:
2419:
2403:
2401:
2400:
2395:
2377:
2372:
2349:divergent series
2334:
2332:
2331:
2326:
2324:
2323:
2304:
2303:
2278:
2272:
2270:
2269:
2264:
2262:
2261:
2245:
2243:
2242:
2237:
2226:
2225:
2207:
2206:
2193:
2192:
2168:
2167:
2149:
2147:
2146:
2141:
2115:
2114:
2081:
2080:
2059:
2058:
2042:
2040:
2039:
2034:
2032:
2031:
2022:
2021:
2009:
2008:
1990:
1989:
1970:
1969:
1960:
1959:
1947:
1946:
1928:
1927:
1902:
1901:
1882:
1881:
1862:
1861:
1842:
1841:
1825:
1823:
1822:
1817:
1809:
1808:
1786:
1784:
1783:
1778:
1775:
1774:
1756:
1755:
1727:
1721:
1719:
1718:
1713:
1708:
1707:
1689:
1688:
1679:
1678:
1666:
1665:
1640:
1639:
1620:
1619:
1592:
1590:
1589:
1584:
1582:
1581:
1553:
1551:
1550:
1545:
1534:
1533:
1507:
1505:
1504:
1499:
1494:
1493:
1448:
1447:
1398:
1396:
1395:
1390:
1369:
1367:
1366:
1361:
1359:
1358:
1341:
1340:
1321:
1320:
1290:
1239:divergent series
1232:
1227:
1225:
1224:
1219:
1214:
1212:
1204:
1194:
1193:
1177:
1172:
1171:
1156:, i.e., we have
1155:
1145:
1143:
1142:
1137:
1135:
1134:
1125:
1124:
1106:
1105:
1096:
1095:
1080:
1079:
1067:
1066:
1045:
1044:
1020:
1007:
1005:
1004:
999:
985:
984:
972:
941:
939:
938:
933:
925:
924:
903:
902:
878:
877:
856:
855:
797:
795:
794:
789:
768:
766:
765:
760:
742:
740:
739:
734:
712:
710:
709:
704:
681:
679:
678:
673:
671:
655:
654:
617:
616:
591:
582:
566:
542:
518:
494:
437:
426:
424:
423:
418:
413:
411:
410:
409:
400:
399:
381:
380:
371:
370:
355:
354:
338:
337:
336:
327:
326:
308:
307:
298:
297:
282:
281:
269:
268:
258:
253:
251:
250:
249:
240:
239:
229:
224:
202:
201:
200:
191:
190:
180:
175:
159:
132:Padé approximant
129:
122:
112:
46:Padé approximant
21:
6027:
6026:
6022:
6021:
6020:
6018:
6017:
6016:
5992:
5991:
5986:MATLAB function
5937:
5936:
5933:
5897:
5872:Frobenius, G.;
5864:
5862:
5855:
5834:
5813:Brezinski, C.;
5788:
5783:
5774:
5772:
5763:
5762:
5758:
5749:
5747:
5738:
5737:
5733:
5724:
5722:
5713:
5712:
5708:
5699:
5697:
5688:
5687:
5683:
5671:
5670:
5659:
5629:
5628:
5624:
5588:
5587:
5583:
5547:
5546:
5542:
5506:
5505:
5501:
5494:
5481:
5480:
5476:
5444:
5443:
5439:
5424:10.1137/0703007
5401:
5399:
5395:
5382:
5381:
5377:
5373:
5352:
5334:
5327:
5324:
5289:
5279:
5263:
5253:
5249:
5229:
5219:
5203:
5193:
5189:
5154:
5153:
5141:
5107:
5091:
5087:
5076:
5060:
5047:
5028:
5000:
4999:
4990:
4965:
4942:
4919:
4896:
4879:
4868:
4845:
4831:
4807:
4802:
4801:
4792:
4786:
4758:
4735:
4712:
4695:
4678:
4655:
4641:
4606:
4605:
4596:
4568:
4545:
4534:
4517:
4486:
4485:
4476:
4451:
4428:
4405:
4382:
4349:
4338:
4315:
4292:
4269:
4236:
4211:
4210:
4201:
4176:
4153:
4130:
4113:
4096:
4073:
4062:
4037:
4036:
4027:
4020:
4009:
4003:
4000:
3985:
3969:
3958:
3925:
3924:
3903:
3892:
3891:
3854:
3853:
3827:
3802:
3797:
3787:
3777:
3767:
3745:
3744:
3723:
3718:
3717:
3689:
3688:
3628:
3617:
3616:
3613:
3580:
3579:
3551:
3550:
3520:
3498:
3493:
3492:
3491:In cases where
3458:
3457:
3432:
3431:
3403:
3402:
3372:
3350:
3345:
3344:
3289:
3257:
3237:
3236:
3206:
3201:
3200:
3175:
3174:
3121:
3089:
3078:
3077:
3047:
3042:
3041:
3013:
3012:
2987:
2986:
2982:
2970:
2968:Generalizations
2938:
2927:
2926:
2896:
2871:
2870:
2864:
2858:
2852:
2842:
2819:
2785:
2784:
2774:
2763:
2760:
2747:
2742:
2738:
2733:
2694:
2684:
2635:
2625:
2599:
2598:
2588:
2573:
2561:
2531:
2497:
2496:
2470:
2456:
2411:
2406:
2405:
2353:
2352:
2345:
2315:
2295:
2284:
2283:
2274:
2253:
2248:
2247:
2211:
2198:
2172:
2159:
2154:
2153:
2106:
2072:
2050:
2045:
2044:
2023:
2013:
1994:
1975:
1961:
1951:
1932:
1913:
1893:
1873:
1853:
1833:
1828:
1827:
1794:
1789:
1788:
1766:
1741:
1730:
1729:
1722:
1693:
1680:
1670:
1651:
1631:
1611:
1606:
1605:
1561:
1556:
1555:
1519:
1514:
1513:
1510:Bézout identity
1473:
1433:
1401:
1400:
1372:
1371:
1331:
1306:
1254:
1253:
1252:. The relation
1228:
1205:
1179:
1178:
1163:
1158:
1157:
1151:
1126:
1116:
1097:
1087:
1071:
1058:
1036:
1031:
1030:
1016:
1013:
976:
957:
956:
904:
882:
857:
835:
800:
799:
771:
770:
745:
744:
719:
718:
686:
685:
669:
668:
634:
627:
596:
593:
592:
580:
579:
559:
552:
535:
532:
531:
511:
504:
487:
484:
483:
461:
440:
439:
428:
401:
391:
372:
362:
346:
339:
328:
318:
299:
289:
273:
260:
259:
241:
231:
203:
192:
182:
160:
138:
137:
124:
117:
108:
105:
62:Georg Frobenius
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
6025:
6023:
6015:
6014:
6009:
6004:
5994:
5993:
5990:
5989:
5983:
5977:
5963:
5953:
5932:
5931:External links
5929:
5928:
5927:
5909:(3): 264–269,
5895:
5886:
5881:Gragg, W. B.;
5879:
5870:
5853:
5832:
5830:978-0444888143
5811:
5800:
5797:Cambridge U.P.
5787:
5784:
5782:
5781:
5756:
5731:
5706:
5681:
5657:
5638:(4): 234–244.
5622:
5581:
5540:
5499:
5492:
5474:
5460:10.1.1.20.9528
5453:(3): 299–318.
5437:
5393:
5374:
5372:
5369:
5368:
5367:
5361:
5355:
5346:
5340:
5339:
5323:
5320:
5319:
5318:
5304:
5301:
5296:
5292:
5286:
5282:
5278:
5275:
5270:
5266:
5260:
5256:
5252:
5247:
5244:
5241:
5236:
5232:
5226:
5222:
5218:
5215:
5210:
5206:
5200:
5196:
5192:
5186:
5181:
5178:
5173:
5170:
5167:
5164:
5161:
5151:
5136:
5122:
5119:
5114:
5110:
5106:
5103:
5098:
5094:
5090:
5083:
5079:
5075:
5072:
5067:
5063:
5059:
5056:
5053:
5050:
5044:
5036:
5031:
5027:
5022:
5019:
5016:
5013:
5010:
5007:
4997:
4988:
4972:
4968:
4962:
4959:
4954:
4949:
4945:
4939:
4936:
4931:
4926:
4922:
4916:
4913:
4908:
4903:
4899:
4893:
4890:
4885:
4882:
4875:
4871:
4865:
4862:
4857:
4852:
4848:
4842:
4839:
4834:
4828:
4825:
4822:
4819:
4814:
4810:
4799:
4790:
4781:
4765:
4761:
4755:
4752:
4747:
4742:
4738:
4732:
4729:
4724:
4719:
4715:
4709:
4706:
4701:
4698:
4693:
4690:
4685:
4681:
4675:
4672:
4667:
4662:
4658:
4652:
4649:
4644:
4638:
4635:
4632:
4628:
4624:
4621:
4617:
4614:
4603:
4591:
4575:
4571:
4565:
4562:
4557:
4554:
4551:
4548:
4541:
4537:
4531:
4528:
4523:
4520:
4514:
4511:
4508:
4505:
4502:
4499:
4496:
4493:
4483:
4474:
4458:
4454:
4448:
4445:
4440:
4435:
4431:
4425:
4422:
4417:
4412:
4408:
4402:
4399:
4394:
4389:
4385:
4379:
4376:
4371:
4368:
4363:
4360:
4355:
4352:
4345:
4341:
4335:
4332:
4327:
4322:
4318:
4312:
4309:
4304:
4299:
4295:
4289:
4286:
4281:
4276:
4272:
4266:
4263:
4258:
4255:
4250:
4247:
4242:
4239:
4233:
4230:
4227:
4224:
4221:
4218:
4208:
4199:
4183:
4179:
4173:
4170:
4165:
4160:
4156:
4150:
4147:
4142:
4137:
4133:
4127:
4124:
4119:
4116:
4111:
4108:
4103:
4099:
4093:
4090:
4085:
4080:
4076:
4070:
4067:
4059:
4056:
4053:
4050:
4047:
4044:
4034:
4022:
4021:
4004:September 2018
3972:
3970:
3963:
3957:
3954:
3941:
3938:
3935:
3932:
3910:
3906:
3902:
3899:
3879:
3876:
3873:
3870:
3867:
3864:
3861:
3839:
3834:
3830:
3826:
3823:
3819:
3809:
3805:
3800:
3794:
3790:
3786:
3783:
3780:
3774:
3770:
3764:
3761:
3758:
3755:
3752:
3730:
3726:
3705:
3702:
3699:
3696:
3687:of a function
3676:
3673:
3670:
3667:
3664:
3661:
3658:
3655:
3652:
3649:
3646:
3643:
3640:
3635:
3631:
3627:
3624:
3612:
3609:
3596:
3593:
3590:
3587:
3567:
3564:
3561:
3558:
3538:
3535:
3532:
3527:
3523:
3519:
3516:
3513:
3510:
3505:
3501:
3477:
3474:
3471:
3468:
3465:
3445:
3442:
3439:
3419:
3416:
3413:
3410:
3390:
3387:
3384:
3379:
3375:
3371:
3368:
3365:
3362:
3357:
3353:
3330:
3327:
3324:
3321:
3317:
3312:
3307:
3304:
3301:
3296:
3292:
3286:
3281:
3278:
3275:
3272:
3269:
3264:
3260:
3256:
3253:
3250:
3247:
3244:
3224:
3221:
3218:
3213:
3209:
3188:
3185:
3182:
3162:
3159:
3156:
3153:
3149:
3144:
3139:
3136:
3133:
3128:
3124:
3118:
3113:
3110:
3107:
3104:
3101:
3096:
3092:
3088:
3085:
3065:
3062:
3059:
3054:
3050:
3029:
3026:
3023:
3020:
3000:
2997:
2994:
2981:
2978:
2969:
2966:
2953:
2949:
2944:
2941:
2937:
2934:
2914:
2911:
2908:
2903:
2899:
2895:
2892:
2889:
2885:
2881:
2878:
2828:
2823:
2818:
2815:
2812:
2808:
2804:
2801:
2798:
2795:
2792:
2759:
2756:
2745:
2736:
2721:
2718:
2715:
2712:
2709:
2706:
2701:
2697:
2691:
2687:
2681:
2676:
2673:
2670:
2666:
2662:
2659:
2656:
2653:
2650:
2647:
2642:
2638:
2632:
2628:
2622:
2617:
2614:
2611:
2607:
2549:
2546:
2543:
2538:
2534:
2530:
2526:
2522:
2519:
2516:
2513:
2510:
2507:
2504:
2484:
2477:
2473:
2468:
2465:
2462:
2459:
2451:
2446:
2443:
2440:
2436:
2432:
2429:
2426:
2423:
2418:
2414:
2393:
2390:
2387:
2384:
2381:
2376:
2371:
2368:
2365:
2361:
2344:
2341:
2322:
2318:
2314:
2311:
2307:
2302:
2298:
2294:
2291:
2260:
2256:
2235:
2232:
2229:
2224:
2221:
2218:
2214:
2210:
2205:
2201:
2196:
2191:
2188:
2185:
2182:
2179:
2175:
2171:
2166:
2162:
2139:
2136:
2133:
2130:
2127:
2124:
2121:
2118:
2113:
2109:
2105:
2102:
2099:
2096:
2093:
2090:
2087:
2084:
2079:
2075:
2071:
2068:
2065:
2062:
2057:
2053:
2030:
2026:
2020:
2016:
2012:
2007:
2004:
2001:
1997:
1993:
1988:
1985:
1982:
1978:
1973:
1968:
1964:
1958:
1954:
1950:
1945:
1942:
1939:
1935:
1931:
1926:
1923:
1920:
1916:
1911:
1908:
1905:
1900:
1896:
1891:
1888:
1885:
1880:
1876:
1871:
1868:
1865:
1860:
1856:
1851:
1848:
1845:
1840:
1836:
1815:
1812:
1807:
1804:
1801:
1797:
1773:
1769:
1765:
1762:
1759:
1754:
1751:
1748:
1744:
1740:
1737:
1726:= 1, 2, 3, ...
1711:
1706:
1703:
1700:
1696:
1692:
1687:
1683:
1677:
1673:
1669:
1664:
1661:
1658:
1654:
1649:
1646:
1643:
1638:
1634:
1629:
1626:
1623:
1618:
1614:
1580:
1577:
1574:
1571:
1568:
1564:
1543:
1540:
1537:
1532:
1529:
1526:
1522:
1497:
1492:
1489:
1486:
1483:
1480:
1476:
1472:
1469:
1466:
1463:
1460:
1457:
1454:
1451:
1446:
1443:
1440:
1436:
1432:
1429:
1426:
1423:
1420:
1417:
1414:
1411:
1408:
1388:
1385:
1382:
1379:
1357:
1354:
1351:
1348:
1345:
1339:
1335:
1330:
1327:
1324:
1319:
1316:
1313:
1309:
1305:
1302:
1299:
1296:
1293:
1289:
1285:
1282:
1279:
1276:
1273:
1270:
1267:
1264:
1261:
1233:can also be a
1217:
1211:
1208:
1203:
1200:
1197:
1192:
1189:
1186:
1182:
1175:
1170:
1166:
1133:
1129:
1123:
1119:
1115:
1112:
1109:
1104:
1100:
1094:
1090:
1086:
1083:
1078:
1074:
1070:
1065:
1061:
1057:
1054:
1051:
1048:
1043:
1039:
1012:
1009:
997:
994:
991:
988:
983:
979:
975:
971:
967:
964:
931:
928:
923:
920:
917:
914:
911:
907:
901:
898:
895:
892:
889:
885:
881:
876:
873:
870:
867:
864:
860:
854:
851:
848:
845:
842:
838:
834:
831:
828:
825:
822:
819:
816:
813:
810:
807:
787:
784:
781:
778:
758:
755:
752:
732:
729:
726:
702:
699:
696:
693:
667:
664:
661:
658:
653:
650:
647:
644:
641:
637:
633:
630:
628:
626:
623:
620:
615:
612:
609:
606:
603:
599:
595:
594:
590:
585:
583:
581:
578:
575:
572:
569:
565:
562:
558:
555:
553:
551:
548:
545:
541:
538:
534:
533:
530:
527:
524:
521:
517:
514:
510:
507:
505:
503:
500:
497:
493:
490:
486:
485:
482:
479:
476:
473:
470:
467:
464:
462:
460:
457:
454:
451:
448:
447:
416:
408:
404:
398:
394:
390:
387:
384:
379:
375:
369:
365:
361:
358:
353:
349:
345:
342:
335:
331:
325:
321:
317:
314:
311:
306:
302:
296:
292:
288:
285:
280:
276:
272:
267:
263:
256:
248:
244:
238:
234:
228:
223:
220:
217:
213:
209:
206:
199:
195:
189:
185:
179:
174:
171:
168:
164:
157:
154:
151:
148:
145:
104:
101:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
6024:
6013:
6010:
6008:
6005:
6003:
6000:
5999:
5997:
5987:
5984:
5981:
5978:
5975:
5971:
5967:
5964:
5961:
5957:
5954:
5949:
5948:
5943:
5940:
5935:
5934:
5930:
5924:
5920:
5916:
5912:
5908:
5904:
5900:
5896:
5892:
5887:
5884:
5880:
5876:
5871:
5861:on 2016-03-03
5860:
5856:
5850:
5846:
5842:
5838:
5833:
5831:
5827:
5823:
5822:North-Holland
5819:
5816:
5812:
5809:
5805:
5801:
5798:
5794:
5790:
5789:
5785:
5770:
5769:Wolfram Alpha
5766:
5760:
5757:
5745:
5744:Wolfram Alpha
5741:
5735:
5732:
5720:
5719:Wolfram Alpha
5716:
5710:
5707:
5695:
5694:Wolfram Alpha
5691:
5685:
5682:
5677:
5676:
5668:
5666:
5664:
5662:
5658:
5653:
5649:
5645:
5641:
5637:
5633:
5626:
5623:
5618:
5614:
5609:
5604:
5600:
5596:
5592:
5585:
5582:
5576:
5571:
5567:
5563:
5559:
5555:
5551:
5544:
5541:
5535:
5530:
5526:
5522:
5518:
5514:
5510:
5503:
5500:
5495:
5489:
5485:
5478:
5475:
5470:
5466:
5461:
5456:
5452:
5448:
5441:
5438:
5433:
5429:
5425:
5421:
5417:
5413:
5410:(1): 91–122.
5409:
5405:
5400:Theorem 1 in
5397:
5394:
5389:
5385:
5379:
5376:
5370:
5365:
5362:
5359:
5356:
5350:
5347:
5345:
5342:
5341:
5337:
5331:
5326:
5321:
5302:
5299:
5294:
5290:
5284:
5280:
5276:
5273:
5268:
5264:
5258:
5254:
5250:
5245:
5242:
5239:
5234:
5230:
5224:
5220:
5216:
5213:
5208:
5204:
5198:
5194:
5190:
5184:
5179:
5176:
5171:
5165:
5159:
5152:
5148:
5144:
5140:
5137:
5120:
5117:
5112:
5108:
5104:
5101:
5096:
5092:
5088:
5081:
5077:
5073:
5070:
5065:
5061:
5057:
5054:
5051:
5048:
5042:
5034:
5029:
5025:
5020:
5014:
5008:
5005:
4998:
4994:
4989:
4970:
4966:
4960:
4957:
4952:
4947:
4943:
4937:
4934:
4929:
4924:
4920:
4914:
4911:
4906:
4901:
4897:
4891:
4888:
4883:
4880:
4873:
4869:
4863:
4860:
4855:
4850:
4846:
4840:
4837:
4832:
4826:
4820:
4812:
4808:
4800:
4796:
4789:
4785:
4782:
4763:
4759:
4753:
4750:
4745:
4740:
4736:
4730:
4727:
4722:
4717:
4713:
4707:
4704:
4699:
4696:
4691:
4688:
4683:
4679:
4673:
4670:
4665:
4660:
4656:
4650:
4647:
4642:
4636:
4630:
4622:
4604:
4600:
4595:
4592:
4573:
4569:
4563:
4560:
4555:
4552:
4549:
4546:
4539:
4535:
4529:
4526:
4521:
4518:
4512:
4506:
4503:
4500:
4494:
4491:
4484:
4480:
4475:
4456:
4452:
4446:
4443:
4438:
4433:
4429:
4423:
4420:
4415:
4410:
4406:
4400:
4397:
4392:
4387:
4383:
4377:
4374:
4369:
4366:
4361:
4358:
4353:
4350:
4343:
4339:
4333:
4330:
4325:
4320:
4316:
4310:
4307:
4302:
4297:
4293:
4287:
4284:
4279:
4274:
4270:
4264:
4261:
4256:
4253:
4248:
4245:
4240:
4237:
4231:
4225:
4219:
4216:
4209:
4205:
4200:
4181:
4177:
4171:
4168:
4163:
4158:
4154:
4148:
4145:
4140:
4135:
4131:
4125:
4122:
4117:
4114:
4109:
4106:
4101:
4097:
4091:
4088:
4083:
4078:
4074:
4068:
4065:
4057:
4051:
4045:
4042:
4035:
4031:
4026:
4025:
4018:
4015:
4007:
3997:
3993:
3989:
3983:
3982:
3978:
3973:This section
3971:
3967:
3962:
3961:
3955:
3953:
3936:
3930:
3908:
3904:
3900:
3897:
3871:
3868:
3865:
3862:
3859:
3850:
3837:
3832:
3828:
3821:
3817:
3807:
3803:
3792:
3788:
3784:
3781:
3772:
3768:
3762:
3756:
3750:
3728:
3724:
3700:
3694:
3671:
3668:
3665:
3662:
3659:
3656:
3653:
3650:
3647:
3644:
3641:
3633:
3629:
3625:
3622:
3610:
3608:
3591:
3585:
3565:
3562:
3559:
3556:
3533:
3521:
3517:
3511:
3503:
3499:
3489:
3472:
3469:
3466:
3463:
3437:
3414:
3408:
3385:
3373:
3369:
3363:
3355:
3351:
3341:
3328:
3319:
3315:
3302:
3290:
3279:
3276:
3270:
3258:
3254:
3248:
3242:
3219:
3207:
3180:
3160:
3157:
3151:
3147:
3134:
3126:
3122:
3111:
3108:
3102:
3094:
3090:
3086:
3083:
3060:
3052:
3048:
3024:
3018:
2998:
2995:
2992:
2979:
2977:
2975:
2967:
2965:
2951:
2947:
2942:
2939:
2935:
2932:
2909:
2901:
2893:
2890:
2887:
2883:
2879:
2867:
2861:
2855:
2849:
2845:
2826:
2816:
2813:
2810:
2802:
2796:
2790:
2781:
2777:
2770:
2766:
2757:
2755:
2753:
2748:
2739:
2719:
2713:
2710:
2707:
2699:
2695:
2689:
2685:
2679:
2674:
2671:
2668:
2664:
2660:
2654:
2651:
2648:
2640:
2636:
2630:
2626:
2620:
2615:
2612:
2609:
2605:
2595:
2591:
2586:
2580:
2576:
2569:
2565:
2544:
2536:
2528:
2524:
2520:
2514:
2508:
2502:
2482:
2475:
2471:
2463:
2457:
2444:
2441:
2438:
2434:
2430:
2424:
2416:
2412:
2391:
2385:
2379:
2369:
2366:
2363:
2359:
2350:
2342:
2340:
2338:
2320:
2316:
2312:
2309:
2305:
2300:
2296:
2292:
2289:
2280:
2277:
2258:
2254:
2230:
2222:
2219:
2216:
2212:
2208:
2203:
2199:
2194:
2189:
2186:
2183:
2180:
2177:
2173:
2169:
2164:
2160:
2150:
2137:
2131:
2125:
2119:
2111:
2107:
2103:
2097:
2091:
2085:
2077:
2073:
2069:
2063:
2055:
2051:
2028:
2024:
2018:
2014:
2010:
2005:
2002:
1999:
1995:
1991:
1986:
1983:
1980:
1976:
1971:
1966:
1962:
1956:
1952:
1948:
1943:
1940:
1937:
1933:
1929:
1924:
1921:
1918:
1914:
1909:
1906:
1903:
1898:
1894:
1889:
1886:
1883:
1878:
1874:
1869:
1866:
1863:
1858:
1854:
1849:
1846:
1843:
1838:
1834:
1813:
1810:
1805:
1802:
1799:
1795:
1771:
1767:
1763:
1760:
1757:
1752:
1749:
1746:
1742:
1738:
1735:
1725:
1709:
1704:
1701:
1698:
1694:
1690:
1685:
1681:
1675:
1671:
1667:
1662:
1659:
1656:
1652:
1647:
1644:
1641:
1636:
1632:
1627:
1624:
1621:
1616:
1612:
1603:
1599:
1594:
1578:
1575:
1572:
1569:
1566:
1562:
1538:
1530:
1527:
1524:
1520:
1511:
1495:
1490:
1487:
1484:
1481:
1478:
1474:
1467:
1461:
1458:
1452:
1444:
1441:
1438:
1434:
1427:
1421:
1418:
1412:
1406:
1383:
1377:
1355:
1352:
1349:
1346:
1343:
1337:
1325:
1317:
1314:
1311:
1307:
1303:
1297:
1291:
1287:
1280:
1274:
1271:
1265:
1259:
1251:
1247:
1242:
1240:
1236:
1231:
1215:
1209:
1206:
1198:
1187:
1180:
1173:
1168:
1164:
1154:
1149:
1148:Taylor series
1131:
1127:
1121:
1117:
1113:
1110:
1107:
1102:
1098:
1092:
1088:
1084:
1081:
1076:
1072:
1068:
1063:
1059:
1055:
1049:
1041:
1037:
1028:
1024:
1019:
1010:
1008:
995:
989:
981:
973:
969:
965:
953:
951:
947:
942:
929:
926:
921:
918:
915:
912:
909:
905:
899:
896:
893:
890:
887:
883:
879:
874:
871:
868:
865:
862:
858:
852:
849:
846:
843:
840:
836:
832:
826:
820:
817:
811:
805:
782:
776:
756:
753:
750:
730:
727:
724:
716:
715:Taylor series
697:
691:
682:
665:
659:
648:
645:
642:
635:
631:
629:
621:
610:
607:
604:
597:
588:
584:
576:
570:
563:
560:
556:
554:
546:
539:
536:
528:
522:
515:
512:
508:
506:
498:
491:
488:
480:
474:
468:
465:
463:
455:
449:
435:
431:
414:
406:
402:
396:
392:
388:
385:
382:
377:
373:
367:
363:
359:
356:
351:
347:
343:
340:
333:
329:
323:
319:
315:
312:
309:
304:
300:
294:
290:
286:
283:
278:
274:
270:
265:
261:
254:
246:
242:
236:
232:
226:
221:
218:
215:
211:
207:
204:
197:
193:
187:
183:
177:
172:
169:
166:
162:
155:
149:
143:
135:
133:
127:
120:
116:
111:
102:
100:
96:
94:
90:
86:
82:
78:
74:
70:
69:Taylor series
65:
63:
59:
55:
51:
47:
43:
36:
32:
19:
5945:
5906:
5902:
5882:
5863:, retrieved
5859:the original
5840:
5817:
5810:, 7(6):9756.
5808:Scholarpedia
5792:
5773:. Retrieved
5759:
5748:. Retrieved
5734:
5723:. Retrieved
5709:
5698:. Retrieved
5684:
5674:
5635:
5631:
5625:
5598:
5594:
5584:
5557:
5554:Scholarpedia
5553:
5543:
5516:
5512:
5502:
5483:
5477:
5450:
5446:
5440:
5407:
5403:
5396:
5387:
5378:
5146:
5142:
4992:
4961:120301977600
4794:
4787:
4598:
4478:
4203:
4029:
4010:
4001:
3986:Please help
3974:
3851:
3614:
3490:
3342:
2983:
2971:
2865:
2859:
2853:
2847:
2843:
2841:, one calls
2779:
2775:
2768:
2764:
2761:
2743:
2734:
2596:
2589:
2578:
2574:
2567:
2563:
2346:
2281:
2279:or smaller.
2275:
2151:
1723:
1601:
1597:
1595:
1243:
1229:
1152:
1017:
1014:
954:
949:
945:
943:
683:
433:
429:
136:
131:
125:
118:
109:
106:
97:
77:calculations
66:
54:power series
45:
39:
5560:(6): 9756.
2273:has degree
1011:Computation
798:, and thus
42:mathematics
5996:Categories
5888:Padé, H.;
5865:2011-08-09
5786:Literature
5775:2022-01-16
5750:2023-09-16
5725:2024-01-03
5700:2022-01-16
5519:(3): 287.
5371:References
5344:Padé table
5243:8714684160
4754:2977897230
2337:Padé table
1399:such that
1015:For given
103:Definition
58:Henri Padé
35:Henri Padé
5947:MathWorld
5923:123789548
5617:0025-5718
5455:CiteSeerX
5281:π
5255:π
5221:π
5217:147189744
5214:−
5195:π
5185:⋅
5172:≈
5043:⋅
5035:π
5021:≈
5009:
4938:358041600
4833:−
4827:≈
4723:−
4666:−
4651:283609260
4643:−
4637:≈
4513:≈
4495:
4439:−
4393:−
4354:−
4232:≈
4220:
4084:−
4058:≈
4046:
3975:does not
3901:∼
3878:∞
3875:→
3825:→
3785:−
3763:∼
3666:…
3563:
3526:∞
3476:∞
3473:∼
3444:∞
3441:→
3378:∞
3326:∞
3323:→
3295:∞
3263:∞
3255:∼
3212:∞
3187:∞
3184:→
3155:→
3087:∼
2814:−
2803:∼
2711:−
2696:ζ
2665:∑
2652:−
2637:ζ
2606:∑
2587:value at
2450:∞
2435:∑
2413:ζ
2375:∞
2360:∑
2011:−
2003:−
1949:−
1941:−
1764:
1739:
1660:−
1111:⋯
930:⋯
818:−
769:terms of
589:⋮
386:⋯
313:⋯
212:∑
163:∑
5980:Sinewave
5899:Wynn, P.
5824:, 1991.
5322:See also
5303:64553216
4841:28416000
4751:62531591
4731:56721852
4172:16662240
3956:Examples
2943:′
2925:, where
1787:, until
1248:for the
564:″
540:″
516:′
492:′
115:integers
113:and two
73:converge
5799:, 1996.
5640:Bibcode
5562:Bibcode
5521:Bibcode
5432:2949688
5412:Bibcode
5139:Fresnel
4915:3729600
4728:5922035
4708:1575607
4674:4726821
4648:9851629
4069:4363920
3996:removed
3981:sources
3173:and at
1146:of the
5921:
5851:
5828:
5615:
5490:
5457:
5430:
5277:523536
5191:990791
4784:Bessel
4705:859490
4671:572744
4594:Jacobi
4149:872784
2732:where
2583:. The
2495:where
2351:, say
130:, the
5919:S2CID
5428:JSTOR
5049:49140
4477:ln(1+
4447:30240
4334:30240
4126:12122
4092:18183
4066:12671
2783:like
1728:with
5974:CERN
5849:ISBN
5826:ISBN
5771:Site
5746:Site
5721:Site
5696:Site
5613:ISSN
5488:ISBN
5251:1749
5121:3276
5105:1330
5058:3570
4991:erf(
4958:2767
4935:1339
4912:1453
4892:5550
4864:3840
4424:1008
4311:1008
4202:exp(
4089:2363
4028:sin(
3979:any
3977:cite
2741:and
1758:<
1600:and
1554:and
1023:Wynn
948:and
123:and
87:and
44:, a
5911:doi
5820:.
5795:.
5648:doi
5603:doi
5570:doi
5529:doi
5465:doi
5420:doi
5180:135
5089:165
5074:739
5006:erf
4889:151
4838:107
4601:|3)
4597:sn(
4217:exp
4169:121
4146:601
4123:445
4043:sin
3990:by
3743:by
2592:= 0
1761:deg
1736:deg
1334:mod
1150:of
128:≥ 1
121:≥ 0
83:in
40:In
5998::
5972:,
5944:.
5917:,
5905:,
5847:,
5839:,
5806:,
5767:.
5742:.
5717:.
5692:.
5660:^
5646:.
5636:10
5634:.
5611:.
5599:27
5597:.
5593:.
5568:.
5556:.
5552:.
5527:.
5515:.
5511:.
5463:.
5451:20
5449:.
5426:.
5418:.
5406:.
5386:.
5030:15
4492:ln
4401:72
4288:72
3560:ln
3488:.
3235::
3076::
2964:.
2846:=
2778:=
2754:.
2566:,
2339:.
1593:.
1241:.
952:.
95:.
5976:.
5962:.
5950:.
5926:.
5913::
5907:8
5869:.
5778:.
5753:.
5728:.
5703:.
5678:.
5654:.
5650::
5642::
5619:.
5605::
5578:.
5572::
5564::
5558:7
5537:.
5531::
5523::
5517:8
5496:.
5471:.
5467::
5434:.
5422::
5414::
5408:3
5390:.
5300:+
5295:4
5291:x
5285:2
5274:+
5269:8
5265:x
5259:4
5246:x
5240:+
5235:5
5231:x
5225:2
5209:9
5205:x
5199:4
5177:1
5169:)
5166:x
5163:(
5160:C
5149:)
5147:x
5145:(
5143:C
5118:+
5113:2
5109:x
5102:+
5097:4
5093:x
5082:5
5078:x
5071:+
5066:3
5062:x
5055:+
5052:x
5026:2
5018:)
5015:x
5012:(
4995:)
4993:x
4971:8
4967:x
4953:+
4948:6
4944:x
4930:+
4925:4
4921:x
4907:+
4902:2
4898:x
4884:+
4881:1
4874:5
4870:x
4861:1
4856:+
4851:7
4847:x
4824:)
4821:x
4818:(
4813:5
4809:J
4797:)
4795:x
4793:(
4791:5
4788:J
4764:6
4760:z
4746:+
4741:4
4737:z
4718:2
4714:z
4700:+
4697:1
4692:z
4689:+
4684:3
4680:z
4661:5
4657:z
4634:)
4631:3
4627:|
4623:z
4620:(
4616:n
4613:s
4599:z
4574:2
4570:x
4564:6
4561:1
4556:+
4553:x
4550:+
4547:1
4540:2
4536:x
4530:2
4527:1
4522:+
4519:x
4510:)
4507:x
4504:+
4501:1
4498:(
4481:)
4479:x
4457:5
4453:x
4444:1
4434:4
4430:x
4421:1
4416:+
4411:3
4407:x
4398:1
4388:2
4384:x
4378:9
4375:1
4370:+
4367:x
4362:2
4359:1
4351:1
4344:5
4340:x
4331:1
4326:+
4321:4
4317:x
4308:1
4303:+
4298:3
4294:x
4285:1
4280:+
4275:2
4271:x
4265:9
4262:1
4257:+
4254:x
4249:2
4246:1
4241:+
4238:1
4229:)
4226:x
4223:(
4206:)
4204:x
4182:6
4178:x
4164:+
4159:4
4155:x
4141:+
4136:2
4132:x
4118:+
4115:1
4110:x
4107:+
4102:3
4098:x
4079:5
4075:x
4055:)
4052:x
4049:(
4032:)
4030:x
4017:)
4011:(
4006:)
4002:(
3998:.
3984:.
3940:)
3937:x
3934:(
3931:f
3909:j
3905:x
3898:x
3872:x
3869:,
3866:0
3863:=
3860:x
3838:.
3833:j
3829:x
3822:x
3818:,
3808:j
3804:n
3799:)
3793:j
3789:x
3782:x
3779:(
3773:j
3769:A
3760:)
3757:x
3754:(
3751:f
3729:j
3725:n
3704:)
3701:x
3698:(
3695:f
3675:)
3672:N
3669:,
3663:,
3660:3
3657:,
3654:2
3651:,
3648:1
3645:=
3642:j
3639:(
3634:j
3630:x
3626:=
3623:x
3595:)
3592:x
3589:(
3586:f
3566:x
3557:x
3537:)
3534:x
3531:(
3522:f
3518:,
3515:)
3512:x
3509:(
3504:0
3500:f
3470:0
3467:=
3464:x
3438:x
3418:)
3415:x
3412:(
3409:F
3389:)
3386:x
3383:(
3374:f
3370:,
3367:)
3364:x
3361:(
3356:0
3352:f
3329:.
3320:x
3316:,
3311:)
3306:)
3303:x
3300:(
3291:f
3285:(
3280:o
3277:+
3274:)
3271:x
3268:(
3259:f
3252:)
3249:x
3246:(
3243:f
3223:)
3220:x
3217:(
3208:f
3181:x
3161:,
3158:0
3152:x
3148:,
3143:)
3138:)
3135:x
3132:(
3127:0
3123:f
3117:(
3112:o
3109:+
3106:)
3103:x
3100:(
3095:0
3091:f
3084:f
3064:)
3061:x
3058:(
3053:0
3049:f
3028:)
3025:x
3022:(
3019:f
2999:0
2996:=
2993:x
2952:f
2948:/
2940:f
2936:=
2933:g
2913:)
2910:x
2907:(
2902:g
2898:]
2894:1
2891:+
2888:n
2884:/
2880:n
2877:[
2866:f
2860:f
2854:p
2848:r
2844:x
2827:p
2822:|
2817:r
2811:x
2807:|
2800:)
2797:x
2794:(
2791:f
2780:r
2776:x
2771:)
2769:x
2767:(
2765:f
2746:j
2744:b
2737:j
2735:a
2720:,
2717:)
2714:j
2708:s
2705:(
2700:0
2690:j
2686:b
2680:m
2675:0
2672:=
2669:j
2661:=
2658:)
2655:j
2649:s
2646:(
2641:R
2631:j
2627:a
2621:n
2616:0
2613:=
2610:j
2590:s
2581:)
2579:x
2577:(
2575:f
2570:)
2568:n
2564:m
2562:(
2548:)
2545:x
2542:(
2537:f
2533:]
2529:n
2525:/
2521:m
2518:[
2515:=
2512:)
2509:x
2506:(
2503:R
2483:,
2476:s
2472:z
2467:)
2464:z
2461:(
2458:R
2445:1
2442:=
2439:z
2431:=
2428:)
2425:s
2422:(
2417:R
2392:,
2389:)
2386:z
2383:(
2380:f
2370:1
2367:=
2364:z
2321:k
2317:v
2313:=
2310:Q
2306:,
2301:k
2297:r
2293:=
2290:P
2276:n
2259:k
2255:v
2234:)
2231:x
2228:(
2223:n
2220:+
2217:m
2213:T
2209:=
2204:1
2200:r
2195:,
2190:1
2187:+
2184:n
2181:+
2178:m
2174:x
2170:=
2165:0
2161:r
2138:.
2135:)
2132:x
2129:(
2126:q
2123:)
2120:x
2117:(
2112:k
2108:v
2104:+
2101:)
2098:x
2095:(
2092:p
2089:)
2086:x
2083:(
2078:k
2074:u
2070:=
2067:)
2064:x
2061:(
2056:k
2052:r
2029:k
2025:v
2019:k
2015:q
2006:1
2000:k
1996:v
1992:=
1987:1
1984:+
1981:k
1977:v
1972:,
1967:k
1963:u
1957:k
1953:q
1944:1
1938:k
1934:u
1930:=
1925:1
1922:+
1919:k
1915:u
1910:,
1907:1
1904:=
1899:1
1895:v
1890:,
1887:0
1884:=
1879:1
1875:u
1870:,
1867:0
1864:=
1859:0
1855:v
1850:,
1847:1
1844:=
1839:0
1835:u
1814:0
1811:=
1806:1
1803:+
1800:k
1796:r
1772:k
1768:r
1753:1
1750:+
1747:k
1743:r
1724:k
1710:,
1705:1
1702:+
1699:k
1695:r
1691:+
1686:k
1682:r
1676:k
1672:q
1668:=
1663:1
1657:k
1653:r
1648:,
1645:q
1642:=
1637:1
1633:r
1628:,
1625:p
1622:=
1617:0
1613:r
1602:q
1598:p
1579:1
1576:+
1573:n
1570:+
1567:m
1563:x
1542:)
1539:x
1536:(
1531:n
1528:+
1525:m
1521:T
1496:,
1491:1
1488:+
1485:n
1482:+
1479:m
1475:x
1471:)
1468:x
1465:(
1462:K
1459:+
1456:)
1453:x
1450:(
1445:n
1442:+
1439:m
1435:T
1431:)
1428:x
1425:(
1422:Q
1419:=
1416:)
1413:x
1410:(
1407:P
1387:)
1384:x
1381:(
1378:K
1356:1
1353:+
1350:n
1347:+
1344:m
1338:x
1329:)
1326:x
1323:(
1318:n
1315:+
1312:m
1308:T
1304:=
1301:)
1298:x
1295:(
1292:Q
1288:/
1284:)
1281:x
1278:(
1275:P
1272:=
1269:)
1266:x
1263:(
1260:R
1230:f
1216:.
1210:!
1207:k
1202:)
1199:0
1196:(
1191:)
1188:k
1185:(
1181:f
1174:=
1169:k
1165:c
1153:f
1132:N
1128:x
1122:N
1118:c
1114:+
1108:+
1103:2
1099:x
1093:2
1089:c
1085:+
1082:x
1077:1
1073:c
1069:+
1064:0
1060:c
1056:=
1053:)
1050:x
1047:(
1042:N
1038:T
1018:x
996:.
993:)
990:x
987:(
982:f
978:]
974:n
970:/
966:m
963:[
950:n
946:m
927:+
922:2
919:+
916:n
913:+
910:m
906:x
900:2
897:+
894:n
891:+
888:m
884:c
880:+
875:1
872:+
869:n
866:+
863:m
859:x
853:1
850:+
847:n
844:+
841:m
837:c
833:=
830:)
827:x
824:(
821:R
815:)
812:x
809:(
806:f
786:)
783:x
780:(
777:f
757:n
754:+
751:m
731:n
728:+
725:m
701:)
698:x
695:(
692:R
666:.
663:)
660:0
657:(
652:)
649:n
646:+
643:m
640:(
636:R
632:=
625:)
622:0
619:(
614:)
611:n
608:+
605:m
602:(
598:f
577:,
574:)
571:0
568:(
561:R
557:=
550:)
547:0
544:(
537:f
529:,
526:)
523:0
520:(
513:R
509:=
502:)
499:0
496:(
489:f
481:,
478:)
475:0
472:(
469:R
466:=
459:)
456:0
453:(
450:f
436:)
434:x
432:(
430:f
415:,
407:n
403:x
397:n
393:b
389:+
383:+
378:2
374:x
368:2
364:b
360:+
357:x
352:1
348:b
344:+
341:1
334:m
330:x
324:m
320:a
316:+
310:+
305:2
301:x
295:2
291:a
287:+
284:x
279:1
275:a
271:+
266:0
262:a
255:=
247:k
243:x
237:k
233:b
227:n
222:1
219:=
216:k
208:+
205:1
198:j
194:x
188:j
184:a
178:m
173:0
170:=
167:j
156:=
153:)
150:x
147:(
144:R
126:n
119:m
110:f
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
