5319:
4461:
3955:
4768:
4975:
4201:
669:
4186:
414:
4596:
5305:
4792:
2973:
The conventional Padé approximation is determined to reproduce the
Maclaurin expansion up to a given order. Therefore, the approximation at the value apart from the expansion point may be poor. This is avoided by the 2-point Padé approximation, which is a type of multipoint summation method. At
87:
The reason the Padé approximant tends to be a better approximation than a truncating Taylor series is clear from the viewpoint of the multi-point summation method. Since there are many cases in which the asymptotic expansion at infinity becomes 0 or a constant, it can be interpreted as the
5123:
3596:. There is a method of using this to give an approximate solution of a differential equation with high accuracy. Also, for the nontrivial zeros of the Riemann zeta function, the first nontrivial zero can be estimated with some accuracy from the asymptotic behavior on the real axis.
4027:
128:
2030:
3445:, where the accuracy of the approximation may be the worst in the ordinary Padé approximation, good accuracy of the 2-point Padé approximant is guaranteed. Therefore, the 2-point Padé approximant can be a method that gives a good approximation globally for
4456:{\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}+{\frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}-{\frac {1}{30240}}x^{5}}}}
20:
5144:
430:
80:, though for sharp results ad hoc methods—in some sense inspired by the Padé theory—typically replace them. Since a Padé approximant is a rational function, an artificial singular point may occur as an approximation, but this can be avoided by
3328:
4578:
2719:
4990:
4763:{\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-{\frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{\frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{\frac {859490}{1575607}}z^{2}-{\frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{\frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}}
3837:
4970:{\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-{\frac {107}{28416000}}x^{7}+{\frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{\frac {151}{5550}}x^{2}+{\frac {1453}{3729600}}x^{4}+{\frac {1339}{358041600}}x^{6}+{\frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}}
2482:
929:
3160:
1709:
1133:
1818:
1357:
2137:
435:
2233:
1495:
1215:
1774:
2391:
4181:{\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {{\frac {12671}{4363920}}x^{5}-{\frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{\frac {445}{12122}}x^{2}+{\frac {601}{872784}}x^{4}+{\frac {121}{16662240}}x^{6}}}}
3674:
3536:
3388:
5664:
Introduction to multipoints summation method Modern applied mathematics that connects here and the infinite beyond: From Taylor expansion to application of differential equations
3227:
2828:
409:{\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}
2322:
3877:
4476:
3475:
2589:
3222:
3443:
3186:
2547:
3910:
2951:
1541:
1813:
1580:
3063:
995:
2912:
3565:
3730:
2260:
3939:
3735:
3703:
3594:
3417:
3027:
1386:
785:
700:
5300:{\displaystyle C(x)\approx {\frac {1}{135}}\cdot {\frac {990791\pi ^{4}x^{9}-147189744\pi ^{2}x^{5}+8714684160x}{1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216}}}
2998:
756:
730:
664:{\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{aligned}}}
2396:
790:
3068:
5954:
2324:
give the Padé approximant. If one were to compute all steps of the extended greatest common divisor computation, one would obtain an anti-diagonal of the
2858:
are known, one can approximately extract the critical points and the critical exponents from respectively the poles and residues of the Padé approximants
1596:
1021:
5337:
3419:
such that simultaneously reproduce asymptotic behavior by developing the Padé approximation can be found in various cases. As a result, at the point
5958:
1244:
5118:{\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{15{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}}
5841:
5753:
5480:
3976:
2035:
5728:
2144:
1391:
5948:
5818:
1238:
2961:
A Padé approximant approximates a function in one variable. An approximant in two variables is called a
Chisholm approximant (after
1148:
5678:
4002:
88:"incomplete two-point Padé approximation", in which the ordinary Padé approximation improves the method truncating a Taylor series.
5968:
5703:
2343:
3604:
A further extension of the 2-point Padé approximant is the multi-point Padé approximant. This method treats singularity points
5825:
3980:
1815:. For the Bézout identities of the extended greatest common divisor one computes simultaneously the two polynomial sequences
2739:
are the coefficients in the Padé approximation. The subscript '0' means that the Padé is of order and hence, we have the
5990:
1234:
77:
2025:{\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}
6000:
5995:
2751:
Padé approximants can be used to extract critical points and exponents of functions. In thermodynamics, if a function
3965:
3912:. As a result, since the information of the peculiarity of the function is captured, the approximation of a function
5887:
5833:
5785:
1011:
3984:
3969:
2487:
1720:
4582:
73:
3607:
947:
3483:
3335:
45:
agrees with the power series of the function it is approximating. The technique was developed around 1890 by
1498:
1015:
5443:
5352:
3705:
which is to be approximated. Consider the cases when singularities of a function are expressed with index
3538:
are expressed by polynomials or series of negative powers, exponential function, logarithmic function or
81:
5803:
2775:
2740:
5318:
2274:
3844:
5628:
5550:
5509:
5400:
5346:
3448:
3191:
53:, who introduced the idea and investigated the features of rational approximations of power series.
5448:
2965:), in multiple variables a Canterbury approximant (after Graves-Morris at the University of Kent).
2573:
1223:
3422:
3165:
5907:
5416:
5324:
3882:
69:
5475:. Progress in Theoretical Computer Science. Birkhäuser. Problem 5.2b and Algorithm 5.2 (p. 46).
1504:
1779:
1546:
5974:
5927:
5837:
5814:
5601:
5476:
3032:
2962:
61:
38:
2861:
5899:
5792:
5636:
5591:
5558:
5517:
5453:
5408:
5127:
3541:
2917:
2337:
1227:
3708:
3323:{\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o{\big (}f_{\infty }(x){\big )},\quad x\to \infty .}
2238:
4772:
3915:
3679:
3570:
3393:
3003:
1501:
of one step in the computation of the extended greatest common divisor of the polynomials
1362:
761:
676:
56:
The Padé approximant often gives better approximation of the function than truncating its
50:
5890:(1966), "Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table",
2977:
735:
709:
5632:
5554:
5513:
5404:
4573:{\displaystyle \ln(1+x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}}
2714:{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}
5944:
5596:
5579:
933:
When it exists, the Padé approximant is unique as a formal power series for the given
5984:
5930:
5911:
5810:
5757:
5732:
5707:
5682:
5640:
5619:
Graves-Morris, P.R.; Roberts, D.E. (1975). "Calculation of
Canterbury approximants".
5457:
5391:
Wynn, Peter (Mar 1966). "On the
Convergence and Stability of the Epsilon Algorithm".
5372:
5332:
2325:
1136:
703:
57:
46:
23:
5847:
42:
3954:
2141:
For the approximant, one thus carries out the extended
Euclidean algorithm for
65:
30:
19:
5563:
5538:
5314:
5605:
3832:{\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.}
5935:
5880:
Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles
5349: – Theory of getting acceptably close inexact mathematical calculations
5872:
The Pade Table and Its
Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis
5824:
Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007),
2393:
it can be useful to introduce the Padé or simply rational zeta function as
5662:
5434:
Brezenski, C. (1996). "Extrapolation algorithms and Padé approximations".
2477:{\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}
1226:, and, hence, Padé approximants can also be applied to the summation of
16:'Best' approximation of a function by a rational function of given order
5903:
5420:
1585:
Recall that, to compute the greatest common divisor of two polynomials
924:{\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots }
103:
64:. For these reasons Padé approximants are used extensively in computer
3155:{\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o{\big (}f_{0}(x){\big )},\quad x\to 0,}
5522:
5497:
5473:
Polynomial and Matrix computations - Volume 1. Fundamental
Algorithms
37:
is the "best" approximation of a function near a specific point by a
5412:
3841:
Besides the 2-point Padé approximant, which includes information at
5355: – Approximating an arbitrary function with a well-behaved one
1704:{\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}
1128:{\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}
5883:, Thesis, [Ann. École Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
3879:, this method approximates to reduce the property of diverging at
18:
5962:
5864:
Ueber
Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen
5796:
3948:
1322:
1352:{\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\bmod {x}}^{m+n+1}}
60:, and it may still work where the Taylor series does not
5580:"Rational approximants defined from double power series"
1593:, one computes via long division the remainder sequence
41:
of given order. Under this technique, the approximant's
5340: – formula to estimate sin(x), found by Bhaskara I
2586:
The functional equation for this Padé zeta function is
944:
The Padé approximant defined above is also denoted as
5147:
4993:
4795:
4599:
4479:
4204:
4030:
3918:
3885:
3847:
3738:
3711:
3682:
3610:
3573:
3544:
3486:
3451:
3425:
3396:
3338:
3230:
3194:
3168:
3071:
3035:
3006:
2980:
2920:
2864:
2778:
2592:
2490:
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2346:
2277:
2241:
2147:
2038:
1821:
1782:
1723:
1599:
1549:
1507:
1394:
1365:
1247:
1151:
1024:
950:
793:
764:
738:
712:
679:
433:
131:
5342:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
2132:{\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}
5977:for Padé approximation of models with time delays.
5830:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
5299:
5117:
4969:
4762:
4572:
4455:
4180:
3933:
3904:
3871:
3831:
3724:
3697:
3668:
3588:
3559:
3530:
3469:
3437:
3411:
3382:
3322:
3216:
3180:
3154:
3057:
3021:
2992:
2945:
2906:
2822:
2713:
2541:
2476:
2385:
2316:
2254:
2228:{\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}
2227:
2131:
2024:
1807:
1768:
1703:
1574:
1535:
1490:{\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}
1489:
1380:
1351:
1209:
1127:
989:
923:
779:
750:
724:
694:
663:
408:
2852:. If sufficient terms of the series expansion of
1233:One way to compute a Padé approximant is via the
5874:, Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
2583:is taken to be the sum of the divergent series.
427:to the highest possible order, which amounts to
1210:{\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}
1359:is equivalent to the existence of some factor
3299:
3273:
3131:
3105:
8:
5878:
5862:
1769:{\displaystyle \deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,}
5955:Data Analysis BriefBook: Pade Approximation
3983:. Unsourced material may be challenged and
3567:, we can apply 2-point Padé approximant to
2762:behaves in a non-analytic way near a point
2032:to obtain in each step the Bézout identity
5971:, Scott Dattalo, last accessed 2010-11-11.
5807:Extrapolation Methods. Theory and Practice
3029:which is expressed by asymptotic behavior
2386:{\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z),}
2297:
2186:
1963:
1881:
1841:
1619:
576:
5780:Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P.
5595:
5562:
5521:
5447:
5282:
5272:
5256:
5246:
5222:
5212:
5196:
5186:
5176:
5163:
5146:
5100:
5084:
5069:
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5034:
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4003:Learn how and when to remove this message
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3737:
3716:
3710:
3681:
3669:{\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3,\dots ,N)}
3621:
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3572:
3543:
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3485:
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5959:European Laboratory for Particle Physics
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5338:Bhaskara I's sine approximation formula
3941:can be performed with higher accuracy.
3531:{\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}
3383:{\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}
1010:, Padé approximants can be computed by
5867:, . Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17.
2235:and stops it at the last instant that
7:
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5654:
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5650:
3981:adding citations to reliable sources
2846:the associated critical exponent of
1014:'s epsilon algorithm and also other
3332:By selecting the major behavior of
2549:is the Padé approximation of order
702:is expanded in a Maclaurin series (
123:of order is the rational function
5949:The Wolfram Demonstrations Project
5393:SIAM Journal on Numerical Analysis
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5471:Bini, Dario; Pan, Victor (1994).
3188:, additional asymptotic behavior
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5826:"Section 5.12 Padé Approximants"
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5621:Computer Physics Communications
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1235:extended Euclidean algorithm
732:terms would equal the first
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725:{\displaystyle m+n}
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70:auxiliary functions
49:, but goes back to
6001:Rational functions
5996:Numerical analysis
5957:, Rudolf K. Bock
5931:"Padé Approximant"
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